Đại số Lie nửa đơn và biểu diễn khả quy đầy đủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ HIỀN ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Trần Thị Hiền LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Trần Đạo Dõng tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp ĐSK31 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln ủng hộ, quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Trần Thị Hiền MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nghiên cứu cấu trúc biểu diễn đại số Lie nửa đơn toán quan trọng mang tính thời lý thuyết Lie lý thuyết biểu diễn Nhiều nhà toán học quan tâm lĩnh vực tập trung giải trọn vẹn cho nhiều lớp đại số Lie cụ thể Với mong muốn tìm hiểu thêm đại số Lie nửa đơn với gợi ý PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày lại cách hệ thống, chứng minh chi tiết kết biểu diễn đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày số khái niệm, định lý đại số Lie, đại số Lie lũy linh, định lý Engle, đại số Lie giải định lý Lie sử dụng chương sau Trong chương chúng tơi trình bày đại số Lie nửa đơn, đại số Lie nửa đơn cổ điển, tiêu chuẩn Cartan, đại số Lie quy, từ xét tính khả quy đầy đủ đại số Lie nửa đơn thông qua định lý Weyl ứng dụng để khảo sát phân tích Levi đại số Lie Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đại số Lie nửa đơn mối liên hệ với đại số Lie quy cấu trúc đại số Lie Đồng thời khảo sát tính khả quy đầy đủ biểu diễn thể cho lớp đại số Lie nửa đơn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: - Đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy - Biểu diễn khả quy đầy đủ đại số Lie Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn sâu tìm hiểu khái niệm, định nghĩa, định lý liên quan đến cấu trúc đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu kinh điển báo mới, tổng hợp trình bày báo cáo tổng quan Tham khảo trao đổi với giáo viên hướng dẫn Tham khảo số báo đăng tạp chí khoa học Đóng góp đề tài Tổng hợp tài liệu để có báo cáo tổng quan đầy đủ đại số Lie nửa đơn biểu diễn khả quy đầy đủ Góp phần làm rõ vai trò đại số Lie nửa đơn mối liên hệ với tính khả quy đầy đủ biểu diễn Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm, tính chất đại số Lie biểu diễn, khái niệm liên quan đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được, định lý Lie Các nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2] [3] 1.1 Đại số Lie Cố định trường F Định nghĩa 1.1.1 Cho L không gian véctơ trường F xét [, ] : L × L −→ L (x, y) −→ [x, y] phép toán L Khi đó, (L, [, ]) gọi đại số Lie trường F phép toán [, ] thỏa mãn a) [, ] song tuyến tính; tức là, ∀x, y, z ∈ L, ∀λ, β ∈ F ta có: [λx + βy, z] = λ[x, y] + β[y, z] [x, λy + βz] = λ[x, y] + β[x, z] b) [, ] phản xạ; tức [x, x] = 0, ∀x ∈ L c) [, ] thỏa mãn đồng thức Jacobi; tức [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[x, z], y] = 