Lưới trắc địa cực tiểu trong nửa phẳng poincaré

Lời nói đầu Năm 1840 Lobatchevski là ngời đầu tiên đa ra hình học Phi Ơclit nhng mãi đến năm 1924 Poincare' nhà toán học ngời Pháp mới tìm ra đợc một mô hình minh hoạ cho hình học đó. Từ đó, mô hình này đợc đặt tên là nửa phẳng Poincare'. Các bài toán cực trị hình học trên đa tạp Riemann đã và đang đợc nhiều nhà toán học quan tâm. Chúng ta có thể tìm thấy các kết quả mới nhất trong các công trình của Havey, Lawlor, Morgan, Nguyễn Hữu Quang, Đào Trọng Thi, Lê Thị Hồng Vân (Xem [8], [9]). Bài toán đợc chúng tôi đặt ra trong luận văn này là tìm các điều kiện đủ để một lới trắc địa có độ dài cực tiểu trong lớp các lới có cùng kiểu tôpô trong nửa phẳng Poincare'. Luận văn đợc chia thành hai chơng: Ch ơng 1: Đa tạp Riemann Đ 1. Đa tạp khả vi Đ 2. Dạng vi phân bậc một, bậc hai trên đa tạp. Đ 3. Biến phân trắc địa trên đa tạp Riemann Ch ơng 2: Lới trắc địa cực tiểu trong nửa phẳng Poincare' Đ 1. Đờng trắc địa trong đa tạp Riemann 2 - chiều Đ 2. Lới trắc địa cực tiểu trong nửa phẳng Poincaré Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ, chỉ bảo hết sức tận tình của Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang và các Thầy giáo trong tổ bộ môn Hình học - Tôpô, các Thầy giáo Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học Tr- ờng Đại học Vinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn đối với sự chỉ bảo đó. Nhân dịp này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn BGH Trờng THPT Diễn Châu 2, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Tác giả. 2 Chơng 1 Đa tạp Riemann Trong chơng này, chúng tôi trình bày về những vấn đề: Đa tạp khả vi, các dạng vi phân bậc một, bậc hai trên đa tạp và biến phân trắc địa trên đa tạp Riemann. Những vấn đề nói trên đợc xem là những kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày chơng 2. Đ1. Đa tạp khả vi 1.1 Định nghĩa đa tạp khả vi. Nh ta đã biết (xem [2],[4]), một bản đồ trên một không gian tôpô Haussdorff M là một cặp (U, ) với U là một tập mở trong M, là một phép đồng phôi từ U lên tập mở (U) trong R n . : U (U) p (p) = ( 1 (p), 2 (p) . , n (p)) = ( i (p)) n i = 1 (U, ) còn đợc gọi là hệ toạ độ địa phơng của M ( i (p)) n i = 1 đợc gọi là toạ độ địa phơng của p. Hai bản đồ (U 1 , 1 ), (U 2 , 2 ) trên M gọi là phù hợp nếu U 1 U 2 = hoặc ánh xạ 2 1 -1 : 1 (U 1 U 2 ) 2 (U 1 U 2 ) ( 1 i (p)) ( 2 i (p)) là một vi phôi lớp C k giữa các tập mở 1 (U 1 U 2 ), 2 (U 1 U 2 ) trong R n Một Atlas A (lớp C k , k > 0) trên M là một họ {U i , i } i I các bản đồ trên M thoả mãn hai điều kiện sau: i) Họ {U i } phủ (mở) M ii) Hai bản đồ bất kỳ của họ phù hợp Atlas A gọi là tối đại nếu mọi atlas B của M (cùng lớp C k ) mà B A thì B A. 3 Một cấu trúc khả vi (lớp C k ) n- chiều trên M là một atlas (lớp C k ) n- chiều tối đại trên M. Nhận xét: (+) Một atlas (lớp C k ) n- chiều trên M xác định một cấu trúc khả vi (lớp C k ) n- chiều trên M. (+) Hai atlas A, B (lớp C k ) n- chiều trên M xác định cùng một cấu trúc khả vi (lớp C k ) n- chiều trên M khi và chỉ khi: Nếu (U, ) A, (V, ) B mà U V 0 thì . 