Những đường đáng chú ý trên mặt trong e3

****************************** *********************** TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *** - VŨ THỊ DUYÊN NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E3 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2011 Lời cảm ơn Trong thời gian hoàn thành khóa luận em nhận nhiều giúp đỡ tận tình thầy cô, gia đình, bạn bè Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo tổ Hình học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội người thân bạn bè em Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp “Những đường đáng ý mặt E ” Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên khoá luận không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Vũ Thị Duyên Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu thân với hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm thầy cô giáo tổ Hình học Trong trình nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này, tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng tôi, không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Vũ Thị Duyên Mục lục Trang Lời mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép tính giải tích không gian Euclid E n n 2,3 1.2 Đường E n n 2,3 1.3 Mặt E 12 Chương NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E 17 2.1 Đường khúc 17 2.2 Đường tiệm cận 24 2.3 Đường tiền trắc địa 30 2.4 Cung trắc địa 34 2.5 Bài tập củng cố 37 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Lời mở đầu Lí chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi Cùng với thời gian kiến thức Toán học không ngừng đổi nâng cao giá trị Một môn học có vai trò quan trọng cho phát triển Toán học hình học vi phân Sau học xong môn hình học vi phân em trang bị kiến thức lí thuyết đường lí thuyết mặt E n n 2,3 Em mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu thêm đường, mặt E , em chọn đề tài: “Những đường đáng ý mặt E ” làm khóa luận tốt nghiệp Việc nghiên cứu đề tài không mang lại kiến thức bổ ích hình học vi phân, đường, mặt E mà giúp phát triển tư , tính cẩn thận, xác người học Cấu trúc khóa luận bố cục thành hai chương Chương Chương trình bày số kiến thức phép tính giải tích không gian Euclid E n n 2,3 , đường, mặt E Chương Chương trình bày định nghĩa, tính chất, phương trình vi phân đường khúc, đường tiệm cận, đường tiền trắc địa, cung trắc địa toán áp dụng Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu thêm hình học vi phân đặc biệt đường mặt E Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu đường mặt E , tập áp dụng Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp đánh giá Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép tính giải tích không gian Euclid E n n 2,3 1.1.1 Không gian E n uur Định nghĩa 1.1 Ta gọi E n không gian vectơ Euclid n chiều Tích vô ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur hướng vectơ , kí hiệu với cos , Chuẩn (độ dài) vectơ ur ur uur En ur E n không gian Euclid n chiều tức không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclid n chiều E n Khoảng cách điểm p, q thuộc E n d p, q uur pq 1.1.2 Giải tích vectơ uur En uur pa X p uur Định nghĩa 1.2 Ánh xạ X : U U tập E m hay ¡ m gọi hàm vectơ xác định U Hàm vectơ biến hàm vectơ uur X :J uur E n , t a X t với J khoảng ¡ uur uur X t Vt X t Giới hạn (nếu có) lim gọi đạo hàm hàm Vt Vt uur uur uur vectơ X Kí hiệu X ' Ta nói X khả vi t uur uur Nếu X khả vi điểm t J X gọi hàm vectơ khả vi