Khai thác bài tập chủ đề quan hệ vuông góc (hình học 11)

Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện này: Thứ nhất, trên bình di

1

PHẦN I - MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hoạt động giải toán là hoạt động mà thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định

lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học Do vậy đòi hỏi người thầy giáo - người giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động dạy học phải có phương pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả quá trình nhận thức của học sinh, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu dạy học Để góp phần làm được điều đó, giáo viên cần lựa chọn những kiến thức cơ bản, trọng tâm trong từng bài học, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập củng cố kiến thức, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề

Hình học là phân môn có tính hệ thống rất chặt chẽ, có tính lôgic và tính trừu tượng hóa cao hơn so với các phân môn khác của Toán học, có thể nói hình học là phân môn khó trong môn Toán đối với nhiều học sinh, đặc biệt là phần hình học không gian lớp 11, trong đó có chương “Quan hệ vuông góc”

Về mặt lí thuyết, định nghĩa và tính chất của phân môn hình học rõ ràng, ngắn gọn, chính xác Tuy nhiên để làm bài tập học sinh còn lúng túng, ngộ nhận Vì vậy cần đưa ra cho học sinh những bài tập vận dụng để giúp học sinh củng cố lí thuyết, rèn luyện kĩ năng, sáng tạo cái mới trên cơ sở những điều đã biết

Vì những lí do trên mà em chọn đề tài là :

“Khai thác bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc” (Hình học 11)”

1.2 Mục tiêu - nhiệm vụ nghiên cứu

1.2.1 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận chung về bài tập toán học

- Nghiên cứu chủ đề quan hệ vuông góc của hình học không gian lớp 11 THPT

- Khai thác bài tập trong chủ đề “Quan hệ vuông góc”

1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận nhằm xây dựng hệ thống các bài tập phục vụ giảng dạy chương " Quan hệ vuông góc" trong hình học không gian lớp 11 THPT

PHẦN II – NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN

2.1.1 Bài tập toán học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập

có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện này:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

+ Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung

để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần

lí thuyết

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động

và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

3

Trong thực tiễn dạy học, bài tập sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,…

2.1.2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán

2.1.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, môt bài tập toán học chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài tập đòi hỏi ta phải phân tích các

dữ kiện của bài tập, huy động các kiến thức đã cho trong đề bài và kiến thức đã biết

có liên quan đến bài tập, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới Và cứ như vậy các kiến thức mới được tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải bài tập

Như vậy, khi giải một bài tập toán học không những chỉ các kiến thức đã có trong bài tập, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài tập cũng được củng cố qua lại nhiều lần

2.1.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải của bài tập toán học là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt Vì vậy giải một bài tập có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các suy luận lôgic : Suy luận có căn cứ đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn

Chúng ta biết rằng không có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài tập toán học Mỗi bài tập có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giải bài tập chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ với các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá Như vậy, qua việc giải bài tập toán học, năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

2.1.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài tập đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong dạy học khái niệm toán học: Bài tập toán học được sử dụng để tổ chức gây tình huống nhằm dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm, bài tập được sử dụng để làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài tập toán học được sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm

Trong dạy học định lý toán học: Bài tập toán học có thể sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát triển ra nội dung định lí toán học; Bài tập có thể

sử dụng để học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn hoc sinh tập tìm ra lời giải cho một bài tập cơ bản, có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học: Bài tập toán học là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập, ôn tập Trong đó, giáo viên phải xây dựng được hệ thống bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức và hình thành một

số kĩ năng cơ bản nào đó

2.1.2.4 Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học

Điểm cơ bản trong tính cách con người là : Mọi hoạt động đều có mục đích rõ ràng khi giải bài tập ta luôn có định hướng mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải bài tập

sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người Để giải một bài tập nhất là đối với bài tập khó, người giải phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải được một bài tập

Hoạt động giải bài tập chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách con người

2.1.3 Phương pháp tìm lời giải bài tập toán học

5

2.1.3.1 Phương pháp đi xuôi

Xuất phát từ các giả thiết của bài tập toán học được lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài tập làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả hợp lôgic mới gần gũi với kết luận Cứ tiếp tục quá trình đó chúng ta tìm được hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài tập toán học Khi ấy ta tìm được lời giải cho bài tập