1 và . 1 khả vi (lớp C k ) Định nghĩa: Một không gian tôpô Haussdorff M cùng một cấu trúc khả vi (lớp C k ) n- chiều trên M đợc gọi là một đa tạp khả vi (lớp C k ) n- chiều, thờng ký hiệu tắt đa tạp đó là M (khi cấu trúc khả vi đã rõ ràng). Khi k = đa tạp gọi là nhẵn. 1.2. ánh xạ khả vi. Giả sử M là đa tạp khả vi (lớp C k ) m - chiều với họ bản đồ là {U 2 , } I và N là đa tạp khả vi (lớp C k ) n - chiều với họ bản đồ là {V , } J 1.2.1. Định nghĩa: Một ánh xạ f: M N gọi là khả vi (lớp C k ) nếu và chỉ nếu với mọi cặp (, ), ánh xạ hợp thành f = f -1 : U ~ V ~ là khả vi (lớp C k ) trong đó U ~ = [U f -1 (V )]; V ~ = (V ) 1.2.2. Chú ý: Nếu f: M N là một vi phôi thì khi đó ta nói các đa tạp M và N vi phôi với nhau. 1.2.3. Nhận xét: (+) Giả sử M là đa tạp khả vi, ta ký hiệu f (M) là tập hợp các hàm số khả vi trên M. Khi đó f (M) là một đại số trên R với các phép cộng, nhân hai hàm số và nhân một số với một hàm: (f + g)(p) = f(p) + g(p), p M 4 (f.g)(p) = f(p) . g(p), p M (f)(p) = f(p), p M, R (+) Khi M = J = (a, b) là một khoảng mở trên R, f là ánh xạ khả vi từ J vào đa tạp khả vi N thì = f (J) đợc gọi là một đờng cong trên N. 1.2.4. Mệnh đề: Giả sử M là một đa tạp khả vi m - chiều và N là đa tạp khả vi n - chiều. Nếu f: M N là một vi phôi thì m = n, nghĩa là hai đa tạp khả vi vi phôi với nhau thì chúng có cùng số chiều Chứng minh: Ký hiệu g = f -1 . Viết theo toạ độ địa phơng ta có: ( ) ( ) = = m n n m xxfy xxfy , ., , ., 1 1 1 1 ( ) ( ) = = n m m n yygx yygx , ., , ., 1 1 1 1 Thay hệ thứ hai vào hệ thứ nhất và viết gọn ta đợc. y k = f k [g 1 (y 1 , .,y n ), ., g m (y 1 , .,y n )] Lấy đạo hàm riêng đối với y l ta đợc. l h h k l k y g x f y y = . hay k l = l h h k y g x f . Vì hạng của ma trận ở vế trái bằng m còn hạng của ma trận ở vế phải đều nhỏ hơn hoặc bằng min{m,n} và vì hạng của tích hai ma trận không vợt quá hạng của các nhân tử nên suy ra m min{m,n} (1) Tơng tự n min{m,n} (2) Từ (1) và (2) suy ra m = n 1.2.5. Ví dụ: Giả sử M = S 1 , N = R ánh xạ: f: S 1 R A(x, y) x + y Khi đó f là ánh xạ khả vi từ S 1 vào R . 5 1.3. Vectơ tiếp xúc trên đa tạp. Giả sử M là một đa tạp khả vi (lớp C k ) n- chiều. Trớc hết ta lu ý rằng tập hợp f p tất cả các hàm khả vi lớp C 1 xác định ở lân cận điểm p M làm thành một đại số trên R với các phép toán đợc xác định một cách tự nhiên. 1.3.1. Định nghĩa: Giả sử là một đờng cong trên M cho bởi tham số hoá (t), sao cho (t o ) = p. Ta gọi vec tơ tiếp xúc với (t) tại p là ánh xạ v: f p R xác định bởi công thức: v(f) = ( )( ) to dt tdf ; f f p Khi đó cũng nói v là vectơ tiếp xúc tại p với đa tạp M và gọi số v(f) là đạo hàm của f theo hớng của đờng cong (t) tại t 0 . 