Đường chính thức và đường trắc địa trên mặt trong e3

Mục lục Trang Lời nói đầu1 Đ1.Mặt trong E 3 3 Đ2.Đờng chính khúc trên mặt trong E 3 .9 Đ3.Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 .17 Đ4.Mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc địa trên mặt trong E 3 26 Kết luận .30 Tài liệu tham khảo 31 1 Lời nói đầu Đờng trắc địa và đờng chính khúc là các đờng cơ bản của mặt S trong E 3 , hiện nay đang đợc rất nhiều các nhà toán học quan tâm, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lí và trong thực tiễn cuộc sống. Lí thuyết đờng cũng đợc trình bày nhiều trong các sách giáo trình hình học vi phân nên mặc dù đây là một đề tài không còn mới nhng bổ ích cho tác giả trong quá trình học tập và bớc đầu làm quen với việc nghiên cứu. Khóa luận trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và chỉ ra một số ví dụ về đờng chính khúc, đờng trắc địa trên các mặt trong không gian Ơclit E 3 Khóa luận đợc trình bày trong bốn mục sau: Đ1. Mặt trong E 3 Đ2. Đờng chính khúc trên mặt trong E 3 Đ3. Đờng trắc địa trên mặt trong E 3 Đ4. Mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc địa trên mặt trong E 3 ở Đ1, trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của mặt trong E 3 nh mảnh hình học, ánh xạ Weigarten trên mặt trong E 3 tạo thuận lợi cho việc trình bày các mục tiếp theo. ở Đ2, trình bày định nghĩa, một số tính chất của đờng chính khúc trên mặt trong E 3 và đờng chính khúc trên một số mặt quen thuộc. ở Đ3, trình bày về độ cong trắc địa, đờng trắc địa, một số tính chất cơ bản của nó trên mặt trong E 3 và một số ví dụ về đờng trắc địa trên các mặt quen thuộc. ở Đ4, trình bày về mối liên hệ giữa đờng chính khúc và đờng trắc địa trên mặt Tôi xin gửi đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất, cảm ơn thầy trong thời gian qua đã tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán, bạn bè và ngời thân đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Vinh tháng 4.2009 Tác giả 2 Đ1.mặt trong E 3 Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của mặt trong không gian Ơclit E 3 ( E 3 với mục tiêu trực chuẩn { } 321 ,,, eeeO ). Thờng kí hiệu r là ánh xạ khả vi 3 : EU , trong đó U là tập mở trong 2 IR Nh chúng ta đã biết ( xem Đ1, Đ2, chơng 3, Hình học vi phân - Đoàn Quỳnh ) Cho tập mở U 2 IR , ánh xạ 3 : EUr , ),(),( vurvu đợc gọi là mảnh tham số trong 3 E . Với điểm Uvu ),( 00 , cung tham số ),( 0 vuru đợc gọi là đờng toạ độ u hay 0 vv = của mảnh r đi qua điểm ),( 00 vu . Cung tham số ),( 0 vurv đợc gọi là đ- ờng toạ độ v hay 0 uu = của mảnh r đi qua điểm ),( 00 vu . Các trờng véctơ dọc các cung ' u r , ' v r đợc gọi là các trờng véctơ tiếp xúc dọc r . Điểm ),( 00 vu gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r nếu tại điểm đó r là một dìm ( tức là { } ),(),,( 00 ' 00 ' vurvur vu độc lập tuyến tính ). Điểm ),( 00 vu đợc gọi là điểm kì dị nếu { } ),(),,( 00 ' 00 ' vurvur vu phụ thuộc