Dạy giải bài tập chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Dạy giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11” làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.. Giả thuyết kh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

DẠY GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ „„ QUAN HỆ VUÔNG GÓC

TRONG KHÔNG GIAN‟‟ CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

DẠY GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ „„ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN‟‟ CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2019

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc,

em đã hoàn thành luận văn này Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và biết ơn đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Văn đã hướng dẫn, động viên và góp ý

để em hoàn thành tốt luận văn này Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý và cho những lời khuyên bổ ích suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường; em xin cảm ơn Khoa Sư phạm trường Đại học Giáo dục đã tạo điều kiện giúp em nghiên cứu và hoàn thành luận văn Thạc sĩ Em xin cảm ơn thầy cô giáo trường THPT Quốc Oai, Hà Nội, bạn bè

và gia đình đã động viên, giúp đỡ em trong thời gian học tập và nghiên cứu

Hà Nội, ngày 18 tháng 02 năm 2019

Tác giả

Trần Thị Phương Thảo

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Kết quả bài kiểm tra 45 phút Error! Bookmark not defined

Bảng 3.2 So sánh định lượng kết quả bài kiểm tra 45 phút Error! Bookmark not defined

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 So sánh định lượng kết quả bài kiểm tra 45 phút Error! Bookmark not

defined.

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC v

DANH MỤC CÁC BẢNG……….iii

DẠNH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ……… iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Câu hỏi nghiên cứu 2

6 Đối tượng, khách thể nghiên cứu 3

7 Phạm vi nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề 5

1.1.1 Tổng quan nghiên cứu ở nước ngoài 5

1.1.2 Tổng quan nghiên cứu ở trong nước 7

1.2 Bài tập 8

1.3 Quá trình giải bài tập 9

1.3.1 Giải bài tập là gì? 9

1.3.2 Cấu trúc quá trình giải bài tập 10

1.3.3 Các yêu cầu đối với lời giải 11

1.4 Dạy học giải bài tập Tư tưởng sư phạm của G.Pôlya trong dạy học giải bài tập toán 11

1.4.1 Dạy học giải bài tập là một tình huống điển hình trong dạy học môn Toán 11

1.4.2 Tư tưởng chính thể hiện qua các bước giải toán 11 1.4.2.1 Các quan điểm sư phạm qua bước “hiểu r bài toán” 11 1.4.2.2 Quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán 19 1.4.2.3 Quan điểm của G.Pola thể hiện qua bước kiểm tra lời giải bài toán 24 1.4.2.4 Quan điểm về phát triển bài toán sau khi đã giải được bài toán 25

1.5 Mối liên hệ giữa quy trình của G.Pôlya và lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề 25

1.5.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 25 1.5.2 Mối liên hệ giữa quy trình của G.Pôlya và lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề 27

1.6 Thực trạng dạy học giải bài tập chương “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11 28

Kết luận chương 1 30 CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.PÔLYA VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” LỚP 11 31

2.1 Định hướng vận dụng quy trình G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chương

“Quan hệ vuông góc trong không gian” 31 2.2 Vận dụng quy trình của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chương “Quan

hệ vuông góc trong không gian” 32

2.2.1 Dạy học giải bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 32 2.2.1.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Mặt phẳng trung trực Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 32 2.2.1.2 Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước 40 2.2.1.3 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 46 2.2.2 Dạy học giải bài tập về hai mặt phẳng vuông góc 49 2.2.2.1 Tính góc giữa hai mặt phẳng 49

2.2.2.2 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng 53

2.2.2.3 Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng 58 2.2.3 Dạy học giải bài tập về khoảng cách 61

2.2.3.1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 61

2.2.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 64

2.2.3.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 67

2.2.3.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 69

Kết luận chương 2 75

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 76

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 76

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 76

3.3.1 ối tượng thực nghiệm 76

3.3.2 Thời gian thực nghiệm 76

3.3.3 Phư ng pháp thực nghiệm 77

3.3.4 Tiến hành thực nghiệm 77

3.4 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 77

3.4.1 ánh giá về mặt định tính 77

3.4.2 ánh giá về mặt định lượng 78

Kết luận chương 3 81

KẾT LUẬN 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Môn Toán có vai trò quan trọng trong giáo dục phổ thông: kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, bồi dưỡng những đức tính của người lao động mới

Muốn vậy, việc dạy ở trường phổ thông không đơn thuần là dạy kiến thức mà cần dạy cho học sinh những tri thức phương pháp để giải một bài toán, từ đó phát triển nơi các em lòng yêu thích môn Toán, hứng thú tự khám phá tìm tòi lời giải bài toán một cách khoa học

Tuy nhiên, trong thực tế khi đứng trước một bài toán nhiều học sinh gặp lúng túng như:

- Thiếu hoặc vận dụng chưa linh hoạt kiến thức liên quan để giải bài toán, chưa liên kết được các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái biết và cái chưa biết

- Chưa có thói quen nghiên cứu sâu lời giải

Từ những lúng túng mà học sinh gặp phải đã nêu trên nếu học sinh không khắc phục vượt qua sẽ dẫn đến hạn chế kết quả học tập và không phát triển được tác dụng tích cực của môn toán Nhưng nếu vượt qua thì khả năng

tư duy Toán học, sự sáng tạo và niềm đam mê khám phá tăng lên

Khi xem xét nghiên cứu quy trình bốn bước của G Pôlya chúng tôi thấy rằng quy trình đã giải quyết được các vấn đề, những lúng túng được nêu ra ở trên Nếu vận dụng được quy trình của G.Pôlya vào quá trình giải bài tập thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài tập ở trường trung học phổ thông

Mặt khác, “Quan hệ vuông góc trong không gian” là một nội dung hay, cốt lõi trong chương trình hình học lớp 11 và rèn luyện được khả năng tư duy

logic, tư duy sáng tạo cho học sinh Hơn nữa đây còn là một nội dung khó, đòi hỏi một khối lượng lớn kiến thức và kỹ năng, yêu cầu học sinh cần phải

có trí tưởng tượng không gian tốt và vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Dạy giải bài tập chủ

đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11” làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Vận dụng quy trình giải toán của G Pôlya vào dạy học giải bài tập chủ

đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

3 Giả thuyết khoa học

Tổ chức cho học sinh vận dụng quy trình của G.Pôlya giúp nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu lý luận về quy trình của G.Pôlya, mối quan hệ giữa quy trình

của G.Pôlya với lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề và việc vận dụng quy trình trong dạy học giải bài tập

- Tìm hiểu thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” lớp 11 và khả năng vận dụng quy trình của G.Pôlya

- Vận dụng quy trình của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chủ đề

“Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

- Thực nghiệm sư phạm

5 Câu hỏi nghiên cứu

- Quy trình của G.Pôlya là gì? Mối quan hệ giữa quy trình của G.Pôlya với lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề là gì? Vận dụng quy trình đó trong dạy học giải bài tập như thế nào?

- Thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11 như thế nào?

- Vận dụng quy trình của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chủ đề

“Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11 như thế nào?

6 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

6.1 Đối tượng nghiên cứu

Dạy giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” Trường Trung học phổ thông Quốc Oai, Hà Nội

6.2 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

7 Phạm vi nghiên cứu

7.1 Phạm vi về nội dung: Chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”

thuộc phân môn Hình học Trung học phổ thông

7.2 Phạm vi về thời gian: Từ tháng 1 năm 2018 đến tháng 1 năm 2019

7.3 Phạm vi về không gian: 15 lớp 11 Trường Trung học phổ thông Quốc

Oai, Hà Nội

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn toán ở trường phổ thông

- Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến việc tìm lời giải các bài tập toán học, đặc biệt là công trình của G.Pôlya

- Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa toán ở trường trung học phổ thông, các sách toán sơ cấp, các tài liệu về luyện thi đại học, thi trung học phổ thông quốc gia môn Toán

8.2 Phương pháp quan sát, điều tra

- Quan sát giờ học, giờ kiểm tra nhằm tìm hiểu thực tiễn dạy tìm lời giải bài toán của giáo viên và việc tìm lời giải bài toán của học sinh nhằm phát hiện vấn đề nghiên cứu

- Điều tra, xử lý các số liệu điều tra

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính thực tiễn của phương án vận dụng quy trình bốn bước của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chương “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

- Đối tượng thực nghiệm: Lớp 11A1 và 11A2, trường trung học phổ thông Quốc Oai, Hà Nội

8.4 Phương pháp thống kê toán học

- Xử lý kết quả thực nghiệm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan nghiên cứu vấn đề

1.1.1 Tổng quan nghiên cứu ở nước ngoài

a) Nghiên cứu những vấn đề có tính chất lý luận và thực tiễn về bản chất, cấu trúc bài tập và quy trình giải bài tập trên nhiều phương tiện khoa học khác nhau như:

+ Khái niệm bài tập là gì? (UP.Reyman, A.Ph.Exaulôv, G.A.Ball, A.N.Leonchiev, A.Niuell…)

+ Bản chất cấu trúc và quy trình giải bài tập nói chung (G.Pôlya, L.M.Phritman, A.M.Machiuskin, I.laLecne…)

b) Nghiên cứu quá trình giải bài tập dưới góc độ như là phương tiện để xác định cấu trúc và quy luật hoạt động tư duy của con người

Trong lịch sử tâm lý học với các đại diện như O.Đenxo, Quynpe…của trường phái Vutxbua (Đức) lần đầu tiên xem quá trình giải bài tập như là tính đặc thù của tư duy O.Đenxo trong tác phẩm “Lý thuyết thao tác trí tuệ” đã đề cập đến tính nguyên nhân, tính điều kiện và tính kiểm tra của bài tập trong quá trình tư duy Tuy nhiên, mối quan hệ giữa bài tập và tư duy, theo ông chỉ

có tính chất bề ngoài, bản thân nội dung của bài tập không được đưa vào quá trình tư duy Nó chỉ được xem như một yếu tố đóng vai trò của cơ chế khởi động [5]

Dựa vào nguyên tắc cấu trúc, các nhà tâm lý học Ghestal (C.Côpca, V.Kôle, M.Vêchgeyme, Dunker…) cho rằng giải bài tập là đặc điểm của tư duy sáng tạo, là bước chuyển từ cấu trúc “xấu” sang một cấu trúc “tốt” Việc

so sánh giữa cái đã cho và cái cần tìm, giữa các điều kiện và yêu cầu của bài tập được họ coi như mối tương quan lẫn nhau (Dunker), giữa bản thân các

điều kiện với yêu cầu của bài tập do tính cơ động của tình huống tạo ra, bỏ qua hoạt động tạo ra mối tương quan đó của chủ thể đang tư duy

Các nhà tâm lý học hành vi mà đại diện là Manxman nghiên cứu quá trình giải bài tập dựa trên nguyên tắc “thử và sai” Họ đã di chuyển từ nghiên cứu hành vi động vật sang nghiên cứu tư duy con người Và cho rằng quá trình tìm tòi lời giải bài tập như sự lựa chọn dần các kỹ năng và coi trọng việc hình thành các kinh nghiệm quá khứ là tập hợp các thao tác để nghiên cứu bất

kỳ tình huống nào

c) Một trong những hướng chính được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

là khả năng vận dụng lý thuyết chung về bài tập và giải bài tập vào tiết dạy học, đặc biệt là dạy và học toán (L.M.Phritman, G.P.N.A.Menchinxkaia và các cộng sự…) Các tác giả này đã tập trung làm rõ bản chất của quá trình giải bài tập ở người và đưa ra sơ đồ chung, khái quát về quá trình giải bài tập nhằm đề ra những giải pháp nâng cao chât lượng dạy và học toán

Thực nghiệm của P.M.Ecđơnhiev, V.Zanbôttin, Đ.Turrôpxkai cho thấy việc sử dụng các bài tập đặc biệt (bài tập đảo ngược, bài tập chứa thông tin bất ngờ, bài toán mẹo…) đã nâng cao tính tích cực trí tuệ, giúp học sinh lĩnh hội sâu sắc các quy tắc đang nghiên cứu đồng thời phát triển năng lực đặt vấn

