Luận văn sư phạm Nhập môn đại số Lie

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm sở 1.1.Trường 1.1.1.Định nghĩa trường 1.1.2.Iđêan đồng cấu 1.2.Không gian véctơ 1.2.1.Khái niệm 1.2.2.Các tính chất 1.2.3.Không gian véctơ 1.2.4.Sự độc lập phụ thuộc tuyến tính 1.3.Ánh xạ tuyến tính 11 1.3.1.Định nghĩa 11 1.3.2.Một số tính chất ánh xạ tuyến tính 11 1.3.3.Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính 12 1.3.4.Tích tenxơ khơng gian véctơ 12 Chương Đại số Lie 14 2.1 Định nghĩa đại số Lie 14 2.2 Một số khái niệm liên quan 17 2.2.1 Đại số Lie 17 2.2.2 Iđêan đại số thương 19 2.2.3 Đồng cấu đại số Lie 22 2.2.4 Môđun đại số Lie 23 SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chương Đại số bao phổ dụng đại số Lie 25 3.1 Tích tenxơ đại số tenxơ 25 3.1.1 Tích tenxơ 25 3.1.2 Đại số tenxơ 26 3.2 Đại số bao phổ dụng đại số Lie 28 3.2.1 Khái niệm 28 3.2.2 Cấu trúc U(L) 30 3.2.3 Định lý Poincare-Birkhoff-Witt 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Đại số Lie khái niệm có nguồn gốc từ giải tích.Ví dụ đại số Lie không gian phép đạo hàm đại số Nó đại số quan trọng sử dụng nghiên cứu lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.Ở năm học trường đại học, sinh viên chúng em chưa học đại số Lie, xuất phát từ ham hiểu biết mối liên hệ ngành toán học, em lựa chọn đề tài:" Nhập mơn đại số Lie" để thực khóa luận tốt nghiệp Trong nội dung khóa luận em muốn trình bày cách khái quát đại số Lie Dựa tính chất trường, không gian véctơ số khái niệm đại số biết để xây dựng đại số Lie, từ có cách định nghĩa cụ thể đại số Lie, nắm tính chất đại số Lie Đưa số vấn đề liên quan đến đại số Lie như: đại số Lie con, iđêan đại số Lie, đồng cấu đại số Lie, đại số Lie giao hốn, mơđun khái niệm định nghĩa tương tự khái niệm đại số con, iđêan, đồng cấu, mơđun, giao hốn ánh xạ tuyến tính đại số.Trình bày định lý sở quan trọng lý thuyết đại số Lie.Ngoài ra, dựa vào định nghĩa khái niệm liên quan trọng đại số tenxơ để đưa định nghĩa đại số bao đại số Lie Từ đó, ta nghiên cứu tính phổ dụng để thấy từ tính phổ dụng đại số bao ta xây dựng cấu trúc đại số Hopf Như vậy, bên cạnh việc sử dụng nghiên cứu lý thuyết đạo hàm, đại số Lie cịn có liên hệ mật thiết với đại số Hopf SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1.Tìm hiểu khái quát đại số Lie 2.Tìm hiểu số vấn đề liên quan tới đại số Lie như: - Đồng cấu đại số Lie -Tích tenxơ hai đại số - Đại số bao phổ dụng đại số Lie III Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu kiến thức liên quan tới đề tài - Nghiên cứu ứng dụng kiến thức đưa Phương pháp phân tích, tổng hợp IV Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục sách tham khảo, nội dung khóa luận chia làm chương: Chương Một số khái niệm sở Trong chương này, em trình bày số khái niệm liên quan cần dùng chương sau