J uur uur ur En g Phép toán hàm vectơ Cho hàm vectơ X , Y : U Ta định nghĩa uur ur X Y :U uur En uur pa X p Cho :U ur Y p ¡ hàm số xác định U uur uur X :U En uur pa p X p Khi n E ta có uur ur X Y : U ¡ uur ur p a X p Y p uur uur ur X Y :U E3 uur ur pa X p Y p uur ur X , Y hàm vectơ khả vi J :J ¡ hàm số khả vi J Ta có uur ur X Y uur uur X Y uur X uur X uur X uur ur X Y uur ur X Y uur uur X Y n , uur ur X Y uur X ur Y uur uur X Y uur uur E n hàm vectơ khả vi có đạo hàm g Đạo hàm cấp cao Nếu X : J uur uur uur X X :J En uuuur Tổng quát X k : J uuuuuur uur k n E khả vi tồn đạo hàm X uuuur X k :J uur E n hàm vectơ xác định J uuuur uur Nếu X k liên tục J X gọi khả vi lớp C k uur uur Nếu X khả vi cấp ta nói X khả vi lớp C hay hàm vectơ nhẵn, trơn uur uur E n , t a X t Xét hàm số uur Định nghĩa 1.3 Cho X : J :I J, u a t u Ta có hàm vectơ uur uur uur uur X : I En, u a X u Xo u Khi gọi phép đổi biến số uur E n có hàm vectơ Định nghĩa 1.4 Cho hàm vectơ uur ur ur ur uur Z:J E n , t a Z t Khi ta gọi Z nguyên hàm X Kí hiệu uur X t d t uur ur uur E n có nguyên hàm Z t nguyên Định nghĩa 1.5 Giả sử X : J ur ur hàm nó, a, b J , a b Ta gọi vectơ hiệu Z b Z a tích phân uur hàm vectơ X đoạn a, b Kí hiệu uur X :J a uu r X t dt b ur Z t a b ur Z b ur Z a g Đạo hàm riêng hàm vectơ nhiều biến uur uur uur n X : U E , u , v a X u, v với U tập Cho hàm vectơ uur uur uur uur X X X X , , , 2, ¡ Ta nói đến đạo hàm riêng u v u v u uur X Nếu , u v uur uur X X xác định ta có v u u v uur X v u 2 1.1.3 Trường vectơ không gian Euclid E n uur Định nghĩa 1.6 Giả sử E không gian Euclid E n không gian vectơ ur ur uurn n E , cặp p, Euclid liên kết với Với p E gọi n vectơ tiếp xúc với E n p , viết p, ur n p Kí hiệu Tp E p uur En gọi không gian tiếp xúc với E n p Tp E n có cấu trúc không uur gian vectơ Euclid cách tự nhiên chuyển từ E n Định nghĩa 1.7 Trường vectơ tập mở U X :U TU , p a X p cho p U, X p E n ánh xạ TpU Một trường vectơ hoàn toàn xác định có hàm vectơ uur uur uur uur uur X :U E n , p a X p mà X p p, X p Định nghĩa 1.8 Giả sử U tập mở E n Họ n trường vectơ X1, , X n U gọi trường mục tiêu với p U , X1 p , , X n p sở không gian vectơ Tp E n Khi X i i 1, n trường vectơ song song, trường mục tiêu X1, , X n gọi trường mục tiêu song song uur r r Nếu e1, , en sở trực chuẩn E n , Ei p r p, ei i 1, n p U trường mục tiêu E1, , En gọi trường mục tiêu tắc U 10 Ta có n o Vậy s N s Mà n s,0 s T kN Suy // n o đường tiền trắc địa S 2.4 Cung trắc địa 2.4.1 Định nghĩa 2.6 Cho mặt định hướng S E có hướng xác định trường pháp vectơ đơn vị khả vi n Cung tham số gọi cung trắc địa t // n o % Ta có Có thể xảy trường hợp S, t a t t Nếu đổi tham số t thành tham số u %: J% S , u a %u :J t để cung tham số %u t t %u t t không song song với % u , nghĩa là trắc địa mà % không trắc địa Do khái niệm cung trắc địa phụ thuộc vào cách tham số hóa cung 2.4.2 Tính chất E Tính chất 2.10 Mỗi tham số hóa cung thẳng mặt S cung trắc địa mặt S có độ cong nên Chứng minh Mọi cung thẳng Do song song với trường pháp vectơ đơn vị n S Tính chất 2.11 Mọi cung trắc địa mặt S E tiền trắc địa const Chứng minh Vì n nên // n nên k g hay Do Do const 39 tiền trắc địa Vì suy // n , const hay Tính chất 2.12 Mọi tham số hóa tự nhiên cung tiền trắc địa song quy cung trắc địa Chứng minh Cho cung song quy tiền trắc địa E Giả sử S s T s s k s No Mà N s // n o s // n o :s a s (do s tức :s a mặt định hướng tham số hóa tự nhiên s cung song quy tiền trắc