Hình học riemann trên mặt cầu luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG ĐÌNH BẰNG h×nh häc riemann trªn mÆt cÇu CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ Mã số:60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU .3 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ .5 §1. Đa tạp Riemann .5 1.1. Định nghĩa (xem [5]) 5 1.2. Liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann .5 1.3. Đạo hàm của trường vectơ dọc một đường cong .10 §2. Chuyển dịch song song 11 2.1. Định nghĩa (xem [5]) 11 2.2. Nhận xét .11 2.3. Mệnh đề (xem [5]) 12 2.4. Định nghĩa (xem [5]) 12 2.5. Mệnh đề (xem [5]) .13 §3. Đường trắc địa trên đa tạp Riemann 13 3.1. Định nghĩa (xem [5]) 13 3.2. Nhận xét. .13 §4. Ánh xạ giữa các mặt 17 4.1. Ánh xạ khả vi .17 4.2. Ánh xạ tiếp xúc của .17 4.3. Vi phôi 18 4.4. Ánh xạ đẳng cự .18 Chương 2 HÌNH HỌC RIEMANN TRÊN MẶT CẨU .22 §1. Đường trắc địa trên mặt cầu .22 1.1. Mệnh đề (xem [6]) 22 1.2. Phương trình đường trắc địa trong tham số hóa Clêrô 25 §2. Phép chuyển dịch song song trên mặt cầu .26 2.1. Mệnh đề 26 2.2. Nhận xét .27 2.3. Định nghĩa 27 2.4. Định lý 27 2.5. Nhận xét .29 2.6. Mệnh đề 30 2.7. Mệnh đề 32 §3. Các trường hợp bằng nhau của tam giác cầu .34 3.1 Định nghĩa .34 1 3.2. Mệnh đề 34 3.3. Bổ đề .35 3.4. Mệnh đề 35 3.6. Mệnh đề 37 §4. Diện tích một số hình trên mặt cầu 39 4.1. Định nghĩa 39 4.2. Mệnh đề 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO .43 2 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỷ 19.Thực chất của hình học Riemann là nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp Riemann. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học, cơ học, vật lý và các ngành khác nhau của kĩ thuật và thực tiễn. Từ đó đến nay hình học Riemann đã và đang được nghiên cứu rộng rãi bởi các nhà toán học và vật lý học.Trong đó các vấn đề về chuyển dịch song song, đường trắc địa, diện tích thiết diện . Được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Với mục đích là tìm hiểu và nghiên cứu về chuyển dịch song song, đường trắc địa, góc hôlônômi, phép đẳng cự trên mặt cầu. Được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình và các thầy giáo trong bộ môn hình học, tôi chọn đề tài: Hình học Riemann trên mặt cầu Nội dung chính của luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về đa tạp Riemann, khái niệm liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann, đạo hàm của trường véc tơ dọc cung tham số. Các khái niệm chuyển dịch song song, đường trắc địa và các ánh xạ giữa các mặt trên đa tạp Riemann. Chương 2: Hình học Riemann trên Mặt cầu Trong chương này chúng tôi xác định đường trắc địa trên mặt cầu, phép chuyển dịch song song trên mặt cầu và cách tính góc hôlônômi của mặt cầu,của tam giác cầu. Tính được diện tích của tam giác cầu, tứ giác cầu và đa giác cầu. Các trường hợp bằng nhau của tam giác cầu. 3 Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn các thầy giáo trong tổ hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu. Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm việc tại khoa sau đại học, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 4 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ §1. Đa tạp Riemann Ta kí hiệu: M là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và với hệ bản đồ { , }U I ϕ α α α ∈ T p M: Không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p. F (M): Tập các hàm khả vi trên M. B (M): Tập các trường vectơ khả vi trên M. 1.1. Định nghĩa (xem [5]) Một cấu trúc Riemann g trên M, đó là một ánh xạ g: p → g p , p M∀ ∈ và g :T M×T M R p p p → , trong đó g p thoả mãn: +) g p là tích vô hướng trong T p M. +) g phụ thuộc khả vi vào p (tức là: g (X,Y) (p) = g p (X p ,Y p ) và g là hàm khả vi theo p). Đa tạp (M,g) được gọi là đa tạp Riemann. 1.2. Liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann 1.2.1. Định nghĩa (xem [5]). Cho M là đa tạp khả vi. Liên thông tuyến tính trên M là ánh xạ : ( ) ( ) ( ) ( ) X : M M M X,Y Y ∇ × → ∇a B B B thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ( ) 1 2 1 2 X X X X 1 2 Y Y Y; X ,X ,Y M + ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ B 2) ( ) ( ) X X Y Y; X,Y M , M ϕ ∇ = ϕ∇ ∀ ∈ ∀ϕ∈B f 3) ( ) ( ) X 1 2 X 1 X 2 1 2 Y Y Y Y ; X,Y ,Y M∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ B 4) ( ) [ ] ( ) ( ) X X Y Y X Y; X,Y M , M∇ ϕ = ϕ∇ + ϕ ∀ ∈ ∀ϕ∈B f 5 X Y∇ gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X. 1.2.2. Định nghĩa (xem [5]). Cho M là đa tạp Riemann. Liên thông tuyến tính ∇ trên M được gọi là liên thông Lêvi-Civita trên M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 5) Trường tenxơ xoắn T = 0 ( nghĩa là ( ) [ ] X Y T X,Y Y X X,Y 0= ∇ − ∇ − = với ( ) X,Y M∀ ∈ B ) 6) Với mọi trường vectơ X, Y, Z trên M thì: ( ) X X X Y,Z Y,Z Y, Z ; X.Y,Z M= ∇ + ∇ ∀ ∈     B . Tức là, ( ) X M∀ ∈B ta có X g 0∇ = (trong đó Y,Z g(Y,Z)< >= ) 1.2.3. Ví dụ. Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu { } 1 2 n E ,E , .,E . Với ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i i 1 i 1 X,Y M : X X E ;Y YE X ,Y M ;i 1,n = = ∀ ∈ = = ∈ = ∑ ∑ B f . Ta đặt [ ] n X i i i 1 Y X Y E = ∇ = ∑ . Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính trên M. Thật vậy với ( ) ( ) X,X',Y,Y' M ; M∀ ∈ ∀ϕ∈B f ta có: ( ) [ ] n X X ' i i i 1 1) Y X X' Y E + = ∇ = + ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X' Y E = = = + ∑ ∑ X X' Y Y= ∇ + ∇ . ( ) [ ] n X i i i i 1 2) Y Y' X Y Y ' E = ∇ + = + ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X Y ' E = = = + ∑ ∑ 6 X X Y Y'.= ∇ + ∇ ( ) [ ] n X i i i 1 3) Y X Y E ϕ = ∇ = ϕ ∑ [ ] n i i i 1 X Y E = = ϕ ∑ ( ) [ ] X n X i i i 1 Y. 4) Y X Y E = = ϕ∇ ∇ ϕ = ϕ ∑ [ ] [ ] ( ) n i i i i 1 X Y YX E = = ϕ + ϕ ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X YE = = = ϕ + ϕ ∑ ∑ [ ] X Y X Y.