0, ∀x, y, z ∈ L Số chiều dimF (L) không gian véctơ L định nghĩa số chiều đại số Lie L [, ] gọi tích Lie Đại số Lie L gọi đại số Lie giao hoán [x, y] = 0, với x, y ∈ L Nhận xét 1.1.1 Từ điều kiện (b) ta suy điều kiện (b’) : [x, y] = −[y, x] Và CharF = (b) (b’) tương đương Với K khơng gian véctơ L, đó, K gọi đại số Lie L K đóng với tích Lie, tức : ∀x, y ∈ L : [x, y] ∈ K Với phần tử x ∈ L, x = 0, ta có K = Fx đại số Lie chiều L với tích Lie tầm thường : [y, y ] = 0, ∀y, y ∈ K Từ lúc này, ta nói K đại số đại số Lie L hiểu K đại số Lie đại số Lie L Nhận xét 1.1.2 dimsl(n) = n2 − Một sở sl(n) {eij }i=j ∪ {hj }n−1 i=1 với hi = eii − ei+1,i+1 a b Với n = ta có sl(n) = c −a |a, b, c ∈ F có sở : 0 x = 0 , y = , z = −1 Với tích Lie : [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h Định nghĩa 1.1.2 Không gian véctơ I đại số Lie L gọi iđêan L [x, y] ∈ L, ∀x ∈ L, y ∈ I Định nghĩa 1.1.3 Với L, L hai đại số Lie trường F , ánh xạ tuyến tính φ : L −→ L gọi đồng cấu đại số Lie nếu: φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)], ∀x, y ∈ L Đồng cấu φ gọi đơn cấu Kerφ = 0, toàn cấu Imφ = L , đẳng cấu vừa đơn cấu, vừa toàn cấu Nhận xét 1.1.3 Với φ : L −→ L đồng cấu Kerφ iđêan L Imφ đại số L Thật vậy, với x ∈ Kerφ, y ∈ L, ta có [y, x] ∈ Kerφ φ([y, x]) = [φ(y), φ(x)] = Và với φ(x), φ(y) ∈ Imφ [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) ∈ Imφ Mệnh đề 1.1.4 (1) Nếu φ : L −→ L đồng cấu đại số Lie, L/Kerφ ∼ = Imφ Nếu I iđêan L nằm Kerφ, tồn đồng cấu ψ : L/I −→ L cho biểu đồ sau giao hoán: L φ / LO ψ π L/I với π : L −→ L/I phép chiếu tắc (2) Nếu I ⊂ J iđêan L J/I iđêan L/I (L/I)/(J/I) đẳng cấu tự nhiên với L/J (3) Nếu I, J iđêan L tồn đẳng cấu (I +J)/J I/(I ∩ J) Định nghĩa 1.1.5 Cho L đại số Lie V không gian véctơ Một biểu diễn đại số Lie L V đồng cấu đại số Lie φ : L −→ gl(V ) Bổ đề 1.1.6 Nếu x ∈ [L, L] φ : L −→ gl(n) biểu diễn T rφ(x) = Chứng minh Do x ∈ [L, L] nên ta biểu diễn x = [ai , bi ], với , bi ∈ L Từ T r([φ(ai ), φ(bi )]) = T r(φ(ai ).φ(bi ) − φ(bi ).φ(ai )) = 0, ta có: T r(φ(x)) = T r(φ( [ai , bi ])) = T r([φ(ai ), φ(bi )]) = 1.2 Đại số Lie Lũy linh Định lý Engel Xét dãy iđêan đại số Lie L (chuỗi giảm iđêan): L0 = L, L1 = [L, L], , Li = [L, Li−1 ], Định nghĩa 1.2.1 L gọi lũy linh tồn n cho: Ln = Rõ ràng đại số giao hoán lũy linh Mệnh đề 1.2.2 Cho L đại số Lie Khi đó: (1) Nếu L lũy linh đại số ảnh đồng cấu L lũy linh (2) Nếu L/Z(L) lũy linh L lũy linh (3) Nếu L lũy linh khác Z(L) = Định nghĩa 1.2.3 Một phần tử x ∈ L gọi ad-lũy linh ad x tự đồng cấu lũy linh, tức tồn n cho: (adx)n = Bổ đề 1.2.4 Nếu x ∈ gl(V ) tự đồng cấu tuyến tính lũy linh V x ad-lũy linh Bổ đề 1.2.5 Nếu L lũy linh phần tử L ad-lũy linh Chứng minh Từ L lũy linh, ta có: Ln = nên với x0 , x1 , , xn ∈ L: [xn , [ [x2 , [x1 , x0 ]] ]] = (adxn )(adxn−1 ) (adx1 )(x0 ) = Đặc biệt cho x1 = x2 = = xn = x ∈ L ta (adx)n (x0 ) = 0, ∀x0 ∈ L nên (adx)n = hay x ad-lũy linh Định lí 1.2.6 Cho L đại số Lie gl(V ), V không gian véctơ hữu hạn chiều khác F Nếu L bao gồm tự đồng cấu lũy linh tồn véctơ khác khơng v ∈ V thỏa mãn: Lv = 0, Lv = {xv|x ∈ L} Định lí 1.2.7 (Định lý Engel) Cho L đại số Lie hữu hạn chiều Nếu phần tử L ad-lũy linh L lũy linh Hệ 1.2.8 Với L đại số gl(V ), V không gian véctơ hữu hạn chiều khác không F Nếu L gồm tự đồng cấu lũy linh tồn flag (Vi ) V ổn định tác động L, với xVi ⊂ Vi−1 , ∀i, ∀x ∈ L Nói cách khác, tồn sở V phụ thuộc vào L đại số πn, với n = dimV Bổ đề 1.2.9 Với L lũy linh K iđêan L, K = K ∩ Z(L) = 1.3 Đại số Lie giải Định lý Lie Ta xét dãy iđêan L sau: L(0) = L, L(1) = [L, L], L(2) = [L(1) , L(1) ], , L(i) = [L(i−1) , L(i−1) ], Định nghĩa 1.3.1 Đại số Lie L gọi giải tồn n cho: L(n) = Mệnh đề 1.3.2 Với L đại số Lie, đó: (1) Nếu L giải đại số ảnh đồng cấu L đại số Lie giải (2) Nếu I iđêan giải L cho L/I giải được, L giải (3) Nếu I, J iđêan giải L I + J iđêan giải Hệ 1.3.3 Đại số Lie L giải (lũy linh) ad L giải (lũy linh) Ví dụ 1.3.1 Đại số Lie đơn nửa đơn đại số Lie đơn có hai iđêan nó, đại số Lie đơn khơng giải Với đại số Lie L L/Rad(L) nửa đơn Một đại số Lie nửa đơn có tâm tầm thường, nên biểu diễn phụ hợp đại số Lie nửa đơn trung thành Định lí 1.3.4 Xét F trường đóng đại số có đặc số 0, L đại số giải gl(V ), với V không gian véctơ khác không, hữu hạn chiều Khi V chứa véctơ riêng chung cho tất tự đồng cấu L Hệ 1.3.5 (Định lý Lie) Với L đại số Lie giải gl(V ), dimV = n < ∞ Khi tồn flag V ổn định tác động L(nói cách khác, ma trận tự đồng cấu L với sở V tương ứng tam giác trên) Hệ 1.3.6 Với L đại số Lie hữu hạn chiều giải Khi tồn xích iđêan L thỏa mãn: = L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ ⊂ Ln = L, dimLi = i Hệ 1.3.7 Nếu L đại số Lie hữu hạn chiều giải [L, L] lũy linh Chương ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ Trong chương chúng tơi trình bày đại số Lie đơn nửa đơn, đại số Lie quy, biểu diễn khả quy đầy đủ ứng dụng để khảo sát phân tích Levi đại số Lie Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [2] [5] 2.1 Đại số Lie nửa đơn tiêu chuẩn Cartan Định nghĩa 2.1.1 Cho L đại số Lie hữu hạn chiều trường F a) L gọi đơn L khơng giao hốn khơng tồn iđêan khác không thực L b) L gọi nửa đơn L khơng có iđêan giải khác không nào, tức rad(L) = Nhận xét 2.1.1 Từ định nghĩa, ta suy : i) Nếu L đại số Lie đơn L = [L, L] Do L khơng giải ii) Nếu L đại số Lie đơn L đại số Lie nửa đơn Điều ngược lại nói chung khơng iii) Mỗi iđêan đại số Lie nên ta có khái niệm iđêan đơn Mệnh đề 2.1.2 Mỗi đại số Lie chiều đơn giải Mệnh đề 2.1.3 Cho L đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, ta có : a) L/rad(L) nửa đơn b) Nếu L đại số Lie nửa đơn L có tâm tầm thường biểu diễn liên hợp L đơn ánh Ta xét V không gian véctơ hữu han chiều trường F, với F