Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ---------------------- LÊ THỊ PHƯƠNG LIÊN ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TÔPÔ MÃ SỐ: LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN DUY BÌNH - 2 - VINH - 2011 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu……………………………………………………………… .3 ChươngI: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp Riemann. §1. Đa tạp khả vi ……………………………………………………………. .5 §2. Đa tạp Riemann………………………………………………………… .8 §3. Cung trắc địa trên đa tạp Riemann……………………………………… 11 §4. Ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann……………………………………… 8 ChươngII: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên nhóm Lie. §1. Nhóm Lie và nhóm con một tham số…………………………… 26 §2. Trường vectơ bất biến trái………………………………………………. 28 §3. Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên nhóm Lie………………………… .31 Kết luận ……………………………………………………………… .36 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… .37 - 3 - LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỷ 19 và nó đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lí học và các ngành khác nhau của kỹ thuật. Khái niệm ánh xạ mũ và đường trắc địa là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học Riemann. Trong một chừng mực nào đấy không gian tiếp xúc với đa tạp đã phản ánh cấu trúc của đa tạp một cách địa phương nhờ ánh xạ mũ. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp. Trên cơ sở kết quả của nhiều nhà toán học cùng với sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình tác giả đã chọn đề tài nghiên cứu là : “Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp”. Luận văn được trình bày gồm hai chương: Chương I: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên đa tạp Riemann. Chương II: Ánh xạ mũ và đường trắc địa trên nhóm Lie. Nội dung cơ bản của chương I là nêu được những khái niệm về đa tạp khả vi, đa tạp Riemann, các khái niệm về vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc với các đa tạp, nêu được khái niệm cơ bản của liên thông tuyến tính, liên thông Levi-Civita và mục đích cuối cùng là đưa ra được khái niệm đường trắc địa và ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann, nêu được mối quan hệ giữa đường trắc địa và ánh xạ mũ, nêu được các tính chất của đường trắc địa và các tính chất của ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann. Nội dung cơ bản của chương II là trình bày khái niệm nhóm Lie, đại số Lie trường vectơ bất biến trái. Nhóm con một tham số sinh bởi trường vectơ bất biến trái để đưa ra khái niệm ánh xạ mũ trên và đường trắc địa trên nhóm Lie, nêu được mối quan hệ của ánh xạ mũ và đường trắc địa với nhóm con một tham số, nêu được các tính chất của ánh xạ mũ và đường trắc địa trên - 4 - nhóm Lie, và ở đây chúng tôi đã chứng minh được ánh xạ mũ trên nhóm Lie là trường hợp đặc biệt của ánh xạ mũ trên đa tạp Riemann. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Sau Đại học Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy và cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu và trong quá trình học tập của mình. Qua đây tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa Toán, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, các đồng nghiệp, bạn bè, và từ tận đáy lòng mình tác giả muốn gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới gia đình và các thầy cô, bạn bè đang công tác tại trường THPT Đặng Thai Mai đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này và hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học. Vinh, tháng 12 năm 2011 - 5 - CHƯƠNG I. ÁNH XẠ MŨ VÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN § 1. ĐA TẠP