tuyến tính. Mảnh tham số r đợc gọi là mảnh chính quy nếu mọi điểm của nó đều là điểm chính quy. Tập con S của E 3 gọi là mảnh hình học trong E 3 nếu nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh 3 : EUr . Khi đó r đợc gọi là một tham số hoá của mảnh hình học S . Tập con liên thông không rỗng S của E 3 đợc gọi là một mặt trong E 3 nếu với mỗi Sp có lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hình học, mỗi tham số hoá của mảnh hình học này gọi là một tham số hoá địa phơng của S . Mặt S đợc gọi là định hớng nếu trên S có trờng véctơ pháp tuyến đơn vị n Trong suốt khoá luận này, chúng ta luôn giả thiết mặt S là mặt định hớng. Bây giờ ta xét cung chính quy trong E 3 xác định bởi )(,: 3 uuEJ ( J là một khoảng trong IR ) và một hàm véctơ )(,: 3 uAuEJA , 0)( uA với Ju 1.1. Định nghĩa : 3 a) Giả sử tập mở 2 IRU gồm các ),( vu mà Ju và với Ju , tập { } UvuIRv ),/( là một khoảng trong IR thì mảnh trong E 3 xác định bởi )()(),(,: 3 uAvuvurEUr += đợc gọi là mảnh mặt kẻ với đờng chuẩn là cung )(u . Các đờng toạ độ 0 uu = đợc gọi là các đờng thẳng sinh của mặt kẻ. b) Mặt khả triển là một mặt kẻ mà các tiếp diện của nó dọc theo một đờng thẳng sinh trùng nhau. 1.2. Mệnh đề Mặt kẻ là mặt khả triển nếu hệ 3 véctơ { } )(),(,),( '' uAuAu phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Mặt kẻ xác định bởi tham số hoá : )()(),(),( uAvuvurvu += , Uvu ),( Dọc theo đờng thẳng sinh, véctơ pháp tuyến của mặt có dạng : ),(),(),( 0 ' 0 ' 0 vurvurvuN vu = Với : )()(),( 0 ' 0 ' 0 ' uAvuvur u += )(),( 00 ' uAvur v = )())()((),( 00 ' 0 ' 0 uAuAvuvuN += )()()()( 00 ' 00 ' uAuAvuAu += Đặt )()( 00 ' uAu = ( có phơng không đổi ) )()( 00 ' uAuAv = ( có phơng không đổi ) += ),( 0 vuN Ta sẽ chứng minh , cộng tuyến Thật vậy, nếu , không cộng tuyến thì với mỗi điểm ),( 0 vu trên đờng sinh thẳng 0 uu = , ),( 0 vuN có các hớng khác nhau tuỳ theo v . Theo định nghĩa mặt khả triển điều này vô lí ( vì các pháp tuyến không trùng nhau dẫn đến các tiếp diện không trùng nhau). Vậy , cộng tuyến và phơng của ),( 0 vuN cũng chính là phơng của không đổi Suy ra tiếp diện của mặt không đổi khi các điểm thay đổi Mặt khác, , cộng tuyến tức )()( 00 ' uAu và )()( 00 ' uAuAv cộng tuyến 4 = = 0)())()(( 0)())()(( 000 ' 0 ' 00 ' uAuAu uAuAu { } )(),(,),( '' uAuAu phụ thuộc tuyến tính. 1.3. ánh xạ Weingarten Giả sử S là một mặt trong E 3 và ST p , ta có: [ ] [ ] 01. == nn 0.0 ==+ nnDnnDnnD STnD p 1.3.1. Định nghĩa: ánh xạ STSTh ppp : nDh p = )( đợc gọi là ánh xạ Weingarten tại p. Chú ý rằng cung = )(,: 0 ' tSJ và pt = )( 0 thì )( p h là véctơ tiếp xúc với S tại p và )()()( 0 ' tnh p = 1.3.2. Mệnh đề : Với mọi Sp , ánh xạ p h là một tự đồng cấu tuyến tính, đối xứng. Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh p h là một tự đồng cấu tuyến tính : Với STIRlk p ,,, ta có : nlDnkDnDlkh lkp ==+ + )( )()( pp lhkh += Suy ra p h là ánh xạ tuyến tính. Để chứng minh p h đối xứng ta chứng minh với mọi ST p , ta có : )()( pp hh = Thật vậy, lấy tham số hoá địa phơng Svurvu ),(),( thì tại ),( vur ta có: ),(),( ),(),( ' ' vuRvur vuRvur vv uu = = { } vu RR , là cơ sở trong ST p , do đó ta chỉ cần chứng minh : uvpvup RRhRRh )()( = Ta có : du rnD nDRh u Rup )( )( == ' )( )( vvup r du rnD RRh = Do 0)( ' = v rrn 5 '''''' )( )( 0)( )( uvvuvv rrnr du rnD rrnr du rnD ==+ '' )()( uvvup rrnRRh = Chứng minh tơng tự ta cũng có '' )()( uvuvp rrnRRh = uvpvup RRhRRh )()( = Vậy ta có điều phải chứng minh. Với mỗi giá trị riêng p h đợc gọi là một độ cong chính tại p của M, mỗi véctơ riêng của p h xác định đợc gọi là phơng chính tại p của S. Định thức của tự đồng cấu p h gọi là độ cong Gauss tại p của M; 2 vết h p gọi là độ cong trung bình tại p của S 1.3.3. Nhận xét : p h luôn có hai giá trị riêng thực . Thật vậy, giả sử { } 21 ,ee là cơ sở trực chuẩn trong ST p += += 212 211 )( )( deceeh beaeeh p p = = ceeh beeh p p 12 21 )( )( Do p h có tính đối xứng nên 1221 )()( eeheeh pp = hay cb = Ma trận của p h là : = d c b a A Giá trị riêng của p h là nghiệm của 0 = IA o d b b a = 0))(( 2 = bda 0)( 22 =++ badda (*) dbabda ,,04)( 22 += i)Nếu > 0, phơng trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa là có hai giá trị riêng phân biệt. Gọi hai giá trị riêng đó là 21 , kk thì 222111 )(,)( ekehekeh pp == 6 Độ cong Gauss tại p là 21 )( kkpK = , độ cong trung bình tại p là 2 )( 21 kk pH + = ii)Nếu = 0, phơng trình (*) có một nghiêm kép thực, nghĩa là có một giá trị riêng. Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn { } 21 ,ee của ST p , có 2211 )(,)( keehkeeh pp == . ở đây 2 )()( kpK = , kpH = )( . Điểm p nh thế gọi là điểm rốn của S Khi k 0 = , p đợc gọi là điểm dẹt Khi k 0 , p đợc gọi là điểm cầu 1.3.4. Các dạng cơ bản I và II của mặt S Với mỗi Sp : ),( : IRSTSTI ppp ì ; )(),( : p ppp h IRSTSTII ì là những dạng song tuyến tính đối xứng trên ST p , chúng đợc gọi theo thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p. Ta thờng kí hiệu )(),(),(),( pppp IIIIII == và khi p thay đổi ta dùng kí hiệu I và II . Giả sử ),(),(: vurvur là tham số hoá địa phơng của S ; { } '' , vu rr là cơ sở của ST p và trờng véctơ pháp tuyến đơn vị : '' '' vu vu rr rr rn = Ta đặt : '''''' .,.,. vvvuuu rrGrrFrrE === GFE ,, đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản I trong tham số hoá địa phơng r Ta đặt : '''''' .)().(),( uuuupuup rrnrrhrrIIL === '''''' .)().(),( vuvupvup rrnrrhrrIIM === '''''' .)().(),( vvvvpvvp rrnrrhrrIIN === NML ,, đợc gọi là các hệ số của dạng cơ bản II trong tham số hoá địa phơng r 1.3.5. Nhận xét : Ta có các công thức : '''''' )(;)(;)( vvuvuu rrnNrrnMrrnL === Chứng minh: Ta có : ''' . )( .)( uuu r du rnD rrnL == Do 0).( ' = u rrn nên 0).(. )( ''' =+ uuu rrnr du rnD ''' ).(. )( uuu rrnr du rnD = 7 '' ).( uu rrnL = Tơng tự ta chứng minh đợc '''' )(;)( vvuv rrnNrrnM == 1.3.6. Độ cong pháp dạng. Công thức Meusnier. Công thức Euler S là một mặt trong E 3 1.