đề một cách logic

d) Nghiên cứu khá sâu sắc sự phát triển của tư duy – một hoạt động tâm

lý phức tạp của học sinh ở các lứa tuổi đầu, giữa và cuối tuổi học, M.N.Sacđacôp đã tổng hợp lại sự nghiên cứu của nhiều công trình tâm lý học

về quá trình tư duy do các tác giả Xô Viết cũng như các học giả, những người dạy giáo học pháp nghiên cứu thông qua quá trình giải bài tập dưới nhiều hình thức khác nhau

M.F.Morozop – “Những câu hỏi của giáo viên là phương tiện phát triển tính tích cực hoạt động tư duy của học sinh trên lớp” – (Giáo dục học Xô Viết

số 5 – 1957) Ông cho rằng tính tích cực tư duy khi học lịch sử của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào cách xây dựng câu hỏi theo những kiểu khác nhau của giáo viên

e) Các công trình nghiên cứu của G.Pôlya, nhà sư phạm nổi tiếng Mỹ,

dù chưa đi sâu nghiên cứu chuyên biệt về quá trình giải bài tập hình học nhưng tác phẩm của ông đã đề cập đến khá nhiều lĩnh vực của quá trình giải bài toán Với sự hiểu biết uyên bác kết hợp với những kinh nghiệm dạy và nghiên cứu của bản thân, G.Pôlya đã phân tích một cách sinh động quá trình sáng tạo toán học qua việc giải toán ở nhiều trình độ khác nhau qua đó đưa tới bạn đọc những lời khuyên bổ ích cho quá trình dạy và học toán

1.1.2 Tổng quan nghiên cứu ở trong nước

Vấn đề bài tập và giải bài tập được các tác giả tập trung xu hướng

cơ bản sau:

Xem xét bài tập và giải bài tập dưới góc độ của phương pháp giải toán, của việc dạy học giải toán, tiêu biểu như trong các công trình của Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Thái Hòe, Tôn Thân, Trần Thúc Trình, Thái Sính…

Nhìn chung, các tác giả đều xem xét bài toán cũng như quá trình giải bài toán trên cơ sở lý luận của G.Pôlya Trong đó, đặc biệt chú trọng đến việc hình thành từng bước ở học sinh phương pháp chung để giải một bài toán:

Tìm hiểu đề toán, xây dựng chư ng trình giải bài toán, thực hiện chư ng trình giải bài toán, nghiên cứu và kiểm tra kết quả bài toán

Như vậy, trên bình diện lý luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tài nghiên cứu của chúng tôi: bài tập, quá trình giải bài tập đã được nghiên cứu tương đối sâu sắc Đây là những tư liệu quý báu, đặt nền tảng cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu thực tiễn sau này Tuy nhiên việc triển khai hệ thống

lý luận vào thực tiễn còn gặp nhiều khó khăn và hiệu quả chưa cao Điều đó

gây những khó khăn, trở ngại không nhỏ tới quá trình giải bài tập ở những

dạng khác nhau của học sinh Việc nghiên cứu của chúng tôi chủ yếu nhằm cụ thể hóa việc vận dụng lý luận về quy trình giải bài tập toán của G.Pôlya vào dạy học chư ng “Quan hệ vuông góc trong không gian”cho học sinh lớp 11

góp phần nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và phân môn hình học nói riêng

1.2 Bài tập

Theo Nguyễn Gia Cốc: “Bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra” [3]

Theo Nguyễn Ngọc Quang: “Bài toán là một hệ thông tin xác định, bao gồm những điều kiện và những yêu cầu mà thoạt đầu chủ thể nhận thức thấy không phù hợp (mâu thuẫn) với nhau, dẫn tới nhu cầu phải khắc phục bằng cách biến đổi chúng” [3]

G.Pôlya cho rằng: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách

có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay” [12, tr.169] Ông chỉ rõ các thành phần cấu tạo của bài toán: “Trong bất cứ bài toán nào cũng có ẩn – nếu tất cả đều đã biết rồi thì không còn phải tìm gì nữa…Trong mỗi bài toán lại còn phải có một điều gì đó

đã biết, hoặc đã cho (dữ kiện) – nếu không cho trước cái gì cả thì không có một khả năng nào để nhận ra cái cần tìm, cho dù nó có ở ngay trước mắt ta thì

ta cũng không thể nhận ra được…Sau cùng, trong bất kỳ bài toán nào cũng phải có điều kiện để cụ thể hóa mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện…Điều kiện là yếu tố căn bản của bài toán” [12, tr.19]

Như vậy chúng tôi quan niệm rằng bài tập là một tình huống có vấn đề hoặc một hệ thông tin xác định đòi hỏi chủ thể nhận thức phải giải quyết bằng cách biến đổi chúng

1.3 Quá trình giải bài tập

1.3.1 Giải bài tập là gì?

Vấn đề giải bài tập được tiến hành nghiên cứu hai hướng cơ bản sau:

- Một là, thông qua nghiên cứu việc giải bài tập để xác định cấu trúc quy luật hoạt động tư duy của con người X.L.Rubinstêin cho rằng thực chất

cơ chế của giải bài tập là quá trình tư duy Giải bài tập là quá trình phân tích thông qua tổng hợp nghĩa là quá trình liên tục phân tích điều bài tập thông qua đối chiếu chúng với nhau để tìm ra cách giải Đây chính là sơ đồ chung, tổng quát nhất để giải toán của X.L.Rubinstêin Sơ đồ này chỉ ra rằng “lời giải là quá trình phân tích và tổng hợp trong mối liên hệ và phụ thuộc lẫn nhau” [5] Và nó đã được ông sử dụng như một tư tưởng chủ đạo xuyên suốt nội dung khi ông lý giải các vấn đề từ việc tiếp nhận bài tập, biến đổi tìm kiếm cách giải

- Hai là, nghiên cứu việc giải bài tập như một dạng hoạt động học của học sinh Phải kể đến công trình nghiên cứu của L.M.Phritman và G.Pôlya Nhìn từ góc độ tâm lý học sư phạm trong một phạm vi hẹp (nghiên cứu việc giải bài tập toán), L.M.Phritman cho rằng: “Giải bài tập toán, điều đó có nghĩa

là tìm kiếm sự hợp lý (hợp logic) của các luận điểm (quy tắc) chung của toán học (định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật, công thức) mà khi vận dụng chúng vào các điều kiện của bài tập hay các kết quả trung gian của nó, ta thu được cái mà bài tập yêu cầu – lời giải của bài tập” [5]