địa) suy s tham số hóa cung trắc địa 2.4.3 Ví dụ Ví dụ 2.11 Cho mặt phẳng P E , định hướng trường pháp vectơ r r đơn vị n với n a const Tìm tất cung tham số quy trắc địa P Giải Ta biết tham số hóa cung thẳng P cung tham số trắc địa Ngược lại giả sử : J P, t a t cung tham số quy uur r uur r uur r trắc địa // n Vì thuộc vào P nên n Do r uur r r p tv với p v const (vì quy) suy t thuộc cung Vậy :t a t tham số hóa cung thẳng Ví dụ 2.12 Trong E cho đường đinh ốc tròn nằm mặt trụ tròn xoay S Với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz E phương trình S x2 y2 u a a , phương trình tham số a cos u, a sin u, bu Tính độ cong trắc địa Giải Mặt trụ S có phương trình tham số hóa 40 r u, v a cos u, a sin u, bv Suy ur ru ur rv r n a sin u, a cos u ,0 0,0, b ur ur ru rv ur ur ru rv cos u,sin u,0 no u r Lấy hướng S xác định n ta có uur u a sin u, a cos u, b uur u acosu, a sin u,0 Suy uur kg uur uuuur no u uur u Vậy độ cong trắc địa k g uur u a sin u a cos u cos u a cos u b a sin u sin u 0 Ví dụ 2.13 Cho mặt cầu S bán kính R E , định hướng trường pháp vectơ đơn vị khả vi n Tìm tất cung quy S có tham số hóa tự nhiên cung tham số trắc địa Giải Giả sử cung quy :J S, s a s với s tham số tự nhiên Trước hết ta chứng minh S mặt cầu song quy Thật vậy, uur uur r không song quy s s k s chứng tỏ lân cận s cung cho cung thẳng mà mặt cầu chứa cung thẳng Suy song quy 41 Giả sử s cung tham số quy trắc địa S suy S :s a đường tiền trắc địa suy N // n Do N đơn vị) Suy N kT B no mh p n (vì N n vectơ , p Ta biết độ cong mặt cầu S điểm s R phương tiếp xúc S điểm p phương nên R hp T Vậy kT R Như B m T R R k cung phẳng có độ cong tuyệt đối Ta biết cung R phải cung tròn bán kính R , tức cung tròn lớn S Ngược lại, :s a Vậy cung tròn lớn S có tham số hóa tự nhiên s N s // n o :s a s , tức s // n o s s tham số hóa trắc địa 2.5 Bài tập củng cố r r Bài a) Cho hàm vectơ r : u, v, w W (tập mở R ) a r u, v, w ur ur ur uur uur ur Chứng minh ru rv rv rw rw ru uur uur uur ur uuur ur ruv rw rvw ru rwu rv E3 b) Cho ba họ mặt E xác định theo thứ tự phương trình ẩn x, y, z c1 0, x, y, z c2 0, x, y, z c3 tọa độ Đềcác vuông góc x, y, z E ( c1, c2 , c3 số xác định mặt họ) Giả sử D 1, 2, D x, y , z hai mặt tùy ý khác họ cắt trực 42 giao Chứng minh giao hai mặt khác họ đường khúc mặt Giải uur uur ruv rw ur uuur rv rwu uur uur rw ruv ur uur Cộng với trừ ta ru rvw ur ur a) Ta có ru rv ur uur rv rw uur ur rw ru uur ur rvw ru uur uur rvu rw uur ur rwv ru b) Giả sử ánh xạ : R3 : R3 Vì D 1, E , x, y , z a R3 , x, y, z a 2, nên D x, y , z vi phôi lên ảnh có dạng r R lên W o x, y , z , u , v, w x, y , z , x, y , z , x, y , z vi phôi địa phương Do xét o : E từ tập mở thích hợp mở E Khi w c3 (hằng số) ta phận W mặt họ thứ ba (với v c1 u c2 tương tự), mà , tham số hóa u, v a r u, v, c3 , u, v, c3 r Kí hiệu r u, v, w 0r u, v, w Do điều kiện cắt trực giao mặt ur ur ur uur uur ur uur uur suy ru rv rv rw rw ru Từ theo câu a) ta có ruv rw Nhưng uur rw vec tơ pháp tuyến mặt w const (tức mặt x, y, z c3 ) nên uur uur hệ thức ruv rw , có nghĩa phạm vi xét mặt ta có hệ số thứ hai dạng dạng F M ; mặt khác lại vốn có hệ số thứ hai ; mặt đường tọa độ u const (là giao 43 mặt với mặt họ thứ hai) v const (là giao mặt với mặt họ thứ nhất) đường khúc Đối với mặt khác ta xét tương tự Bài Cho có tham số hóa r u, v R cos v, R sin v, u a) Tìm đường khúc b) Tìm đường tiệm cận c) Đường tọa độ v có phải đường tiền trắc địa không? Tính độ cong trắc