Về đại số lie của một số nhóm lie cổ điển

Môc lôc Trang §1 §¹i sè Lie 2 §2 Nhãm Lie 10 §3 §¹i sè Lie cña nhãm Lie 20 §4 §¹i sè Lie cña mét sè nhãm Lie cæ ®iÓn 28 1 Mở đầu Lý thuyết về đại số Lie và nhóm Lie là một bộ phận quan trọng của Toán học, đặc biệt đối với hai chuyên ngành Hình học - tôpô và Giải tích. Trong đó việc tính đại số Lie của một số nhóm Lie cổ điển (nhóm GL(n, R); nhóm Sp(2n, R); nhóm SL 2 (R); nhóm O(n, R)) chỉ đợc in rải rác ở một số tài liệu. Do đó, chúng tôi đặt cho mình nhiệm vụ là tập hợp lại việc tính đại số Lie của các nhóm Lie cổ điển nêu trên và chứng minh một số tính chất mà các tài liệu cha có điều kiện trình bày hết. Luận văn đợc mang tên là: "Đại số Lie của một số nhóm Lie cổ điển", với 4 mục 35 trang. Luận văn gồm các phần: 1. Các kiến thức cơ bản về "Đại số Lie". 2. Các kiến thức cơ bản về "Nhóm Lie". 3. Các kiến thức cơ bản về "Đại số Lie của nhóm Lie". 4. Cách tính "Đại số Lie của một số nhóm Lie cổ điển". Các kết quả chính mà chúng tôi có đợc là nhờ sự hớng dẫn khoa học tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang, sự chỉ bảo quí báu của các thầy cô ở khoa Toán, sự giúp đỡ nhiệt tình của khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh. Qua đây cho tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô, những ngời đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn! Vinh, ngày 30 tháng 11 năm 2002 Tác giả 2 Đ1. Đại số Lie Trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm đại số Lie, các tính chất của nó cùng với một số đại số Lie đặc biệt nh: đại số Lie luỹ linh, đại số Lie giải đợc, đại số Lie đơn, . 1.1. Định nghĩa: Một không gian vectơ L trên trờng K đợc gọi là một đại số Lie trên K nếu trong L có phép toán thứ ba: [ , ] : L x L L (x, y) [x , y] thoả mãn các điều kiện sau đây: i). Song tuyến tính; ii). Phản đối xứng: [x , x] = 0 ; x L iii). Đồng nhất thức Jacobi: [[x , y] , z]] + [[y , z] , x]] + [[z , x] , y]] = 0 ; x, y, z L 1.2. Chú ý: Điều kiện ii) ở trên có thể thay bởi điều kiện: [x , y ] = - [y , x ] ; x, y L. Đại số Lie L đợc gọi là giao hoán nếu: [x , y] = 0 ; x, y L Ví dụ: Giả sử A là một đại số kết hợp trên trờng K, với mọi x, y L ta định nghĩa: [x, y] = xy - yx. Khi đó A là một đại số Lie trên K. 1.3. Định nghĩa: Giả sử A là một đại số trên trờng K. Một vi phân của A là ánh xạ tuyến tính: D: A A thoả mãn điều kiện: D(x, y) = D(x)y + xD(y); x, y A. Ký hiệu Der(A) là tập hợp các đạo hàm của A. 3 1.4. Mệnh đề: Der(A) là đại số Lie với tích: [D , D'] = DD' - D'D D, D' Der(A) Chứng minh: Từ tính tuyến tính của D và D' ta suy ra [D, D'] cũng là một tự đồng cấu tuyến tính của A. Ngoài ra với mọi x , y A ta có: [D , D' ] ([x y]) = = (DD' - D'D) (xy) = DD'(x y) - D'D (x y) = D(D'(x).y + x.D'(y)) - D'(D(x).y + x.D(y)) = D(D'(x)).y + D'(x).D(y) + D(x). D'(y) + x. D(D'(y)) - - D'(D(x)).y - D(x).D'(y) - D'(x).D(y) - x.D'(D(y)) = DD'(x).y + x.DD'(y) - D'D(x).y - x.D'D(y) = [D , D'](x). y + x . [D , D'](y). Nh vậy [D, D'] Der(A); D, D' Der(A) Hơn nữa từ tính tuyến tính của D và từ tính chất các phép toán của A, ta suy ra tính song tuyến tính của phép toán [ , ] và từ định nghĩa phép toán [ , ] ta suy ra [D, D] = 0 ; D Der(A). * Ngoài ra ta có: [[D , D'], D"]] = = [DD' - D'D, D"] = DD'D" - D'DD" - D"DD' + D"D'D [[D' , D"], D] = D'D''D - D"D'D - DD'D" + DD"D' [[D" , D] , D] = D"DD' - DD"D' - D'D"D + D'DD". Cộng từng vế của 3 đẳng thức trên ta có đồng nhất thức Jacobi. Mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.5. Hệ quả: VectM các trờng véctơ khả vi trên đa tạp nhẵn M là một đại số Lie trên R với phép toán lấy tích Lie các trờng véctơ. 