như:trường, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính Chương Đại số Lie Chương trình bày khái niệm đại số Lie, đại số Lie con, đồng cấu đại số Lie số tính chất đại số Lie Chương Đại số bao phổ dụng đại số Lie Trong chương này, em trình bày khái niệm đại số bao phổ dụng đại số Lie, tồn tại, tính đại số bao phổ dụng đại số Lie SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chương Một số khái niệm sở 1.1 Trường 1.1.1 Định nghĩa trường Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp K có hai phần tử Trên K có hai phép tốn phép cộng (ký hiệu +) phép nhân (ký hiệu ´) K với hai phép tốn gọi trường thỏa mãn tính chất sau: Phép cộng có tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c Ỵ K Có phần tử Ỵ K cho: + a = a + = a,  a Ỵ K Phần tử gọi phần tử trung lập Với phần tử a Ỵ K ln tồn phần tử a' Ỵ K cho: a + (a') = (a') + a = Phép cộng có tính chất giao hốn: a + b = b + a,  a, b Ỵ K Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c),  a, b, c Ỵ K Có phần tử Ỵ K cho với phần tử a ta có: a.1 = 1.a = a Phần tử gọi phần tử đơn vị phép nhân K Với phần tử a  ln có phần tử a' Ỵ K cho: a.a' = a'.a = Phần tử a' gọi phần tử nghịch đảo a ký hiệu a-1 Phép nhân có tính chất giao hốn: a.b = b.a,  a, b Ỵ K Phép nhân phân phối phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c (b + c).a = b.a + c.a,  a, b, c Ỵ K Các tính chất cịn gọi tiên đề trường SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 Iđêan đồng cấu Iđêan trường Định nghĩa 1.2 Cho X trường, I trường X Khi I iđêan trường X Cho X trường, A iđêan X Khi A    x Ỵ A, x ≠   x-1 Ỵ X: x.x-1 = e Khi x ÎX, x  ta có x = e.x Î A ( Do A iđêan ) Vậy A= X Từ suy trường có nhiều trường có iđêan 0 Đồng cấu trường Định nghĩa 1.3 Cho X, Y hai trường, ánh xạ f : X → Y đồng cấu trường   a , b Ỵ X ( + )= ( )+ ( ) ( ) = ( ) ( ) Giả sử f: X → Y đồng cấu trường, theo tính chất đồng cấu ta có: Kerf = 0  f đơn cấu Kerf = X  f đồng cấu q Vậy đồng cấu trường đơn cấu, đồng cấu q 1.2 Không gian véctơ 1.2.1 Khái niệm Định nghĩa 1.4 Cho V tập hợp mà phần tử ký hiệu là: , , , K trường mà phần tử ký hiệu a, b, c, x, y, z, Trên V ta xét hai phép toán: SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học  Phép cộng hai phần tử V: +:V´V→V (, )   +   Phép nhân phần tử V với phần tử khác K (phép nhân vô hướng): K´V→V (x, )  x. Giả sử , ,  Ỵ V, x, y Î K điều kiện sau thỏa mãn: 1) (  + ) +  =  + ( + ), 2) Tồn véctơ q cho q +  =  + q = , 3) Với  có phần tử ' cho  + ' = ' +  = q, 4)  +  =  + , 5) x.( + ) = x. + x., 6) ( x + y ). = x. + y., 7) (x.y). = x.