Khai thác bài tập chủ đề quan hệ vuông góc (hình học 11)

PHẦN I - MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hoạt động giải toán hoạt động mà thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Toán học Do đòi hỏi ngƣời thầy giáo - ngƣời giữ vai trò chủ đạo hoạt động dạy học phải có phƣơng pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao hiệu trình nhận thức học sinh, đáp ứng yêu cầu mục tiêu dạy học Để góp phần làm đƣợc điều đó, giáo viên cần lựa chọn kiến thức bản, trọng tâm học, xây dựng hệ thống câu hỏi, tập củng cố kiến thức, đƣa học sinh vào tình có vấn đề Hình học phân môn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính lôgic tính trừu tƣợng hóa cao so với phân môn khác Toán học, nói hình học phân môn khó môn Toán nhiều học sinh, đặc biệt phần hình học không gian lớp 11, có chƣơng “Quan hệ vuông góc” Về mặt lí thuyết, định nghĩa tính chất phân môn hình học rõ ràng, ngắn gọn, xác Tuy nhiên để làm tập học sinh lúng túng, ngộ nhận Vì cần đƣa cho học sinh tập vận dụng để giúp học sinh củng cố lí thuyết, rèn luyện kĩ năng, sáng tạo sở điều biết Vì lí mà em chọn đề tài : “Khai thác tập chủ đề “Quan hệ vuông góc” (Hình học 11)” 1.2 Mục tiêu - nhiệm vụ nghiên cứu 1.2.1 Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận chung tập toán học - Nghiên cứu chủ đề quan hệ vuông góc hình học không gian lớp 11 THPT - Khai thác tập chủ đề “Quan hệ vuông góc” 1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận nhằm xây dựng hệ thống tập phục vụ giảng dạy chƣơng " Quan hệ vuông góc" hình học không gian lớp 11 THPT PHẦN II – NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN 2.1.1 Bài tập toán học Bài tập toán học có vai trò quan trọng môn Toán Điều tập có vai trò giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Toán học Hoạt động học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung phƣơng pháp dạy học, vai trò tập toán học đƣợc thể ba bình diện này: Thứ nhất, bình diện mục tiêu dạy học, tập toán học trƣờng phổ thông giá mang hoạt động mà việc thực hoạt động thể mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, tập thể chức khác hƣớng đến việc thực mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là: + Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo khâu khác trình dạy học, kể kĩ ứng dụng Toán học vào thực tiễn + Phát triển lực trí tuệ: Rèn luyện hoạt động tƣ duy, hình thành phẩm chất trí tuệ + Bồi dƣỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức ngƣời lao động Thứ hai, bình diện nội dung dạy học, tập Toán học giá mang hoạt động liên hệ với nội dung định, phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức đƣợc trình bày phần lí thuyết Thứ ba, bình diện phƣơng pháp dạy học, tập toán học giá mang hoạt động để ngƣời học kiến tạo tri thức định sở thực mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt tập nhƣ góp phần tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo đƣợc thực độc lập giao lƣu Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với dụng ý khác phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố kiểm tra,…Đặc biệt mặt kiểm tra, tập phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết dạy học, khả làm việc độc lập trình độ phát triển học sinh,… 2.1.2 Vai trò, ý nghĩa tập toán 2.1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, môt tập toán học chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải tập đòi hỏi ta phải phân tích kiện tập, huy động kiến thức cho đề kiến thức biết có liên quan đến tập, tổng hợp lại để đề kiến thức Và nhƣ kiến thức đƣợc tìm lại kiến thức biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để đề kiến thức Cuối đến đƣợc lời giải tập Nhƣ vậy, giải tập toán học kiến thức có tập, mà hệ thống kiến thức liên quan tới tập đƣợc củng cố qua lại nhiều