địa (nếu có) Giải Do có tham số hóa r u, v R cos v, R sin v, u ur ru u, v 0,0,1 ur rv u, v R sin v, R cos v,0 uur ruu u, v 0,0,0 uur rvv u, v R cos v, R sin v,0 uur ruv R sin v 0,0,0 ur ru ur rv 1 , R cos v 0 R cos v, ur uuuur ru n o r u, v ur ru R nên ta có 0 , R sin v R sin v R cos v R sin v,0 ur R cos v, R sin v,0 rv ur rv R 2cos 2v R sin v R cos v, R sin v,0 R Suy 44 cos v, sin v,0 ur ur ru ru ur ur F ru rv ur ur G rv rv R E L M N a) Phương trình đường khúc dv L E dudv du M N F G dv dudv du R uuuur uur n o r ruu uuuur uur n o r ruv uuuur uur n o r rvv R có dạng 0 R2 u c1 v c2 du dv Rdudv Vậy u c1 , v c2 đường khúc b) Phương trình vi phân đường tiệm cận có dạng Ldu 2Mdudv Ndv2 Rdu Vậy v c đường tiệm cận c) Đường v Ta có uur uur Do uur t t t r e r uuuur 0, n o dv2 v c có tham số hóa t a t r te r r r e nên đường tọa độ v đường tọa độ v 0 cung quy Vì đường tiền trắc địa 45 Độ cong trắc địa k g t cung hình học mặt S định hướng trường vectơ pháp Bài tuyến đơn vị n E Chứng minh đường khúc đường tiệm cận S a) nằm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc đường khúc đường tiền trắc địa S b) nằm mặt phẳng trực giao với S dọc Giải Lấy tham số hóa tự nhiên địa phương s // h s Vậy h s cận p k% s k% s s no Do ta có h s Suy h s h s no no s s s s const lân s song quy nên k s s N s Hơn n o s B s B s s N s B s const s s , N s n o s T s Do n o n B hai vectơ đơn vị nên từ no s // s h s // Theo công thức Meusnier ta có k s N s n o Vì s vừa đường khúc vùa đường tiệm cận a) Giả sử h s a (tại Vậy no lân s // B s cận k% s s 0 tức s // B s , suy p) suy cung phẳng lân cận p thuộc vào tiếp diện S p , tiếp diện tiếp diện S dọc theo cung lân cận điểm p 46 Ngược lại, uuuur no s const Suy h s // nằm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc theo uuuur no s r s k% s h s r vừa đường khúc suy vừa đường tiệm cận vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa b) Giả sử h T s // T s k g s T s N s no s n T suy n // B T s // T s , n Từ n o s // T s no Từ T N n suy n B Kết hợp với N , n N hai vectơ đơn vị nên n N suy N // T tức N N B // T Do r N nằm kT cung thẳng Gọi P mặt phẳng chứa Vậy ur ur r P , n nằm P Nói cách khác P S Ngược lại, giả sử nằm mặt phẳng P S (dọc theo ) 0, ur ur r r uur s B s Lấy đạo hàm hai n nằm P n N Suy n o vế theo s ta uuuur no (vì s ur s B s 0) ur n uuuur no uur s s N s r ur B Mặt khác n o s r no ur s B s r no r s (do n o ) suy ur ur r n // T hay h đường khúc Từ n s // s Do ur uur ur suy k g T N n Do đường tiền trắc địa Bài Hai mặt S S%trong E tiếp xúc dọc đường uur N Chứng minh đường tiền trắc địa S đường tiền trắc địa S% 47 Giải đường tiền trắc địa S nên có tham số hóa t a t để song song với trường vectơ pháp tuyến đơn vị n S dọc Vì S Vì D dt tiếp xúc với S% dọc trường vectơ pháp tuyến đơn vị n% S% nên dọc song song với n Suy D dt song song với n% Vậy đường tiền trắc địa S% Bài Hai mặt S S% E cắt trực giao dọc đường Chứng minh đường tiệm cận S đường tiền trắc địa S% Giải Giả sử s a s tham số hóa tự nhiên mục tiêu Frênê ; n n%theo thứ tự trường vectơ đơn vị pháp tuyến S S% Vì n%o Vì no , n%o đường tiệm cận S nên n o n n ; Mặt khác, Vậy n%o // no nên , tức , T , N , B trường , nên n%o // N tức n o // // n o DT ds o ; lại có 0 no đường tiền trắc địa S% Bài Cho mặt S E mà S nằm mặt phẳng cung quy định hướng S Giả sử S định hướng r trường pháp vectơ đơn vị n dọc theo S Chứng minh độ cong trắc địa độ cong cung phẳng 48 Giải Lấy mục tiêu trực