trường đóng đại số có đặc số tùy ý Định nghĩa 2.1.4 Phần tử x ∈ End(V ) gọi nửa đơn nghiệm đa thức tối tiểu x trường F phân biệt Mệnh đề 2.1.5 Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều F x ∈ End(V ) Khi đó: (1) Tồn xs , xn ∈ End(V ) thỏa mãn điều kiện: x = xs + xn , xs nửa đơn, xn lũy linh, xs , xn giao hoán (2) Tồn đa thức biến p(T ), q(T ) với hệ số tự 0, cho xs = p(x), xn = q(x) Đặc biệt, xs xn giao hoán với đồng cấu giao hoán với x (3) Nếu A ∈ B ∈ V không gian con, x(B) ⊂ A, xs (B) ⊂ A xn (B) ⊂ A Phân tích x = xs + xn gọi phân tích JordanChevalley x; xs xn gọi phần nửa đơn phần lũy linh x Mệnh đề 2.1.6 Với x ∈ EndV (V khơng gian véctơ hữu hạn chiều) có phân tích Jordan x = xs + xn , adx = adxs + adxn phân tích Jordan ad x End(EndV ) Mệnh đề 2.1.7 Cho A ⊂ B hai không gian gl(V ), V hữu hạn chiều Đặt M = x ∈ gl(V )|[x, B] ⊂ A Giả sử x ∈ M cho T r(xy) = 0, ∀y ∈ M Khi x lũy linh Định lí 2.1.8 (Tiêu chuẩn Cartan cho tính giải được) Cho L đại số gl(V ), V hữu hạn chiều Khi L giải T r(xy) = 0, ∀x ∈ [LL], y ∈ L Hệ 2.1.9 Đại số Lie L giải T r(adx.ady) = 0, ∀x ∈ [LL], y ∈ L Chứng minh Áp dụng định lý 1.5.2 cho biểu diễn phụ hợp L ad L giải Từ Ker ad = Z(L) giải nên theo Mệnh đề 1.4.2, L giải Định nghĩa 2.1.10 Cho L đại số Lie Một dạng Killing L ánh xạ κ : L × L −→ F; (x, y) −→ κ(x, y) = T r(adx.ady) Nhận xét 2.1.2 κ dạng song tuyến tính đối xứng L Do với A, B, C ∈ gl(n), ta có: T r([AB]C) = T r(ABC) − T r(BAC) = T r(ABC) − T r(ACB) = T r(A[BC]), nên κ([xy], z) = κ(x, [yz]) Vậy κ có tính kết hợp Bổ đề 2.1.11 Cho I iđêan L Nếu κ : L × L −→ F dạng Killing L κI : I × I −→ F dạng Killing I thì: κI = κ|I×I Định nghĩa 2.1.12 Một dạng song tuyến tính đối xứng B(x, y) gọi không suy biến Radical Ở Radical B, ký hiệu Rad B, xác định sau: RadB = {x ∈ L|B(x, y) = 0, ∀y ∈ L} Nhận xét 2.1.3 Rad B iđêan L Cố định sở x1 , x2 , , xn L κ khơng suy biến ma trận tương ứng κ ma trận có phần tử dòng thứ i, cột thứ j κ(xi , xj ) có định thức khác Trong sl(2, F) với sở chuẩn tắc, tính tốn ví dụ 2.3.2, ma trận xác định κ là: có định thức −128 nên κ khơng suy biến charF = Định lí 2.1.13 (Tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn) Cho L đại số Lie Khi đó, L nửa đơn dạng Killing tương ứng không suy biến Bổ đề 2.1.14 Giả sử L = L1 ⊕ L2 ⊕ ⊕ Lt , iđêan Li đại số Lie đơn Thế iđêan đơn L trùng với Li L = [L, L] Đại số Lie L nửa đơn Định lí 2.1.15 Với L đại số Lie nửa đơn, tồn iđêan đơn L1 , L2 , , Lt L cho: L = L1 ⊕ L2 ⊕ ⊕ Lt Hệ 2.1.16 Nếu L nửa đơn L = [L, L] iđêan ảnh đồng cấu L nửa đơn Hơn iđêan tổng iđêan đơn L 10 2.2 Biểu diễn khả quy đầy đủ Cho L đại số Lie Để thuận tiện, thay sử dụng ngơn ngữ biểu diễn, ta sử dụng ngôn ngữ tương đương, ngôn ngữ môđun Định nghĩa 2.2.1 Cho L đại số Lie Không gian véctơ V với phép tốn L × V → V , ký hiệu : (x, v) → x.v hay xv gọi L−môđun điều kiện sau thỏa mãn : ∀x, y ∈ L; v, w ∈ V ; a, b ∈ F a) (ax + by).v = a(x.v) + b(y.v) b) x.