G.Pôlya trong nhiều tác phẩm của mình: Giải bài toán như thế nào; Toán học và những suy luận có lý; Sáng tạo toán học…tuy ông không đưa ra một định nghĩa chính xác về giải bài tập nhưng rải rác trong các tác phẩm này ông có nêu khá nhiều ý kiến G.Pôlya cho rằng đó là sự “tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [12, tr.169]

Rõ ràng quan điểm của L.M.Phritman và G.Pôlya có những điểm tương đồng Họ đều cho rằng giải bài tập là sự tìm kiếm một phương pháp thích hợp

để đạt được kết quả “Phương tiện thích hợp” của hai ông trên phương diện toán học chính là các điều kiện của đầu bài được sử dụng, biến đổ sao cho phù hợp với quy luật logic để tìm đến kết quả

1.3.2 Cấu trúc quá trình giải bài tập

Theo G.Pôlya, cấu trúc quá trình giải bài tập gồm 4 bước:

Bước 1: Hiểu rõ bài toán

+ Nắm rõ cái đề bài cho và cái đề bài yêu cầu ;

+ Sử dụng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Người giải phân tích bài toán đã cho thành những bài toán đơn giản hơn hay biến đổi đưa về các bài toán quen thuộc thông qua các kỹ năng đặt câu hỏi bằng hệ thống câu hỏi:

 Em đã gặp bài toán này hay bài toán này ở dạng khác lần nào chưa? Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

 Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tư ng tự?

 Em đã sử dụng mọi dự kiện chưa? ã sử dụng hết điều kiện chưa?

ã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? [10]

Để trở thành thói quen khi giải toán, học sinh cần được luyện tập thường xuyên những gợi ý này trong từng tiết dạy trên lớp, đặc biệt là những giờ chữa bài tập toán Thói quen này không những giúp học sinh học được cách giải toán mà còn có thể vận dụng vào thực tiễn đời sống

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Kiểm tra lại từng bước

 Em đã thấy mỗi bước đều đúng chưa?

 Em có thể chứng minh là nó đúng/sai không?

Bước 4: Kiểm tra lại và nghiên cứu lời giải đã tìm ra

 Có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải của bài toán không?

 Có cách làm khác không?

 Có thể sử dụng kết quả hay phư ng pháp đó cho một bài toán nào khác không?[10]

1.3.3 Các yêu cầu đối với lời giải

(i) Kết quả đúng, kể cả ở bước trung gian

(ii) Lập luận chặt chẽ

(iii) Lời giải đầy đủ

(iv) Ngôn ngữ chính xác

(v) Trình bày rõ ràng

(vi) Có nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn, hợp lý nhất

(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự

Trong đó, bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản [7]

1.4 Dạy học giải bài tập Tư tưởng sư phạm của G.Pôlya trong dạy học giải bài tập toán

1.4.1 Dạy học giải bài tập là một tình huống điển hình trong dạy học môn Toán

Ở đó giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài toán mà cần hình thành cho học sinh cách thức tư duy để có được lời giải đó

Có hai dạng là dạy chứng minh và dạy tìm tòi

1.4.2 Tư tưởng chính thể hiện qua các bước giải toán

1.4.2.1 Các quan điểm sư phạm qua bước “hiểu r bài toán”

Khi tiếp xúc với bài toán và bắt đầu tìm tòi lời giải, diễn biến tâm lý của người giải toán diễn ra những câu hỏi độc thoại như người diễn viên phải đóng hai vai vậy; một bên là thầy giáo và bên kia là học trò, thầy giáo

đặt ra những câu hỏi như: Những cái gì chưa biết? Những cái gì là đã cho

trước? iều kiện của bài toán là gì? Còn học sinh phải xem xét những yếu

tố chính của bài toán một cách tập trung nhiều lần và nhiều khía cạnh khác nhau Nếu bài toán liên quan đến hình vẽ thì phải vẽ hình, đạt tên, kí hiệu cho những yếu tố có liên quan… Cuôc đàm thoại này diễn ra cho đến khi đề bài toán được làm rõ, và có thể đề ra được một chương trình giải

Như vậy tư tưởng sư phạm của G.Polya thể hiện trong bước này là:

“Dạy học toán là dạy cách suy ngh tìm tòi lời giải cho các bài toán” Theo

ông, phương pháp cần dạy cho học sinh khi tìm lời giải là tập luyện cho họ những hoạt động biến đổi quy lạ về quen bao gồm:

 Hoạt động liên tưởng bài toán cần giải, mệnh đề cần chứng minh với bài toán đã biết, định lý đã biết, đã chứng minh trước đó

Để đạt được sự cân bằng trong quá trình nhận thức ở thời điểm nhất định, con người phải trải qua một dãy những diễn biến khác nhau về tâm lý,

ch ng hạn khi đứng trước một bài toán, lúc đầu người giải nhìn bài toán biệt lập, hoặc ch ng có chi tiết nào, hoặc có ít chi tiết, có chăng chỉ phân biệt được những phần chính: như ẩn số, các dữ kiện và điều kiện hoặc điều kiện cần và kết luận của bài toán, dần dần bài toán hiện ra trước người giải hoàn toàn khác: phức tạp, mang thêm những chi tiết và bộ phận phụ, giữa chúng và bài toán có những liên hệ nào đó mà người giải toán chưa hề nghi vẫn Quá trình huy động và liên tưởng bắt đầu xuất hiện Cái nhìn về bài toán ban đầu bị tước mất các chi tiết, xuất hiện những đường nét phụ Các tri thức tích lũy từ trước được huy động, vận dụng, chủ yếu là các định lý có liên hệ đến bài toán Ngay khi bắt đầu nghiên cứu bài toán, người giải không thể nào thấy được định lý nào thực sự có triển vọng và có ích cho mình; đòi hỏi phải sàng lọc, loại bỏ những cái không liên quan, giới hạn dần vùng liên hệ nhằm tìm được định lý hay khái niệm, mệnh đề thực sự là chìa khóa để giải bài toán Đó chính là quá trình huy động và liên tưởng

