Luận văn sư phạm Khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan

A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn Tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh để mở rộng khai thác thêm toán điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Mặt khác, từ kinh nghiệm để giải toán ta thường phải hình thành mối liên hệ từ điều chưa biết đến điều biết, tốn có cách giải (bài tốn gốc) Nên việc thường xun khai thác, phân tích tốn ban đầu cách nâng cao khả suy luận, tư cho học sinh Chủ đề hàm số nội dung toán học, giữ vị trí trung tâm chương trình mơn Tốn phổ thơng, tồn việc dạy học tốn trường phổ thơng xoay quanh chủ đề Khi dạy học khái niệm hàm số phải dạy học sinh biết khảo sát, vẽ đồ thị hàm số đặc biệt toán liên quan, hàm số khái niêm trừu tượng phải thơng qua tốn liên quan mà học sinh hiểu sâu sắc khái niệm Bài tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số toán liên quan chủ đề hàm số thường thấy đề thi Cao đẳng – Đại học mà thầy cô học sinh quan tâm đến nhiều Mặc dù dạng tập tiếp tuyến dạng toán đơn giản nghiên cứu kĩ tơi thấy chứa đựng nhiều điều thú vị Cụ thể hướng dẫn học sinh khai thác phát triển thành tập hay hơn, khó hơn… làm góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư duy, kích thích tìm tịi sáng tạo cho học sinh Với suy nghĩ đó, tơi định chọn đề tài: -1- “Khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán - Nghiên cứu toán tiếp tuyến toán liên quan sở giúp học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giải toán liên quan - Đề xuất hệ thống tập khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan góp phần rèn luyện nâng cao kĩ giải toán học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán dựa sở toán ban đầu - Nghiên cứu sở lí luận chủ đề tiếp tuyến hàm số chương trình tốn THPT - Tìm hiểu khó khăn sai lầm thường gặp giải tập tiếp tuyến hàm số chương trình tốn THPT - Xây dựng hệ thống tập chủ đề tiếp tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán tiếp tuyến tốn liên quan chương trình tốn THPT Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục -2- A Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận B Phần nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Hệ thống tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số toán liên quan C Phần kết luận D Tài liệu tham khảo -3- B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Tiếp tuyến hàm số điểm Cho hàm số = ( ) có đồ thị (C), điểm cố định thuộc (C) có hồnh độ Với điểm thuộc (C) khác y f ( xM ) , ta kí hiệu hồnh độ góc cát tuyến (C) hệ số Giả sử tồn f ( x0 ) giới hạn hữu hạn k0  lim kM Hình xM  x0 Khi đó, ta coi đường thẳng qua có hệ số góc vị trí giới hạn cát tuyến O x0 di chuyển dọc theo (C) dần đến Đường thẳng gọi tiếp tuyến (C) điểm , gọi tiếp điểm Bây giả sử hàm số trí có đạo hàm điểm (C), ta ln có Vì hàm số có đạo hàm điểm ( ) = lim xM  x0 = ( ) ( Chú ý vị ) (Hình 1) nên f  xM   f ( x0 ) = lim k M  k0 xM  x0 xM  x0 Từ ta phát biểu ý