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

(trong đó A,C là giả thiết, X là kết luận)

2.1.3.2 Phương pháp đi ngược

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài tập Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận

Tiếp tục, chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết mới của kết luận mới này Quá trình ấy được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề lôgic trùng với giả thiết của bài tập, ta được lời giải của bài tập

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

Ta cần chứng minh mệnh đề sau đây :

“ Nếu trong tứ diện ABCD ta có AB CD

Muốn chứng minh AD BC, ta chỉ cần tìm được một điểm X sao cho AX  BC và

DX  BC Nếu gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta có

AH  BC Ta hãy thử xem DH có vuông góc với BC hay không?

Chú ý rằng CH  AB và theo giả thiết CD  AB vậy DH  AB; BH  AC và theo gỉa thiết BD  AC, vậy DH  AC Từ đó suy ra DH  BC, từ đó ta có mệnh

đề được chứng minh

+ Dùng phương pháp đi xuôi

Gọi H là trực tâm cửa tam giác ABC, ta có DH  AC, ngoài ra theo giả thiết

BD  AC, vậy DH  AC Ta lại có CD  AB và theo giả thiết CD  AB, vậy

2.1.4 Phương pháp chung để giải một bài tập toán học

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya (1975) về cách thức giải bài tập toán học đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn, ta

có phương pháp chung để giải bài tập toán học như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

+ Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài tập + Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

- Bước 2: Cách tìm lời giải

+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài tập cần giải với một bài tập cũ tương

tự, một trường hợp riêng, một bài tập tổng quát hơn hay một bài tập nào đó có liên

+ Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

- Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

- Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

+ Nghiên cứu giải bài tập tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD, SA  (ABCD), ABCD là hình vuông, AE  SB, AF 

SD Chứng minh: SC  (AEF)

Giải:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:

Giả thiết: Cho hình chóp S.ABCD, SA  mp(ABCD), ABCD là hình vuông,

BC  AB và BC  SA  

(Giả thiết) SA  mp(ABCD)

+ Bước 3: Trình bày lời giải:

( Bằng phương pháp chứng minh phân tích đi lên)

Ta có :

Hoàn toàn tương tự ta có SC  AF (2)

Từ (1) và (2)  ta có SC  (AEF)

+ Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

2.1.5 Các cách khai thác bài tập toán

2.1.5.1 Cấu tạo của một bài tập toán : gồm có ba bộ phận:

2.1.5.2 Khai thác bài tập mới trên cơ sở bài tập đã có

2.1.5.2.1 Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải

- Sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập, giáo viên có thể dựa vào bài tập đó mà nghĩ ra các bài tập tương tự với bài tập vừa giải Giáo viên lập đề toán theo kiểu

9

này là một biện pháp rất tốt để học sinh nắm vững các cách giải các bài toán cùng

loại, giúp học sinh nắm rõ hơn mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ

bản chất trong mỗi loại toán Nhờ thế mà học sinh hiểu bài tập này sâu sắc hơn rất

nhiều

- Bài tập có thể được lập mới từ bài tập đã cho thông qua các cách sau:

+ Thay đổi các số liệu đã cho

+ Thay đổi các đối tượng trong đề toán

+Thay đổi các quan hệ trong đề toán

+ Tăng hoặc giảm đối tượng trong đề toán

+Thay một trong những chỗ đã cho bằng một điều kiện gián tiếp

+ Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn

- Ví dụ:

Bài tập 31/sgk nâng cao hình học 11/trang 117:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Giải:

Ta có CD’  (ACD’) và BC’  (A’BC’),

mà (ACD’) // (A’BC’) và CD’, BC’

và (A’BC’) bằng khoảng cách giữa BC’ và CD’ Mặt khác, B’D cắt hai (ACD’) và (A’BC’) lần lượt tại G và G’ và

DG = GG’ = G’B’ Đường thẳng B’D có hình chiếu trên (ABCD) là DB mà

ACDB nên theo định lí ba đường vuông góc thì DB’  AC; cũng tương tự như

trên ta có BD’  AD’ Suy ra DB’  (ACD’)

- Các bài tập mới tương tự:

