Đại số lie của các nhóm lie ma trận luận văn thạc sỹ toán học

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Lê Thế mạnh Đại số Lie của các các nhóm Lie ma trận Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2011 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Lê Thế Mạnh Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn hữu quang Vinh - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương I. §¹i sè Lie 3 1.1. §¹i sè Lie . 3 1.2. §ång cÊu Lie 8 1.3. PhÐp ®¹o hµm trªn ®¹i sè Lie . 12 Ch¬ng II. §¹i sè Lie cña c¸c nhãm Lie ma trËn 17 2.1. Nhãm Lie . 17 2.2. §¹i sè Lie cña nhãm Lie . 25 2.3. §¹i sè Lie cña c¸c nhãm Lie ma trËn 31 KÕt luËn . 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 39 1 Lời mở đầu Nh chỳng ta ó bit, trong s phỏt trin ca Toỏn luụn xy ra hai quỏ trỡnh song song, ú l s phõn chia thnh nhiu ngnh cú s nghiờn cu ngy cng sõu sc, mt khỏc cú s kt hp cỏc ngnh Toỏn hc khỏc nhau cú nhng thnh tu ln. Cú th núi: Lý thuyt nhúm Lie v i s Lie l s kt hp gia cỏc chuyờn ngnh Hỡnh hc Tụpụ, Gii tớch v i s. Do ú i s Lie l mt b phn quan trng ca toỏn hc hin i v nú tr thnh mt cụng c hu hiu i vi cỏc nghiờn cu trờn a tp. Vo cui th k 19 ó xut hin s kt hp lý thuyt nhúm v hỡnh hc Riemann trong cỏc cụng trỡnh ch yu ca Phờlix Klein (1849 1925) v Xụphux Lie (1842 1899). Lý thuyt nhúm Lie v i s Lie cng c ng dng nhiu trong cỏc nghiờn cu v lý thuyt h ng lc, vt lý lng t v cỏc ngnh khỏc nhau ca toỏn hc. Đại số Lie của nhóm Lie các ma trận l mt trong nhng vn quan trng ca i s Lie. Trờn c s mt s kt qu ca cỏc nh toỏn hc ln nh Serre, Helgason, v mt s ti liu nghiờn cu theo hng trờn, di s hng dn ca thy giỏo PGS. TS. Nguyn Hu Quang chỳng tụi nghiờn cu ti: Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận Bài toán chúng tôi đặt ra là trình bày về đại số Lie của một số nhóm Lie ma trận cơ bản. Nội dung chủ yếu của luận văn là tập hợp một cách hệ thống, trình bày và chứng minh chi tiết về đại số Lie, đại số Lie của các nhóm Lie ma trận. Lun vn c hon thnh vo thỏng 12 nm 2011 ti Trng i hc Vinh vi s hng dn ca PGS. TS. Nguyn Hu Quang. Nhõn dp ny, tỏc gi xin 2 chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 3 Chơng I Đại số Lie Trong chơng này, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản về đại số, đại số Lie G trên trờng K, phép đạo hàm trên đại số và các đồng cấu Lie. 1.1. Đại số Lie Trong mục này, ta giả thiết K là một vành giao hoán với đơn vị 1 và G là một Môđun trên K. 1.1.1. Định nghĩa.(Xem [4]) G đợc gọi là một đại số trên K nếu G đợc trang bị thêm một phép toán mới . : GìG G (a,b) a a.b ( Phép toán . : đợc gọi là tích trong) tính chất: * a(b + c) = ab + ac ; a,b,c G * (a + b)c = ac+ bc ; a,b,c G * ( a)b = a( b) ; a,b G, K Nh ta đã biết: + Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì G dợc gọi là đại số giao hoán. + Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì G dợc gọi là đại số kết hợp. + Nếu ab = 0 a,b G, ta nói G là một đại số tầm thờng. 1.1.2. Ví dụ a, Ta kí hiệu L(G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên môđun. Ta đa vào L(G) các phép toán sau: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ; f, g L(G), x G ( f)(x) = .f(x) ; f L(G), x G 4 (f.g)(x) = f(x).g(x) ; f, g L(G), x G Khi đó L(G) là một đại số trên R. b, Ta ký hiệu M n = { A/ A ma trận vuông thực cấp n} với các phép toán trên ma trận thông thờng. Khi đó M n là một đại số kết hợp nhng không giao hoán. 1.1.3. Định nghĩa. (Xem [4]) Cho G là một đại số trên K. G đợc gọi là đại số Lie nếu tích trong thoả mãn tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi. Nghĩa là: i) [x, y] = -[y, x]; x, y G. ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ; x, y, z G Chú ý: Điều kiện i có thể thay thế bằng [x, x] =0 ; x G. 1.1.4. Nhận xét a) Mọi đại số tầm thờng G đều là đại số Lie. b) Cho G l mt khụng gian n - chiu trờn trng K. Cu trỳc i s Lie trờn G cú th c cho bi múc Lie ca tng cp vect thuc c s {e 1 , e 2 , ., e n } ó chn cho trc trờn G nh sau: [e i , e j ] = 1 ,1 n k ij k i j n c = . Với , i i j j i j x x e y y e = = thì [ ] ( ) , , , k i j i j i j j i ij k i j i j k x y x y e e x y x y c e < = = ữ Cỏc h s ,1 k ij i j n c c gi l cỏc hng s cu trỳc ca i s Lie G. 1.1.5. Ví dụ. a) Ta xột G = B ( n Ă ) l tp tt c cỏc trng vộc t kh vi trong n Ă . Ta a vo G mt tớch Lie l [X, Y] = D X Y D Y X; X, Y B ( n Ă ). Khi ú G l mt i s Lie. Chng minh : Ta bit rng: B ( n Ă ) đợc trang bị hai phộp toỏn: 5 (+) Phộp cng cỏc trng vộc t Vi : p X p X r a ; : p Y p Y r a , vi mi p thuc n Ă thỡ: X + Y : p pp YX rr + , p n Ă . (+) Phộp nhõn trng vộc t vi mt hm s kh vi trờn n Ă Vi : p X p X r a ; : n Ă Ă ; p n Ă . p ( )p a thỡ: ( ) : p X p p X r a ; p n Ă , l khụng gian vộc t trờn trng Ă . Với hai phép toán trên thì G là một mô đun trên F( n Ă ) ( ổ đây F( n Ă ) là vành giao hoán có đơn vị các phép ánh xạ khả vi từ n Ă n Ă ) Mt khỏc, d dng chng minh c tớch Lie [X, Y] = D X Y D Y X cú tớnh cht song tuyn tớnh nờn B ( n Ă ) tr thnh mt i s. õy ta ch kim tra cỏc iu kin ca i s Lie. Vi mi X thuc B ( n Ă ), d thy [X, X] = D X X - D X X = 0. Vi mi X, Y, Z thuc B ( n Ă ), mi f thuc F( Ă n ), xột [X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] [Y, Z][X[f]] = X[Y[Z[f]]] X[Z[Y[f]]] Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]] Hon ton tng t ta cú: [Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] Y[X[Z[f]]] Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] [Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] Z[Y[X[f]]] X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] Cng v theo v ta cú ngay ng thc Jacobi. Vy G = B ( n Ă ) l mt i s Lie. b) Khụng gian 3 Ă vi tớch cú hng thụng thng l mt i s Lie thc 3-chiu. Hin nhiờn 3 Ă l mt khụng gian vect trờn trng s thc nờn ta ch cn kim tra 3 tớnh cht ca múc Lie [x, y] = x y x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ), z = (z 1 , z 2 , z 3 ) R 3 , 1 , 2 R ta cú: + [ 1 x + 2 y, z] = ( 1 x + 2 y) z = 1 x z + 2 y z = 1 [x, z] + 2 [y, z] v [x, 1 y + 1 z] = x ( 1 y + 1 z) = 1 x y + 2 x z = 6 = λ 1 [x, y] + λ 2 [x, z]+ [x, x] = x ∧ x = 0. + Sử dụng tọa độ ta có: [[x,y],z]=(x ∧ y) ∧ z = (x 3 y 1 z 3 − x 1 y 3 z 3 − x 1 y 2 z 2 + x 2 y 1 z 2 ,, x 1 y 2 z 1 − x 2 y 1 z 1 − x 2 y 3 z 3 + x 3 y 2 z 3 ,, x 2 y 3 z 2 − x 3 y 2 z 2 − x 3 y 1 z 1 + x 1 y 3 z 1 ) và [[y,z],x]=(y ∧ z) ∧ x = (y 3 z 1 x 3 − y 1 z 3 x 3 − y 1 z 2 x 2 + y 2 z 1 x 2 , y 1 z 2 x 1 − y 2 z 1 x 1 − y 2 z 3 x 3 + y 3 z 2 x 3 , y 2 z 3 x 2 − y 3 z 2 x 2 − y 3 z 1 x 1 + y 1 z 3 x 1 ); và [[z,x],y]=(z ∧ x) ∧ y = (z 3 x 1 y 3 − z 1 x 3 y 3 − z 1 x 2 y − 2+ z 2 x 1 y 2 , z 1 x 2 y 1 − z 2 x 1 y 1 − z 2 x 3 y 3 + z 3 x 2 y 3 , z 2 x 3 y 2 − z 3 x 2 y 2 − z 3 x 1 y 1 + z 1 x 3 y 1 ) (1) Suy ra [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0. 1.1.6. Mệnh đề. Tích trực tiếp của hữu hạn các đại số Lie là một đại số Lie. Chứng minh. Giả sử G 1 , G 2 , ., G n là các đại số Lie. Đặt G = g 1 × g 2 × . × g n . Khi đó G là một không gian vectơ. Ta xét: [, ] : g × g → g (X, Y ) a [X, Y ] = ([X 1 , Y 1 ], ., [X n , Y n ]) Trong đó, X = (X 1 , .,X n ), Y = (Y 1 , ., Y n ),X i , Y i ∈ g i , i = 1, ., n. ë ®©y ta chØ đi kiểm tra [.,.] là một ánh xạ thỏa mãn 2 điều kiện trở thành tích Lie: + ∀ X, Y, Z ∈ G, X = (X 1 , .,X n ), Y = (Y 1 , ., Y n ), Z = (Z 1 , .,Z n ), ∀ α, β ∈ K, ta có: [αX + βY,Z] = ([αX 1 + βY 1 , Z 1 ], ., [αX n + βY n , Z n ]) = (α[X 1 , Z 1 ] + β[Y 1 , Z 1 ], ., α[X n , Z n ] + β[Y n , Z n ]) = α[X, Z] + β[Y,Z] Tương tự: [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z]. + ∀ X ∈ G, [X,X] = ([X 1 ,X 1 ], ., [X n ,X n ]) = 0. + ∀ X, Y, Z ∈ G 7 . ti: Đại số Lie của các nhóm Lie ma trận Bài toán chúng tôi đặt ra là trình bày về đại số Lie của một số nhóm Lie ma trận cơ bản. Nội dung chủ yếu của luận. Trờng đại học vinh Lê Thế mạnh Đại số Lie của các các nhóm Lie ma trận Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2011 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh