Hình học trên nửa phẳng poincaré luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ LIÊN HÌNH HỌC TRÊN NỬA PHẲNG POINCARÉ CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC- TÔPÔ Mã số: 60.46.10 luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học và luận văn. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình, người đã đặt bài toán và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngành Hình học -Tôpô đã giảng dạy hướng dẫn, giúp đỡ trong học tập và viết luận văn. Xin cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, tổ toán Trường THPT Thanh Chương 3 cùng các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện cho tôi trong quá trình theo học chương trình cao học tại Trường Đại học Vinh cũng như để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả luận văn 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .3 Chương 1: Hình học Rieman 2-chiều 5 §1. Đa tạp Rieman 2-chiều…… 5 1.1. Đa tạp Rieman 2-chiều…………………………… .5 1.2. Độ dài cung…………………………………………………… 6 1.3. Dạng liên kết của đa tạp Rieman 2- chiều 7 1.4. Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2-chiều………………… 8 1.5. Ánh xạ đẳng cự trên đa tạp Rieman 2-chiều 11 §2. Nửa phẳng Poincaré…………………… 12 2.1. Xây dựng nửa phẳng Poincaré .12 2.2. Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincaré .14 2.3. Độ dài cung đoạn trên H 2 ………… 18 2.4. Biến đổi đẳng cự trên H 2 …………………………. 20 Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré……………… 23 1. Các định nghĩa .23 2. Các mệnh đề của hình học Lobasepki .27 3. Hệ thức lượng giác Lobasepki trên mẫu nửa phẳng Poincaré…… 32 4. Diện tích tam giác Lobasepki 37 5. Hai tam giác Lobasepki bằng nhau ………… 38 KẾT LUẬN……………………………………………………… .41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 2 MỞ ĐẦU Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ XIX và đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lý học và các ngành khác của kỹ thuật. Nó được xem như một sự mở rộng tự nhiên của hình học Lobasepki. Nửa phẳng Poincaré là một ví dụ đáng chú ý của đa tạp Riemann 2- chiều. Với mô hình nửa phẳng Poincaré không những hình học Lobasepki được công nhận mà loài người đã tiến được từ “ hình học vật lý ’’ lên “hình học toán học’’. Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trình hình học như: “Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh(2003), “Mở đầu hình học Riemann’’ của Nguyễn Hữu Quang và nhiều tài liệu khác về hình học Riemann và hình học Lobasépki . Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất của đa tạp Riemann, trên cơ sở đó nghiên cứu các tính chất hình học trên nửa phẳng Poincaré, dùng mô hình nửa phẳng Poincaré nghiên cứu các hệ tiên đề của hình học Lobasepski, diện tích tam giác, các điều kiện bằng nhau của hai tam giác Lobasepski và các công thức lượng giác Lobasepki. Luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1: Hình học Rieman 2- chiều Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann 2- chiều, các tính chất của nửa phẳng Poincaré, các kết quả cơ bản về đường trắc địa trên H 2 , các kiến thức đó là kiến thức cơ sở cho chương tiếp theo. Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung hình học trên nửa phẳng Poincaré. Đây chính là nội dung chính của luận văn, tác giả trình bày chi tiết các định nghĩa, các mệnh đề của hình học Lobsepki, hệ thức lượng 3 giác, diện tích tam giác và điều kiện bằng nhau của các tam giác Lobasepki, từ đó đưa ra liên hệ giữa hình học Lobasepki và hình học Ơclit. Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại học Vinh. 4 Chương I: Hình học Rieman 2- chiều § 1. Đa tạp Rieman 2-chiều 1.1. Đa tạp Rieman 2-chiều 1.1.1. Định nghĩa: Cho M là đa tạp khả vi 2-chiều. Một cấu trúc Rieman trên M là ánh xạ g: p p g ; p ∈ M. Trong đó p g thỏa mãn : i, p g là tích vô hướng trong MT p . ii, g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g(X,Y)(p)= ( ) ppp YXg , và g là hàm khả vi theo p). M cùng với cấu trúc g xác định ở trên được gọi là đa tạp Rieman 2-chiều, kí hiệu là M hay (M,g). 1.1.2. Ví dụ: - Giả sử S là một mặt trong 3 E =Oxyz. Với mỗi p ∈ S ta đặt: ( ) ppp YXg , = pp YX . . Khi đó S là đa tạp Rieman 2-chiều (ở đây pp YX . là tích vô hướng thông thường của pp YX , trong . 3 E - Nửa phẳng Poincaré (cụ thể ở bài sau). 1.1.3. Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Định nghĩa : Cho M là đa tạp Rieman 2-chiều. Ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) YYX MBMBMB X ∇ →×∇ , : là một liên thông tuyến tính trên đa tạp M nếu thỏa mãn: +) ( ) ZYZY XXX ∇+∇=+∇ +) ZZZ YXYX ∇+∇=∇ + +) YY XX ∇=∇ ϕ ϕ ∈∀ ϕ F (M). +) ( ) [ ] ;. YYXY XX ∇+=∇ ϕϕϕ ∈∀ ϕ F(M) (trong đó F (M) ={ ϕ | RM → : ϕ là hàm khả vi). 5 Liên thông tuyến tính ∇ được gọi là liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp ∇⇔ thỏa mãn [ ] XYYX YX ∇−∇= , và 0 =∇ g z . 1.2. Độ dài cung Giả sử Γ là cung được cho bởi tham số hóa: [ ] Mba → ,: ρ t ( ) t ρ  1.2.1. Định nghĩa : Độ dài của cung Γ được kí hiệu là l( Γ ) và được xác định bởi công thức: l( Γ )= ( ) ( )( ) ∫ b a dtttg ',' ρρ 1.2.2. Định lý: l( Γ ) không phụ thuộc vào việc chọn tham số Γ Chứng minh : Giả sử 1 , ρρ là các tham số hóa khác nhau của Γ . ( ) ρ Γ l = ( ) ( )( ) ∫ b a dtttg ',' ρρ = ( ) dtt b a ∫ ' ρ         Γ 1 ρ l = ( ) ( )( ) ∫ b a dtttg ',' 11 ρρ = ( ) dtt b a ∫ )')(( 1 λρ = ( ) ( ) dttt b a ')(' 1 λλρ ∫ (ở đây [ ] [ ] baba ,,: → λ ;t ( ) t λ  ) Ta chứng minh bổ đề sau : ( ) t' λ luôn âm hoặc luôn dương với [ ] bat , ∈∀ . + Do λ vi phôi 1 − ⇒ λ khả vi . + ( ) ( ) ( ) tt t ∀≠⇒= − 0' ' 1 ' 1 λ λ λ + Giả sử có ( ) 00 ', tt λ >0, ( ) 0', 1 1 < tt λ . Theo định lí Lagrăng ( ) 0': =∃ ξλξ ( mâu thuẫn với ( ) tt ∀≠ 0' λ ). ( ) t' λ ⇒ luôn âm hoặc luôn dương với [ ] bat , ∈∀ . Áp dụng bổ đề vào chứng minh định lý : T/h1: ( ) ( ) λλρλ dltt d c ∫ =⇒∀> Γ 1 '0' ( ( ) ( ) ), bdac λλ == 6 T/h2: ( ) ( ) ( ) ∫∫ =−=⇒∀< Γ d c c d ddltt λλρλλρλ ''0' 11 . Vậy Γ l không phụ thuộc vào việc chọn tham số của Γ . 