1.6. Định nghĩa: Một đồng cấu giữa các đại số Lie L 1 , L 2 là ánh xạ tuyến tính f: L 1 L 2 thoả mãn tính chất: f([x , y]) = [f(x) - f(y)]; x, y L 1 4 Khi đó tập các đại số Lie trên trờng K là một phạm trù với các cấu xạ là các đồng cấu đại số Lie. 1.7. Định nghĩa: Giả sử G là một đại số Lie, với mỗi x G ta định nghĩa toán tử adx trên G bởi công thức: adx(y) = [x , y] y G . 1.8. Mệnh đề: i.) adx là ánh xạ đạo hàm. ii.) ánh xạ x adx là đồng cấu đại số Lie G vào Der(G). Chứng minh: i.) Ta có: adx([y , z]) = [x , [y , z]] = [ y , [z , x ]] - [z , [x , y ]] = [[x , y] , z ] + [y , [ x , z ]] = [adx (y) , z ] + [ y , adx (z)] Nh vậy adx là ánh xạ đạo hàm. ii.) ad [x, y](z) = = [[x, y], z] = - [[y, z], z] - [[z, x], y] = adx . ady(z) - ady. ad(z) = [adx, ady](z). x, y, z G Do đó ad[x , y] = [adx , ady] Và nh vậy ánh xạ x adx là đồng cấu đại số Lie. Mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.9. Mệnh đề: Ký hiệu Mat (n , R) = {A = (a i j ) n là ma trận vuông cấp n, a i j R}. Khi đó, Mat (n , R) cùng với phép toán cộng ma trận, nhân một số thực với ma trận và phép toán thứ ba: [A, B] = A.B - B.A, ; A, B Mat (n , R) Mat (n , R) trở thành một đại số Lie trên R. 5 Chứng minh: Mat (n , R) là một đại số trên R. Thật vậy, trên Mat (n , R) với phép toán cộng hai ma trận, nhân một số thực với ma trận và phép toán [ , ] định nghĩa nh trên ta có: [A + B , C] = = (A + B).C - C(A + B) = A.C + B.C - C.A - C.B = A.C - C.A + B.C - C.B = [A , C] + [B , C] [C , A + B] = = C. (A + B) - (A + B).C = C.A + C.B - A.C - B.C = C.A - A.C + C.B - B.C = [C , A] + [C, B]. [A , B] = = (.A).B - B(.A) = (A.B) - (B.A) = [A, B]. Do đó M n thoả mãn các tiên đề về đại số. Ta chứng minh Mat(n , R) là đại số Lie. Với mọi A, B, C M n , ta có: [ A, A] = A.A - A.A = 0 [A , [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = = [A , BC - CB] + [B , CA - AC] + [C, AB -BA] = A.(BC - CB) - (BC - CB).A + B(CA - AC) - (CA - AC).B + + C(AB - BA) - (AB - BA).C = ABC - ACB - BCA + CBA + BCA - BCA - CAB + + ACB + CAB - CBA - ABC + BCA. = 0 Mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.10. Mệnh đề: Tích của hai đại số Lie trên K là một đại số Lie trên K. 6 Chứng minh: Giả sử A và B là các đại số Lie trên K và C = A.B = {(a , b), a A, b B}. Trên C = A.B xét các phép toán: (a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ) = (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ) (a 1 , b 1 ) = (a 1 , b 1 ). [(a 1 , b 1 ) , (a 1 , b 1 )] = ([a 1 , b 1 ] , [a 1 , b 1 ]). Việc định nghĩa các phép toán nh trên là hợp lý vì : Nếu a 1 , a 2 A ; K thì a 1 + a 2 A, a 1 A, [a 1 , a 2 ] A b 1 , b 2 B ; K thì b 1 + b 2 A, b 1 B, [b 1 , b 2 ] B Chứng minh C là một đại số Lie trên K: [((a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 )) , (a 3 , b 3 )] = [ (a 1 + a 2 ), (b 1 + b 2 ) , (a 3 , b 3 )] = ([a 1 , a 3 ] + [a 2 , a 3 ] , (b 1 , b 3 ] + [b 2 , b 3 ]) = ([(a 1 , a 3 ] , [b 1 , b 3 ] + ([a 2 , a 3 ] , [b 2 , b 3 ]) = [(a 1 , b 1 ) , (a 3 , b 3 )] + [ (a 2 , b 2 ) , (a 3 , b 3 )]. [(a 3 , b 3 ] , ((a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ))] = [(a 3 , b 3 ) , (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 )] = ([a 3 , (a 1 + a 2 )] , [b 3 , (b 1 + b 2 )]) = ([a 3 , a 1 ] + [a 3 , a 2 ]) , ([b 3 , b 1 ] + [b 3 , b 2 ]) = ([a 3 , a 1 ], [b 3 , b 1 ] + ([a 3 , a 2 ] , [b 3 , b 2 ]) = [(a 3 , b 3 ) , (a 1 , b 1 )] + [(a 3 , b 3 ) , (a 2 , b 2 )] [(a 1 , b 1 )] = [(a 1 , b 1 ) , (a 2 , b 2 )] = ([a 1 , a 2 ] , [b 1 , b 2 ]) = ([a 1 , a 2 ] , [b 1 , b 2 ] = [(a 1 , b 1 ) , (a 2 , b 2 )] vậy C là một đại số trên K. Chứng minh C là một đại số Lie trên K; thật vậy: [(a 1 , b 1 ) , (a 1 , b 1 )] = ([a 1 , a 1 ) , (b 1 , b 1 )] = (0, 0) = 0 Bằng cách tơng tự ta dễ chứng minh đợc C thoả mãn đồng nhất thức Jacobi. 