Dạng killing trên đại số lie nửa đơn

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh lăng thị cờng dạng killing trên đại số lie nửa đơn Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 1 MỤC LỤC Mục lục 1 Lời nói đầu . 2 Chương 1. Đại số Lie nửa đơn I. Đại số Lie nửa đơn 4 II. Đại số Lie đơn 11 III. Ánh xạ ad .13 Chương 2. Dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn I. Vết của ánh xạ tuyến tính 18 II. Dạng Killing 21 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 LỜI MỞ ĐẦU 2 Vào cuối thế kỷ 19 trong các công trình của Xôphux Lie ( 1842-1899) và Phêlix Klein (1849-1925) đã xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riemann. Sự kết hợp này được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết mới , đó là lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie. Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đã liên kết các chuyên ngành Hình học –Tôpô ,Giải tích và Đại số .Do đó đại số Lie là một bộ phận của toán học hiện đại . Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong các lý thuyết về hệ động lực , vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học . Đặc biệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp Riemann. Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong các tài liệu và được viết bởi các nhà toán học nổi tiếng như Serre , Helgason , . và một phần mở đầu đựoc trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp cao học chuyên ngành Hình học-Tôpô ở các trường đại học . Đại số Lie nửa đơn là một nội dung quan trọng của đại số Lie , chính vì vậy trong luận văn này chúng tôi trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức về đại số Lie nửa đơn , trong đó đi sâu vào nghiên cứu về dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn. Do đó chúng tôi chọn tên đề tài là: Dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn . Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương : Chương 1: Đại số Lie nửa đơn Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và các tính chất của đại số Lie nửa đơn, đại số Lie đơn. Đặc biệt trình bày chi tiết các tính chất của ánh xạ ad . Chương 1 được chia làm ba phần: I. Đại số Lie nửa đơn II. Đại số Lie đơn III. Ánh xạ ad 3 Chương 2: Dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn . Chương này là nội dung chính của luận văn với việc trình bày khái niệm và các tính chất của dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn . Chương 2 được chia làm hai phần: I. Vết của ánh xạ tuyến tính II. Dạng Killing Luận văn được hoàn thành tại khoa Sau đại hoc Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy . Trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu tại trường Đại học Vinh tác giả nhận được sự quan tâm, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của các thầy, cô thuộc khoa Toán và khoa Sau đại học, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Hình học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn thành khoá học và luận văn này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô. Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới cán bộ, giáo viên trường THPT Hà Huy Tập, tập thể lớp Cao học 16 chuyên ngành Hình học- Tôpô, gia đình , bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ. Vinh, tháng 12 năm 2010. Tác giả CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN 4 Trong chương này, ta luôn giả thiết K là một trường có đặc số 0 và G là một đại số Lie hữu hạn chiều trên K. I Đại số Lie nửa đơn. 1.1.1 Định nghĩa. Một đại số Lie G được gọi là nửa đơn nếu G không có Iđêan giao hoán khác 0 nào. 1.1.2 Ví dụ 1)Ta xét 3 RG = với [ ] ba, là tích có hướng của 2 véctơ a và b. Khi đó không gian R 3 trở thành một đại số Lie nửa đơn. Thật vậy: Như ta đã biết R 3 là một đại số Lie trên trường R. Giả sử I là Iđêan giao hoán khác 0 của R 3 , ta có: ,Ia ∈∀ → Ib ∈ → thì , 0a b a b → → →   = ∧ =   r r . Từ tính chất của tính có hướng suy ra →→ ba , phụ thuộc tuyến tính hay ( ) Rkakb ∈= →→ . . Do I là Iđêan của R 3 nên 3 , , .a x a x I x R → →   = ∧ ∈ ∀ ∈   r r r Ta chọn 3 x R∈ r sao cho .,         ∈∉≠ →→→→ 3 RxIx0x Khi đó ,m a x a x a → → → → → →   = = ∧ ⊥     hay Im ∉ → suy ra vô lý. 2) Cho , , a b G a b c R c a     = ∈    ÷ −     Khi đó G là đại số Lie nửa đơn. Chứng minh  Trước hết ta chứng minh G là một đại số Lie con của ( ) n M R Ta chứng minh G khép kín với các phép toán 5 Gỉa sử G ac ba BG xz yx A ∈         − =∈         − = ; . Khi đó ta có:  k R∀ ∈ ; G kxkz kykx Ak ∈         − = .  ( ) G axcz byax BA ∈         +−+ ++ =+ . 6  [ ] =−= BAABBA ,         −         − ac ba xz yx _         − ac ba         − xz yx         +− −+ −         +− −+ = xayczaxc xbyazbxa xabzcxaz yaxbcyxa .G yczbxc2za2 ya2xb2zbyc ∈         −− −− =  Bây giờ ta chứng minh G là nửa đơn. Giả sử G không nửa đơn, tức là G có chứa Iđêan I giao hoán khác 0. Khi đó IB0AIA ∈∀≠∈∀ ,, thì : [ ] ., 0BAABBA =−= 7 Suy ra ( ) .B k A k R = ∈ Do I là Iđêan của G nên GX ∈∀ thì : [ ] ., IAX ∈ Chọn         =⇒         = 0c 00 A 01 00 B với 0c ≠ Khi đó chọn 1 1 0 1 X G −   = ∈  ÷ −   thì: [ ] , 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 2 0 X A XA AX c c c I c = − − −       = −  ÷ ÷  ÷ ÷ − −       −   = ∉  ÷ −   ⇒ Vô lý Vậy G là nửa đơn. • Bây giờ ta xét các Iđêan giải được trong G: 1.1.3 Bổ đề. Trong đại số Lie G tồn tại Iđêan giải được cực đại ( theo nghĩa bao hàm). Chứng minh .Nhận thấy I = {0} là Iđêan giải được trong G . .Giả sử M, N là hai Iđêan giải được trong G . Khi đó M+N cũng là Iđêan giải được trong G . Thật vậy, xét ánh xạ ( ) : /N M N M M ϕ + → + là đồng cấu tự nhiên. Khi đó: 8 ( ) ( ) /N N M M ϕ = + và ker / N N M ϕ = ∩ . Rõ ràng ( ) ( ) / /N M M N N M+ ≅ ∩ . Vì N M∩ giải được nên đại số thương ( ) /N N M∩ giải được, suy ra (N+M)/M giải được. Mặt khác M giải được nên ta suy ra N + M giải được . Do G hữu hạn chiều nên ta thấy trong G luôn tồn tại Iđêan giải được cực đại . 1.1.4 Định nghĩa. Một Iđêan giải được lớn nhất của G được gọi là Radican của G. 1.1.5 Nhận xét. G nửa đơn khi và chỉ khi radican của G bằng 0. Chứng minh : +)Trước hết ta chứng minh G là đại số Lie nửa đơn thì radican của G bằng 0. Thật vậy, ta đặt radican của G là r. Nếu 0r ≠ thì 1 1 0 ; ; .; K k k G G G G D D D D r − −   = =   là các Iđêan trong G. Vậy nếu 0D 1n G ≠ − và ( ) 0D n G = thì )( 1n G D − là Iđêan giao hoán khác 0 của G, điều này vô lý vì G nửa đơn. +) Giả sử 0r = ta chứng minh G là đại số Lie nửa đơn. Thật vậy, giả sử G không là đại số Lie nửa đơn tức trong G chứa một Iđêan giao hoán 0N ≠ . Như ta đã biết mọi Iđêan giao hoán đều giải được. Vậy N giải được. Ta suy ra 0r ≠ ; điều này vô lý. Từ nhận xét trên ta thấy rằng: lớp các đại số Lie giải được và lớp các đại số Lie nửa đơn là hai lớp khác nhau trong tập hợp tất cả các đại số Lie trên K . • Giả sử G là một đại số Lie, N là Iđêan của G. Xét { } /G N x x N x G = = + ∈ . Các phép toán trong G/N được xác định: +) ( ) ( )x y x N y N + = + + + ( ) x y N = + + +) x x N α α = + . 9 +) [ ] , ,x y x y N   = +   1.1.6 Nhận xét. G/N với các phép toán trên là một đại số Lie ( G/N được gọi là đại số Lie thương của G) Thật vậy: +) dễ thấy rằng G/N là một đại số. +) Tính phản xứng: /x x N G N ∀ = + ∈ ta có: [ ] [ ] , , ,x x x N x N x x N N   = + + = + =   . +) ; ;x x N y y N z z N ∀ = + = + = + thuộc G/N ta có: [ ] , , , ,x y z x N y N z N       = + + +       [ ] [ ] , , . x N y z N x y z N   = + + +     = + +   Tương tự : [ ] , , , ,y z x y N z N x N       = + + +       [ ] ,y z x N   = + +   [ ] , , , ,z x y z N x N y N       = + + +       [ ] ,z x y N   = + +   Từ đó ta có: , ,x y z         + , ,y z x         + , ,z x y         = N. Vậy G/N là một đại số Lie 1.1.7 Mệnh đề. (Xem [3]) Giả sử G là đại số Lie và N là radican của G thì đại số thương G/N nửa đơn. Chứng minh. Gọi : /G G N ϕ → là phép chiếu tự nhiên. Gọi S là Iđêan khác không, giải được trong G/N. Đặt )(SS 1 − ϕ= . Từ 0N =ϕ )( nên SN ⊆ Đại số N S và N giải được S ⇒ cũng giải được chứa N. 10 . về đại số Lie nửa đơn , trong đó đi sâu vào nghiên cứu về dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn. Do đó chúng tôi chọn tên đề tài là: Dạng Killing trên đại. sự hay G là đại số Lie đơn. 1.2.3 Mệnh đề.(Xem[6]). Tích của hai đại số Lie đơn là đại số Lie đơn. Chứng minh : Cho G 1 , G2 là các đại số Lie đơn, ta có