1.3. Dạng liên kết của đa tạp Rieman 2- chiều Giả sử (M,g) là đa tạp Riemann 2- chiều, { } 21 ,UU là trường mục tiêu trực chuẩn trên M, { } 21 , θθ là trường đối mục tiêu của { } 21 ,UU , ∇ là liên thông Lêvi- Sivita trên M. Khi đó tồn tại các 1- dạng vi phân j i ω trên M sao cho ∈∀ X B (M) ta có : ( ) ( ) 2 1 21 1 11 UXUXU X ωω +=∇ ; ( ) ( ) 2 2 21 2 12 UXUXU X ωω +=∇ 1.3.1. Mệnh đề: 0 2 2 1 1 == ωω 2 1 1 2 ωω −= Chứng minh: ∈∀ X B (M) ta có : [ ] 0, 21 = UUX ⇔ 0,, 1111 =∇+∇ UUUU XX ⇔ ( ) 0, 11 1 1 = UUX ω ⇔ ( ) 0 1 1 = X ω Vậy 0 1 1 = ω Chứng minh tương tự ta cũng có 0 2 2 = ω Do 0, 21 = UU nên [ ] 0, 21 = UUX ⇔ 0,, 2121 =∇+∇ UUUU XX ⇔ ( ) ( ) 0 1 2 2 1 =+ XX ωω ; ∈∀ X B (M) Vậy 2 1 1 2 ωω −= 7 1.3.2. Định nghĩa: Dạng vi phân 1 2 ω được gọi là dạng liên kết của M ứng với trường mục tiêu { } 21 ,UU . 1.3.3. Tính chất: 22 1 1 θωθ ∧−= d 11 2 2 θωθ ∧−= d Chứng minh: Mọi dạng vi phân bậc một 1 2 ω trên tập mở V của M có dạng : 2 2 1 1 1 2 θϕθϕω += , 21 , ϕϕ là hàm số trên V. Vì d ( ) ( ) 2 1 221 1 , UUU ωθ −= nên 22 1 1 θωθ ∧−= d . Vì d ( ) ( ) 2 1 221 2 , UUU ωθ −= nên 11 2 12 1 2 θωθωθ ∧=∧−= d . 1.4. Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2- chiều Xét cung tham số trên đa tạp Rieman 2- chiều M tức ánh xạ (khả vi) MJ → : ρ , t  ( ) t ρ , J là khoảng mở trong R. Trường véc tơ dọc ρ là ánh xạ X: ( ) MTI t ρ ∪→ ; ( ) ( ) MTtXt t ρ ∈  . Giả sử { } 21 ,UU là trường mục tiêu khả vi trên tập mở U chứa ( ) t ρ , khi đó trong lân cận J ⊂ I của trường véc tơ X dọc ρ có thể biểu diễn bởi : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) tUttUttX ρψρψ 2211 += trong đó RJ →:, 21 ψψ X được gọi là khả vi tại t nếu 21 , ψψ khả vi tại t, X được gọi là khả vi nếu X khả vi tại It ∈∀ . 1.4.1. Định nghĩa: Giả sử X là trường véc tơ dọc cung tham số MJ → : ρ , t  ( ) t ρ , ta xác định trường véc tơ dt X ∇ như sau: Với mỗi It ∈ 0 ta lấy trường trực chuẩn { } 21 ,UU trong một lân cận của ( ) 0 t ρ , ta viết ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) tUttUttX ρψρψ 2211 += Đặt: 8 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ++= ∇ 01020 1 2010 .''' tUtttt dt X ρψρωψ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 02010 2 102 .''' tUttt ρψρωψ + trong đó 2 1 1 2 ωω −= là dạng liên kết của (M,g) trong trường mục tiêu đã chọn. Khi đó dt X ∇ được gọi là đạo hàm của trường véc tơ X dọc ρ . 1.4.2. Định nghĩa: Giả thiết đường cong Γ trên đa tạp Rieman M được cho bởi tham số hóa MJ → : ρ (J là khoảng mở trong R và ρ khả vi ), Γ được gọi là đường trắc địa trên M nếu và chỉ nếu 0 ' = ∇ dt ρ hay trường véc tơ tiếp tuyến ρ ’ là trường véc tơ song song dọc Γ . Ví dụ: Đường trắc địa trong 2 R là đường thẳng. Chứng minh: Giả sử Γ cho bởi ρ :[a;b] 2 R → t  ( ) ( ) ( )( ) txtxt 21 , = ρ là một đường trong 2 R . Γ là đường trắc địa 0 ' = ∇ ⇔ dt ρ ( ) 0'0 ' =⇒=⇔ tx dt D i ρ ( ) aaa 21 ,'0'' =⇔=⇔ ρρ Suy ra : ( ) ( )    += += = tatx tatx 222 111 . α α ρ R ∈ α Vậy: ρ là đường thẳng.(đpcm) 1.4.3. Chú ý : ρ là đường trắc địa thì ' ρ là hằng . Chứng minh: ( ) 0 ' '.'. '',' = ∇ + ∇ = dtdtdt d ρ ρρ ρρρ const =⇒ ''. ρρ ( ) ct =⇒ ' ρ . 9