chuẩn Oxyz E cho S nằm mặt phẳng Oxyz Giả sử có tham số hóa t x t , y t ,0 uur t x t , y t ,0 Khi uur t x t , y t ,0 uur uur t t 0,0, x t y t x t y t uuuur no t 0,0,1 (chỉ hướng Oz ) uur x2 t t y2 t Suy uur uur t kg t uuuur t no t uur x t y t x t x t y t t y t k t k t độ cong cung phẳng Bài Cho mặt trụ tròn xoay S E có trục quay V, bán kính R , định hướng trường pháp vectơ đơn vị khả vi n Tìm tất cung quy S có tham số hóa cung trắc địa Giải Lấy mục tiêu tọa độ trực chuẩn Oxyz mà V trục Oz Phương trình tham :J số S S, t a t có dạng r u, v R cos u, R sin u, v Giả sử cung tham số quy trắc địa S Vì 49 S nên J nên R cos u t , R sin u t , v t Vì t const t uur uur R u t t t trắc địa Oz Do // n o t :t a v2 t R cos u t const , R sin u t ,v t ur e3 0,0,1 (vectơ e3 phương Oz ) uur ur r Suy t e3 Thay v t R2u t v t v t Ct C vào C2 uur v t D D const const ta t const C const (tại lân cận t ) u2 t (vì u t liên tục nên từ u t const u t A const const suy u t const ) u t At B , B const Tóm lại lân cận t ta có t Do R sin At B , R sin At B , Ct D uur r quy nên t ,do A C không đồng thời Suy Nếu C lân cận điểm t , ảnh nằm vĩ tuyến S Nếu A 0, C ảnh A 0, C ảnh nằm kinh tuyến S Còn nằm cung đinh ốc tròn S Ngược lại, với A, B, C, D cho A C không đồng thời 0, ta lấy cung tham số 50 t R cos At B , R sin At B , Ct D ảnh nằm S r RA2 cos At B ,sin At B ,0 Chú ý n cos u,sin u ,0 , uur uuuur t : t a t // n o t cung trắc địa S uur t Tóm lại, cung quy mặt trụ S có tham số hóa trắc địa có ảnh nằm vĩ tuyến kinh tuyến cung đinh ốc tròn 51 Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận : “Những đường đáng ý mặt E ” Khóa luận giải vấn đề sau Hệ thống hóa kiến thức phép tính giải tích không gian Euclid E n , đường, mặt E Trình bày khái niệm, tính chất, phương trình vi phân đường khúc, đường tiệm cận, đường tiền trắc địa cung trắc địa, tập áp dụng 52 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Bình Đô, Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2010 [2] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000 [3] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, 1993 53 [...]... (xem [1], 84) Cho mặt định hướng S trong E 3 mà hướng xác định bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n , một điểm p S , một mục tiêu trực chuẩn e1, e2 của Tp S mà ei là phương chính ứng với độ cong chính k% i i 1,2, Giả sử k% Tp S là vectơ đơn vị mà 2 2 k% k% 1x1 2 x2 ( Công thức này được gọi là công thức Euler ) 20 x1e1 x2e2 Khi đó Chương 2 NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E 3 2.1 Đường chính khúc... nghĩa Định nghĩa 2.1 Cho mặt định hướng S trong E 3 Một đường trên S được gọi là đường chính khúc nếu phương tiếp tuyến tại mọi điểm của đều là phương chính Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1993 2.1.2 Tính chất Tính chất 2.1 Nếu với mọi điểm của S đều là điểm rốn ( S là mặt cầu hay mặt phẳng) thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc (vì... hóa địa phương u, v r u, v Khi F M 0 tại mọi điểm thì các đường tọa độ là các đường chính khúc của S Chứng minh Khi ru rv F 0 M 0 0 n or n or rv u 0 u // ru Suy ra đường tọa độ v v0 là đường chính khúc, đường tọa độ u u0 là đường chính khúc 2.1.3 Phương trình vi phân của đường chính khúc trong tham số hóa địa phương Cho mặt định hướng S trong E 3 có tham số hóa địa phương r :U S , u, v r u, v ,... Ta có g Với L 0 hp Ru Ru Ru 0 k% Ru 0 0 Suy ra đường tọa độ v v0 là đường tiệm cận g Với N 0 hp Rv Rv 