Theo G.Polya: “Người giải đã tích l y được những kiến thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải toán Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức” [4,tr.310]

Vi dụ 1: Cho hình chóp là điểm bên trong tam giác Qua vẽ các đường th ng song song với cắt các mặt ph ng

theo thứ tự tại a) Chứng minh tổng không đổi khi O di động trong tam giác

b) Xác định O để tích

OA’.OB’.OC’ đạt giá trị lớn nhất

Giải:

a) Gọi lần lượt là giao

điểm của AO và BC, BO và AC, CO

và AB Khi đó là giao điểm của

SM và đường th ng qua O song song

với SA SN cắt đường th ng qua O

song song với SB tại SP cắt đường th ng

qua O song song với SC tại

1 '

' , '

ON AM

OM SC

OC SB

OB

CP

OP BN

ON SB

OB AM

OM

SA

OA

Đến đây ta liên tưởng đến bài toán

trong hình hoc ph ng sau:

Bài toán: Cho tam giác O là điểm bất kì trong C.Gọi

lần lượt là giao điểm của và , và , và Chứng minh rằng

CP

OP BN

K qua song song với Khi đó:

Sau khi đã chứng minh được    1

CP

OP BN

ON AM

OM ta chỉ việc kết luân cho

lời giải bài toán ban đầu là :

(đpcm)

Từ kết quả câu a đã hé lộ một một ngã rẽ cho việc đi tìm lời giải câu b; đến đây học sinh cần liên tưởng đến bất đ ng thức Cosi cho ba số không âm rồi áp dụng kết quả câu a để đi đến lời giải

' SA

CP

OP BN

ON AM

OM SC

OC SB OB

Vậy O là trọng tâm của tam giác ABC

Theo tác giả G.Polya “Sự huy động các yếu tố có nhiều triển vọng có ích, g n với quan niệm của chúng ta về bài toán, thông thường có thể làm cho bài toán phong phú, dạng bài toán r rệt h n, loại bỏ được các l hổng, kh c phục được những thiếu sót, tóm lại s bổ sung cho bài toán”[4,tr.132]

Sự liên tưởng và huy động kiến thức ở mỗi người một khác, khi đứng trước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ mà những yếu tố này hy vọng sẽ có ích cho ta tìm được lời giải bài toán Có người chỉ liên tưởng được một số ít định lý, mệnh đề có liên quan… Do vậy sự liên tưởng và huy động kiến thức khi cần thiết phụ thuộc vào khả năng tích lũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong việc phát hiện mẫu chốt của vấn đề trước mắt

Thực ra, năng lực liên tưởng và huy động kiến thức không phải là điều bất biến, với cùng một bài toán, nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinh không giải được, hoặc giải được nhưng thiếu tính sáng tạo, lời giải còn dài dòng nhưng khi ở vào một thời điểm khác có thể học sinh lại giải được và còn

có thể độc đáo, đầy tính sáng tạo do trạng thái tâm lý cho phép sự tập trung vào sự huy động kiến thức một cách tối đa

Ch ng hạn khi đứng trướng bài toán :

Ví dụ 2: Cho tứ diện S C Gọi G là trọng tâm của tam giác

C P c t S ,S ,SC,SG theo thứ tự tại , ,C ,G hình 4 )Chứng minh

SA SB SC SG

SA SB SC  SG

Để giải được bài toán này, học sinh

cần nắm được nhữnh dự kiện của bài toán

cũng như yêu cầu của bài toán Ở đây là bài

toán hình học do vậy điều đầu tiên là học

Hình 4

sinh phải vẽ được hình Khi phân tích điều cần chứng minh Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh nhớ lại một bài toán đã giải nào đó trong hình học ph ng,

vì tổng của hai hạng tử đầu có liên quan đên bài toán ph ng sau:

ài toán ph ng: Cho tam giác S Gọi G là trung điểm của cạnh

Một đường thẳng d c t S ,S ,SG lần lượt tại

SM SM

2

1

2 '

SM SG

SG SC

SC   (3) Lấy (2) x 2 +(3) ta được (1).Suy ra đpcm

 Hoạt động biến đổi bài toán về bài toán quen thuộc, bao gồm cấu trúc lại bài toán, diễn đạt lại hình thức bài toán Trong quá trình giải bài tập toán hay chứng minh công thức, định lý không phải khi nào cũng gặp những bài toán quen thuộc mà nhiều khi cần phải biến đổi bài toán đã cho về dạng quen thuộc hơn, đã từng biết cách giải Ch ng hạn xét bài toán: Cho tứ

diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN Chứng minh OA đi qua trọng tâm G của tam giác BCD

Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi về bài toán đã cho trong hình học ph ng ph ng Khi đó, gọi AO cắt BN tại G Bài toán trở thành chứng minh G là trọng tâm của tam giác BCD hay GN = GB/2 Do vậy, bài toán được chứng minh nhờ tách bộ phận ph ng (ABN) ra ngoài, đưa về bài toán

quen thuộc: Cho tam giác N, gọi M là trung điểm của ; O là trung điểm của MN ường thẳng O c t N tại G Chứng minh rằng GN = G /2

 Tư tưởng sư phạm thứ hai là: “Xem xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt để khái quát hóa đi đến cách giải bài toán ”

Ví dụ 3: (P), (Q), (R) là ba mặt ph ng đôi một song song Đường th ng

a cắt mặt ph ng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường th ng b cắt

(P), (Q), (R)lần lượt tại A',B',C' Chứng minh rằng: AB A 'B'

BC B'C' Đây là một định lý trong SGK, việc chứng minh nó nằm trong khả năng của học sinh Bài toán này nếu chứng minh trong trường hợp tổng quát thì học sinh sẽ gặp khó khăn Nhưng nếu học sinh biết nhìn nhận và thử bài toán

M

K

Hình 6 (b) (a)

trong trường hợp đặc biệt trước như a //b; hay a vuông góc với b thì việc chứng minh dễ thực hiện hơn sau đó xét trong trường hợp tổng quát