lần 2.1.2.2 Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật môn toán môn khoa học suy diễn, đƣợc xây dựng phƣơng pháp tiên đề Do vậy, lời giải tập toán học hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải tập có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng suy luận lôgic : Suy luận có đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn Chúng ta biết phƣơng pháp chung để giải đƣợc tập toán học Mỗi tập có hình, vẻ khác nhau, muốn tìm đƣợc lời giải tập phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ với vấn đề tƣơng tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá Nhƣ vậy, qua việc giải tập toán học, lực tƣ sáng tạo đƣợc rèn luyện phát triển 2.1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải đƣợc tập đặt lĩnh vực khoa học Trong dạy học khái niệm toán học: Bài tập toán học đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình nhằm dẫn dắt học sinh đến định nghĩa khái niệm, tập đƣợc sử dụng để làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài tập toán học đƣợc sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm Trong dạy học định lý toán học: Bài tập toán học sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát triển nội dung định lí toán học; Bài tập sử dụng để học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt việc tổ chức hƣớng dẫn hoc sinh tập tìm lời giải cho tập bản, có nhiều ứng dụng phần hay chƣơng môn học Trong luyện tập toán học: Bài tập toán học phƣơng tiện chủ yếu tiết luyện tập, ôn tập Trong đó, giáo viên phải xây dựng đƣợc hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 2.1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học Điểm tính cách ngƣời : Mọi hoạt động có mục đích rõ ràng giải tập ta có định hƣớng mục đích rõ rệt, việc giải tập góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động ngƣời Để giải tập tập khó, ngƣời giải phải vƣợt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại nhiều phải tâm lớn giải đƣợc tập Hoạt động giải tập nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách ngƣời 2.1.3 Phƣơng pháp tìm lời giải tập toán học 2.1.3.1 Phương pháp xuôi Xuất phát từ giả thiết tập toán học đƣợc lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp lôgic tìm hệ lôgic tiền đề Tiếp tục chọn lọc để lấy hệ gần gũi với kết luận tập làm tiền đề Lại suy luận hợp lôgic tìm hệ hợp lôgic gần gũi với kết luận Cứ tiếp tục trình tìm đƣợc hệ lôgic trùng với kết luận tập toán học Khi ta tìm đƣợc lời giải cho tập Phƣơng pháp đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: AC  X B  D (trong A,C giả thiết, X kết luận) 2.1.3.2 Phương pháp ngược Đó trình xuất phát từ kết luận tập Bằng suy luận hợp lôgic ngƣợc lên để tìm tiền đề logic kết luận Tiếp tục, chọn lọc để lấy tiền đề gần gũi với giả thiết kết luận Quá trình đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc tiền đề lôgic trùng với giả thiết tập, ta đƣợc lời giải tập Phƣơng pháp đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: C  A X  D  B A (trong A,C giả thiết, X kết luận) 2.1.3.3 Ví dụ Ta cần chứng minh mệnh đề sau : “ Nếu tứ diện ABCD ta có AB AC BD ta có AD H C CD X D BC” Giải: B + Dùng phƣơng pháp ngƣợc Hình Muốn chứng minh AD BC, ta cần tìm đƣợc điểm X cho AX  BC và DX  BC Nếu gọi H trực tâm tam giác ABC ta có AH  BC Ta thử xem DH có vuông góc với BC hay không? Chú ý CH  AB theo giả thiết CD  AB DH  AB; BH  AC theo gỉa thiết BD  AC, DH  AC Từ suy DH  BC, từ ta có mệnh đề đƣợc chứng minh + Dùng phƣơng pháp xuôi Gọi H trực tâm cửa tam giác ABC, ta có DH  AC, theo giả thiết BD  AC, DH  AC Ta lại có CD  AB theo giả thiết CD  AB, DH  AB DH  AC DH  AB nên DH  BC Ta lại AH  BC, AD  BC + Kết hợp hai phƣơng pháp Thông thƣờng để giải đựoc tập, ta phải kết hợp hai phƣơnng pháp xuôi ngƣợc 2.1.4 Phƣơng pháp chung để