nghĩa hình học đạo hàm sau: Đạo hàm hàm số = ( ) điểm đồ thị hàm số điểm T M0 ( ; ( )) -4- hệ số góc tiếp tuyến xM x Kết luận: Nếu hàm số = ( ) có đạo hàm điểm đồ thị hàm số điểm = ( ; ( ) có phương trình là: ( ) ( − 1.2 Sự tiếp xúc hai đường cong Định nghĩa: Giả sử hai hàm số hai đường cong ( ; ) tiếp tuyến = ( ) ) có đạo hàm điểm Ta nói = ( ) tiếp xúc với điểm điểm chung chúng hai đường cong có tiếp tuyến chung điểm Điểm gọi tiếp điểm hai đường cong cho y Hiển nhiên đồ thị hai hàm số cho tiếp xúc với điểm ( ) = ( ), ( )= ( ) = ( ; Từ dễ dàng suy rằng: Hai đường cong cong T y0 = ( ) = ( ) tiếp xúc hệ phương trình y  g ( x) ) ( )= ( ) có nghiệm ( )= ( ) M Hình O x0 hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong Trường hợp đặc biệt: Cho đường cong (C): (d) có phương trình = + = ( ) đường thẳng Đường thẳng (d) tiếp xúc đường cong (C) hệ sau có nghiệm: ( )= + ( )= Khi hệ có nghiệm đường thẳng (d) gọi tiếp tuyến đường cong (C) 1.3 Một số toán tiếp tuyến thường gặp -5- y  f ( x) x 1.3.1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) điểm phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( ; ( ; ) ∈ (C) Viết )+ ) Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học đạo hàm tiếp tuyến ) ∈ (C): ( ; = ( ) có hệ số góc ′( ) Phương trình tiếp tuyến − = ( ) ( − ) ( ; = ) (C) : ) ( − ( Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số có hồnh độ = −1 Giải: Đạo hàm hàm số ( ) =  Tại là: (−1) = (−1) = điểm ( )=3 = −1 ta có: (−1) = (−1) = −1 Vậy tiếp tuyến điểm có hồnh độ = = = −1 là: (−1)( + 1) + (−1) = 3( + 1) − hay = + 1.3.2 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài tốn: Cho đồ thị (C): = ( ) số ∈ R Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc Phương pháp: Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc hồnh độ  ( )= Giải phương trình:  ( )= Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với (C): = nghiệm  Nghiệm là: = ( − ∈{ , = ( ) điểm có ,…, ) + ( ) Cách 2: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép -6- ( )= } Xét đường thẳng với hệ số góc tiếp xúc (C): kép   ∆= có phương trình: = ( )  Phương trình: + + ( ) + ( ) = có nghiệm kép = (ẩn + ) = ( ) có nghiệm ( ) − ( ) = = ( ) Giải phương trình: ∆= ( ) =  Các giá trị  Phương trình tiếp tuyến Chú ý: Cách sử dụng cho dạng hàm số ( ) mà phương trình tương giao phương trình bậc + = ( ) biến đổi tương đương với  Các dạng biểu diễn hệ số góc :  Dạng trực tiếp: = ±1, ±2, … , ± , ± , … , ±√2, ±√3, …  Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc   Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): = tan = +   Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆): =  Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (∆): góc ( ≠ 0)  = tan Ví dụ: Cho hàm số: = tuyến (C) vng góc với (∆): Giải: Điều kiện ≠ ∙ = + +  =− có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp = −2 Cách 1: Vì tiếp tuyến ( ) (C) vng góc với (∆): số góc = ∙ -7- = −2 nên có hệ Ta có ′ = ( ) =  (5 − 4) = 14 