1.3.2. Nhận xét: Mỗi vectơ v tiếp xúc với đa tạp M tại p có các tính chất sau: 1) v là ánh xạ tuyến tính từ f p vào R. 2) v(fg) = v(f) g(p) + f(p) v(g) ; f,g f p 1.3.3.Mệnh đề: Ký hiệu T p (M) là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc với đa tạp M tại p. Thế thì T p (M) lập thành một không gian vectơ có chiều bằng chiều của M, bởi phép toán sau: (v + u) (f) = v(f) + u(f) ; f f p ( v) (f) = . v(f); f f p , R Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra đợc T p (M) là một không gian vectơ Để chứng minh dim T p (M) = dim M = n, ta giả sử (U,) là một bản đồ trên M, p (x 1 , ,x n ) v, ta chứng minh rằng n i i x 1 = là cơ sở của T p (M) 6 Thật vậy: (+) p i x T p (M) Ta có p i x (f) = ( ) pip i fD x f 1 . = Để chứng minh p i x T p (M) ta chứng tỏ tồn tại đờng cong (t) thoả mãn: Tồn tại t 0 để (t 0 ) = p và p i x tiếp xúc với (t) tại p. Chọn : I M t (t) thoả mãn 0 I và ((t)) = (p 1 , p 2 , , p i - 1 , p i +t , p i +1 , . p n ) trong đó (p) = (p 1 , , p n ) Dễ thấy ((0)) = (p 1 , , p n ) =(p) nên suy ra (0) = p (Vì là đơn ánh) Ta có : dt d f (t) = dt d f - 1 (t) = dt d f - 1 ( ( (t))) = dt d f - 1 (p 1 , , p i -1 , p i +t , p i +1 , . p n ) = ( )( ) = n i j ti t fD 1 1 (với j = p j ; j i và i = p i + t ) = D i f - 1 ( (t)) Nếu v T p (M) thì f f p , ta có : v(f) = dt d f (t) to = D i f - 1 (p) = p i x f = )( f x f p i v = p i x T p (M) (1) (+) n i i x 1 = là hệ sinh, thật vậy: (t) = (x 1 (t), ., x n (t)) f((t) = f (x 1 (t), ., x n (t)) 7 v(f) = dt d f (x 1 (t), , x n (t)) to = ( ) = n i p i oi x tx 1 ' v = ( ) = n i p i oi x tx 1 ' Vậy n i p i x 1 = là hệ sinh (2) (+) n i p i x 1 = là hệ độc lập tuyến tính thật vậy: Nếu = n i p i i x f 1 = 0 thì suy ra = n i p i i x f 1 (x j ) = 0 (x j ) = 0, j = n,1 ( ) = = n i pjii xD 1 1 0. ; j = n,1 ( ) = = n i pjii yD 1 0 , trong đó y j là hàm toạ độ thứ j trong R n , y j = x j . - 1 = n i iji 1 = 0 ; j j = 0 , j = n,1 n i p i x 1 = là hệ độc lập tuyến tính. (3) Kết hợp (1), (2) và (3) ta suy ra n 1i p i x = là cơ sở của T p (M) T p (M) là một không gian vectơ có cơ sở là n 1i p i x = nên: dim T p (M) = n = dim M 1.4. ánh xạ tiếp xúc. 1.4.1. Định nghĩa: Cho hai đa tạp khả vi M và N, một ánh xạ khả vi f: M N và một điểm p M. ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ f tại p (hay vi phân của ánh xạ f tại p) là ánh xạ: 8 f * p: T p (M) T f(p) M Xác định nh sau: Đối với mỗi vectơ v T p (M) là vec tơ tiếp xúc tại điểm p = (t 0 ) mỗi đờng cong (t) trong M thì f *p (v) T f(p) N là vec tơ tiếp xúc tại f (t 0 ) = f(p) với đờng cong f (t) trong N Nh vậy nếu v (f) = dt d f (t)t 0 , f f p thì f *p (v) = v' xác định bởi: v'(g) = dt d (gf (t))t 0 , g f f(p) Vì một vec tơ v có thể tiếp xúc tại p với chẳng hạn hai đờng cong (t), (t), cho nên để đảm bảo rằng định nghĩa là đúng đắn, ta phải chứng minh rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn đờng cong (t) nghĩa là phải chứng minh hai đờng cong f (t) và f (t) xét tại điểm f(p) chỉ có cùng một vectơ tiếp xúc. Muốn vậy phải chứng minh rằng: dt d g f (t)t 0 = dt d g f (t)t 0 , g f f(p) nhng điều này là đúng vì v tiếp xúc tại p với (t) và (t) có nghĩa là v[f] = dt d g f (t)t 0 = dt d f (t)t 0 , f f p Do đó hệ thức này cũng xẩy ra với F = g f Nhận xét: v T p (M), v = dt d (t)t 0 thì: v'= f *p (v) = f *p ( dt d (t)t 0 ) = dt d f (t)t 0 1.4.2. Mệnh đề: Từ định nghĩa, ta có: v[g f] = (f *p (v)) (g); g f f(p) 9 Chứng minh: Vì g f f p nên theo định nghĩa vectơ tiếp xúc v của đ- ờng cong (t) tại p = (t 0 ) ta có v[g f] = dt d g f((t))t 0 (1) Mặt khác vì f *p (v) là vectơ tiếp xúc với đờng cong f((t)) tại f(p) = f((t 0 )) nên theo định nghĩa vectơ tiếp xúc ta có: (f *p (v)) (g) = dt d g f((t))t 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Hệ quả : Đối với ánh xạ đồng nhất id trên đa tạp M ta luôn có id *p (v) = v ; v T p (M) 1.4.3. Nhận xét: (1) Giả sử với hệ toạ độ địa phơng (U , ), mỗi p U , p có toạ độ (x 1 , .,x n ) ta có f(p) = p' V , p' có toạ độ (y 1 , .,y k ) ta suy ra: f(x 1 , .,x n ) = (y 1 , .,y k ) = (y 1 (x 1 , .,x n ), , y k (x 1 , .,x n )) Đặt y 1 (x 1 , .,x n ) = f 1 y k (x 1 , .,x n ) = f k Ký hiệu J f = n kk n x f x f x f x f . . . 1 1 1 1 là Jacôbi của f. Khi đó ta có 10 [v'] = J f p [v] trong đó v' = f *p (v), với v T p (M) [v'] là ma trận toạ độ của v', [v] là ma trận toạ độ của v. (2) f *p là ánh xạ tuyến tính từ T p (M) và T f(p) (N) (3) Đối với hợp thành của các ánh xạ khả vi, ta có (g f) *p = g *f(p) f *p 1.4.4. Mệnh đề: Nếu f: M N là vi phôi thì f *p là song ánh và (f *p ) - 1 = (f -1 ) *f(p) Chứng minh: Vì f là vi phôi nên f -1 cũng là vi phôi. áp dụng hệ quả của mệnh đề 1.4.2 và nhận xét 1.4.3. ta đợc: v = (id) *p (v) = (f -1 f) *p (v) = (f -1 ) *f(p) f *p (v) ; v T p (M) và do đó: (f -1 ) *f(p) f *p = id Tp(M) (1) Vì id là đơn ánh nên suy ra f *p là đơn ánh Do sự bình đẳng giữa f -1 và f nên tơng tự (1), ta có: f *p (f -1 ) *f(p) = id Tf(p)(N) (2) Vì id là toàn ánh nên suy ra f *p là toàn ánh. Vậy f *p là song ánh Vì f *p là song ánh nên tồn tại (f *p ) -1 , do đó từ (1) và (2) suy ra: (f *p ) -1 = (f -1 ) *f(p) Đ2. Dạng vi phân bậc một, bậc hai trên đa tạp Giả sử M là một đa tạp khả vi với {U , } là một họ bản đồ 2.1. Dạng vi phân bậc một trên đa tạp. 2.1.1. Định nghĩa: Một dạng vi phân bậc một hay 1 dạng vi phân trên M (trên U ) là việc đặt tơng ứng mỗi p M (tơng ứng p U ) một ánh xạ tuyến tính p : T p (M) R (tơng ứng p : T p (U ) R) 2.1.2. Chú ý: 11