(av + bw) = a(x.v) + b(x.w) c) [x, y].v = x.(y.v) − y.(x.v) Nhận xét 2.2.1 Nếu φ : L → gl(V ) biểu diễn L V L-mơđun với phép toán : x.v = φ(x)v Ngược lại, V L-mơđun φ(x)v = x.v xác định biểu diễn Định nghĩa 2.2.2 Nếu W ⊂ V L-mơđun ta gọi W L-mơđun V Nhận xét 2.2.2 a) Để kiểm tra W ⊂ V có phải L- mơđun V hay không, ta cần kiểm tra Lw ⊂ W, ∀w ∈ W hay không b) Khi W L- mơđun V khơng gian véctơ thương V /W với tác động L : x.(v + W ) = xv + W L- môđun, gọi L- môđun thương Thật vậy, ta cần kiểm tra phép tốn L × V /W → V /W, x.(v + W ) → x.v + W định nghĩa tốt Điều v − v ∈ W x.(v − v ) ∈ W , W L- mơđun Định nghĩa 2.2.3 Một đồng cấu L - mơđun V W ánh xạ tuyến tính φ : V → W thỏa mãn : φ(x.v) = x.φ(v), ∀x ∈ F, v ∈ V Định nghĩa 2.2.4 L-mơđun V gọi bất khả quy có L-mơđun (là nó) Tổng trực tiếp L-môđun 11 V1 , V2 , , Vt tổng trực tiếp không gian véctơ V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vt với tác động L : x.(v1 , v2 , , vt ) = (x.v1 , x.v2 , , x.vt ) Một Lmơđun V gọi khả quy hồn toàn (hay khả quy đầy đủ) V tổng trực tiếp L -môđun bất khả quy Bổ đề 2.2.5 Trong trường hợp V hữu hạn chiều, V khả quy đầy đủ L-mơđun W V có phần bù, tức tồn L-môđun W cho : V = W ⊕ W Bổ đề 2.2.6 (Bổ đề Schur): Cho φ : L → gl(V ) biểu diễn bất khả quy Khi đó, tự đồng cấu V giao hoán với tất φ(x) với x ∈ L vô hướng Định nghĩa 2.2.7 (1) L− môđun V gọi trung thành φ : L → gl(V ) đơn cấu (tức Kerφ = 0) (2) Cố định sở x1 , x2 , , xn L cφ = cφ (β) gọi phần tử Casimir φ với T r(cφ ) = i T r(φ(xi ), φ(yi )) = i β(xi , yi ) = dimL Khi φ biểu diễn bất khả quy, theo Bổ đề Schur, cφ vô hướng (= dimL/dimV ) không phụ thuộc vào việc chọn sở Nhận xét 2.2.3 Nếu L nửa đơn φ khơng biểu diễn trung thành ta ln có L = Kerφ ⊕ L Khi hạn chế φ lên L biểu diễn trung thành phần tử Casimir φ xác định phần tử Casimir hạn chế này, nữa, giao hốn với φ(L) φ(L) = φ(L ) 2.3 Định lý Weyl cho đại số Lie nửa đơn Bổ đề 2.3.1 Cho φ : L → gl(V ) biểu diễn đại số Lie nửa đơn L Khi đó, φ(L) ⊂ sl(V ) Đặc biệt L tác động tầm thường lên L-môđun chiều Định lí 2.3.2 (Định lý Weyl) Cho φ : L → gl(V ) biểu diễn hữu hạn chiều đại số Lie nửa đơn L Khi L-mơđun V khả quy đầy đủ 12 2.4 Biểu diễn đại số Lie sl(2, F) Trong phần này, ta xét L = sl(2, F) = a b c −a |a, b, c ∈ F với sở chuẩn tắc : 0 x = 0 , y = , h = −1 Ta có : [h, x] = 2x, [h, y] = −2y, [x, y] = h Theo Ví dụ 2.1.5 : L = sl(2, F) đại số Lie đơn Với V L-môđun, theo Định lý Weyl ta có : V = ⊕λ∈F Vλ , Vλ = {v ∈ V |h.v = λv} Khi Vλ = 0, ta gọi λ trọng h V gọi Vλ không gian trọng Bổ đề 2.4.1 Nếu v ∈ Vλ x.v ∈ Vλ+2 y.v ∈ Vλ−2 Tiếp theo, sử dụng véctơ cực phân lớp biểu diễn bất khả quy sl(2, F) Trước hết, ta xét bổ đề sau : Bổ đề 2.4.2 V L-môđun bất khả quy Gọi v0 ∈ Vλ véctơ i cực đại Đặt v−1 = 0, vi = yi! v0 (i ≥ 0) Khi : a) h.vi = (λ − 2i)vi , b) y.vi = (i + 1)vi+1 , c) x.vi = i(λ − i + 1)vi−1 (i ≥ 0) Hệ 2.4.3 Ta có : λ = m = dimV − Theo phần (3) bổ đề 2.4.2, ta có = x.vm+1 = (m + 1)(λ + − (m + 1))vm , nên λ = m = dimV − Nhận xét 2.4.1 Kết cho thấy, biểu diễn bất khả quy sl(2, F) mơ tả qua trọng không gian trọng tương ứng chúng Định lí 2.4.4 Cho L-mơđun bất khả quy hữu hạn chiều với véctơ vi xác định mệnh đề 2.4.2 m + = dimV Khi đó, ta có : (1) Tương ứng với h, V tổng trực tiếp khơng gian trọng Vµ , µ = 13 m, m − 2, , −(m − 2), −m, m + = dimV dimVµ = với µ (2) V có véctơ cực đại (sai khác vơ hướng khác khơng) có trọng m (gọi trọng cao V ) (3) Tác động L lên V xác định tường minh từ công thức bổ đề 2.4.2 Đặc biệt, tồn nhiều L-môđun bất khả quy, sai khác đẳng cấu chiều m + 1, m ≥ Hệ 2.4.5 Cho V L-môđun hữu hạn chiều, với L = sl(2, F) Khi trị riêng h V số nguyên trị riêng xuất số đối với số lần Hơn nữa, phân tích V thành tổng trực tiếp mơđun bất khả quy có số lượng hạng tử dimV0 + dimV1 2.5 Đại số Lie quy đại số Lie nửa đơn cổ điển Định nghĩa 2.5.1 Đại số Lie L gọi đại số Lie quy (đại số Lie reductive) với iđêan a L tồn iđêan b L cho L=a⊕b Nhận xét 2.5.1 a) Đại số Lie quy L xét L-môđun (đối với biểu diễn liên hợp ad) khả quy đầy đủ b) Mỗi đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy đảo lại nói chung khơng Định lí 2.5.2 Mỗi đại số Lie quy L có dạng phân tích L = [L, L]⊕Z(L) Hệ 2.5.3 Mỗi đại số Lie quy L nửa đơn tâm L Nhận xét 2.5.2 Dựa vào mối liên hệ đại số Lie quy đại số Lie nửa đơn ta xác định cấu trúc nửa đơn lớp đại số Lie thực gồm ma trận trường số thực R, trường phức C trường quaternion H, với H đại số R có sở {1, i, j, k} cho 14 i2 = j = k = −1 ij = k, jk = i, ik = −j Lớp đại số thường gọi đại số Lie nửa đơn cổ điển Định lí 2.5.4 Cho L đại số Lie thực gồm ma trận R, C H Giả sử L ổn định qua phép toán lấy liên hợp chuyển vị ma trận, tức x∗ = t (xij )n ∈ L, với x = (xij )n ∈ L Khi L đại số Lie quy Mệnh đề 2.5.5 Xét đại số Lie sau : u(n) = {x ∈ gl(n, C)|x + x∗ = 0} su(n) = {x ∈ gl(n, C)|x + x∗ = 0, T rx = 0} so(n) = {x ∈ gl(n, R)|x + x∗ = 0} sp(n) = {x ∈ gl(n, H)|x + x∗ = 0} Khi ta có : a) u(n) không nửa đơn với n ≥ su(n) nửa đơn với n ≥ b) so(n) nửa đơn với n ≥ sp(n) nửa đơn với n ≥ Tiếp theo đại số Lie nửa đơn phức với tâm không Chú ý đại số Lie phức L LR dạng thực tương ứng, tức đại số Lie thực thỏa điều kiện L = LR + iLR , áp dụng tiêu chuẩn Cartan cho tính nửa đơn ta có L nửa đơn C LR nửa đơn R Từ tính chất áp dụng mệnh đề ta thu kết sau Mệnh đề 2.5.6 Các đại số Lie phức sau nửa đơn : sl(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|x + xt = 0} với n ≥ 2; so(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|T rx = 0} với n ≥ 3; sp(n, C) = {x ∈ gl(2n, C)|xt J + Jx = 0} với n ≥ 1; I Trong J = Jn,n ma trận vuông cấp 2n, với J = −I Bây xét đại số Lie nửa đơn thực khác với đại số Lie nửa dơn