Nửa phẳng poincaré

Môc lôc Trang Më ®Çu 1 §1. §a t¹p Riemann hai chiÒu 2 §2. Nöa ph¼ng PoincarÐ 8 §3. BiÕn ®æi ®¼ng cù trªn nöa ph¼ng PoincarÐ 16 §4. H×nh häc Lobatchevski trªn nöa ph¼ng PoincarÐ 22 Mở đầu Khi nói đến đa tạp Riemann hai chiều ngời ta thờng quan tâm đến một ví dụ có nhiều ứng dụng quan trọng đó là nửa phẳng Poincaré. Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu một mô hình cụ thể (nửa phẳng Poincaré) trên đa tạp Riemann hai chiều. Khoá luận đợc trình bày trong 4 mục: Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều. Trong mục này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản và cần thiết: đa tạp Riemann hai chiều (có ví dụ minh hoạ). Sau đó chứng minh một số mệnh đề nh: điều kiện cần và đủ để ánh xạ đẳng cự Một vài tính chất của ánh xạ giữa hai đa tạp Riemann đợc phát biểu thông qua mệnh đề, hệ quả và các nhận xét. Đ2. Nửa phẳng Poincaré. Trong mục này chủ yếu trình bày các khái niệm cụ thể của đa tạp Riemann trên nửa phẳng Poincaré nh: độ dài cung đoạn, khoảng cách, bất đẳng thức tam giác, tỉ số kép và diện tích của tam giác cong đợc trình bày dới dạng khái niệm, mệnh đề và nhận xét. Đ3. Biến đổi đẳng cự trên nửa phẳng Poincaré. Trong mục này chủ yếu trình bày các khái niệm về ánh xạ đẳng cự và một số ánh xạ đẳng cự đặc biệt trên nửa phẳng Poincaré phát biểu dới dạng mệnh đề. Đ4. Hình học Lobatchevski trên nửa phẳng Poincaré. Trong mục này chủ yếu trình bày một số liên hệ của hình học Lobatchevski trên mô hình Poincaré đợc phát biểu dới dạng mệnh đề. Khoá luận này đợc hoàn thành vào tháng 5 năm 2005 tại Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hớng dẫn: Tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học. Vinh, tháng 5 năm 2005 Tác giả 2 Đ1. Đa tạp Riemann hai chiều 1.1. Định nghĩa. M là đa tạp hai chiều. Một (cấu trúc) mêtric Riemann trên M là việc đặc tơng ứng với mỗi p M, một tích vô hớng , p trên T p M sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trờng véctơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M thì hàm số p X(p), Y(p) là hàm số khả vi. M cùng với tích vô hớng , đó là đa tạp Riemann hai chiều, kí hiệu (M, ,). 1.2. Ví dụ. Trong E 3 với hệ toạ độ đề các vuông góc, xét hàm số : E 3 R, (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; tại mọi điểm (x, y, z) (0, 0, 0) = O, là một ngập. Vậy với mọi p E 3 - {O} -1 ((p)) là đa tạp Riemann hai chiều trong E 3 (với tích vô hớng thông thờng); đó chính là mặt cầu tâm O. 1.3. ánh xạ tiếp xúc. 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử f : M N là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp Riemann hai chiều M, N. Với mỗi p M ta có ánh xạ T p f : T p M T f(p) M đợc xác định nh sau: Lấy p T p M, coi p = (to) , với : [a, b] M, t (t) là một cung tham số trên M. Khi đó T p f( p ) = (f o )(t 0 ) ánh xạ T p f xác định nh trên đợc gọi là ánh xạ tiếp xúc tại p của f. Ta còn ký hiệu T p f là f *p 1.3.2. Nhận xét. 3 a t 