+ Thay đổi số liệu đã cho:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

( Giải tương tự và ta có kết quả d(BC’, CD’) = ' 2 3

+ Thay đổi các đối tượng trong đề toán:

Cho hình lập phương EFGH.E’F’G’H’ có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng FG’ và GH’

( Giải tương tự và ta thay BC’ bằng FG’ và CD’ bằng GH’ có kết quả

HF  a )

+ Tăng (hoặc giảm) đối tượng trong đề toán:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, điểm O là giao của AC và BD,O’ là giao của A’C’ và B’D’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

( Giải giống như bài tập ban đầu và chỉ thêm điểm O và O’ vào hình vẽ ta cũng có

kết quả là d(BC’, CD’) = ' 3

+ Thay một trong những chỗ đã cho bằng một điều kiện gián tiếp:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC’ và CD’ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

ấy

Giải:

Vì các cạnh đều bằng a nên CD’  C’D.Mặt khác AD  (CDD’C’) nên

CD’ AC’ và CD’  (AC’D)

Kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là

đường vuông góc chung của AC’ và CD’

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

+ Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn Hình 4

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a, có đáy ABCD là hình thoi và

60 nên chúng là các tam giác đều Nhƣ vậy:

Tứ diện A’ABD có các cạnh cùng bằng a hay A’ABD là tứ diện đều Khi đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng

tâm H của tam giác đều ABD

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD)

và (A’B’C’D’) chính là độ dài A’H Ta có :

2.1.5.2.2 Bài tập mới ngƣợc với bài tập đã giải

- Trong một bài tập nếu ta thay một trong những điều đã cho bằng đáp số của bài

tập và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta đƣợc một bài toán ngƣợc

- Đây cũng là một cách hay dùng để dựa vào các bài tập cũ mà đặt ra đề bài tập mới

bằng cách đảo ngƣợc bài tập đã biết

- Ví dụ :

Bài tập 5a/sgk nâng cao hình học 11/trang 91:

Trong không gian cho tam giác ABC

a Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà

x + y + z = 1 sao cho OMxOAyOBzOC với mọi điểm O

OMxOAyOBzOC với x + y + z = 1

+ Bài toán ngược:

Bài tập 5b/sgk nâng cao hình học 11/trang 91:

Trong không gian cho tam giác ABC

b Nếu có một điểm O trong không gian sao cho OMxOAyOBzOC, trong đó

x + y + z = 1 thì điểm M thuộc (ABC)

2.1.5.2.3 Khai thác bài tập hoàn toàn mới

- Trong thực tế giảng dạy có nhiều khi giáo viên phải khai thác những đề toán hoàn toàn mới nhằm phục vụ cho những yêu cầu giảng dạy của riêng mình Bởi vì không phải lúc nào sách giáo khoa và sách bài tập cũng có đủ loại bài tập để đáp ứng mọi nhu cầu trong lúc lên lớp Thực ra giáo viên có thể tìm tấy các đề toán ấy trong các loại sách khác song hiện nay sách tham khảo về môn Toán ở THPT có rất nhiều do đó: việc sưu tầm và tra cứu trong cả một “rừng sách” để tìm được một đề bài tập đáp ứng được nhu cầu giảng dạy của riêng mình nhiều khi tốn thời gian và chưa chắc đã thành công

13

Vì thế giáo viên chẳng những phải có kĩ năng khai thác đề toán mới tương tự với đề toán đã cho mà còn phải khai thác bài toán hoàn toàn mới dựa trên một số cách thức sau:

+ Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trước

+ Khai thác đề bài tập từ việc ráp nối các bài tập toán đơn và các bài tập điển hình

- Ví dụ:

+ Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trước

Trong thực tế muốn tìm khoảng cách từ một điểm bất kì từ sàn nhà tới mặt phẳng trần nhà ta chỉ cần kẻ hình chiếu vuông góc của điểm đó lên trần nhà, hình chiếu vuông góc ấy chính là khoảng cách cần tìm

Từ nội dung thực tế này có thể ra đề bài tập như sau:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, có AB = a, AD = b, AA’ = c

Tính khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’)

Bài 1:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình

chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC)