KHẢ VI 1.1.1. Đa tạp khả vi. Định nghĩa. Giả sử M là T 2 -không gian i. Nếu U mở trong M và U* là tập mở trong n ¡ và : *U U ϕ → đồng phôi thì (U, ϕ ) được gọi là một bản đồ của M. ii. Với p ∈ U thì ( ) n p ϕ ∈ ¡ , nên 1 2 ( ) ( , , ., ) n p x x x ϕ = . Khi đó (x 1 ,x 2, .,x n ) được gọi là toạ độ của p đối với (U, ϕ ) và (U, ϕ ) được gọi là hệ toạ độ địa phương. iii. Giả sử (U 1 , 1 ϕ ) và (U 2, 2 ϕ ) là 2 bản đồ của M sao cho W= 1 2 U U φ ∩ ≠ . Khi đó (U 1 , 1 ϕ ) và 2 2 ( , )U ϕ được gọi là phù hợp nếu ánh xạ 1 2 1 ϕ ϕ − o là vi phôi (song ánh và khả vi hai chiều ). iv. A ={(U , ) i i i I ϕ ∈ là họ các bản đồ trên M}. Nếu thoả mãn: a. i i I U M ∈ = U . b. ( , ) i i U ϕ và ( , ) j j U ϕ là phù hợp, với mọi i j≠ thì ta nói A là một Atlát của M. v. Nếu A là một Atlát cực đại trên M (tức là A không thực sự nằm trong một Atlát nào) thì A được gọi là một cấu trúc khả vi trên M. vi. Một T 2 -không gian M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n- chiều. 1.1.2. Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp. Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi. Ánh xạ :f M N→ được gọi là ánh xạ khả vi nếu f liên tục và với mọi bản đồ(U, ϕ ) và ( , )V ψ của N sao cho: 1 ( ) W U f V φ − ∩ = ≠ đều có 1 f ψ ϕ − o o khả vi. Trong đó 1 f ψ ϕ − o o : 1 2 W (W) W ( (W)).f ϕ ψ = → = - 6 - 1.1.3.Vectơ tiếp xúc trên đa tạp. Ta ký hiệu : F p = { :f M → ¡ / f khả vi trong lân cận U p chứa p}. 1.1.3.1.Định nghĩa. Vectơ tiếp xúc với đường cong ρ tại điểm p là ánh xạ : v : F p → ¡ 0 ( ) ( )( ) t t d f v f f t dt ρ = =a o Khi đó ta cũng nói v là vectơ tiếp xúc với đa tạp M tại p 1.1.3.2.Định lý. a. Vectơ tiếp xúc với đa tạp M tại p có các tính chất: i. v là ánh xạ tuyến tính. ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v f g g p v f f p v g= +o b. Tất cả các ánh xạ v : F p → R thoả mãn hai tính chất trên làm thành một không gian vectơ với hai phép toán: i. ( )( ) ( ) ( )v v f v f v f+ = + % % ii. ( )( ) ( )v f v f α α = . 1.1.3.3.Định lý. Ta ký hiệu T p M ={ :v v tiếp xúc với M tại p} T p M là không gian vectơ với dimT p M=dimM=n với hệ vectơ cơ sở là { 1 2 , , , p p p n x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ } Khi đó T p M được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của đa tạp M tại p. 1.1.4. Ánh xạ tiếp xúc. Giả sử: -M là đa tạp m- chiều với cấu trúc khả vi { ( , )} i i i I U ϕ ∈ . -N là đa tạp n- chiều với cấu trúc khả vi { ( , )} j j j J V ψ ∈ . -Ánh xạ :f M N→ ( ) 'p f p p=a khả vi. -T p M là không gian vectơ tiếp xúc với M tại p. - 7 - -T p’ N là không gian vectơ tiếp xúc với N tại p’ Ánh xạ tiếp xúc của f tại p là: * ' : p p p f T M T N→ * ( ) ' p v f v v=a và được xác định như sau: nếu p v T M∈ tiếp xúc với đường cong ( )t ρ tại p thì * ( ) ' p f v v= tiếp xúc với đường cong ( )( )f t ρ o tại p’. Khi đó ta chứng minh được * p f là ánh xạ tuyến tính. 1.1.5.Trường vectơ trên đa tạp. Trường vectơ X trên đa tạp là ánh xạ: : p p A X M T M ∈ → U ; p p p p X X T M∈a 1.1.6. Đường cong tích phân trên đa tạp. Định nghĩa. Giả sử X là trường vectơ khả vi trên đa tạp M. Xét đường cong Γ cho bởi tham số hoá : J M ρ → , ( )t t ρ a . Γ được gọi là đường cong tích phân của trường vectơ X nếu mỗi điểm p ∈Γ thoả mãn 0 0 ( ) '( ) p t p t X ρ ρ =    =   (hay X p là vectơ tiếp xúc với Γ tại p) 1.1.7. Liên thông tuyến tính trên đa tạp. Định nghĩa. B(M)= {X: X là trường vectơ khả vi trên đa tạp M} Ánh xạ ∇ :B(M)x B(M) → B(M) (X,Y) X Y∇a được gọi là liên thông tuyến tính trên M nếu ∇ thoả mãn các điều kiện sau: 1. ( ) X X X Y Z Y Z∇ + = ∇ + ∇ X,Y,Z ∈ B(M). 