Trường hợp 1: Nếu a // b

Khi đó ta có A,B,A ',B' đồng ph ng và AB// A'B'

Gọi( ) mp(a,b)   thì ( )  cắt hai mặt ph ng (P), (Q) theo hai giao tuyến

Trường hợp 2: Nếu a không song song với b

Từ A' dựng đường th ng a'// a , a ' cắt (Q) và (R) tại B", C"

C

A'

B

R Q

P

a a' b

Hình 7 (b) (a)

Vậy AB A 'B'

BC B'C'

1.4.2.2 Quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán

Rèn luyện cho học sinh cách lập luận thông qua việc vạch ra quy

trình giải bài toán và khai thác quy trình đó

Ví dụ 4: Tìm đường vuông góc chung của hai đường th ng chéo nhau và cho trước

ước 1 Xác định chứa và song song với

ước 2 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm bất kỳ (hợp lí) của lên mặt ph ng

ước 3 Dựng đường th ng là hình chiếu vuông góc của lên mặt ph ng

bằng cách qua k đường th ng song song với

ước 4 Gọi là giao điểm của và Đường th ng qua song song với

cắt đường th ng tại Khi đó là đường vuông góc chung cần dựng

Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh hợp tác nhóm để đề ra quy trình giải nói trên:

- Trước hết, giáo viên chuẩn bị sẵn một hệ thống bài toán về xác định đường

vuông góc chung của hai đường th ng chéo nhau, in sẵn đề để phát cho mọi học sinh

b a'

P

Hình 8

- Sau khi tự nghiên cứu các bài toán đã cho, học sinh sẽ thảo luận nhóm về lời giải các bài toán và tìm ra quy trình các bước xác định đường vuông góc chung của hai đường th ng chéo nhau, chuẩn bị ý kiến, cử người trình bày ngắn gọn trước lớp

- Thảo luận chung cả lớp: Một nhóm báo cáo quy trình của nhóm mình Các nhóm sau phát biểu những ý kiến tán thành hoặc không tán thành với nhóm trước, những ý kiến trao đổi, bổ sung, chất vấn, yêu cầu giải đáp, hoặc phát biểu quy trình của nhóm mình

- Giáo viên tham gia vào việc trao đổi, đánh giá, kết luận về quy trình của các nhóm và có thể đưa ra quy trình của mình, có thể chuẩn bị trước cho học sinh tham khảo Ch ng hạn, giáo viên có thể đưa thêm quy trình sau:

ước 1 Vẽ vuông góc với tại

ước 2 Vẽ hình chiếu vuông góc của lên mặt ph ng vẽ hình chiếu vuông góc của lên

ước 3 Qua dựng đường th ng song song với cắt đường th ng tại

ước 4 Qua dựng đường th ng song song với cắt đường th ng tại Khi đó chính là đoạn vuông góc chung của hai đường th ng chéo nhau

và

Trường hợp đặc biệt, ta có quy trình sau:

ước 1 Vẽ chứa đường th ng , vuông góc với tại

ước 2 Vẽ vuông góc với đường th ng tại Khi đó là đoạn th ng cần dựng

Như vậy cho đến thời điểm này học sinh đã biết ba quy trình giải bài toán dựng đường vuông góc chung của hai đường th ng chéo nhau Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: Bài toán nào thì áp dụng qui trình gì? Câu hỏi này nghe qua thì có v khó hiểu nhưng hoàn toàn

hợp lí

Giáo viên có thể đưa ra kết luận: Đối với

những bài toán dựng đường vuông góc chung

của hai đường th ng chéo nhau mà hai đường

th ng này vuông góc với nhau thì ta sẽ áp dụng

quy trình thứ ba, đối với những bài toán mà

việc dựng một mặt ph ng chứa đường th ng

này song song với đường th ng kia thuận lợi thì

ta sẽ áp dụng quy trình thứ nhất, đối với những bài toán mà việc dựng một mặt ph ng vuông góc với một trong hai đường th ng kia thuận lợi (hoặc có sẵn) thì ta sẽ áp dụng quy trình thứ hai Tuy nhiên một bài toán có thể sử dụng nhiều quy trình để giải

Có những bài toán mặc dù học sinh đã biết quy trình giải nhưng điều này cũng không có nghĩa là họ sẽ giải được mọi bài toán áp dụng quy trình này Vì

B O

vậy, trong quá trình dạy học sinh giải toán, giáo viên còn rất nhiều việc phải làm sau khi đã giúp học sinh phát hiện ra quy trình giải của bài toán tổng quát

Ví dụ: Cho hình chóp có vuông góc với mặt ph ng

đáy là tam giác vuông tại Gọi là trung điểm của Dựng đường vuông góc chung của và

Giáo viên: Bài toán này thuộc kiểu gì?

Học sinh: Xác định đường vuông góc chung của hai đường th ng chéo nhau Giáo viên: Có mấy quy trình để giải loại toán này?

Học sinh: Em đã được học ba quy trình

Giáo viên: Em hãy dựa vào đặc điểm bài

toán để lựa chọn một quy trình phù hợp

Học sinh: Ta thấy hai đường th ng và

hình như không vuông góc với nhau, bởi

vì Nếu chúng vuông góc thì Mà do

ta không thể áp dụng quy trình thứ ba Ta thử áp

dụng quy trình thứ nhất Quy trình thứ nhất yêu

cầu dựng một mặt ph ng chứa đường th ng này và song song với đường

th ng kia

Giáo viên: Ta nên dựng mặt ph ng chứa và song song với hay ngược lại? Từ hoặc dựng đường th ng song song với dễ hơn hay từ hoặc dựng đường th ng song song với dễ hơn?

Học sinh: Chắc chắn là từ k đường th ng song song với rồi, đây chính là đường trung bình của tam giác

Giáo viên: Bước thứ hai của quy trình yêu cầu điều gì?

SM BC.

SM BC

M N

Hình 12

Học sinh: Dựng hình chiếu của một điểm (hợp lí) trên xuống mặt

ph ng Có lẽ ta sẽ chọn điểm đó là hoặc vì nó có tính chất đặc biệt hơn cả Nhưng dựng như thế nào?

Giáo viên: Ta hãy dựng hình chiếu của điểm đó lên các cạnh

Nếu may mắn, đó là điểm cần tìm (dự đoán, có thể thất bại!)

Học sinh: Gọi là hình chiếu của lên

chiếu của lên

Giáo viên: Các bước tiếp theo của

quy trình yêu cầu điều gì?

Học sinh: Từ k đường th ng

song song với cắt tại Từ

k đường th ng song song với cắt

tại Khi đó là đường vuông góc chung cần dựng

Chú ý: trong tình huống trên, học sinh đã lựa chọn quy trình thứ nhất để

giải bài toán Nếu học sinh lựa chọn quy trình thứ hai thì diễn biến quá trình giải bài toán được mô phỏng như sau:

Học sinh: Ta thử áp dụng quy trình thứ hai Quy trình thứ hai yêu

cầu dựng một mặt ph ng vuông góc với một trong hai đường th ng đã cho

Giáo viên: Trên hình vẽ đã có mặt ph ng này chưa?

Học sinh: Giả thiết cho vuông tại B Đúng rồi, mặt

E M

N

F

Hình 14

Học sinh: Dựng hình chiếu vuông góc của lên mặt ph ng Vì điểm thuộc nên ta chỉ cần dựng hình chiếu của lên nghĩa

là cần dựng đường th ng qua và vuông góc với Ta đã có đường

th ng vuông góc với nên chỉ cần dựng đường th ng qua và song song với Đây chính là đường trung

bình của tam giác Khi đó hình

chiếu cần dựng chính là

Giáo viên: Tiếp theo, quy trình yêu

cầu điều gi?

Học sinh: Dựng hình chiếu vuông

góc của lên

Giáo viên: Tiếp theo nữa?

Học sinh: Từ dựng đường th ng

song song với cắt tại từ k

đường th ng song song với cắt tại

khi đó là đoạn th ng cần dựng

Nhận xét: Như đã nói ở trên, đối với bài toán này ta nên sử dụng quy

trình thứ hai Bởi lẽ mặt ph ng vuông góc với một trong hai đường th ng

đã có sẵn Hai tình huống vừa nêu cũng đã chứng tỏ tính ưu việt của quy trình thứ hai đối với quy trình một trong bài toán này

1.4.2.3 Quan điểm của G.Pola thể hiện qua bước kiểm tra lời giải bài toán

Quan điểm của G.Polya ở bước này là: “Chú trọng luyện tập cho học sinh đánh giá,tự đánh giá lại các bước lập luận của quá trình giải” Theo quan

điểm của chúng tôi, đó là cách đánh giá tốt nhất cần dạy cho học sinh; bởi nó không chỉ đánh giá tính hợp lý của bài toán mà còn đánh giá hoạt động tư duy

của chính học sinh.Thông thường sau khi giải, chúng ta phải xem lại kết quả

E M

N

F

Hình 14

bằng những phép thử nào đó Mặc dù vậy, đa số học sinh khi giải xong bài toán

ít hoặc không nghiên cứu lại lời giải, xem có sai sót bước nào không và tìm xem có cách giải khác không, có phát triển bài toán tổng quát hơn hay có tương

tự hóa bài toán được không Vậy nên, trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần nhấn mạnh bước bốn, đặc biệt là bước 4 và nên lấy ví dụ và phản ví dụ minh họa Thực hiện được điều này thì học sinh sẽ được khắc sâu hơn, nắm vững hơn, đặc biệt đối với đối tượng học sinh khá và giỏi

1.4.2.4 Quan điểm về phát triển bài toán sau khi đã giải được bài toán

Bước sau cùng theo G.Polya là: “luyện tập cho học sinh phát triển bài toán thông qua hoạt động khái quát hóa,tư ng tự hóa” Không phải bài toán

nào cũng thực hiện được các hoạt động tương tự hóa, khái quát hóa.Tuy

nhiên, theo G.Polya “ không có bài toán nào là kết thúc ao giờ c ng còn lại một cái gì để suy ngh ”[12] Tương tự hóa, khái quát hóa là cấp độ

khó của hoạt động tư duy tuy nhiên nếu làm được thì sẽ phát triển tư duy rất tốt, đặc biệt là tư duy sáng tạo

1.5 Mối liên hệ giữa quy trình của G.Pôlya và lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề

1.5.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

“Là phương pháp dạy học, trong đó giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn

đề, điều khiển người học phát hiện vấn đề, tự giác, tích cực hoạt động giải quyết vấn đề, thông qua đó lĩnh hội tri thức, phát triển kĩ năng và đạt được các mục đích dạy học khác” [7, tr 261]

* Những khái niệm c bản

Vấn đề: Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa có trong tay

một thuật giải nào để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán [7, tr 195]

Tình huống gợi vấn đề: Là một tình huống gợi ra cho học sinh những

khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt

qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một qúa trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có [7, tr 195]

Tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn các điều kiện sau:

Thứ nhất: Tồn tại một vấn đề

Thứ hai: Gợi nhu cầu nhận thức

Thứ ba: Gợi niềm tin bản thân có khả năng làm được [7]

* Những hình thức dạy học nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo [7], có thể đưa ra bốn hình thức cũng là bốn cấp độ khác nhau tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn

đề là:

“- Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề: Đây là một hình

thức dạy học phát huy cao độ tính độc lập của người học Thầy giáo tạo tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề Như vậy ở đây, người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình này

- Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề: ở đây khác hình

thức thứ nhất ở chỗ qúa trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra đơn

l ở một người học, mà có sự hợp tác giữa những người học với nhau

- Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề:

Học sinh làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý, dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện thực hiện là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò

- Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: Mức độ độc lập

của học sinh thấp hơn ở các hình thức trên Thầy giáo tạo tình huống gợi vấn

đề, sau đó chính thầy phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải)’’ [7]

* Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo [7], quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề gồm các bước sau:

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Bước 2: Tìm giải pháp

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp [7]

1.5.2 Mối liên hệ giữa quy trình của G.Pôlya và lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề

Theo G.Pôlya, giải bài tập toán gồm 4 bước sau:

“ ước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Bài toán nói gì? Cái gì là dữ liệu? Cái gì phải tìm? Cái dữ kiện đã đủ để xác định được cái phải tìm hay chưa? Hay chưa đủ? Hay thừa?

Có thể phát biểu bài toán một cách khác?

Có thể tìm quan hệ giữa bài toán đã cho và bài nào khác mà ta đã biết cách giải không? Hay một bài toán mà ta có thể giải dễ dàng hơn?” [10]

Khi thực hiện bước này chính là giúp cho học sinh phát hiện và thâm nhậm vấn đề

“ ước 2: Xây dựng chư ng trình giải

Phát biểu các quan hệ giữa cái đã cho và cái chưa biết

Biến đổi các yếu tố chưa biết

Chỉ giải một phần bài toán đã thỏa mãn một phần các điều kiện: khi đó cái chưa biết được xác định đến mức độ nào?

Tổng quát hóa Đặc biệt hoá Sử dụng sự tương tự.” [10]

Thực hiện các thao tác trên là cách đi tìm giải pháp, tìm một cách giải

quyết vấn đề

“ ước 3: Thực hiện chư ng trình giải

Kiểm tra lại từng bước, chỉ công nhận những điểu thật rõ ràng hay đã được tính toán thật cẩn thận.” [10]

Ở đây, người học trình bày giải pháp một cách cụ thể, rõ ràng

“ ước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Kết quả có đúng không? Vì sao? Có thể kiểm tra được không? Có con đường nào khác để đi đến cùng kết quả đó không?” [10]

Điều này phù hợp với bước nghiên cứu sâu lời giải

1.6 Thực trạng dạy học giải bài tập chương “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

- Việc dạy học đôi khi mang tính truyền thụ một chiều, học sinh ít có

cơ hội tham gia vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

b Tình hình học tập:

- Đa số học sinh hay hổng kiến thức hình học ph ng ở các lớp dưới nên việc học hình học trong không gian lại càng gặp khó khăn khiến nhiều học sinh ngại học, nản chí

- Một số khó khăn học sinh gặp phải khi học hình học không gian: khó định hướng tìm thuật giải, vẽ hình sai, nhầm lẫn giữa các khái niệm, định nghĩa, định lí… trong hình học không gian với nhau và hình học không gian với hình học ph ng… Nguyên nhân là do năng lực tưởng tượng không gian,

tư duy logic còn hạn chế, hổng kiến thức từ lớp dưới

- Một số học sinh học chưa tích cưc, thụ động trong những giờ hình học không gian nói chung và chương “Quan hệ vuông góc trong không gian” nói riêng

- Kỹ năng trình bày lời giải còn yếu Một số học sinh tỏ ra lúng túng khi được yêu cầu giải một bài toán hình học không gian

Để khắc phục những khó khăn trên, chúng tôi cho rằng có thể vận

dụng tư tưởng sư phạm của G.Polya vào dạy học bởi“Dạy học toán là dạy cách suy ngh tìm tòi lời giải cho các bài toán” Hơn nữa Theo G Polya:

“Thầy giáo phải dành sự chú ý đặc biệt vào việc chọn bài toán, cách diễn đạt và trao cho học sinh sao cho tốt nhất.”[4, tr.78] Ông đặc biệt nhấn mạnh thủ thuật nhằm tạo sự thích thú cho học sinh, đó là: “ ể học sinh phán đoán, dự đoán kết quả, hoặc thậm chí một phần của nó” [4, tr.79] Do

đó các em sẽ tích cực tìm cách giải hoặc theo dõi cách giải để biết được mình phán đoán có đúng không, điều này sẽ lôi cuốn học sinh vào hoạt động giải toán tích cực hơn

Kết luận chương 1

Với ý nghĩa làm cơ sở lý luận và thực tiễn, chương I của luận văn tỉm hiểu về bản chất và cấu trúc của quá trình giải bài tập, đặc biệt là những tư tưởng sư phạm quan trọng của G.Polya về dạy học giải bài tập toán Đồng tìm hiểu thực trạng dạy học môn hình học ở phổ thông, tập trung vào việc giải bài tập hình học không gian lớp 11 chương “Quan hệ vuông góc trong không gian” Những nghiên cứu về lý luận và thực tiễn đó cho thấy cần thiết

và có thể vận dụng quy trình của G.Polya vào dạy học giải bài tập chương

“Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.PÔLYA VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG

KHÔNG GIAN” LỚP 11 2.1 Định hướng vận dụng quy trình G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chương “Quan hệ vuông góc trong không gian”

a) Nguyên tắc: Để dạy học giải bài tập chương “Quan hệ vuông góc

trong không gian” lớp 11, chúng tôi vận dụng qui trình giải bài toán của G.Polya theo ba nguyên tắc:

- Khai thác những kiến thức có trong sách giáo khoa

- Với 66 bài tập trong luận văn thuộc kiến thức chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”, phần lớn chương III sách giáo khoa hình học lớp 11 được phân loại thành 12 dạng cơ bản dựa vào phân phối chương trình Do vậy việc phân loại này mang tính chất tương đối nên có những dạng tưởng như lặp lại nhưng thực chất là có sự phân biệt, ch ng hạn đối với dạng toán “Xác định thiết diện của khối đa diện”…Tuy trong chương trình hình học không gian lớp 11 chương 3 còn một số dạng khác, nhưng do khuôn khổ hạn chế của luận văn không thể giải quyết triệt để được

- Việc giải bài toán phải thực hiện đúng qui trình của G Polya

b) Trình bày: Dựa trên qui trình bốn bước giải bài toán và bảng gợi ý của

G.Polya chúng tôi sắp xếp và khai thác các dạng bài toán theo cách thức sau:

Trong mỗi dạng bài chúng tôi đưa ra số lượng bài vừa đủ để rút ra những chú ý sư phạm cần thiết khi dạy học mỗi dạng đó

Loại 1: Các bài tập dẫn dắt học sinh phát hiện lời giải và qua đó hình

thành qui trình hoặc phương pháp giải từng dạng

Trong những bài tập, đưa ra những gợi ý để hướng dẫn học sinh giải bài tập đó theo qui trình bốn bước của G.Polya