0 b na . p f f (p) T p f( p ) p M N ánh xạ f *p là ánh xạ tuyến tính. 1.4 Định nghĩa các ánh xạ đặc biệt. Cho f M N là ánh xạ giữa hai đa tạp Riemann (M, ,), (N, [,]). ánh xạ f đợc gọi là ánh xạ đẳng cự, nếu tại mỗi một p M, f *p bảo tồn tích vô hớng (nghĩa là [f *p ( p ), f *p ( p )] = p , p , p , p T p M). ánh xạ f đợc gọi là bảo giác nếu tại mỗi một p M, ánh xạ f *p bảo tồn góc giữa hai véctơ bất kỳ thuộc T p M. ánh xạ f đợc gọi là bảo chuẩn nếu tại mỗi một p M, ánh xạ f *p bảo tồn chuẩn (nghĩa là || p || = ||f *p ( p ) ||, p T p M). Nếu tại mỗi một p M, f *p là đơn ánh (toàn ánh, song ánh), thì f đợc gọi là dìm (tơng ứng: ngập, trải). 1.5. Nhận xét. 1.5.1. Dễ dàng thấy rằng ánh xạ bảo giác luôn bảo tồn góc giữa hai đ- ờng thẳng nằm trên một đa tạp Riemann hai chiều (góc tại giao điểm của chúng). 1.5.2. Nếu f : M N là một ánh xạ giữa hai đa tạp Riemann M, N thì các điều kiện sau là tơng đơng a) f là dìm b) f là ngập c) f là trải Thật vậy, do dimT p M = 2 = dimT f(p) N, với mỗi một p M cho nên f *p là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ có cùng số chiều. Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng. a) f *p là đơn ánh b) f *p là toàn ánh c) f *p là song ánh Từ đó suy ra các điều kiện tơng đơng của f. 4 1.5.3. Nếu f : M N là ánh xạ đẳng cự giữa hai đa tạp Riemann (M, ,), (N, [,]) thì f là một dìm (do đó f cũng là một ngập, một trải). Thật vậy, tại p bất kỳ thuộc M, lấy cơ sở T p M là { 1 e , 2 e }. Giả sử x , y là hai véctơ bất kỳ thuộc T p M thoả mãn: f *p ( x ) = f *p ( y ). Khi đó: do f *p ( x ) - f *p ( y ) = 0 nên ta có: [f *p ( x ) - f *p ( y ), f *p ( 1 e )] = 0 i = 1,2 Do f *p tuyến tính nên điều này tơng đơng với [f *p ( x - y ), f *p ( 1 e )] = 0 i = 1, 2. Vì f là đẳng cự nên từ đẳng thức trên ta đợc x - y , 1 e = 0 i = 1,2 T đó suy ra x - y = 0 hay x = y . Vậy f *p là đơn ánh, nghĩa là f là một dìm. 1.6. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là ánh xạ bảo giác. 1.6.1. Mệnh đề. Cho f : M N là một dìm. Khi đó ánh xạ f bảo giác khi và chỉ khi với mỗi p M, tồn tại hàm số dơng : M R + sao cho: [f *p ( p ), f *p ( p )] = (p) p , p với p , p T p M. Chứng minh. a) Điều kiện cần: Giả sử f : M N là dìm và bảo giác. Tại p bất kỳ thuộc M, lấy một cơ sở bất kỳ T p M là { 1 e , 2 e }. Ta có: ( 1 e + 2 e ) ( 1 e - 2 e ) = 1 e 2 - 2 e 2 Suy ra: ( 1 e + 2 e ) vuông góc ( 1 e - 2 e ), suy ra f *p ( 1 e + 2 e ) vuông góc f *p ( 1 e - 2 e ) vì f bảo giác. Hay: (f *p ( 1 e ) + f *p ( 2 e )) vuông góc (f *p ( 1 e ) - f *p ( 2 e )) vì f tuyến tính. Điều này tơng đơng với [(f *p ( 1 e ) + f *p ( 2 e ))][(f *p ( 1 e ) - f *p ( 2 e ))] = 0. Suy ra: (f *p ( 1 e )) 2 - (f *p ( 2 e )) 2 = 0. Vì vậy (f *p ( 1 e )) 2 = (f *p ( 2 e )) 2 . Mặt khác, (f *p ( 1 e )) 2 = (f *p ( 2 e )) 2 0. Thật vậy, do f là một dìm nên theo nhận xét 1.5.2 thì f cũng là một trải, tức f *p là song ánh. 5 Giả sử (f *p ( 1 e )) 2 = (f *p ( 2 e )) 2 = 0 thì f *p ( 1 e ) = f *p ( 2 e ) Suy ra: 1 e = 2 e = 0 (vô lí). Nghĩa là (f *p ( 1 e )) 2 = (f *p ( 2 e )) 2 0. Đặt k p = (f *p ( 1 e )) 2 = (f *p ( 2 e )) 2 , từ chứng minh trên ta có k p > 0. Giả sử đối với cơ sở { 1 e , 2 e }, đã chọn p , p T p M có toạ độ lần lợt là ( 1 , 2 ) và ( 1 , 2 ). Khi đó p = = 2 1i ii e , p = = 2 1j jj e . Do đó [f *p ( p ), f *p ( p )] = [f *p ( = 2 1i ii e ), f *p ( = 2 1j jj e )] = [ = 2 1i ip*i )e(f , = 2 1j jp*j )e(f ] = = 2 1j,i ji [f *p ( 1 e ), f *p ( 2 e )] (1.1) Vì i e vuông góc với j e (i j), suy ra f *p ( i e ) vuông góc với f *p ( j e )(i j), nên từ hệ thức (1.1) ta đợc [f *p ( p ), f *p ( p )] = = 2 1j,i ji [f *p ( 1 e ), f *p ( 2 e )] = = 2 1j,i ji (f *p ( i e )) 2 = = 2 1j,i ji k p = k p = 2 1j,i ji = k p (, ). Ta xét ánh xạ : M R + p k p Khi đó ta có: [f *p ( p ), f *p ( p )] = (p) p , p , p , p T p M. b) Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại ánh xạ dơng : M R + sao cho [f *p ( p ), f *p ( p )] = (p) p , p , với p M, p , p T p M. Với mỗi p M, đặt k p 2 = (p) > 0. Lúc đó ta có [f *p ( p ), f *p ( p )] = k p 2 p , p (1.2) Điều đó tơng đơng với ||f *p ( p )|| ||f *p ( p )|| cos (f *p ( p ), f *p ( p )) = k p 2 || p || || p || cos ( p , p ) (1.3) Mặt khác ta có: [f *p ( p ), f *p ( p )] = ||f *p ( p )|| 2 (1.4) 6 Và p , p = || p || 2 (1.5) Từ (1.2), (1.4) và (1.5) ta đợc: ||f *p ( p )|| 2 = (k p || p ||) 2 và ||f *p ( p )|| 2 = (k p || p ||) 2 Từ đó ta có: ||f *p ( p )|| ||f *p ( p )|| = k p 2 ||( p )|| ||( p )|| (1.6) Từ (1.3) và (1.6) suy ra: cos (f *p ( p ), f *p ( p )) = cos( p , p ). Nh vậy f *p bảo tồn góc giữa hai véctơ tiếp xúc tại p, nghĩa là ánh xạ f bảo giác. 1.6.2. Hệ quả. ánh xạ đẳng cự là ánh xạ bảo giác. Chứng minh. Giả sử f : M N là ánh xạ đẳng cự theo nhận xét 1.5.3 thì f là một dìm. Với p bất kỳ thuộc M ta có: [f *p ( p ), f *p ( p )] = p , p , với p , p T p M. Xét ánh xạ : M R + p (p) = 1 Khi đó f thoả mãn điều kiện ánh xạ bảo giác. 1.6.3. Nhận xét. Từ nhận xét 1.5.1 và hệ quả 1.6.2 suy ra mọi ánh xạ đẳng cự đều bảo tồn góc giữa hai đờng trên một đa tạp Riemann hai chiều (góc tạo giao điểm của chúng). 1.7. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là ánh xạ đẳng cự 1.7.1.Mệnh đề. ánh xạ f : M N giữa các đa tạp Riemann là ánh xạ đẳng cự khi và chỉ khi f bảo chuẩn. Chứng minh. 7 a) Điều kiện cần: Giả sử f : M N là ánh xạ đẳng cự. Với mọi p T p M ta có [f *p ( p ), f *p ( p )] = p , p Mặt khác, [f *p ( p ), f *p ( p )] = || f *p ( p )|| 2 và p , p = || p || 2 . Vì vậy: || f *p ( p )|| 2 = || p || 2 nên ta đợc || f *p ( p )|| = || p ||, nghĩa là ánh xạ bảo chuẩn. b) Điều kiện đủ: Giả sử f : M N là ánh xạ bảo chuẩn. Với mọi p , p T p M ta có || f *p ( p + p )|| = || p + p || Vì f *p tuyến tính nên từ đẳng thức trên ta đợc ((f *p ( p ) + (f *p ( p )) 2 = ( p , p ) 2 Điều này tơng đơng với (f *p ( p )) 2 + 2 [f *p ( p ), (f *p ( p )] + (f *p ( p )) 2 = ( p ) 2 + p , p + ( p ) 2 Do f *p bảo tồn chuẩn của các véctơ nên dễ dàng suy ra [f *p ( p ), f *p ( p )] = p , p nghĩa là f là ánh xạ đẳng cự. 1.7.2. Hệ quả. Giả sử f : M N là ánh xạ đẳng cự và p là điểm bất kỳ thuộc M. Nếu { 1 e , 2 e } là cơ sở trực chuẩn của T p M thì { 1 e = f *p ( 1 e ), 2 e = f *p ( 2 e )} là một cơ sở trực chuẩn của T f(p) N. (Tức ánh xạ đẳng cự biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn). Hệ quả trên đợc suy ra trực tiếp từ mệnh đề 1.7.1 và hệ quả 1.6.2. 1.8. Mệnh đề . Cho f : M N là ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann hai chiều, p là điểm bất kỳ thuộc M. Thế thì toạ độ của véctơ p T p M đối với cơ sở { 1 e , 2 e } chính bằng toạ độ của f *p ( p ) đối với cơ sở {f *p ( 1 e ), f *p ( 2 e )} trong T f(p) N. 8 Chứng minh. Giả sử f : M N là ánh xạ đẳng cự, p là điểm bất kỳ thuộc M. Gọi { 1 e , 2 e } là cơ sở của T p M, theo hệ quả 1.7.2 thì { 1 e = f *p ( 1 e ), 2 e = f *p ( 2 e )} là một cơ sở trực chuẩn của T f(p) N. Lấy p x bất kỳ thuộc T p M, giả sử có toạ độ là (x 1 ,x 2 ) đối với { 1 e , 2 e }. Khi đó: p x = x 1 1 e + x 2 2 e , do đó f *p ( p x ) = f *p (x 1 1 e + x 2 2 e ) mà f *p tuyến tính nên f *p ( p x ) = x 1 f *p ( 1 e ) + x 2 f *p ( 2 e ), nghĩa là trong T f(p) N véctơ f *p ( p x ) có toạ độ (x 1 , x 2 ) đối với { 1 e , 2 e }. Đ2. Nửa phẳng Poincaré 2.1. Định nghĩa . Đa tạp H = {(x, y) R 2 | y > 0} với cấu trúc Riemann , = can, trong đó : N R, (x,y) = 2 y 1 can là cấu trúc Riemann chính tắc (xác định bởi tích vô hớng thông thờng trong R 2 ) gọi là nửa phẳng Poincaré. Nói cách khác, {E 1 , E 2 } là trờng mục tiêu song song chính tắc trên HCR 2 thì tại P (x,y) H. E 1(p) , E 1(p) = E 2(p) , E 2(p) = 2 y 1 E 1(p) , E 2(p) = 0. 2.2. Nhận xét. Biến đổi đồng nhất (H, can) (H, ,) là vi phôi bảo giác. 2.3. độ dài cung đoạn. a) Xét cung đoạn trên H. xác định bởi tham số hoá t R + (t) = (x(t) = x 0 , y(t) = t) (ảnh là nửa đờng thẳng (mở) trực giao (Euclid) với trục hoành ox). 9 O . . q = (t 1 ) p = (t 2 ) . x Độ dài cung đoạn của [t 1 , t 2 ] (t 1 < t 2 ). 2 t 1 t dt||)t('|| = dt)t('),t(' 2 t 1 t (t) = (x 0 , t) ; (t) = (0, 1). 2 t 1 t dt||)t('|| = dt)t('),t(' 2 t 1 t 21 = = 2 1 2 1 t t t t 2 t dt dt t 1 = ln t 2 t 1 t | = ln 1 2 t t . b) Xét cung trong H xác định bởi cung tham số hoá 0 < t < (x = x 0 + Rcost, y = Rsint) (R > 0 cho trớc). (ảnh là nửa đờng tròn (mở) trực giao (Euclid) với trục hoành ox). Độ dài cung đoạn của [t 1 , t 2 ] (t 1 < t 2 ) (t) = (x 0 + R cost, Rsint) (t) = (- Rsint, Rcost) 2 t 1 t dt||)t('|| = dt)tcosR()tsinR( sinR 1 2 t 1 t 22 22 + = + = + = 2 t 1 t 2 t 2 t 2 t 2 2 t 1 t 2 t 2 2 t 2 t 1 t )(d tg tg1 tg1 tg2 dt tsin dt = == 2 1 1 2 2 1 t t 2 t 2 t t t 2 t 2 t 2 t tg tg ln|tgln tg )tg(d 2.4. Định nghĩa Khoảng cách d(p, q) = inf{độ dài (khả vi từng khúc) nối p, q}. 2.5. Mệnh đề . Khoảng cách d(p, q) bằng độ dài của đoạn pq (khi p, q thuộc cung dạng a hoặc bằng cung pq (khi p, q thuộc cung dạng b). Chứng minh. 10