7 Mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.11. Định lý: Giả sử G là tập hợp các ma trận X Mat(n, R) sao cho 1 + X G(k[]), khi đó G là đại số Lie con của Mat (n , R). Chứng minh: Ta chứng minh rằng x, y G và , à k thì X + à Y G và XY - YX G. Ta có: P (1 + X) = 0 x G . Vì 2 = 0: P (1 + X) = P (1) + d P (1) X (ở đây dP là đạo hàm bậc nhất của P ; Do 1 G(k) nên P (1) = 0, do đó P (1 + X)= = d P (1) X. Do đó G là mô đun con của Mat (n , R). Bây giờ ta cần đại số bổ trợ k" cho bởi: k " = [, ', '], 2 = ' 2 và ' = ' , tức k " = k () k ('). Với mọi X, Y thuộc g ta có: G = 1 + X G(k []) G(k ") G ' = 1 + 'Y G(k [']) G(k ") G G ' = (1 + X) (1 + 'Y) = 1 + X + 'Y + 'XY. G 'G = (1 + 'Y) (1 + X) = 1 + X + 'Y + 'XY. Đặt z = [X , Y]; G G ' = G ' G (1 + 'Z). Vì G G ' ; G ' G G (k ") 1 + 'Z G (k "). Nhng đại số con k ['] có thể đồng nhất với k []. Từ đây suy ra rằng 1 + Z G (k[]), do đó z G. 1.12. Định nghĩa: Không gian con k của đại số Lie G đợc gọi là đại số con (tơng ứng, iđêan) của G nếu [k, k '] k (tơng ứng, [G, k] k). Giả sử G là một đại số Lie, ta định nghĩa hai dãy không gian con của G nh sau: G 1 = [ G , G ] ; G 2 = [ G , G 1 ] ; . ; G n+1 = [ G , G n ] ; . . . G 1 = [ G , G ] ; G 2 = [ G , G 1 ] ; . ; G n+1 = [ G , G n ] ; . . . 8 Đại số Lie G gọi là giải đợc nếu tồn tại n N sao cho G n = { 0 }. 1.13. Mệnh đề: Nếu G là đại số Lie giải đợc thì đại số con [G , G ] là luỹ linh. 1.14. Mệnh đề (Định lý Engel): Đại số Lie G là luỹ linh nếu và chỉ nếu adx là luỹ linh với mọi x G (tức là n N sao cho (adx) n = 0). 1.15. Định nghĩa: Giả sử G là đại số, A G là idean và B là đại số con của G. Khi đó G đợc gọi là tích nữa trực tiếp của B với A nếu ánh xạ tự nhiên G G / A cảm sinh đẳng cấu B G /A. 1.16. Định nghĩa: Idean giải đợc lớn nhất của đại số G đợc gọi là radican của G , ký hiệu là r. 1.17. Định nghĩa: Đại số Lie G đợc gọi là nửa đơn nếu radican r của G bằng 0. 1.18. Nhận xét: G nửa đơn nó không cha idean aben khác 0. Chứng minh: Thật vậy, nếu r 0 thì đại số đạo hàm của r khác 0 cuối cùng sẽ là idean aben khác 0 của G. 1.19. Định nghĩa: Đại số Lie S đợc gọi là đơn nếu: i) S không aben. ii) S không có idean khác 0 và S. 1.20. Nhận xét: Nếu A là đại số Lie đơn thì A là đại số Lie nửa đơn; nếu A là đại số Lie nữa đơn thì [A , A] = A. Ví dụ: R 3 với phép toán tích có hớng () là đại số Lie đơn. Thật vậy, theo ví dụ trên ta đã có (R 3 , ) là một đại số Lie. Bây giờ ta chỉ ra rằng (R 3 , ) không giao hoán và không có iđêan thực sự nào. Thật vậy: Theo tính chất của tích có hớng trong R 3 thì: x y = - y x, x, y R 3 do đó R 3 không giao hoán. 9 Mặt khác nếu M là iđêan của R 3 , M {0} , M R 3 thì hoặc dimM = 1 hoặc dim M = 2. Nếu dim M = 1 với x R 1 , y R 1 ta có [x , y] R 1 Nếu dim M = 2 với x R 2 , y R 2 ta có [x , y] R 2 Vậy M không là iđêan của R 3 , do đó (R , ) là đại số Lie đơn. 1.21. Hệ quả: Một đại số Lie nửa đơn đẳng cấu với tích trực tiếp của các đại số Lie đơn. 10