0 Rv 0 k% Rv 0 Suy ra đường tọa độ u u0 là đường tiệm cận Tính chất 2.7 Dọc theo đường tiệm cận độ cong Gauss của mặt không dương Chứng minh Giả sử là đường tiệm cận của mặt định hướng S trong E 3 Theo công thức Euler ta có k% k% x2 1 1 k% x2 2 2 30 0 % trong đó k% 1, k2 là hai độ cong chính của S tại... Từ 1 và 2 suy ra n o Ta có n%o là đường chính khúc n%o no n%o 0 2 0 0 Xét hai trường hợp gTrường hợp 1 Nếu n o // n%o n%o // n o n%o // là đường chính khúc trên S% Suy ra gTrường hợp 2 Nếu n o Mặt khác no n%o 0 n%o n%o 0 // n o n%o P n%o thì từ n%o // n o n%o // trên S% 2.2 Đường tiệm cận 28 Suy ra n%o là đường chính khúc 2.2.1 Định nghĩa 2.2 Cho mặt định hướng S trong E 3 , điểm p S Phương xác... S theo phương đó là 0, k% 0 Đường trên S mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương tiệm cận của S tại điểm đó gọi là một đường tiệm cận của S 2.2.2 Tính chất Tính chất 2.4 Cho mặt định hướng S trong E 3 mà hướng xác định bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n Đường phương no :t a t trên S có tham số hóa địa là một đường tiệm cận của S khi và chỉ khi Chứng minh là đường tiệm cận khi và chỉ khi... gọi là một đường hình học hay Định nghĩa 1.23 Tập điểm một đa tạp 1 chiều (gọi tắt là đường hay đa tạp 1 chiều) nếu với mỗi điểm có một tập mở U của E n chứa M sao cho U M là một cung hình học Mỗi tham số hóa của cung hình học này gọi là một tham số hóa địa phương tại M của Ví dụ 1.3 g Mỗi cung hình học là một đường hình học g Đường tròn, đường elip, đường hypebol là những đường hình học g Đường gấp... của đường chính khúc dạng dv 2 L E dudv du 2 M N F G 25 0 v cos u, v sin u,0 sin u,cos u,0 0,0,0 0 0 1 1 v2 dv 2 0 1 v v 2 1 1 1 v du u 2 du 2 dudv 1 2 0 2 0 dv 2 1 1 v 2 du 2 dv 2 1 v2 ln v 0 dv du 1 v2 Vậy họ các đường chính khúc cần tìm là u 0 1 v2 c 1 v2 ln v c Ví dụ 2.3 Chứng minh rằng trên một mặt tròn xoay trong E 3 vĩ tuyến và kinh tuyến là những đường chính khúc Giải Giả sử S u là một mặt. .. một cung hình học còn E n Nếu J gọi gọi là một tham số hóa của cung hình học đó 14 Ví dụ 1.2 g Đường thẳng, đường parabol, một nhánh của hypebol, đường đinh ốc tròn, đường đinh ốc nón là những cung hình học g Đuờng tròn, đường elip, đường hypebol không phải là cung hình học mà chỉ là ảnh của cung tham số Trong E n cho một hệ tọa độ afin x1, , xn Cung tham số tham số là một tọa độ nào đó, chẳng hạn... Đường gấp khúc, hai đường tròn tiếp xúc nhau không phải là đường hình học Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đường hình học trong E 3 Trong E 3 hệ tọa độ Decarter Oxyz Tập khi , tồn tại tập mở U p E 3 là đa tạp 1 chiều khi và chỉ E 3 chứa p0 và hai hàm số khả vi F, G trên U thỏa mãn hai điều kiện i U ii rank x, y, z F x G x U : F x, y, z F y G y F z G z 15 0, G x, y, z 2 0 , 1.3 Mặt trong E 3 1.3.1 Mảnh ... tích không gian Euclid E n n 2,3 1.2 Đường E n n 2,3 1.3 Mặt E 12 Chương NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E 17 2.1 Đường khúc 17 2.2 Đường tiệm cận 24 2.3 Đường tiền trắc địa 30 2.4 Cung trắc... Euler ) 20 x1e1 x2e2 Khi Chương NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E 2.1 Đường khúc 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Cho mặt định hướng S E Một đường S gọi đường khúc phương tiếp tuyến điểm... hình học đường hình học g Đường tròn, đường elip, đường hypebol đường hình học g Đường gấp khúc, hai đường tròn tiếp xúc đường hình học Dấu hiệu nhận biết tập điểm đường hình học E Trong E hệ