14

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình

chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn

Chứng minh tương tự ta được các góc BCA ACB , đều nhọn

Vậy các góc của tam giác ABC đều nhọn

Từ hai bài toán có cùng giả thiết ta có thể gộp thành một bài toán mới như sau : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC)

a Chứng minh rằng :BC (OAH)

b Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn

(Cách giải tương tự như trên)

2.1.5.2.4 Khai thác bài toán bằng cách khái quát hóa

- Có một hướng quan trọng để khai thác các bài toán mới là dựa trên một số trường hợp cụ thể, dùng phép quy nạp không hoàn toàn để nhận xét và rút ra giả thuyết; rồi dùng phương pháp thử, chọn để thử xem giả thuyết đó có đúng không? Nếu đúng thì đề ra bài tập mới và tìm cách giải

- Ví dụ:

Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về vectơ để chứng minh một số tính chất hình học Người thầy giáo cần tận dụng những cơ hội có thể để học sinh được rèn luyện về phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, chẳng hạn khái quát hóa sự kiện:

+ Ba vectơ , , đồng phẳng khi tồn tại bộ ba

A

M

G

15

số m, n ,p sao cho: xma nb  pc

+Sử dụng các quy tắc và tính chất của vectơ

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AB và CD Chứng tỏ rằng

Cho đa diện A A A A1 2 3 4 A n Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của đa diện

2.1.6 Tìm hiểu nội dung chủ đề "Quan hệ vuông góc"(Hình học 11)

2.1.6.1 Nội dung chương trình

Chương: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 2 Hai đường thẳng vuông góc ( 2 tiết )

2.1.6.2 Mục đích yêu cầu của việc giảng dạy HHKG

2.1.6.2.1 Kiến thức

+ Nắm vững được khái niệm, tính chất của từng quan hệ vuông góc

+ Nắm vững các bước chứng minh một bài tập hình bằng phương pháp tổng hợp hay phân tích

2.1.6.2.4 Tư tưởng

+ Bồi dữơng thế giới quan khoa học

+ Giúp học sinh nhìn nhận sự vật, hiện tựơng trong không gian và quan hệ của các phần tử trong nó

2.1.6.3 Phương pháp giải bài toán HHKG

- Để giải bài toán HHKG thì trước tiên học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản và quan hệ vuông góc: Định nghĩa và các tính chất của từng quan hệ vuông góc

cụ thể, đồng thời có đầy đủ các kỹ năng: Vẽ hình và nhìn hình

- Phân tích đề bài tìm các yếu tố đã biết và chưa biết, tìm các thành phần chính của bài toán

2.1.7.1 Vectơ trong không gian

2.1.7.1.1 Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

+ Cho hai vectơ a b ,

Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, vẽ ABa , BCb Vectơ AC

được gọi là tổng của hai vectơ a

2.1.7.1.2 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

2.1.7.1.2.1 Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Cho ba vectơ a b c  , ,

đều khác 0

trong không gian Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ , ,

OAa OB b OC c Khi đó xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, ta nói ba vectơ a b c  , ,

2.1.7.1.2.3 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Định lý 1: Trong không gian cho

hai vectơ không cùng phương a b ,

đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số

m, n sao cho cma nb  Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất Hình 7.1.4.3

2.1.7.1.2.4 Phân tích ( biểu thị ) của một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Định lý 2: Cho a b c  , ,

là ba vectơ không đồng phẳng.Với mọi vectơ x

trong không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho : xma nb pc

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b Hình 7.2.1

là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua

một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với a và b

2.1.7.2.2 Hai đường thẳng vuông góc

Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng

bằng 90o

2.1.7.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

2.1.7.3.1 Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa : Một đường thẳng được gọi là

vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai Hình 7.3.1 đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong

19

P

a

b

với một đường thẳng a cho trước

Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng d đi qua một điểm O cho trước và vuông góc

với một mặt phẳng (P) cho trước

Hình 7.3.2b 2.1.7.3.3 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 2.1.7.3.3.1 Tính chất 3 a, Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai

đường thẳng song song thì cũng vuông góc

với đường thẳng còn lại

b, Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông

góc với một mặt phẳng thì song song với nhau Hình 7.3.3.1 2.1.7.3.3.2 Tính chất 4 a, Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại b, Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau Hình 7.3.3.2 2.1.7.3.3.3 Tính chất 5

a, Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P)

song song với nhau Đường thẳng nào

vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a

b, Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng

(không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc

với một đường thẳng thì chúng song song với nhau Hình 7.3.3.3

2.1.7.3.4 Định lí ba đường vuông góc

2.1.7.3.4.1 Phép chiếu vuông góc

Q

a b

R

d

O

P

b

P

a

P

Q

Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc

với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)

2.1.7.3.4.2 Định lí ba đường vuông góc

Định lí 2: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng

b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc

với hình chiếu a' của a trên (P)

2.1.7.3.4.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa 3: a,Nếu đường thẳng a vuông góc

với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa

2.1.7.4.1.2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt nhau theo

giao tuyến c Từ một điểm I bất kì trên c ta

dựng trong () đường thẳng a vuông góc với

c và dựng trong () đường thẳng b vuông góc với c Hình 7.4.1.2

21

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa hai đường thẳng a và b

2.1.7.4.2 Diện tích hình chiếu của một đa giác

Định lí 1: Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng () có diện tích S và H' là hình chiếu vuông góc của h trên mặt phẳng ()

Khi đó diện tích S' của h' được tính theo công thức :

Với  là góc giữa () và ()

2.1.7.4.3 Hai mặt phẳng vuông góc

2.1.7.4.3.1 Định nghĩa 2: Hai mặt gọi là vuông góc với nhau

nếu góc giữa chúng bằng 90o Khi hai mặt phẳng Hình 7.5.1.2

(P) và (Q) vuông góc với nhau thì ta còn nói gọn hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc

vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng a Hình 7.5.1 3

nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến

của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q)

2.1.7.4.3.5 Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P)

thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với

2.1.7.4.3.6 Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau

và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao

tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

2.1.7.4.3.7 Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) Hình 7.5.1.5 vuông góc với mặt phẳng (P)

2.1.7.4.4 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

hình chóp đều nếu đáy của nó

là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

Đường thẳng vuông góc với mặt Hình 7.5.5.1

đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp

2.1.7.4.5.2 Định nghĩa 5: Khi cắt hình chóp đều

bởi một mặt phẳng song song với đáy

để được một hình chóp cụt thì

hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều

Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi

là đường cao của hình chóp cụt đều

Hình 7.5.5.2

2.1.7.5 Khoảng cách

2.1.7.5.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , đến một đường thẳng Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm

M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến

đường thẳng a) là khoảng cách

giữa hai điểm M và H,

trong đó H là hình chiếu của M

trên mặt phẳng (P)(hoặc trên đường thẳng a) Hình 7.6.1

25

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được kí hiệu là : d(M;(P)) Khoảng

cách từ điểm M đến đường thẳng a được kí hiệu là : d(M;(a))

2.1.7.5.2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song giữa hai mặt

2.1.7.5.2.2 Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song là khoảng cách ừ một điểm bất kì của

mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

(P) và (Q) là d((P);(Q)) thì d((P);(Q)) = d(A;(Q)) = d(C;(P)), Hình 7.6.2.2

trong đó A là một điểm nào đó thuộc (P) và C là một điểm nào đó thuộc (Q)

2.1.7.5.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, c là đường

thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b

Thuật ngữ: Đường thẳng c gọi là đường vuông

góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b Hình 7.6.3a

Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn

thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng đó

Nhận xét:

1, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng

đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường

thẳng còn lại

2, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

lần lượt chứa hai đường thẳng đó Hình 7.6.3b

2.1.8 Kết luận

Qua cơ sở lí luận cũng như các bài tập ví dụ và các kiến thức cơ bản trong chương “ Quan hệ vuông góc” ta thấy rằng hình học không gian là một môn học khó Khi giải bài tập ở phần này, học sinh thường chỉ sử dụng các cách giải khác nhau và chưa có phương pháp giải chung cho một dạng bài tập nên gặp rất nhiều khó khăn Từ đó dẫn đến một thực tế là học sinh ngại môn hình học không gian Dạy học toán ở trường phổ thông chính là dạy học các hoạt động toán học, trong đó hình thức hoạt động của toán học chủ yếu của học sinh là giải bài tập toán Nhưng khi vận dụng giải bài tập hình học không gian học sinh thường rất lúng túng.Vì vậy, em muốn khai thác và đi sâu vào tìm hiểu các dạng toán trong chương“Quan hệ vuông góc” (Hình học 11) nhằm hỗ trợ phần nào trong việc giảng dạy của giáo viên và giúp học sinh tiếp cận các khái niệm, các định lí cũng như việc áp dụng vào giải bài tập của hình học không gian một cách dễ dàng, chính xác hơn Tạo cho học sinh hứng thú và thực sự yêu thích hình học không gian, tích cực suy nghĩ, độc lập, sáng tạo trong học tập, phát huy được trí tưởng tượng không gian, nâng cao khả năng tư duy và khả năng nhận thức Rèn luyện được kĩ năng tính toán, vận dụng công thức một cách linh hoạt, chính xác

+ Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, quy tắc trung

điểm, trọng tâm của tam giác, trọng tâm của tứ diện

+ Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ

Để thực hiện phép biến đổi tương đương vế này thành vế kia và ngược lại

2.2.1.1.2 Ví dụ

Bài tập 1:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi P, R theo

thứ tự là trung điểm của AB, A’D’ , gọi P’,

Q, Q’, R’ theo thứ tự là giao điểm của

các đường chéo của các mặt ABCD, CDD’C’,

A’B’C’D’, ADD’A’.Chứng minh rằng : Hình 1 ' ' ' 0

P’

R

+ Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải:

Bài tập 4/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Bài tập 6/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho hình tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng :   DA DB DC  3DG

+ Khai thác bài tập hoàn toàn mới:

Bài tập 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi P, R theo thứ tự là trung điểm của AB, A’D’ , gọi P’, Q, Q’, R’ theo thứ tự là giao điểm của các đường chéo của các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’.Chứng minh rằng hai tam giác PQR và P’Q’R’ có trọng tâm trùng nhau

+ Khai thác bài tập khái quát hóa:

là hai vectơ không cùng phương

+ Để chứng minh ba vec tơ không đồng phẳng ta đi chứng minh:

ma nb pc    m n p

2.2.1.2.2 Ví dụ

Bài tập 9/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mp(ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M

sao cho MS 2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 1

2

NB NC

 

Chứng minh rằng ba vectơ   AB MN SC, ,

Bài tập 10/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của

BH và DF Chứng minh ba vectơ AC KE FG, ,

  

đồng phẳng

+ Khai thác bài tập hoàn toàn mới:

Bài tập 8/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'a AB,b AC,c

Hãy phân tích (hay biểu) thị các vectơ ' ,B C BC ' qua các vectơ , ,a b c  

+ Khai thác bài toán bằng cách khái quát hóa:

Bài tập 8/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 96:

a Cho vectơ n n  0 và hai vectơ , a b không cùng phương Chứng minh rằng

nếu vectơ n vuông góc với cả hai vectơ ,a b 

thì ba vectơ , ,n a b  

không đồng phẳng

b Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ n0 thì đồng phẳng Từ

đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng

2.2.1.3 Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Chứng minh:  

 

a

a b b

+ Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải:

Bài tập 4/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 98:

Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh

AC, CB, BC’, C’A chứng minh rằng:

C

B

S

A

a ABCC'

b Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Bài tập 8/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 98:

60

BACBAD Chứng minh rằng:

a ABCD

b Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN AB và MN CD

+ Bài tập mới ngược với bài tập đã giải:

Bài tập 10/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 96:

Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu      AB AC AC AD AD AB thì

ABCD ACBD ADBC Điều ngược lại có đúng không?

2.2.1.4 Dạng 4: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

33

Bài tập 2/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 104:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy

BC Gọi I là trung điểm của cạnh BC

a Chứng minh rằng BC ADI

b Gọi AH là đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH BCD

Giải:

a Vì I là trung điểm cạnh đáy BC

của các tam giác cân ABC và DBC Hình 4

  và DI BC BCADI(đpcm)

b Theo chứng minh câu a BCADI và AH ADI BC AH

Thêm nữa AHDI, mà DI và BC là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (BCD) Vậy AH BCD

2.2.1.4.3 Khai thác:

+ Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải:

Bài tập 18/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 103:

Cho hình chóp S.ABC có SAABC, các tam giác ABC và SBC không vuông Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng: