Nhóm lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm lie luận văn thạc sỹ toán học

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH TRầN vĂN THắNG NHóM LIE Và TRƯờNG VecTƠ BấT BIếN TRáI TRÊN NHóM LIE Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Hữu Quang Vinh - 2011 LI NểI U Trong Tụpụ núi riờng v Toỏn hc núi chung thỡ lớ thuyt v nhúm Lie úng mt vai trũ cc kỡ quan trng Nhúm Lie l mt nhng cu trỳc hu hiu c s dng nhiu lnh vc khỏc ca Toỏn hc hin i (Hỡnh hc, i s, lớ thuyt s, Tụpụ,) Khụng nhng vy, nhúm Lie cũn cú nhiu ng dng Vt lớ (c bit l lớ thuyt ht), Húa hc, Trong Toỏn hc, mt nhúm Lie, c t tờn theo nh Toỏn hc ngi Na Uy l Sophus Lie, l mt nhúm, cng l mt a trn, vi tớnh cht l cỏc toỏn t nhúm tng thớch vi cu trỳc kh vi Nhúm Lie i din cho lý thuyt phỏt trin nht ca cỏc lớ thuyt i xng liờn tc ca cỏc cu trỳc Toỏn hc iu ny ó lm cho nhúm Lie l cụng c cho gn nh tt c cỏc nghnh Toỏn hc hin i v Vt lý lý thuyt hin i, c bit l Vt lý ht Bi vỡ cỏc nhúm Lie l cỏc a tp, chỳng cú th c nghiờn cu s dng gii tớch vi phõn, tng phn vi trng hp cỏc nhúm tụpụ tng quỏt hn Mt nhng ý tng chớnh lý thuyt v nhúm Lie, bi Sophus Lie, l thay th cu trỳc ton cc, nhúm, vi phiờn bn mang tớnh a phng ca nú hay cũn gi l phiờn bn ó c lm tuyn tớnh húa, m Lie c gi l mt nhúm cc nh m bõy gi c bit n nh l i s Lie Nhúm Lie ó cung cp mt phng tin t nhiờn phõn tớch cỏc i xng liờn tc ca cỏc phng trỡnh vi phõn, mt cỏch thc nh cỏc nhúm hoỏn v c s dng lý thuyt Galois phõn tớch cỏc i xng ri rc ca cỏc phng trỡnh i s Trong lun ny, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht c bn nht v nhúm Lie v trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie Do ú, lun c mang tờn: Nhúm Lie v trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie Lun c trỡnh by hai chng: Chng 1: a kh vi Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v a kh vi, vect tip xỳc, ỏnh x tip xỳc, 1-dng vi phõn trờn a v ỏnh x i tip xỳc trờn a Chng ny c xem nh l phn c s cho vic trỡnh by chng Chng 2: Nhúm Lie v trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie Chng l ni dung chớnh ca lun õy chỳng tụi trỡnh by mt cỏch cú h thng v nhúm Lie, nhúm Lie con, trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie Lun c hon thnh vo thỏng 12 nm 2011 ti Khoa Sau i hc Trng i hc Vinh, di s hng dn ca PGS.TS.Nguyn Hu Quang Tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc vi s hng dn tn tỡnh ca Thy Nhõn dp hon thnh lun ny, tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc thy, cụ giỏo t b mụn Hỡnh hc - Tụpụ, cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, Khoa Sau i hc, Trng i hc Vinh ó nhit tỡnh ging dy, ó to iu kin cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Cng nhõn dp ny, tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm hiu Trng THCS a Phỳc, bn bố, ng nghip v gia ỡnh ó ng viờn, giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Vinh, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi Chơng đa tạp khả vi Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v a kh vi, vect tip xỳc, ỏnh x tip xỳc, 1-dng vi phõn trờn a M v ỏnh x i tip xỳc trờn a I đa tạp khả vi 1.1 nh ngha (xem [ 5] ) Gi s M l mt T khụng gian vi c s m c, U l m M, U l m Rn nh x : U U ng phụi thỡ (U; ) c gi l mt bn ca M Chỳ ý: Vi p U p = (p) IR n p( x1 ,K , xn ) Ta núi ( x1 ,K , xn ) l ta ca p i vi v (U; ) c gi l h ta a phng Mt im p cú th thuc nhiu bn , ú p cú nhiu b ta khỏc 1.2 Vớ d Trong R2 ta xột M = S1 ={(x;y) | x2 + y2 = 1} Khi ú, vi U1 = {(x;y) S1| y > 0}, U1 l m ca S1 U = (-1;1), U l m R Ta chỳ ý ti ỏnh x: 1: U1 U (x;y) a x Khi ú, (U1;1) l mt bn ca S1 Chng minh : * l song ỏnh: Vi bt kỡ A; B U1, A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ), A B ta cú: x12 + y12 =1 Vỡ A U1 y1 A( x1 ; x12 ) x2 + y2 =1 B U1 y2 B( x2 ; x2 ) Vỡ A B x1 x2 1(A) 1(B) Vy : l dn ỏnh .Vi bt kỡ x U 1, luụn tn ti A( x ; x ) U1 cho 1(A) = x Vy l ton ỏnh * l liờn tc: Vỡ 1(x;y) = x l phộp chiu th nht liờn tc * -11 l liờn tc: Ta cú: -11: U U x a ( x; x2 ) -11 ( x ) = ( 1; 2) ( x ) vi ( x ) = x , ( x ) = x vi x (-1;1) l phộp ng nht nờn liờn tc ( x ) = x l hm s cp cú xỏc nh [ 1;1] nờn liờn tc trờn (-1;1) Do ú: -11 liờn tc Vy: l ng phụi (U1;1) l mt bn ca S1 1.3 nh ngha (xem [ 5] ) Gi s (U1;1) v (U2;2) l hai bn ca M cho W = U1 U2 Khi ú (U1;1) v (U2;2) c gi l phự hp nu ỏnh x 1-1 l vi phụi Chỳ ý: + Ta t W = 1(W), W2 = 2(W) Khi ú (U1;1) v (U2;2) c gi l phự hp nu ỏnh x: 1-1 : W1 W2 l vi phụi + Ta quy c l nu U1 U2 = thỡ (U1;1) v (U2;2) l phự hp 1.4 Vớ d Trong R2, ta xột M = S1 ={(x;y) | x2 + y2 = 1} Khi ú, vi U1 = {(x;y) S1 | y > 0}, U1 l m ca S1 U = (-1;1) l m R nh x: 1: U1 U (x;y) a x (U1 ; 1) l bn ca S1(ó chng minh trờn) Xột U2 = {(x;y) S1| x > 0} l m ca S1 U = (-1;1) l m R nh x: 2: U2 U (x;y) a y Chng minh tng t ta c (U2 ; 2) l bn ca S1 Ta i chng minh (U1 ; 1) v (U2 ; 2) l phự hp ca S1 Tht vy: t W = U1 U2 = {(x;y) S1| x > 0, y> 0} W1 = 1(W) = (0;1) W2 = 2(W) = (0;1) nh x: f = 2.1-1: W1 W2 t a t2 * f l song ỏnh: Vi bt kỡ t1 ; t2 W1; t1 t2 t12 t2 f( t1 ) f( t2 ) Vy f l n ỏnh Vi bt kỡ y W2 luụn tn ti x = y W1 cho f(x) = y Vy f l ton ỏnh * f l hm kh vi: Vỡ f l hm s cp mt bin, f cú o hm v liờn tc trờn (0;1) nờn f l hm kh vi * f-1 l hm kh vi: Vi bt kỡ t (0;1), ta cú: f-1( t ) = (2.1-1)-1( t ) = (1.2-1)( t ) = 1.(2-1( t )) = 1(x; t ) = x = t f-1 = f f-1 l hm kh vi Vy f l vi phụi Do ú (U1 ; 1) v (U2 ; 2) l phự hp ca S1 1.5 Cu trỳc kh vi Gi s M l mt T2 khụng gian i, Mt h bn { ( U ; ) } tha U = + + ( U ; ) ; ( U ; ) l phự hp, vi mi c gi l mt cu trỳc kh vi ca M ii, Tp M cựng vi mt cu trỳc kh vi c gi l mt a kh vi n-chiu 1.6 Vớ d Tr li vi vớ d 1.4 Ta xột: ( ) U3 = {(x; y ) S1| x 0} = { y ; y | y (1;1) } l m ca S1 U = (-1;1) l m R nh x: 3: U3 U ( y ; y) a y = {( x ; y ) S | y 0} = { ( x; x ) | x (1;1) } l m ca S U4 1 U = (-1;1) l m R nh x: U4 U 4: ( x; x ) a x Tng t ta cng chng minh c (U ; 3) v (U4 ; 4) l hai bn ca M U = v (Ui ; i), (UJ ; J) l phự hp vi mi i J, i,J = 1; D thy Do ú: { ( U ; ) } l mt cu trỳc kh vi ca M Vy: M = S1 l mt a kh vi 1-chiu II Vectơ tiếp xúc đa tạp Gi s M l a kh vi m-chiu vi cu kh vi { ( U ; ) } Ta kớ hiu p = { f : M Ă | f kh vi lõn cn Up cha p} 1.7 nh ngha (xem [ 5] ) Vect tip xỳc vi ng cong (t) ti im p, ú l ỏnh x: v: p Ă f a v( f ) = d f o (t ) dt t = t0 Trong ú (t) l ng cong i qua p, (t0) = p Nu v tip xỳc vi ng cong (t) ti p thỡ ta núi v l vect tip xỳc vi M ti p 1.8 Vớ d a, Vớ d gi s (p1;p2;;pm) l to ca p bn (U;) Ta xột ỏnh x: : (a,b) M t a p(p1;p2;;pm) Khi ú vect tip xỳc vi ng cong (t) ti p l vect Tht vy: ( f ) = d f ( p1; p2; ; pm ) t =t = 0, f p dt Do ú: = b, Vớ d Xột ỏnh x: i : U Ă ; vi (U;) l mt bn ca M X(x1;x2;;xm) a xi vi mi X Up v ỏnh x : : (a,b) U t a (x1(t);x2(t);;xm(t)) Gi s v l vect tip xỳc vi ng cong (t) ti p Khi ú: v(i ) = = d d i o (t ) t =t = i ( x1 (t ); x2 (t ); ; xm (t )) dt dt dxi (t ) dt t =t0 = xi ( t0 ) 1.9 Tớnh cht (xem [ 5] ) 9.1 nh lớ Gi s v l vec t tip xỳc vi M ti p Khi ú: i, v l ỏnh x tuyn tớnh ii, v( fg ) = g ( p )v ( f ) + f ( p )v ( g ) , vi mi f , g p Chng minh: i, Vi mi f , g p , vi mi , Ă , ta cú: v( f + g ) = d ( f + g ) o (t ) dt t =t0 t =t0 10 = d ( f o (t ) + g o (t )) dt = d ( f o(t ) dt t =t0 + t =t0 d g o (t ) dt t =t0 = v( f ) + v ( g ) Vy: v l ỏnh x tuyn tớnh ii, Vi mi f , g p, ta cú: v ( fg ) = = = d (( fg ) o(t ) dt t =t0 d [ ( f o(t ))( g o(t )) ] t =t0 dt d f o (t ) dt t =t0 g o (t ) t =t0 + f o (t ) t =t0 d g o (t ) dt t =t0 = v ( f ) g ( p ) + f ( p )v ( g ) 1.9.2 nh lớ Gi s TpM = {v | v tip xỳc vi M ti p} Khi ú TpM cựng vi hai phộp toỏn: 1, ( v 1+ v 2)( f ) = v 1( f ) + v 2( f ), v1 , v2 TpM, f p 2, ( v )( f ) = v ( f ) Ă , v TpM, f p lm thnh mt khụng gian vộc t, gi l khụng gian vect tip xỳc vi M ti p Chng minh: * Phộp cng cú tớnh cht giao hoỏn Vi v1 ; v2 TpM , f p ta cú: ( v1 + v2 ) ( f ) = v1 ( f ) + v2 ( f ) = v2 ( f ) + v1 ( f ) = ( v2 + v1 ) ( f ) v1 +v2 =v2 +v1 * Phộp cng cú tớnh cht kt hp Vi v1 ; v2 ; v3 TpM , f p ta cú: 31 U3 = { a +bi S a 0} = { a +bi { = b +bi b ( 1;1) a +b =1; a 0} } U3* = (-1;1) Xột ỏnh x: U3 U3* 3: b + bi a U4 = { a +bi S b0} = { { a +bi b a +b =1; b0} } = a a i a ( 1;1) U4* = (-1;1) Xột ỏnh x: 4: U4 U4* a a2 i a a Chng minh tng t ta c (U 2;2), (U3;3), (U4;4) cng l bn ca S Ta i chng minh (U1;1) v (U2;2) l phự hp ca S1 Tht vy: vi W = U1 U2 = { a +bi S } a0; b0 W1 = 1(W) = (0;1) W2 = 2(W) = (0;1) t: f = 2.1-1: W1 W2 t a t2 Khi ú : + f l song ỏnh Tht vy : Vi t1 ; t2 W1 , t1 t2 t12 t2 f ( t1 ) f ( t2 ) Vy : f l n ỏnh Vi mi y W2 luụn tn ti x = y W1 cho f ( x) = y 32 Vy: f l ton ỏnh + f l hm kh vi Vỡ f l hm s cp mt bin, f cú o hm v liờn tc trờn (0;1) Do ú f kh vi + f l hm kh vi Vi bt kỡ t( 0;1) ta cú f ( t ) = (2.1-1)-1 ( t ) = (1.2-1) ( t ) ( = 1(2-1 ( t ) ) = t + t i ) = t2 f = f f l hm kh vi Vy: f l vi phụi Do ú (U1;1) v (U2;2) l phự hp ca S1 Tng t ta cng chng minh c (U3;3) v (U4;4) l phự hp ca S1 U i = S1 Do ú {(Ui;i)} l mt cu trỳc ca S1 D thy i I Vy: S1 l mt a kh vi iii Kim tra hai phộp toỏn trờn S1 kh vi nh x: : S ì S1 (x,y) a S1 x.y Vi x = a + bi S1; y = c + di S1, ta cú : x.y = (a + bi).(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i l hm kh vi nh x: : S1 y vi y = S1 a y 1 c di = = c di S , vỡ c2 + (-d)2 = c2 + d2 = 1, l hm c + di c + d kh vi Vy: S1 cựng phộp nhõn s phc cú moun bng lp thnh mt nhúm Lie 33 2.3 Mnh (xem [ 4] ) Gi s a l mt phn t c nh ca nhúm Lie G Cỏc ỏnh x sau õy l cỏc vi phụi: i, phộp tnh tin trỏi theo a: La: G x G a ax, x G ii, phộp tnh tin phi theo a: Ă a: G G x a xa, x G iii, phộp ly nghch o: : G x G a x-1, x G Chng minh: i, Ta cn chng minh La l vi phụi, vic chng minh Ă a l vi phụi ta lm tng t +, La l song ỏnh Vi x, y G v La (x) = La (y) thỡ ax = ay a-1ax = a-1ay x = y Vy La l n ỏnh Vi y G thỡ tn ti a-1y G cho La (a-1y ) = aa-1y = y Vy La l ton ỏnh Do ú : La l song ỏnh nh x La l kh vi Xột ỏnh x: h: G GìG x a (a;x) v ỏnh x: g: GìG G (a;x) a a.x, vi a c nh G v x G Khi ú: 34 La = g oh: G G x a ax, x G Do G l nhúm Lie nờn cỏc ỏnh x g, h kh vi g oh kh vi Vy La l kh vi nh x La -1 l kh vi Ta cú : La -1 : G G x a a-1.x, vi a c nh G v x G Chng minh tng t nh ỏnh x La ta c La -1 l kh vi Vy: La l vi phụi ii, l vi phụi + D thy l sonh ỏnh + Xột ỏnh x : : G G x a x-1, vi x G : G G x a x-1, vi x G = Theo nh ngha nhúm Lie G thỡ v l kh vi Vy: l vi phụi H qu a, Gi s F úng G v a c nh G Khi ú: aF, Fa, F -1 l cỏc úng G b, Gi s U m G v p l mt tựy ý G Khi ú: P.U = { p.u | p P; u U} U.P = { u.p | u U; p P } U-1 = { u-1 | u U } l cỏc m G Chng minh: a, xột cỏc ỏnh x : 35 La: F aF x a ax, vi a c nh G v x F Fa x a xa, vi a c nh G v x F : F F-1 x a x-1 vi x F Ă a: F Theo mnh 2.3 thỡ cỏc ỏnh x La, Ra, l vi phụi, m F l úng G aF, Fa, F-1 l cỏc úng G b, Ta cú PU = pCP p.U , UP = pCP U p Cng vỡ cỏc ỏnh x Lp, Rp, l cỏc vi phụi, m U l m nờn PU, UP, U-1 l m G H qu i vi bt kỡ hai phn t p, q thuc nhúm Lie G u tn ti phn t a G cho qua phộp tnh tin phi Ă a thỡ p bin thnh q Chng minh: t a = p-1q, Khi ú: Ă a : G x G a xa = x(p-1q) , x G Do ú: Ă a(p) = p(p-1q) = q Mt khỏc, tn ti nht Ă a Ă a(p) = q, bi vỡ nu cú Ă a1 (p) = q thỡ: pa1 = q T ú, suy a1 = p-1q =a 2.4 nh lớ (xem [ 4] ) Tớch Descarter ca hai nhúm Lie l mt nhúm Lie Chng minh: Tht vy: Gi s G, G l cỏc nhúm Lie Ta cú: +) G ì G l nhúm vi phộp toỏn: (a, b)(a, b) = (aa, bb); (a, b), (a, b) G ì G 36 Phn t nghch o ca (a, b) l (a , b ), ú a , b l cỏc phn t nghch o ca a, b G, G +) G ì G l a kh vi vi bn l: {(U ì V , ì )} I , J Trong ú, {U , )} I l bn ca G {V , )} J l bn ca G +) Phộp toỏn: : (G ì G) ì (G ì G) G ì G ((a, a), (b, b)) (ab, ab) l ỏnh x kh vi (Vỡ cỏc ỏnh x: (a, b) ab; (a, b) ab l cỏc ỏnh x kh vi) : G ì G G ì G (a, b) (a , b ) l ỏnh x kh vi (Vỡ cỏc ỏnh x: a a ; b b l ỏnh x kh vi) G ì G l nhúm Lie II NHểM LIE CON 2.5 nh ngha (xem [ 4] ) Mt H ca nhúm Lie G c gi l nhúm Lie ca G nu v ch nu H tha món: i, H l nhúm ca G (theo ngha i s) ii, H l mt a úng ca G vi cu trỳc kh vi cm sinh t G 2.6 Vớ d Ta cú Ă l nhúm Lie vi phộp cng thụng thng Khi ú X = { z.x | x Ă ; z  } l nhúm Lie ca Ă Chng minh: i, X l nhúm ca Ă Ta cú = z.0, z  X X Vi mi z.x1; z.x2 X, ta cú: z.x1 + z.x2 = z.(x1 + x2) X 37 Ta cú: -(z.x) = z(-x) X, vi mi x X, mi z  Vy: X l nhúm ca Ă ii, Xột hm s: f: X Ă z.x a x f l n ỏnh vỡ vi bt kỡ z.x; z.y X m f (z.x) = f (z.y) x = y z.x = z.y f l ton ỏnh vỡ vi bt kỡ x Ă , tn ti z.x X cho f (z.x) = x Vy: f l song ỏnh D thy f kh vi v f -1 :Ă X x a z.x l kh vi Vy : f l vi phụi M Ă l mt a kh vi X l mt a kh vi Vy: X l nhúm Lie ca Ă 2.7 nh lớ (xem [ 4] ) Gi s H l mt nhúm ca G v H m G Khi ú H cng úng G Chng minh: Gi s H l mt nhúm ca G v H m G Kớ hiu: G/H = { xH | x G } l cỏc lp ghộp ca G theo nhúm H Vỡ H l m G xH cng l m G G/H = U xH ( x e ) cng l m G xG H úng G H qu a, H l nhúm Lie G, H m thỡ H cng úng G b, Nu G l mt nhúm Lie bin thụng, V l mt lõn cn m ca im n v e G Khi ú G = Ve = V III TRNG VECT BT BIN TRI TRấN NHểM LIE 38 2.8 nh ngha (xem [ 4] ) Trng vect X kh vi trờn nhúm Lie G c gi l trng vect bt bin ( ) Ngha l: ( ( La ) p ) ( X p ) trỏi nu La X = X ; a G = X ap ; p G 2.9 Vớ d Ly G = Ă n , vi a Ă n , La : Ă n p Ă a a+p n (tc l phộp tnh tin: (x1, x2,, xn) a (a1 + x1, a2 +x2,, an + xn) Khi ú: JL a = ữ ữ ữ ữ ữ 1ữ Gi s X l trng vect bt bin trỏi trờn Ă X ( a + p ) ữ ữ ữ ữ= ữ X ữ a + p ( ) n X ( a + p ) = X ( p ) X n ( a + p ) = X n ( p ) n ( ) p( Xp ) thỡ: La X ( p ) ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ (trong ữ ữ ữ X p ữ ữ ( ) n ; p Ă = X a+ p ú X(X1,,Xn)) n X1,,Xn l cỏc hm hng X l trng vect song song trờn Ă n Vy : X l trng vect bt bin trỏi trờn Ă song song trờn Ă n 2.10.Nhn xột n v ch X l trng vect 39 i, Mi trng vect bt bin trỏi hon ton c xỏc nh bi giỏ tr ca nú ti n v Tht vy, X l trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie G, a G , ta cú: Xa = X ea ( La ) e X e = ii, Ta kớ hiu: g = {X ( G ) / X bt bin trỏi trờn G}; ú g l khụng gian vect thc 2.11 Mnh (xem [ 4] ) Tớch Lie ca hai trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie G l mt trng vect bt bin trỏi Chng minh Vi mi X, Y g , a G , ta cú: ( La p [ X ,Y ] p ) ( f ) = ( La ) [ X ,Y ] ( Y ( f oLa ) ) = X = X p ( ( La ) Y ( f ) ) = X p (Y( f ) ) = Suy [ X , Y ] p ( f oLa ) , f , p p Y Y p Y p p ( X ( f oLa ) ) ( ( La ) X ( f ) ) ( X( f )) [ X ,Y ] p ( f ) , f , p = [ X ,Y ] H qu: Tp g cỏc trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie G l mt i s Lie v g c gi l i s Lie ca nhúm Lie G 2.12 Mnh (xem [ 4] ) Nu : G H l mt ng cu (i s) t nhúm Lie G vo nhúm Lie H, thỡ: oLa = L ( a) Chng minh: o 40 ( oLa ) ( p ) Ta cú: ( = La ( p ) ) = ( ap ) = ( a ) o ( p ) = L ( a ) ( ( p ) ) = L ( a ) o ữ( p ) ; Vy: oLa = L ( a) p G o 2.13 Mnh (xem [ 4] ) Cho : G H l ng cu gia cỏc nhúm Lie, kớ hiu g, h theo th t l i s Lie G v i s Lie H, X g, Y h Nu e X e a X a = Y ( a) ; = Ye ' thỡ a G (e l n v ca Y) Chng minh: Vi X g, Y h, theo nh ngha ta cú: ( La ) e X e Theo gi thit, ta cú: Y ( a) = = = (L ( )) a = X a (1) e Y (L ( )) (L ( )) e' ( e ) e ( X e ) ữ a a ( a) (2) ( Xe ) ữ e Mt khỏc: a ( X a ) = L a a ( ) e ( X e ) ữ 41 ) ( ) ( Xe ữ = a o La e = ( oLa ) e ( X e ) = (L ( ) ) o e a ( Xe ) (3) T (1), (2), (3) ta suy ra: a ( X ) = Y ( a ) ; a G H qu: Gi s : G G l t ng cu ca nhúm Lie G X, Y l cỏc trng vect bt bin trỏi trờn G cho e X e = Ye thỡ X = Y 2.14 Mnh (xem [ 4] ) Gi s : G G l t ng cu ca nhúm Lie G v X l cỏc trng vect bt bin trỏi trờn G Khi ú ( X ) cng l trng vect bt bin trỏi trờn G Chng minh: Gi s X g, ta phi chng minh ( X ) g Ta cú: oLa = L ( a ) o , t a = a G ( b ) , b G Khi ú: ( a ) = b , suy oL 1( b ) = oLa = L ( a ) o = Lb o Do ú: ( Lb ) ( ( X ) ) = ( Lb ) ( X ) ; a G 42 = ( Lb ) ( X ) = oL 1( b ) ữ( X ) = L ữ( X ) ( b) = ( X ) ( vỡ X g) Vy: ( X ) l trng vect bt bin trỏi trờn G H qu: Nu : G G l t ng cu ca nhúm Lie G