giải tập toán học Dựa tƣ tƣởng tổng quát với gợi ý chi tiết Pôlya (1975) cách thức giải tập toán học đƣợc kiểm nghiệm thực tiễn, ta có phƣơng pháp chung để giải tập toán học nhƣ sau: - Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề + Phát biểu đề dƣới dạng thức khác để hiểu rõ nội dung tập + Phân biệt cho phải tìm, phải chứng minh + Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề - Bƣớc 2: Cách tìm lời giải + Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ tập cần giải với tập cũ tƣơng tự, trƣờng hợp riêng, tập tổng quát hay tập có liên quan, sử dụng phƣơng pháp đặc thù với dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v, + Kiểm tra lời giải cách xem lại kĩ bƣớc thực đặc biệt hóa kết tìm đƣợc đối chiếu kết với số tri thức có liên quan, + Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí - Bƣớc 3: Trình bày lời giải Từ cách giải đƣợc phát hiện, xếp việc phải làm thành chƣơng trình gồm bƣớc theo trình tự thích hợp thực bƣớc - Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải + Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải + Nghiên cứu giải tập tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, SA  (ABCD), ABCD hình vuông, AE  SB, AF  SD Chứng minh: SC  (AEF) Giải: + Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài: Giả thiết: Cho hình chóp S.ABCD, SA  mp(ABCD), ABCD hình vuông, S AE  SB, AF  SD Kết luận: SC  mp (AEF) + Bƣớc 2: Sơ đồ phân tích tìm lời giải : F D SC  mp(AEF)  SC  AE  AE  mp(SBC)  (Giả thiết) C E SC  AF A  B Hình AF  mp(SBC)  BC  mp(SAB)  BC  AB BC  SA  (Giả thiết)  SA  mp(ABCD) + Bƣớc 3: Trình bày lời giải: ( Bằng phƣơng pháp chứng minh phân tích lên) Ta có : Mà AE SC (1) Hoàn toàn tƣơng tự ta có SC  AF (2) Từ (1) (2)  ta có SC  (AEF) + Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải 2.1.5 Các cách khai thác tập toán 2.1.5.1 Cấu tạo tập toán : gồm có ba phận: - Những cho - Cái phải tìm - Các mối quan hệ Sơ đồ mối tƣơng quan ba phận tập toán ba phận phép 2.1.5.2 Cái cho Thành phần Cái phải tìm Kết Quan hệ Các phƣơng pháp giải Phép tính giải Bài tập tính giải Khai thác tập sở tập có 2.1.5.2.1 Các tập tƣơng tự với tập giải - Sau học sinh giải xong tập, giáo viên dựa vào tập mà nghĩ tập tƣơng tự với tập vừa giải Giáo viên lập đề toán theo kiểu biện pháp tốt để học sinh nắm vững cách giải toán loại, giúp học sinh nắm rõ mối quan hệ đại lƣợng quan hệ chất loại toán Nhờ mà học sinh hiểu tập sâu sắc nhiều - Bài tập đƣợc lập từ tập cho thông qua cách sau: + Thay đổi số liệu cho + Thay đổi đối tƣợng đề toán +Thay đổi quan hệ đề toán + Tăng giảm đối tƣợng đề toán +Thay chỗ cho điều kiện gián tiếp + Thay đổi câu hỏi tập câu hỏi khó - Ví dụ: A Bài tập 31/sgk nâng cao hình học 11/trang 117: B Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BC’ CD’ D Giải: G C G’ A’ B’ Ta có CD’  (ACD’) BC’  (A’BC’), mà (ACD’) // (A’BC’) CD’, BC’ D’ chéo nên khoảng cách hai (ACD’) C’ Hình (A’BC’) khoảng cách BC’ CD’ Mặt khác, B’D cắt hai (ACD’) (A’BC’) lần lƣợt G G’ DG = GG’ = G’B’ Đƣờng thẳng B’D có hình chiếu (ABCD) DB mà AC  DB nên theo định lí ba đƣờng vuông góc DB’  AC; tƣơng tự nhƣ ta có BD’  AD’ Suy DB’  (ACD’) Nhƣ d(BC’, CD’) = DB ' a  3 - Các tập tương tự: + Thay đổi số liệu cho: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh 2a Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BC’ CD’ ( Giải tƣơng tự ta có kết d(BC’, CD’) = DB ' 2a  ) 3 + Thay đổi đối tượng đề toán: Cho hình lập phƣơng EFGH.E’F’G’H’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng FG’ GH’ ( Giải tƣơng tự ta thay BC’ FG’ CD’ GH’ có kết d(FG’, GH’) = HF ' a  ) 3 + Tăng (hoặc giảm) đối tượng đề toán: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, điểm O giao AC BD,O’ giao A’C’ B’D’ Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BC’ CD’ ( Giải giống nhƣ tập ban đầu thêm điểm O O’ vào hình vẽ ta có kết d(BC’, CD’) = DB ' a  ) 3 + Thay chỗ cho điều kiện gián tiếp: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tìm đƣờng vuông góc chung đƣờng thẳng AC’ CD’ Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng Giải: Vì cạnh a nên CD’  C’D.Mặt khác AD  (CDD’C’) nên CD’  AC’ CD’  (AC’D) A D Kẻ IJ vuông góc với AC’ J IJ đƣờng vuông góc chung AC’ CD’ B C Ta tính khoảng cách AC’ CD’ Dễ thấy I J IJ IC ' C'D Suy IJ  AD  AD AC ' AC ' 10 A’ B’ D’ C’ Tƣơng tự SO  AC    SO  ( ABCD) SO  BD  Tức SO    (đpcm) b Theo chứng minh câu a SO     SO  AB Lại có SH  AB  AB   SOH  (đpcm) Hình 10 Bài tập 3/Sgk Hình học 11/ Trang 113: Trong mặt phẳng   cho tam giác ABC vuông B Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng   A Chứng minh rằng: a  ABD góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) b Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD) Giải: ( Hình 11) D a Để xác định góc hai mặt phẳng ta xác K định mặt phẳng vuông góc với giao tuyến H hai mặt phẳng ban đầu Góc hai giao A tuyến mặt phẳng thứ ba với hai mặt phẳng C ban đầu góc cần xác định B Ta thấy : Hình 11 BC giao tuyến mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (DBC) Mặt khác: AD   ABC   AD  BC Do  AB  BC  BC   ABD  53 tam giác ABC vuông B Giao tuyến mặt phẳng (ABD) với mặt phẳng (ABC) (DBC) lần lƣợt AB BD Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) góc ABD (đpcm) b Theo chứng minh BC   ABD  mà BC   BCD    ABD    BCD  c Trong mặt phẳng (ABC) vẽ AH  BD ( H  BD) Trong mặt phẳng (DBC) vẽ HK / / BC ( K  DC ) Ta chứng minh mặt phẳng (AHK) mặt phẳng (P) mà cho Thật vậy, Theo chứng minh BC   ABD  HK / / BC ( cách dựng)  HK  ( ABD)  HK  BD Mặt khác AH  BD ( cách dựng) , từ suy  BD  ( AHK )  mặt phẳng (AHK) mặt phẳng (P) hay nói cách khác HK / / BC với H, K giao điểm (P) với DB DC Bài tập 6/Sgk Hình học 11/ Trang 114: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA  SB  SC  a Chứng minh rằng: d Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) e Tam giác SBD tam giác vuông S Giải: ( Hình 12) a Vì ABCD hình thoi  AC  BD (1) Gọi O giao điểm AC BD D  O trung điểm AC C Vì SA  SC  SAC cân đỉnh S  SO  AC (2) O A Từ (1) (2)  AC  ( SBD) 54 B mà AC  ( ABCD)  ( ABCD)  ( SAC ) (đpcm) Hình 12 b Ta có:  BOC vuông O  OB  OC  BC  a (1)  SOC vuông O  OS  OC  SC  a (2) Từ (1) (2)  OB  OS  OB  OS  BD Mà O trung điểm BD nên tam giác SBD có trung tuyến SO nửa cạnh đáy BD Vậy tam giác SBD vuông S (đpcm) Bài tập 11/Sgk Hình học 11/ Trang 114: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 , cạnh SC  a SC vuông với mặt phẳng (ABCD) a Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA K Hãy tính độ dài IK   900 từ suy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt c Chứng minh BKD phẳng (SAD) Giải: ( Hình 13) a Vì ABCD hình thoi  AC  BD (1) Theo giả thiết SC  ( ABCD)  SC  BD (2) S Từ (1) (2)  BD  (SAC ) Mà  BD  (SBD)  (SAC )  ( SBD) (đpcm) K b Vì ABCD hình thoi cạnh a có A  600   600 ; B  D   1200 C D A  AC  BC  BA2  BC.BA.cos1200 =2a  a  3a I  AC  a C Trong tam giác vuông CSA có: B Hình 13 55 SA2  SC  CA2   SA  6a 18a  3a  4 3a 2 a a AI IK AI SC a Vì AIK  ASC ( g.g )    IK   AS SC AS 3a 2 Vậy IK  a c Vì A  600 AB  AD  a  ABD  BD  a Tam giác KBD có KI  IB  ID  Nhận xét : BD  ( SAC ) a   600  KBD vuông K hay KBD SA  ( SAC )  BD  SA mà Hơn IK  SA  SA  ( KBD)  Mà SA giao tuyến (SAB) (SAD) suy BKD góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SAD) Vậy ( SAB)  ( SAD) (đpcm) Bài tập 28/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 112: Cho tam giác ABC mặt phẳng (P) Biết góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (ABC)    900  ; hình chiếu tam giác ABC mặt phẳng (P) tam giác A’B’C’ Chứng minh rằng: S A' B 'C '  S ABC cos  , kí hiệu S