Độ cong pháp dạng. Công thức Meusnier là một cung chính quy trong S, )(,: ssSJ là một tham số hoá tự nhiên của . Vì 0).( ' = n , tức là 0)( = nT ( T là trờng véctơ tiếp xúc đơn vị dọc ) 0 )( .).( =+ ds nD Tn ds DT )()(. )( ).( TIIThT ds nD Tn ds DT p === Nếu 0)( 0 = s ds DT thì 0))(( 0 = sTII Nếu 0)( 0 s ds DT (tức điểm ứng với 0 s là điểm song chính quy của ) thì )().()( 000 sNsks ds DT = , trong đó )( 0 sk là độ cong của tại 0 s , )( 0 sN là véctơ pháp tuyến chính đơn vị của tại 0 s và ta có : ))(())(().().( 0000 sTIIsnsNsk = (*) Công thức (*) cho ta định nghĩa: là véctơ khác 0 của ST p thì đặt )( )( )( I II k = ; số đó không đổi khi thay bởi ( là số thực khác 0 tuỳ ý ) nên nó đợc gọi là độ cong pháp dạng của S theo phơng xác định bởi . Khi đó công thức (*) trở thành ))(())(().().( 0000 sTksnsNsk = . Nó đợc gọi là công thức Meusnier. 2.Công thức Euler Giả sử { } 21 ,ee là một cơ sở trực chuẩn của ST p gồm những véctơ riêng của p h . Khi đó 2 2 1 1 )()( kekkek == ; là các độ cong chính của S tại p. Nếu véctơ đơn vị 21 .sin.cos ee += thì ta có công thức Euler là : 2 2 2 1 sincos)( kkk += Thật vậy : Với 21 .sin.cos ee += , ta có : ).sin.).(cos.sin.(cos . ).( )( )( )( 2121 eeeeh h I II k p p ++=== 8 ).sin.))(cos(.sin)(.(cos 2121 eeeheh pp ++= ).sin.)(cos.sin.cos( 212 2 1 1 eeekek ++= 2 2 2 1 sincos kk += Vậy ta có công thức Euler. Đ2.đờng chính khúc trên mặt trong E 3 2.1. Định nghĩa Một đờng trên mặt S trong E 3 mà phơng tiếp xúc của nó tại mọi điểm là phơng chính của S tại điểm đó đợc gọi là một đờng chính khúc của S Cụ thể, )(,: ttSJ xác định một đờng chính khúc ( )(J = ) khi và chỉ khi dt nD )( song song với ' Thật vậy, xét tại điểm p bất kì xác định bởi )(tp = và )( ' t = , ST p , 0 Khi đó, là đờng chính khúc khi và chỉ khi kh p = )( 9 hay : knD = ' )( k dt nD = Do đó dt nD )( song song với ' . Vậy ta có điều phải chứng minh. Ta nhận thấy rằng định nghĩa trên không phụ thuộc việc đổi tham số của đờng Thật vậy, giả sử )(,: ttSJ xác định một đờng chính khúc và )(,: uruJIr cũng là tham số hoá của đờng. Khi đó tồn tại vi phôi )(,: uuSI sao cho = r Ta có : [ ] ))(().())(()( '' ' ' uuuur == (1) )( )()( ' u du nD du rnD = (2) dt nD )( song song với )( ' t tức là : )( 1 . )( ' u du nD song song với )( ' t hay du nD )( song song với )()).(( '' uu Do (1), (2) nên du rnD )( song song với )()).(( '' uu hay du rnD )( song song với )( ' ur Vậy ta có điều phải chứng minh. 2.2. Ví dụ : 1) Mọi đờng trên mặt phẳng đều là đờng chính khúc Thật vậy, S là mặt phẳng nên trờng véctơ pháp tuyến là trờng véctơ song song 0 )( = dt nD Sph p = ,0 Tức là, phơng tiếp xúc tại mọi điểm của S đều là phơng chính Vậy mọi đờng trên mặt phẳng đều là đờng chính khúc. 2) Mọi đờng trên mặt cầu đều là đờng chính khúc Thật vậy, giả sử S là mặt cầu bán kính R, n là trờng véctơ pháp tuyến của S hớng ra ngoài Với )(,0; 0 ' tST p = với )(,: ttSJ thì : R n R O n ' ' )()( == 10