thỡ l t ng cu ca i s Lie g ca G 2.15 Mnh (xem [ 4] ): Cho X g, ta cú: X g v ch l hng s Chng minh: *) iu kin cn Do X g, nờn ta cú: L a ( ) * p ( X ) ap ( ap ) ( La ) * p X ( ) ap X ap Do X g nờn La * p = ( X ) p ; a, p G = ( p) X p = (*) Xp T (*) suy ( ap ) = ( p ) ; a, p G Vy: l hng s *) iu kin Gi s l hng s nờn ( ap ) = ( p ) ; a G Xột: ( La ) * p ( X ) p = ( La ) * p ( ( p ) X p ) 43 ( ) ( X ) Suy La = = ( p ) ( La ) * = ( ap ) X ap = ( X ) ( ( X) nờn p X p ) a p ; a G ( X) l trng vect bt bin trỏi 44 KT LUN Lun ó t c nhng kt qu chớnh sau: H thng cỏc khỏi nim c bn v a kh vi Chng minh chi tit cỏc mnh v vect tip xỳc trờn a tp( nh lớ 1.9.1, nh lớ 1.9.2, nh lớ 1.9.3, nh lớ 1.9.4), ỏnh x tip xỳc trờn a (nh lớ 1.12, nh lớ 1.14, nh lớ 1.15,nh lớ 1.16 H thng cỏc khỏi nim c bn v 1-dng vi phõn trờn a M, ỏnh x i tip xỳc v chng minh chi tit mt s tớnh cht c bn ca chỳng Trỡnh by khỏi nim nhúm Lie, trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie v chng minh chi tit mt s tớnh cht c bn v trng vect bt bin trỏi, cng nh mt s vớ d 2.2; 2.3; 2.4; 2.9 Trong thi gian ti, chỳng tụi tip tc nghiờn cu v cỏc dng vi phõn bt bin trỏi trờn nhúm Lie v ng dng ca nú 45 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn Vit Dng (1997), Bi ging i s Lie v nhúm Lie, i hc Vinh [2] Trn Vit Dng (1995), i s Lie, Bi ging chuyờn cao hc chuyờn ngnh Hỡnh hc Tụpụ, i hc Vinh [3] Nguyn Hong Phng (2004), Lý thuyt nhúm v ng dng vo vt lý lng t, Nh xut bn Khoa hc K thut [4] Nguyn Hu Quang (2005), Bi ging i s Lie v nhúm Lie, i hc Vinh [5] Nguyn Hu Quang (2005), a kh vi, i hc Vinh [6] Thỏi Vit Tho (2005), V i s Lie ly linh v i s Lie gii c, Lun thc s, i hc Vinh Ting Anh [7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications [...]... , X ( M ) ( f * o g * ) , ( G ) 1 f * og * Chơng 2 ( g *) ( f* ( X ) ) 27 nhóm lie và trờng vectơ bất biến tráI trên nhóm lie Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v mt s tớnh cht ca nhúm Lie, nhúm Lie con, trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie I NHểM LIE 2.1 nh ngha (xem [ 4] ) Tp G c gi l nhúm Lie nu v ch nu G tha món cỏc iu kin sau õy: i G l mt a tp kh vi vi h bn { U ; } ... ỏnh x: a a 1 ; b b 1 l ỏnh x kh vi) G ì G l nhúm Lie II NHểM LIE CON 2.5 nh ngha (xem [ 4] ) Mt tp con H ca nhúm Lie G c gi l nhúm Lie con ca G nu v ch nu H tha món: i, H l nhúm con ca G (theo ngha i s) ii, H l mt a tp con úng ca G vi cu trỳc kh vi cm sinh t G 2.6 Vớ d Ta cú Ă l nhúm Lie vi phộp cng thụng thng Khi ú X = { z.x | x Ă ; z  } l nhúm Lie con ca Ă Chng minh: i, X l nhúm con ca Ă Ta cú... q thuc nhúm Lie G u tn ti phn t a G sao cho qua phộp tnh tin phi Ă a thỡ p bin thnh q Chng minh: t a = p-1q, Khi ú: Ă a : G x G a xa = x(p-1q) , x G Do ú: Ă a(p) = p(p-1q) = q Mt khỏc, tn ti duy nht Ă a Ă a(p) = q, bi vỡ nu cú Ă a1 (p) = q thỡ: pa1 = q T ú, suy ra a1 = p-1q =a 2.4 nh lớ (xem [ 4] ) Tớch Descarter ca hai nhúm Lie l mt nhúm Lie Chng minh: Tht vy: Gi s G, G l cỏc nhúm Lie Ta cú:... x: : S1 y vi y 1 = S1 a y 1 1 c di = 2 = c di S 1 , vỡ c2 + (-d)2 = c2 + d2 = 1, l hm 2 c + di c + d kh vi Vy: S1 cựng phộp nhõn s phc cú moun bng 1 lp thnh mt nhúm Lie 33 2.3 Mnh (xem [ 4] ) Gi s a l mt phn t c nh ca nhúm Lie G Cỏc ỏnh x sau õy l cỏc vi phụi: i, phộp tnh tin trỏi theo a: La: G x G a ax, x G ii, phộp tnh tin phi theo a: Ă a: G G x a xa, x G iii, phộp ly nghch o: : G x ... = g oh: G G x a ax, x G Do G l nhúm Lie nờn cỏc ỏnh x g, h kh vi g oh kh vi Vy La l kh vi nh x La -1 l kh vi Ta cú : La -1 : G G x a a-1.x, vi a c nh trong G v x G Chng minh tng t nh ỏnh x La ta c La -1 l kh vi Vy: La l vi phụi ii, l vi phụi + D thy l sonh ỏnh + Xột ỏnh x : : G G x a x-1, vi x G 1 : G G x a x-1, vi x G = 1 Theo nh ngha nhúm Lie G thỡ v 1 l kh vi Vy: l vi phụi... nhiờn v vi phộp cng vect thụng thng l mt nhúm Lie Tht vy: Khụng gian vộc t Ă n tha món cỏc iu kin: i Ă n cựng phộp cng thụng thng l mt nhúm 28 ii Ă n l mt a tp kh vi n chiu iii Cỏc phộp toỏn: : Ă n ì Ă n Ă n ( x; y ) v : Ă n Ă n x a x a x+ y l cỏc ỏnh x kh vi b, Vớ d 2 Kớ hiu GL(n; Ă ) l tp cỏc ma trn vuụng, thc, kh nghch cp n Khi ú GL(n; Ă ) l mt nhúm Lie vi phộp nhõn ma trn Chng minh: i GL(n; Ă... 1) ij i +j det ( aij ) * T Cij l a thc hay (Cij) l ma trn hm a thc, do ú cú th ly o hm ca (Cij) Vy phộp ly nghch o ca ma trn kh vi T cỏc iu kin trờn ta suy ra GL(n; Ă ) l mt nhúm Lie c, Vớ d 3 ng trũn n v S1 l mt nhúm Lie Chng minh: Tht vy, ta cú: S1 = { z C z = 1} vi phộp nhõn l nhõn hai s phc cú moun bng 1, tc l cng argument i S1 cựng phộp nhõn hai s phc l mt nhúm, vỡ: Phn t 1 = 1 + 0i cú 1 =1 ... ) 27 nhóm lie trờng vectơ bất biến tráI nhóm lie Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v mt s tớnh cht ca nhúm Lie, nhúm Lie con, trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie I NHểM LIE 2.1... cỏc trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie G l mt i s Lie v g c gi l i s Lie ca nhúm Lie G 2.12 Mnh (xem [ 4] ) Nu : G H l mt ng cu (i s) t nhúm Lie G vo nhúm Lie H, thỡ: oLa = L ( a) Chng minh:... Chng 2: Nhúm Lie v trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie Chng l ni dung chớnh ca lun õy chỳng tụi trỡnh by mt cỏch cú h thng v nhúm Lie, nhúm Lie con, trng vect bt bin trỏi trờn nhúm Lie Lun c hon