= ϕ∇ + ϕ Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi -Civita. Thật vậy do: [E [ ]]=E [E [ ]], i, j = 1, ., n j j E i i ϕ ϕ ∀ 5) Ta có [X,Y][ ϕ ] = X[Y[ ϕ ]] - Y[X[ ϕ ] [ ] [ ] i 1 1 X n n i i i i i X Y E Y E ϕ ϕ = =     =         − ∑ ∑ [ ] [ ] [ ] 1 1 n n i i i i i i X Y E Y X E ϕ ϕ = =   =   + ∑ ∑ - [ ] [ ] [ ] 1 1 n n i i i i i i Y X E X Y E ϕ ϕ = =     − ∑ ∑ [ ] [ ] 1 n i i i X Y E ϕ = = ∑ - [ ] [ ] 1 n i i i Y X E ϕ = ∑ [ ] [ ] [ ] i 1 ( X ) n i i i i X Y E Y E ϕ = = − ∑ = ( )[ ] X Y Y X ϕ ∇ −∇ Vậy ( , ) [X, Y] = 0 X Y T X Y Y X = ∇ −∇ − 6) Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được: 7 X[g (Y,Z)] = g ( X Y∇ ,Z ) + g ( Y, X Y∇ ). Vậy ∇ là một liên thông Lêvi -Civita trên M. 1.2.4. Mệnh đề (xem [5]). Liên thông Lêvi- Civita trên đa tạp M luôn tồn tại và duy nhất. Chứng minh. +) Sự tồn tại của liên thông Lêvi-Civita trên M. Giả sử X,Y ∈ B (M) ta xác định X Y∇ bởi phương trình sau: ( ) X 1 Y,Z X Y,Z Y Z,X Z X,Y 2 ∇ = + − +             [ ] [ ] [ ] ( ) 1 Z, X,Y Y, Z,X X, Y,Z 2 + + − (1) trong đó Z là trường vectơ tùy ý của B (M). Khi đó, ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) : M M M X,Y Y X ∇ × → ∇a B B B là liên thông tuyến tính. Ta chứng minh ∇ là liên thông Lêvi-Civita trên M. Đặt ( ) [ ] X Y T X,Y Y X X,Y= ∇ − ∇ − Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra được ( ) ( ) T X,Y ,Z 0, Z M= ∀ ∈B . Suy ra, T (X,Y) =0. Bây giờ, ta chứng minh g 0∇ = . Thật vậy, với ( ) X,Y, Z M∀ ∈ B ta có: X X Y,Z Y, Z X Y,Z∇ + ∇ =     ( suy ra từ (1)) (2) hay g 0∇ = . Vậy ∇ là liên thông Lêvi-Civita trên M. 8 +) Chứng minh tính duy nhất của ∇ . Để chứng minh tính duy nhất của ∇ ta chứng tỏ rằng nếu X Y∇ thỏa mãn điều kiện T (X,Y)=0 và g 0∇ = thì ∇ thỏa mãn phương trình (1). Thật vậy với ( ) X,Y, Z M∀ ∈ B ta có: X X X Y,Z Y,Z Y, Z= ∇ + ∇     (3) Y Y Y X,Z Z,X Z, X= ∇ + ∇     (4) Z Z Z X,Y X,Y X, Y= ∇ + ∇     (5) Ta có [ ] [ ] X Z Z X Z X X,Z 0 X Z X,Z∇ − ∇ − = ⇒ ∇ = ∇ − [ ] [ ] Y Z Z Y Z Y Y,Z 0 Y Z Y,Z∇ − ∇ − = ⇒ ∇ = ∇ − Khi đó (5) [ ] [ ] X Y Z X,Y Z,Y X,Z ,Y X, Z X, Y,Z⇔ = ∇ − + ∇ −     (6) Ta có [ ] [ ] X Y Y X Y X X,Y 0 X Y X,Y∇ − ∇ − = ⇒ ∇ = ∇ − (4) [ ] Y X Y Z,X Z,X Z, Y Z, X,Y⇔ = ∇ + ∇ −     (7) Cộng vế theo vế của (3) và (7) rồi trừ vế theo vế cho (6) ta có: X Y,Z Y Z,X Z X,Y+ −             [ ] [ ] [ ] X 2 Y,Z X, Y,Z Y, Z,X Z, X,Y= ∇ + − − ( ) X 1 Y,Z X Y,Z Y Z,X Z X,Y 2 ⇒ ∇ = + − +             [ ] [ ] [ ] ( ) 1 Z, X,Y Y, Z,X X, Y,Z 2 + + − Đây chính là đẳng thức (1). Vậy tính duy nhất được chứng minh. 9 . Riemann. Chương 2: Hình học Riemann trên Mặt cầu Trong chương này chúng tôi xác định đường trắc địa trên mặt cầu, phép chuyển dịch song song trên mặt cầu. đẳng cự trên mặt cầu. Được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình và các thầy giáo trong bộ môn hình học, tôi chọn đề tài: Hình học Riemann trên mặt cầu Nội