A ' B 'C ' S ABC lần lƣợt diện tích tam giác A’B’C’ tam giác ABC A Giải: + Trƣờng hợp 1: Tam giác ABC có cạnh, chẳng hạn BC nằm mặt phẳng (P)(Hình 14a) Gọi A’ hình chiếu A mặt phẳng (P) A’ Kẻ đƣờng cao A’H tam giác A’BC ( H  BC ) B AH đƣờng cao tam giác ABC H P 56 C AHA '   , A ' H  AH cos   2 Ta có : S A' BC  BC AH '  BC AH cos   S ABC cos  Hình 14 a + Trƣờng hợp 2: cạnh BC tam giác ABC song song với mặt phẳng (P) (Hình A 14b).Xét mặt phẳng (Q) chứa BC song song với mặt phẳng (P), gọi giao điểm AA’ B với mặt phẳng (Q) A” Khi đó, dễ thấy: A’’ H A" BC  A ' B ' C ' ; C góc mặt phẳng(ABC) mặt phẳng (Q)  Do đó: B’ S A' B 'C '  S A" BC  S ABC cos  A’ C’ P + Trƣờng hợp : Tam giác ABC cạnh song song hay nằm mặt phẳng (P) Hình 14 b Ta giả sử mặt phẳng (P) qua điểm A cho đỉnh B, C phía mặt phẳng (P) (Hình 14c) Gọi D giao điểm đƣờng thẳng BC mặt phẳng (P) ; B’, C’ lần lƣợt hình chiếu B, C mặt phẳng (P) B’C’ qua D Khi theo trƣờng hợp ta có: C S ADC '  S ADC cos  S AB 'C  S ADB cos  B C’ A Trừ vế hai đẳng thức ta có: B’ S AB 'C '  S ABC cos  P Nhƣ trƣờng hợp, ta có : D Hình 14 c S A ' B 'C '  S ABC cos  Bài tập 27/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 112: Cho hai tam giác ACD, BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với AC  AD  BC  BD  a, CD  2x Gọi I, J lần lƣợt trung điểm AB CD a Tính AB, IJ theo a x b Với giá trị x hai mặt phẳng 57 (ABC) (ABD) vuông góc? Giải: ( Hình 15) a Vì J trung điểm CD mà AC = AD nên AJ  CD Do mp( ACD)  mp( BCD) nên AJ  mp( BCD) A Mặt khác AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân, suy AB  AJ , AJ  a  x hay AJ  a  x I Vậy AB  2(a  x ) với a  x D C Do IA = IB, tam giác AJB vuông J nên JI  AB , tức JI  J (a  x ) B b Rõ ràng CI DI vuông góc với AB Hình 15   900  IJ  CD  Vậy ( ABC )  ( ABD)  CID 1 a  a  x   x  x  2 Bài tập 23/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 111: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a Chứng minh AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) (B’CD’) b Cắt hình lập phƣơng mặt phẳng trung trực AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành lục giác Tính diện tích thiết diện Giải: ( Hình 16) B M C        a Ta có: AC '  AB  AD  AA ' BD  AD  AB        Vậy AC '.BD  AB  AD  AA ' AD  AB     D A S   Tƣơng tự ta có AC '.BA '  Vậy AC '  ( A ' BD) B’ P C’ R Do  A ' BD  / /  B ' CD ' nên AC '  ( B ' CD ') 58 A’ Q D’ b Gọi M trung điểm BC MA = MC’ ( Hình 16 a ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực   AC’ Tƣơng tự, ta chứng minh đƣợc N, P, Q, R, S có tính chất (N, P, Q, R, S lần lƣợt trung điểm CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B.) Vậy thiết diện hình lập phƣơng bị cắt   MNPQRS Dễ thấy tam giác có cạnh a Từ ta tính đựoc diện tích thiết diện : 2 a 2 3 S    a    Bài tập 25/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 111: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) (Q) có giao tuyến  Lấy A, B thuộc  lấy C   P  , D   Q  cho AC  AB, BD  AB AB  AC  BD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng   đI qua điểm A vuông góc với CD Tính diện tích thiết diện AB  AC  BD  a Giải: ( Hình 17) a Gọi I trung điểm BC AI  BC Do BD  ( ABC ) nên AI  CD ( định lí ba đƣờng vuông góc) Trong mặt phẳng (CDB) ,kẻ IJ vuông góc với CD ( J  CD ) mặt phẳng (AIJ) mặt phẳng D   thiết diện phải tìm tam giác AIJ Q Dễ thấy AIJ tam giác vuông I A Vậy S AIJ  B J AI IJ I P C 59 Ta có AI  BC  Vậy S a Hình 17 a a a2   AIJ 2 12 Bài tập 10/Sgk Hình học 11/ Trang 114: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a gọi O tâm hình vuông ABCD a Tính độ dài đoạn thẳng SO b Gọi M trung điểm đoạn SC chứng minh hai mặt phẳng (MBD) SAC vuông góc với S a2 IJ CI CI a   IJ  DB   DB CD CD a c Tính độ dài đoạn OM tính góc M hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) Giải: ( Hình 18) D a Ta có : AC  BD  a  AO  a 2 C O B A  SO  SA2  AO  a  Hình 18 2a a  b Vì cạnh bên cạnh đáy a nên tam giác SBC SDC tam giác đều.M trung DM  SC  SC   MBD  ; 60 điểm SC  BM  SC Mà SC   SAC    MBD    SAC  (đpcm) c Vì BM đƣờng cao tam giác cạnh a  BM  a Trong tam giác vuông OMH ta có: OM  MB  OB  Lại thấy : 3a 2a a 4 AC  BD    BD   SAC  ; mà BD giao tuyến mặt phẳng (MBD) SO  AC  mặt phẳng (ABCD) nên góc MOC góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) Trong tam giác vuông OSC có : OM  MS  MC  SC a  2   450  MOC tam giác vuông cân  MOC Bài tập 24/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 111: cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a SA  ( ABCD), SA  x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60 Giải: ( Hình 19) Gọi O giao điểm AC BD S Trong mặt phẳng (SAC) kẻ O O1 vuông góc với SC, dễ thấy mặt phẳng (B O1 D) vuông góc với SC Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) O1 A góc hai đƣờng thẳng B O1 D O1 Mặt khác O O1  BD, O O1 < OC mà D O  O  450 OC = OB nên BO B 61 C  O  450 , tức BO  D  900 Tƣơng tự DO 1 Hình 19 Nhƣ vậy, hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60  D  1200  BO  O  600 ( BO D cân O ) BO 1 1  BO  OO1 tan 600  BO  OO1   Ta lại có OO1  OC sin OCO  OC sin ACS  OC Nhƣ BO  OO1  BO  3.OC SA SC SA  SC  3.SA SC  x  2a  3.x  x  a Vậy x = a hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60 Bài tập 34/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 118: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB  2a, BC  a Các cạnh bên hình chóp a a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD) b Gọi E F lần lƣợt trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đƣờng thẳng AD Chứng minh khoảng cách hai đƣờng thẳng EF SK không phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a Giải: ( Hình 20) a Vì SA  SB  SC  SD  a nên hình chiếu điểm S mặt phẳng (ABCD) điểm H mà HA  HB  HC  HD Do ABCD hình chữ nhật nên H giao điểm AC BD Khoảng cách S từ S đến mặt phẳng (ABCD) SH Ta có: J 62 F D C I K H A B E AC AB  BC = 2a  4a  a 3a 2 = 2a   4 SH  SA2  Tức SH  a Hình 20 b.Vì EF = AD nên EF // (SAD), mặt khác SK nằm mặt phẳng (SAD) nên khoảng cách EF SK khoảng cách EF mặt phẳng (SAD), khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAD) Vậy khoảng cách EF SK không phụ thuộc vào vị trí điểm K đƣờng thẳng AD Tính d(EF; SK): Gọi O trung điểm AD, kẻ đƣờng cao HJ tam giác vuông SHI HI  ( SAD) , d(H; (SAD)) = HJ Ta có: HJ SI  SH HI SI  SA2  AI  2a  a 7a  4 a a SH HI a 21 Từ HJ    SI a Nhƣ vậy, khoảng cách EF SK không phụ thuộc vào vị trí điểm K đƣờng thẳng AD a 21 Bài tập 5/Sgk Hình học 11/ Trang 119: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ a Chứng minh B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’) 63 b Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) (ACD’) c Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BC’ CD’ Giải: ( Hình 21) a Vì ABB’A’ hình vuông nên A ' B  AB ' lại thấy AD  ( ABB ' A ')  AD  A ' B  A ' B   ADB '  A ' B  DB ' B C (1) Do A’B’C’D’ hình vuông A D  A ' C '  B ' D ', DD '  ( A ' B ' C ' D ')  DD '  A ' C '  A ' C '  ( DB ' D ')  A ' C '  B ' D (2) K B’ Từ (1) (2) suy B ' D  ( A ' C ' B) b Gọi H K lần lƣợt giao điểm C’ H A’ B’D với mặt phẳng (BA’C’) mặt phẳng (ACD’) D’ Hình 21 Ta chứng minh đƣợc B ' D  ( BA ' C ') ( BA ' C ') / /( ACD ')  DK  ( ACD ') B ' H  ( BA ' C ') Dễ thấy AC  AD '  CD '  a ( giả sử DK  ( ACD)   DK  cạnh hình lập phƣơng a) 1 1 1 1         2 2 2 DK DA DC DD ' DK a a a a a 3 Tƣơng tự ta có B ' H  a 3 Mà B ' D  a  HK  B ' D  DK  a  a a a   3 Vậy khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (BA’C’) HK  a c Vì BC '  ( BA ' C ') CD '  ( ACD ') , bên canh ( ACD ') / /( BA ' C ') suy khoảng cách từ BC’ đến CD’ khoảng cách (ACD’) (BA’C’) a 64 Bài tập 35/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 118: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC  BD, AD  BC đƣờng vuông góc chung AB CD đƣờng thẳng nối chung điểm AB CD Điều ngƣợc lại có không? Giải:  Vì AC  BD, AD  BC nên tam giác ACD tam giác BDC, từ hai trung tuyến tƣơng ứng AJ BJ (ở J trung điểm CD) Gọi I trung điểm AB ta có JI  AB Tƣơng tự nhƣ ta có JI  CD Vậy IJ đƣờng vuông góc chung AB CD  Điều ngƣợc lại kết luận nêu toán đúng, tức JI  AB , JI  CD AC  BD, AD  BC Thậy vậy, JI  AB , I trung điểm AB nên AJ  BJ Mặt khác: CD 2 CD BC  BD  BJ  AC  AD  AJ  Từ ta có : AC  AD  BC  BD (1) Tƣơng tự ta có : CB2  CA2  DB  DA2 (2) Từ (1) (2) ta suy AD2  BC  BC  DA2 , tức DA  BC từ (1) ta có AC  BD 65 PHầN III : KếT LUậN Hoạt động giải tập toán gắn liền với trình học tập, tìm hiểu tiếp thu kiến thức học sinh trình học môn Toán Hình học không gian phân môn mang tính trừu tƣợng hoá cao yêu cầu học sinh cần phải nắm kiến thức lí thuyết nhƣ kĩ giải tập để vận dụng vào việc giải tập Đối với hầu hết học sinh hình học không gian phân môn khó, học sinh gặp nhiều khó khăn trình làm tập Việc đƣa hình học không gian vào chƣơng trình toán phổ thông thiếu đƣợc Nó giúp cho học sinh thấy đƣợc mối quan hệ phần tử vật có hình ảnh thật Học phân môn giúp cho học sinh phát triển trí tuệ, tƣ lô gíc suy luận chặt chẽ có trí tƣởng tƣợng không gian phong phú Nhằm góp phần để đạt đƣợc mục tiêu Luận văn bƣớc đầu nghiên cứu : - Cơ sở lí luận toán, tập toán học - Nội dung kiến thức chƣơng “Quan hệ vuông góc” - Khai thác tập chƣơng “Quan hệ vuông góc” Qua trình nghiên cứu đề tài em lĩnh hội đƣợc nhiều kiến thức chƣơng trình toán PTTH nói chung đặc biệt em đƣợc nghiên cứu quan hệ vuông góc hình học không gian lớp 11 Trong thời gian tới sau em cố gắng để nghiên cứu sâu nội dung Do sinh viên nên kinh nghiệm giảng dạy thực tế ít, chƣa nắm bắt hết đƣợc kĩ giảng dạy ngƣời giáo viên khả nhận thức thực tế học sinh nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đƣợc đóng góp thầy cô giáo để em vững bƣớc đƣờng ngƣời giáo viên nghiệp trồng ngƣời Em xin chân thành cảm ơn ! 66 Tài liệu tham khảo [1].Trần Thị Vân Anh - 2009 - Phƣơng pháp giải toán tự luận hình học không gian - NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2].Nguyễn Mộng Hy - 2007 - Hình học 11 - NXB Giáo dục [3].Nguyễn Mộng Hy – 2009 - Bài tập hình học 11- NXB Giáo dục [4].Lê Đức Hồng – 2007 - Để học tốt hình học nâng cao 11 - NXB Hà Nội [5].Nguyễn Bá Kim; Vũ Duy Thụy – 1994 - Phƣơng pháp dạy học môn toán NXB Giáo dục [6].Đoàn Quỳnh - 2009 - Hình học 11 nâng cao - NXB Giáo dục [7].Đoàn Quỳnh – 2009 - Bài tập hình học 11 nâng cao - NXB Giáo dục [8].Phạm Đình Thực – 1999 - Phƣơng pháp sáng tác đề đề toán tiểu học - NXB Giáo dục 67 [...]... PA4   PAn ) 2.1.6 Tìm hiểu nội dung chủ đề "Quan hệ vuông góc" (Hình học 11) 2.1.6.1 Nội dung chương trình Chƣơng: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian ( 2 tiết ) Bài 1 Vectơ trong không gian 15 khi Bài 2 Hai đƣờng thẳng vuông góc ( 2 tiết ) Bài 3 Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ( 3 tiết ) Bài 4 Hai mặt phẳng vuông góc ( 3 tiết ) Bài 5 Khoảng cách ( 3 tiết ) 2.1.6.2 Mục... đƣợc một đề bài tập đáp ứng đƣợc nhu cầu giảng dạy của riêng mình nhiều khi tốn thời gian và chƣa chắc đã thành công 12 Vì thế giáo viên chẳng những phải có kĩ năng khai thác đề toán mới tƣơng tự với đề toán đã cho mà còn phải khai thác bài toán hoàn toàn mới dựa trên một số cách thức sau: + Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trƣớc + Khai thác đề bài tập từ việc ráp nối các bài tập toán... là dạy học các hoạt động toán học, trong đó hình thức hoạt động của toán học chủ yếu của học sinh là giải bài tập toán Nhƣng khi vận dụng giải bài tập hình học không gian học sinh thƣờng rất lúng túng.Vì vậy, em muốn khai thác và đi sâu vào tìm hiểu các dạng toán trong chƣơng Quan hệ vuông góc (Hình học 11) nhằm hỗ trợ phần nào trong việc giảng dạy của giáo viên và giúp học sinh tiếp cận các khái niệm,... tƣợng về hình học không gian cho học sinh 2.1.6.2.4 Tƣ tƣởng + Bồi dữơng thế giới quan khoa học + Giúp học sinh nhìn nhận sự vật, hiện tựơng trong không gian và quan hệ của các phần tử trong nó 2.1.6.3 Phương pháp giải bài toán HHKG - Để giải bài toán HHKG thì trƣớc tiên học sinh cần nắm đƣợc các kiến thức cơ bản và quan hệ vuông góc: Định nghĩa và các tính chất của từng quan hệ vuông góc cụ thể, đồng... A ' BD  (đpcm) 2.2.1.5.3 Khai thác: + Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải: Bài tập 3/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 113: Trong mặt phẳng   cho tam giác ABC vuông ở B Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng   tại A Chứng minh rằng: 35 a  ABD là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) b Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD) Bài tập 6/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 114: Cho hình...  2.2.1.4.3 Khai thác: + Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải: Bài tập 18/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 103: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , các tam giác ABC và SBC không vuông Gọi H và K lần lƣợt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng: a AH, SK, BC đồng quy b SC   BHK  33 c HK   SBC  + Khai thác bài tập hoàn toàn mới: Bài tập 17/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang... các bài tập ví dụ và các kiến thức cơ bản trong chƣơng “ Quan hệ vuông góc ta thấy rằng hình học không gian là một môn học khó Khi giải bài tập ở phần này, học sinh thƣờng chỉ sử dụng các cách giải khác nhau và chƣa có phƣơng pháp giải chung cho một dạng bài tập nên gặp rất nhiều khó khăn Từ đó dẫn đến một thực tế là học sinh ngại môn hình học không gian Dạy học toán ở trƣờng phổ thông chính là dạy học. .. khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’) D H Giải: Kẻ BH vuông góc với AC, do BH  AA’ B C A’ nên d(B; (ACC’A’)) = BH Ta có: D’ BH AC = BA BC Hay BH = B’ ab C’ Hình 7 a 2  b2 + Khai thác đề bài tập từ việc ráp nối các bài tập toán đơn và các bài tập điển hình Ví dụ: Bài 1:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình A chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC) Chứng minh rằng :BC  (OAH)... , AB, SC đồng phẳng (đpcm) 2.2.1.2.3 Khai thác + Các bài tập mới tương tự với bài tập đã giải: 29 M B D C N Hình 2 Bài tập 10/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của    BH và DF Chứng minh ba vectơ AC, KE, FG đồng phẳng + Khai thác bài tập hoàn toàn mới: Bài tập 8/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 92:    Cho... phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) b Tam giác SBD là tam giác vuông + Bài tập mới ngược với bài tập đã giải: Bài tập 11/Sgk cơ bản Hình học 11/ Trang 114: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 60 0 , cạnh SC  a 6 và SC vuông với mặt phẳng (ABCD) 2 a Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA ... dung chủ đề "Quan hệ vuông góc" (Hình học 11) 2.1.6.1 Nội dung chương trình Chƣơng: Vectơ không gian Quan hệ vuông góc không gian ( tiết ) Bài Vectơ không gian 15 Bài Hai đƣờng thẳng vuông góc. .. có kĩ khai thác đề toán tƣơng tự với đề toán cho mà phải khai thác toán hoàn toàn dựa số cách thức sau: + Khai thác đề tập từ nội dung thực tế định trƣớc + Khai thác đề tập từ việc ráp nối tập. .. Kết Quan hệ Các phƣơng pháp giải Phép tính giải Bài tập tính giải Khai thác tập sở tập có 2.1.5.2.1 Các tập tƣơng tự với tập giải - Sau học sinh giải xong tập, giáo viên dựa vào tập mà nghĩ tập