14+4 (thỏa mãn − 14+4 = =  Phương trình tiếp tuyến = − − 14+4 + Phương trình tiếp tuyến = − 14+4 + ≠ ) 14+4 là: = 14+4 = hay y = − 14+4 là: − 14+4 √ − hay y = Cách 2: Vì tiếp tuyến ( ) (C) vng góc với (∆): hệ số góc ∙ Ta có phương trình tiếp tuyến ( ) (C) là: = ( ) tiếp xúc (C)  + +  ∆= (5 m=± √ ≠ √ ∙ = −2 nên có ≠ + 2(5m − 4)x − (8m − 6) = có nghiệm kép − 4) + 5(8 ≠0 + có nghiệm kép =  (x + 2m)(5x − 4) = 2(2x − 3) có nghiệm kép  ( )=5 ∙ − 6) = ∙ Vậy có hai tiếp tuyến vng góc ∆:  25 − 14 = 14 ≠0 = −2 y = -8- ≠ ± √ ∙ 1.3.3 Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) điểm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): ( ; ) cho trước Viết = ( ), biết tiếp tuyến qua điểm ( ; ) Phương pháp: Phương pháp tìm tiếp điểm Cách 1: Giả sử tiếp tuyến qua điểm có hồnh độ = ( )( −  = ) + ( ) = ( ) ( − nghiệm phương trình ( )( − ) + − ( ) = (∗) Giải phương trình (∗)  Nghiệm Phương trình tiếp tuyến = )+ ( ) = ∈{ , là: = ( )( − ) + ( ) ,… ,…, ( )( − Cách 2: Đường thẳng qua ( ; ) với hệ số góc = ( − )+ sau có nghiệm:  ( )= tiếp xúc với đồ thị (C): ( )= ( − )+ ( )= ( )( − ) +  Giải phương trình (∗)  Nghiệm Phương trình tiếp tuyến = ( )( − ) + ∈{ , là: = ,… có nghiệm kép  ( ) ) + ( ) có phương trình − ( ) = (∗) ,…, ( )( − Cách 3: Đường thẳng qua ( ; ) với hệ số góc tiếp xúc với (C): } = ( ) Hệ phương trình Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép = ( − )+ = ( ) suy phương trình tiếp tuyến (d) (C) có dạng: Do ( ; ) ∈ (d) nên  ( ; ) tiếp xúc (C): } ) + ( ) có phương trình = ( ) ( − )+ = ( ) + ( ) + ( ) = có nghiệm kép -9- ( )≠0 ∆= ( ) − ( ) ( ) =  ( )≠0 ∆= ( ) =  + + (∗∗) =0 Giải biện luận hệ (∗∗) suy giá trị số lượng Từ suy phương trình tiếp tuyến số lượng tiếp tuyến qua ( ; ) Chú ý: Cách sử dụng cho dạng hàm số ( ) mà phương trình tương giao phương trình bậc Ví dụ: Cho hàm số + = ( ) biến đổi tương đương với = (2 − ) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua (2; 0) Giải: Gọi đường thẳng qua , có hệ số góc  : = ( − 2) Thay từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta được: tiếp tuyến (C)  Hệ: −4 +4 = ( − 2)(4  (3 − 4)( − 2) =  Với Với Với =0 =2 =  (2 − ) = ( − 2) có nghiệm ( − 2)( − 1) = − 12 = 0, +8 ) = 2, = =  Phương trình tiếp tuyến : =  Phương trình tiếp tuyến : =− 32  Phương trình tiếp tuyến : 1.3.4 Một số toán khác =− 32 + 1.3.4.1 Bài toán hai đồ thị tiếp xúc - 10 - ∙ ∙ = = biệt hàm số bậc ba nên ta dự đoán kết chung cho toán hàm bậc ba Từ ta khái quát hóa tốn trên: Bài tốn tổng qt: Tìm đồ thị (C): ( ) = + + kẻ tiếp tuyến đến (C) Giải: Lấy điểm Đường thẳng ∆ qua = ( − ( , ( )) ∈ (C):  (3 ( − )+ ( ) ) − [ ( ) − ( )] = ( )( − +2 ) [2 = ( ) ( )= ( − ( )= ∆ tiếp xúc (C)  Hệ sau có nghiệm: ( )( − + )( − )− ( − + )] =  +( )− ( = =− Từ kẻ tiếp tuyến tới (C)   =− Vậy đến (C) − Nhận xét: ∙ ; −  Điểm uốn − ; − = + có phương trình: )+ ( ) )+ ( − ∙  =− )=0 + ∈ (C) điểm kẻ tiếp tuyến ( )=6 ( ≠ 0) cho từ ( , ( )) có hệ số góc ) + ( )  ( )= + +2  − ( )=0 =− Vậy đồ thị hàm số