2. X Y X Y Z Z Z + ∇ = ∇ +∇ 3. X X Y Y ϕ ϕ ∇ = ∇ 4. [ ] X X Y X Y Y ϕ ϕ ϕ ∇ = + ∇ - 8 - ∀ X,Y,Z ∈ B(M) và ∀ ϕ ∈ F(M) Định nghĩa: M được gọi là một đa tạp khả song nếu trên M tồn tại trường mục tiêu {E 1 ,E 2 , ,E m } Ta có sự biểu diễn ij 1 i m k E j k k E E = ∇ = Γ ∑ . Khi đó ij { } k Γ được gọi là thành phần liên thông của ∇ , ∇ hoàn toàn xác định khi biết ij { } k Γ , , , 1, .i j k m∀ = Với M= n ¡ , {E 1 ,E 2 , ,E n } là trường vectơ tự nhiên của n ¡ và xét D∇ = . Khi đó ij 0, , , 1, k i j k nΓ = ∀ = §2. ĐA TẠP RIEMANN 1.2.1.Đa tạp Riemann. Cho M là đa tạp khả vi Một cấu trúc Riemann g trên M, đó là một ánh xạ p a g p ; p M∈ . Trong đó g p là tích vô hướng trong T p M và g p phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là: g(X,Y)(p)= g p (X p ,Y p ) và g là hàm khả vi theo p) Khi đó (M,g) được gọi là một đa tạp Riemann. Ví dụ: Giả sử ϕ là hàm số khả vi và luôn dương trên n ¡ . Ta đặt ( ) ,g X Y XY ϕ = , với 1 n i i i XY X Y = = ∑ là tích vô hướng chính tắc trên n ¡ Khi đó ( ) , n g¡ là một đa tạp Riemann. 1.2.2. Độ dài cung. Giả sử Γ là cung cho bởi tham số hoá : J M ρ → t ( )t ρ a với J là một khoảng mở trong ¡ ( J=(a;b)). Độ dài cung của Γ được ký hiệu là ( )l Γ và được xác định bởi công thức: ( ) ( ', ') b a l g dt ρ ρ Γ = ∫ - 9 - 1.2.3. Ánh xạ đẳng cự. Cho ánh xạ khả vi : ( , ) ( , )f M g N g→ % được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu và chỉ nếu: p M∀ ∈ ta đều có ( ) * * ( , ) ( , ); , f p p p p p p p p g f X f Y g X Y X Y= ∀ ∈ % B(M) ( f đẳng cự nếu và chỉ nếu * p f bảo toàn tích vô hướng p M∀ ∈ ) - Nếu f là ánh xạ đẳng cự thì g là phép nhúng. - Ánh xạ f được gọi là vi phôi đẳng cự nếu f là ánh xạ đẳng cự và f là song ánh. - Nếu f là ánh xạ đẳng cự thì f bảo toàn góc của các phương tiếp xúc và f bảo toàn độ dài cung. 1.2.4. Liên thông Levi-Civita. 1.2.4.1.Định nghĩa. (xem [3]) Liên thông tuyến tính ∇ được gọi là liên thông Levi-Civita nếu và chỉ nếu ∇ thoả mãn hai tiên đề sau: i. T(X,Y) = [ ] , X Y Y X X Y∇ − ∇ − = 0. ii. 0 Z g ∇ = . 1.2.4.2. Ví dụ. M = R n với ;( , , X X D Y D Y X Y∇ = ∇ = ∀ ∈ B(M) ). Khi đó ∇ là một liên thông Levi-civita. 1.2.4.3.Định lý. (xem [3]) Giả sử (M,g) là đa tạp Riemann. Khi đó tồn tại duy nhất một liên thông Levi- Civita ∇ trên M. 1.2.5. Dịch chuyển song song trên đa tạp Riemann. - 10 - Giả sử (M,g) là đa tạp Riemann n-chiều khả song với ∇ là liên thông Levi- Civita trên M và 1 { } n i i U = là trường mục tiêu trực chuẩn trên M. i. Đường cong MΓ ⊂ được cho bởi tham số hoá : J M ρ → với ( )t t ρ a ii. Một trường vectơ X dọc Γ là việc đặt tương ứng mỗi t J ∈ với một vectơ tiếp xúc ( ) ( ) t X t T M ρ ∈ . Ta nói X khả vi nếu và chỉ nếu [ ] ( )t X ρ ϕ khả vi theo t; với mọi hàm ϕ khả vi dọc Γ . Ta luôn có sự biểu diễn X(t)= X 1 (t).U 1 (t)+ +X n (t).U n (t); t ∈ J và X khả vi dọc Γ khi và chỉ khi X i (t) khả vi ; với mọi i=1,2,3, ,n. 1.2.5.1.Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số. Định nghĩa. Đạo hàm của trường vectơ X dọc Γ là một trường vectơ dọc Γ , tại điểm t 0 ta ký hiệu 0 X t dt ∇ và được xác định như sau: ( ) 0 0 0 0 0 '( ) 0 1 ' ( ) . ( ) ( ) . ; n X t i t i i t t i t i X t U t X t U t J dt ρ = ∇ = + ∇ ∈ ∑ ∑ Ví dụ. Cho n M = ¡ , {E i } là trường mục tiêu tự nhiên trên n ¡ . Khi đó ( ) ( ) 0 0 '( ) '( ) 0 0; 1,2,3, , ; t i t t i t E D E i n t J ρ ρ ∇ = = = ∀ ∈ . Từ đó, ta có: 0 0 1 '( ) n X t i t i X t dt = ∇   =  ÷   ∑ Chẳng hạn Γ cho bởi công thức: ( ) 3 1,1 ρ − → ¡ với 2 3 (2 1, 1, )t t t t+ −a X(t)= tE 1 +2t 2 E 2 +t 3 E 3 Khi đó 0 X t dt ∇ = (1, 4t, 3t 2 ) =E 1 + 4tE 2 +3t 2 E 3 ; t 0 ( ) 1,1∈ − . 1.2.5.2. Chuyển dịch song song dọc một cung. Cho đa tạp M với liên thông tuyến tính ∇ trên M; Γ là một cung cho bởi tham số hoá : , ( )J M t t ρ ρ → a . Trường vectơ X dọc Γ được gọi là trường