thể hai mệnh đề Mệnh đề 2.5.7 Các đại số Lie đây, xét đại số Lie thực, nửa đơn : 15 sl(n, R) = {x ∈ gl(n, R)|T rx = 0} với n ≥ 2; sl(n, H) = {x ∈ gl(n, H)|ReT rx = 0} với n ≥ 1; so(m, n) = {x ∈ gl(m + n, 2R)|x∗ Im,n + Im,n x = 0} với m + n ≥ 3; su(m, n) = {x ∈ sl(m + n, C)|x∗ Im,n + Im,n x = 0} với m + n ≥ 2; sp(m, n) = {x ∈ gl(m + n, H)|x∗ Im,n + Im,n x = 0} với m + n ≥ 1; sp(n, R) = {x ∈ gl(2n, R)|xt Jn,n + Jn,n x = 0} với n ≥ 1; so∗ (2n) = {x ∈ su(n, n)|xt In,n Jn,n + In,n Jn,n x = 0} với n ≥ 2; Trong J = Jn,n ma trận vng cấp 2n xác định I J = −I 0n ma trận Im,n , In,n Jn,n xác định : n I 0 I Im,n = 0m −I , In,n Jn,n = I 0n n n 2.6 Phân tích Levi đại số Lie Theo mục 2.5, đại số Lie quy L khả quy đầy đủ L xét L-môđun qua biểu diễn liên hợp L phân tích dạng tổng trực tiếp thành phần nửa đơn [L, L] tâm Z(L) Trong trường hợp L đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý, áp dụng tính khả quy đầy đủ biểu diễn, biểu thị L dạng tích nửa trực tiếp đại số Lie nửa đơn radical L Trước thể tính chất này, xét khái niệm tích nửa trực tiếp đại số Lie Định nghĩa 2.6.1 Cho L đại số Lie, a đại số Lie L, b iđêan L cho L = a ⊕ b tổng trực tiếp không gian véctơ Nếu a ∈ a, b iđêan L nên ada|b ∈ Derb Khi đó, đồng cấu π : a → Derb cho π(a)(b) = ada|b (b) = [a, b], ∀a ∈ a, ∀b ∈ b Như vậy, a, b π xác định đại số Lie L, ta nói L tích nửa trực tiếp đại số Lie a, b Kí hiệu L = a ⊕π b Khái niệm "tích nửa trực tiếp" tổng quát xây dựng nhờ Mệnh để sau : 16 Mệnh đề 2.6.2 Cho a, b đại số Lie π : a → Derb đồng cấu đại số Lie Khi đó, tồn cấu trúc đại số Lie không gian véctơ tổng trực tiếp L = a ⊕ b giữ nguyên tích Lie a b, đồng thời thỏa mãn [a, b] = π(a)(b) với a ∈ a, ∈ b Với đại số L, ta có a đại số Lie b iđêan L Chứng minh Rõ ràng, cấu trúc đại số Lie L thỏa mãn điều kiện mệnh đề tồn Bây ta chứng minh tồn Trên không gian véctơ L = a ⊕ b, xác định phép toán : [g, g ]L = [a, a ]a + [b, b ]b + π(a)(b ) − π(a )(b), ∀g = (a, b), g = (a , b ) Ta chứng minh [., ]L tích Lie thỏa mãn điều kiện mệnh đề Thật vậy, đồng phần tử a ∈ a với phần tử (a, 0) ∈ L b ∈ b với phần tử (0, b) ∈ L, ta có [a, a ]L = [a, a ]a + [0, 0]b + π(a)(0) − π(a )(0) = [a, a ]a [b, b ]L = [0, 0]a + [b, b ]b + π(0)(b ) − π(0)(b) = [b, b ]b [a, b]L = [a, 0]a + [0, b]b + π(a)(b) − π(0)(0) = π(a)(b) Hơn nữa, [., ]L tuyến tính theo biến [., ]a , [., ]b tuyến tính theo biến π, π(x), x ∈ a nhứng ánh xạ tuyến tính Với L = (a, b) ∈ L, ta có : [g, g ]L = [a, a ]a + [b, b ]b + π(a)(b) − π(a )(b) = Vì [., ]L tuyến tính theo biến nên để chứng minh đồng thức Jacobi cho ba phần tử thuộc L ta quy trường hợp : (1) Nếu ba phần tử thuộc a ba thuộc b đồng thức Jacobi rõ (2) Hai phần tử a1 , a2 ∈ a phần tử b ∈ b [[a1 , a2 ], b]L = π([a1 , a2 ])(b) = ([π(a1 ), π(a2 )])(b) = (π(a1 ) ◦ π(a2 ) − π(a2 ) ◦ π(a1 ))(b) = π(a1 )(π(a2 )(b)) − π(a2 )(π(a1 )(b)) = [a1 , [a2 , b]]L − [a2 , [a1 , b]]L Suy [[a1 , a2 ], b]L + [[a2 , b], a1 ]L + [[b, a1 ], a2 ]L = (3) Một phần tử a ∈ a, hai phần tử b1 , b2 ∈ b Khi [a, [b1 , b2 ]]L = π(a)([b1 , b2 ]) 17 = [π(a)(b1 ), b2 ] + [b1 , π(a)(b2 ) = [[a, b1 ], b2 ]L + [[b1 , a], b1 ]L ] Suy [[a, b1 ], b2 ]L + [[b1 , b2 ], a]L + [[b2 , a], b1 ]L = Như vậy, [., ]L tích Lie thỏa mãn điều kiện mệnh đề Định nghĩa 2.6.3 Cho a, b đại số Lie, π : a → Derb đồng cấu đại số Lie Khi đó, đại số Lie L xác định a, b π mệnh đề gọi tích nửa trực tiếp đại số Lie a b Ký hiệu L = a ⊕π b Nhận xét 2.6.1 Tổng trực tiếp địa số Lie trường hợp đặc biệt tích nửa trực tiếp đại số Lie, tương ứng với π = Định lí 2.6.4 (Định lý phân tích Levi) Cho L đại số Lie hữu hạn chiều với R = radL Khi tồn đại số Lie h L đẳng cấu với đại số Lie nửa đơn L/R cho L tích nửa trực tiếp h R 18 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu đại số Lie nửa đơn, hướng dẫn khoa học, nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau : • Đã trình bày tổng quan số kết đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy • Khảo sát biểu diễn khả quy đầy đủ đại số Lie nửa đơn theo ngôn ngữ môđun thể cho trường hợp đại số Lie sl(2, F), với F trường đóng đại số tùy ý • Ứng dụng tính khả quy đầy đủ biểu diễn để khảo sát cấu trúc đại số Lie hữu hạn chiều tùy ý thể qua định lý phân tích Levi Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hi vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu đại số Lie nửa đơn biểu diễn Mặc dù cố gắng, song hạn chế lực thời gian nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn đọc để luận văn hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! 19 Tài liệu tham khảo A Kirillov (2008),An introduction to Lie Groups and Lie algrebras, Lecture Notes in Math, Cambridge University Press, New york A.W.Knapp (2002), Lie Group beyond an introduction, Progress in Math, New york E.P Van den Ban (2010), Lie Group, Lecture Notes, University of Utrecht, Holland G Bellamy (2016), Lie Groups, Lie algrebras and their Representations, Lecture Notes, University of Glasgow, UK James E Humphreys (1972),Introduction to Lie Algrebras and Representation Theory, Springer-Verlag New York Inc 20 ... thời khảo sát tính khả quy đầy đủ biểu diễn thể cho lớp đại số Lie nửa đơn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: - Đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy - Biểu diễn khả quy đầy đủ đại số Lie. .. L đại số Lie hữu hạn chiều giải [L, L] lũy linh Chương ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ BIỂU DIỄN KHẢ QUY ĐẦY ĐỦ Trong chương chúng tơi trình bày đại số Lie đơn nửa đơn, đại số Lie quy, biểu diễn khả quy. .. tổng quan số kết đại số Lie nửa đơn đại số Lie quy • Khảo sát biểu diễn khả quy đầy đủ đại số Lie nửa đơn theo ngôn ngữ môđun thể cho trường hợp đại số Lie sl(2, F), với F trường đóng đại số tùy