bậc ba điểm uốn điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị - 47 - Bài tập 3: Cho hàm số (C): = tiếp tuyến đến (C) Giải: Đường thẳng (d) qua = + (d) tiếp xúc (C)  hay ( + + )( − 1) = = +2 −1 Tìm (0; ) để từ (0; ) với hệ số góc +2 −1 + có nghiệm kép kẻ hai có phương trình: ≠1 − [ − ( − 1)] − ( + 2) = có nghiệm kép  ( )= ≠0 ≠0  ∆= ℎ( ) =  ∆= (1) ≠ −3 ≠ + 2( + 5) + ( − 1) = ≠1 Từ (0; ) kẻ hai tiếp tuyến đến (C)  ℎ( ) = có hai nghiệm phân biệt  −2 < , khác  ≠ (∗) 12( + 2) > ∆ >0  ( − 1) ≠ ℎ(0) ≠ Khai thác: Sau tìm điều kiện từ (0; ) kẻ hai tiếp tuyến đến (C) ta bổ sung tiếp thêm vào câu hỏi: Hai tiếp điểm hai tiếp tuyến nằm hai phía trục Ox ta tốn có u cầu chặt làm cho nghiệm bị thu hẹp tốn đầu  Tìm (0; ) từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục Ox Bây tốn ban đầu trở thành toán toán Ta sử dụng kết toán ban đầu vừa tìm vào giải tiếp tốn sau: Với điều kiện (∗) tọa độ tiếp điểm là: = −( −1)  = + = - 48 - +( +1) ∙ = −( −1) 2  = + +( = +1) Các tiếp điểm nằm hai phía Ox  [   + ( + 1) ][ (∗∗) Từ (∗) (∗∗)  − − ∙ < ) + ( + 1) = −4(3 + 2) < ≠ Bài tập 4: Cho hàm số (C): = Tìm đường thẳng điểm kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến (C) Giải: Gọi ( ; − 2) thuộc đường thẳng Đường thẳng (d) qua = ( − )+ có hệ số góc ≠ −1  ( ) = ( − 1) − (d) có nghiệm kép ≠1  ( ) = (1 + −1 ≠ (1) = ≠ ( ) = (1 +  −1 ≠ Vì từ )+ ≠ −1 ≠1 [ (1 − )+  (−1) ≠ − ( = + [ (1 − − có phương trình: tiếp xúc với (C)  Phương trình nghiệm kép = = − − 3] − − 3] − 4( − 1)(− + )+ + −3=0 −3=0 ) + (−2 + 6) + −2 −3=0 ) + (−2 + 6) + −2 −3=0 kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến (C) nên ta có: - 49 - − có = −1   =1  ≠ −1 −2 −3 0 1+ 1+ = −1 ≠0 = ±1  ≠ −1 Vậy tìm điểm  = ) − − = −(1 + ≠ −1 thỏa mãn toán (1; −1) Khai thác: Với kết vừa tìm ta thay đổi hình thức tốn từ tốn tìm tịi sang toán chứng minh sau:  CMR: Từ điểm (1; −1) ln kẻ hai tiếp tuyến vng góc đến đồ thị (C): = ∙ Giải: Đường thẳng (d) qua (1; −1) với hệ số góc = ( − 1) − (d) tiếp xúc với (C)  Phương trình nghiệm kép [ ≠ −1 − ( + 1)]( + 1) =  ( ) = ( − 1) = ( + có nghiệm kép − 1) − − − ( + 2) = có nghiệm kép ⎧ −1≠0 ⎪ + −1=0   ∆= ⎨ (−1) = −1 ≠ ⎪ ⎩  + = có phương trình: ≠1 −1− =  −1+ = −1− −1+ = −1 nên từ ∙ 2 tiếp tuyến vng góc đến (C) có ≠ −1 ≠ −1 −1− −1+ = = (1; −1) kẻ hai Bài tập luyện tập: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): tiếp tuyến qua điểm (0; 1) - 50 - = biết Đáp số: = −2 + 1, = −18 + Bài 2: (Học Viện BCVT TP.Hồ Chí Minh 1999) Cho đồ thị hàm số (C): = + Tìm điểm thuộc (C) để −3 từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Đáp số: (1; 0) Bài 3: (ĐH Sư phạm II Hà Nội khối B 1999) Cho (C): = − +3 + Tìm trục hoành điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) Hướng dẫn: Lấy ( ; 0) ∈ Ox Đường thẳng qua  có hệ số góc : = ( − ) tiếp xúc C − +3 +2= ( − ) có nghiệm −3 + = Biến đổi hệ phương trình ta phương trình: ( + 1) ( ) = Yêu cầu toán  ( ) = có hai nghiệm phân biệt khác −1 Từ điều kiện ta tìm >2Ú −1≠