(y.), 8) 1. = , phần tử đơn vị trường K Khi đó, ta nói V không gian véctơ trường K (hoặc V K- khơng gian véctơ) Ta nói V khơng gian tuyến tính trường K Chú ý Các phần tử V gọi véctơ Phần tử q gọi véctơ không, ' gọi phần tử đối  kí hiệu (-) Ta viết  + (-) - gọi hiệu hai véctơ ,  Khi K= ฀ ( tương ứng K = ฀ ) ta nói V khơng gian véctơ thực ( tương ứng không gian véctơ phức) SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khi ta nói V không gian véctơ, ta ngầm hiểu ta nói đến V với hai phép tốn phép cộng hai phần tử V phép nhân phần tử V với phần tử K Để đơn giản cách viết, từ trở ta ký hiệu phép nhân phần tử x thuộc trường K với véctơ  thuộc V x thay viết x. Các ví dụ: ⃗, Tập hợp V véctơ ⃗, ⃗ chung gốc O không gian (mà ta học trường phổ thông) với phép cộng hai véctơ phép nhân véctơ với số thực khơng gian véctơ Nó gọi khơng gian véctơ hình học Mỗi trường K khơng gian véctơ K phép cộng phép nhân K Trường số thực ฀ không gian véctơ trường số hữu tỉ ฀ Trường số phức ฀ không gian véctơ trường số thực ฀ không gian véctơ trường ฀ Giả sử K trường số, tập hợp K[x] đa thức ẩn x với hệ số K, với phép cộng hai đa thức phép nhân đa thức với số, K-không gian véctơ K = K ´ K ´ ´ K tích Đề n phiên K Trên K , ta xác định phép cộng hai phần tử phép nhân phần tử K với số thuộc K sau: với α = ( , K số r ∈ K, ( , , , )+( , r( , SVTH: Bùi Thị Út Lan , , , , , , )=( ), β = ( , + , ) = (r , r , , r + , , , ) thuộc , , ) Lớp: K35G – Tốn ), Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Khi K K-khơng gian véctơ Từ trở đi, nói đến khơng gian K ta hiểu hai phép tốn định nghĩa Từ định nghĩa không gian véctơ ta suy số tính chất đơn giản 1.2.2 Các tính chất Giả sử V không gian véctơ trường K, Véctơ khơng θ Với α ∈ V, vectơ đối α 0α = θ, ∀α ∈ V xθ = θ, ∀x ∈ K xα = θ x = α = θ x(−α) = −(xα) = (−x)α, ∀x ∈ K , α ∈ V x(α − β) = xα − xβ, ∀x ∈ K , α, β ∈ V (x − y)α = xα − yα, ∀x, y ∈ K , α ∈ V Nếu α + γ = β + γ α = β, ∀α, β, γ ∈ V (Luật giản ước) 10 Nếu α + β = γ α = γ − β, ∀α, β, γ ∈ V (Quy tắc chuyển vế) 1.2.3 Không gian véctơ Định nghĩa 1.5 Giả sử V không gian véctơ trường K Tập W khác rỗng V gọi không gian véctơ (hay không gian con) không gian véctơ V điều kiện sau thỏa mãn: ∀α, β ∈ W : α + β ∈ W ∀α ∈ W : xα ∈ W (∀x ∈ K ) Tính chất Tập W khác rỗng V không gian K − không gian véctơ V với α, β ∈ W, x, y ∈ K ta có: xα + yβ ∈ W 1.2.4 Sự độc lập phụ thuộc tuyến tính SVTH: Bùi Thị Út Lan Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Định nghĩa 1.6 Cho m véctơ 1, 2, , m không gian véctơ V trường K , m > 1 Hệ véctơ 1, 2, , m gọi phụ thuộc tuyến tính tồn m phần tử , , , ∈ K không đồng thời cho x11 + x22 +· · · + xmm = θ Hệ véctơ 1, 2, , m gọi độc lập tuyến tính khơng phụ thuộc tuyến tính, hay cách tương đương: x11 + x22 +· · · + xmm = θ  = =···= =0 Tập S ⊂ V gọi độc lập tuyến tính hệ hữu hạn S độc lập tuyến tính  Một số tính chất độc lập phụ thuộc tuyến tính Tính chất 1 Hệ gồm véctơ α độc lập tuyến tính α  θ Mọi hệ véctơ chứa véctơ θ phụ thuộc tuyến tính Mọi hệ véctơ chứa hai véctơ tỉ lệ với phụ thuộc tuyến tính Một hệ gồm m véctơ (m > 1) phụ thuộc tuyến tính có véctơ biểu thị tuyến tính qua véctơ cịn lại Tính chất Nếu hệ gồm véctơ 1, 2, , m độc lập tuyến tính β véctơ khơng biểu thị tuyến tính qua hệ véctơ cho hệ véctơ 1, 2, , m , β độc lập tuyến tính Tính chất Nếu ta thêm số véctơ vào hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính SVTH: Bùi Thị Út Lan 10 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phép nhân A định nghĩa sau: (*) = (ai + U(i-1)) (aj + U(j-1)) = aiaj + U(i+j-1)) ( (ai Ỵ U(i), aj Ỵ U(j) aiaj Ỵ U(i+j), -Ta kiểm tra (*): Lấy Ỵ U(i+j)  bi mod U(i-1)) aj  bj (mod U(j-1)) Khi đó: aiaj  bibj ( mod U(i+j-1)) [ U lọc] Hay Vậy đại số A = G(U), với thành phần Ai = () thành phần bậc i, đại số phân bậc = ( ): Ỵ Ai+j khơng gian Mệnh đề 3.1: Nếu (T, i) đại số tenxơ M T =  i(M)  1  i đơn cấu Ta ký hiệu: T(M) đại số tenxơ R-môđun M nữa: T(M) = Å Tn với đại số phân bậc = 3.2 Đại số bao phổ dụng đại số Lie = = …. 3.2.1 Khái niệm Nhắc lại rằng: từ đại số A ta xây dựng đại số Lie L(A) Hơn nữa, f: A  B đồng cấu đại số f: L(A)  L(B) đồng cấu đại số Lie Ta nói A  L(A) hàm tử từ phạm trù đại số sang phạm trù đại số Lie Bài toán phổ dụng hàm tử xây dựng từ đại số Lie L đại số U(L) với ánh xạ tuyến tính i: L  U(L) thỏa mãn điều kiện sau đây: SVTH: Bùi Thị Út Lan 28 Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học i) Ánh xạ L  L(U(L)) đồng cấu đại số Lie ii) Đồng cấu i thỏa mãn toán phổ dụng: với đại số A đồng cấu đại số Lie j: L  L(A) tồn đồng cấu đại số f : U(L)  A cho sơ đồ sau giao hoán: L L(U(L)) f j L(A) Đại số U(L), tồn tại, gọi đại số bao phổ dụng đại số Lie L Từ tính phổ dụng ta thấy rằng, với đồng cấu đại số Lie f: L  L’ tồn đồng cấu đại số U(f) cho sơ đồ sau giao hoán: L U(L) f U(f ) L’ U(L’) Hay nói cách khác, ta có hàm tử từ phạm trù đại số Lie sang phạm trù đại số Ta nhận xét tương tự hàm tử với hàm tử ứng tập hợp với không gian véctơ sinh tập hợp hay hàm tử ứng nhóm với đại số nhóm SVTH: Bùi Thị Út Lan 29 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ví dụ: Nếu L đại số Lie giao hốn, U(L) trùng với đại số đối xứng S(L) Trong trường hợp riêng, L đại số : 0, U(0) = K Chúng ta có: U(Lop) = U(L)op 3.2.2 Cấu trúc U(L): Ta gọi T đại số tenxơ L Theo định nghĩa: T = T0 Å T1 Å … Å Tn Å T = K, T = L T = LL … L (n lần) với Các phép tốn khơng gian véctơ (+, o ) T bình thường Ta định nghĩa phép nhân T, phép nhân tenxơ sau: (x1  …  xi)  (y1  …  yj) = x1  …  xi  y1  …  yj Khi đó, (T, +, o ) trở thành đại số kết hợp, phân bậc, có đơn vị Ỵ K (đại số T sinh sở tùy ý L) Lấy J iđêan phía sinh phần tử dạng x y – y  x - [x, y], x, y Î L (với [x, y] = xy - yx : móc Lie L) Gọi U(L) = T/J (đại số thương) : T  U(L) ánh xạ tắc i: L  T phép nhúng ánh xạ : L U(L) i  T  =  o i gọi ánh xạ tắc L U(L) Ta có: (x)  (y) - (y)  (x) = ([x, y]), x, y Ỵ L Vì ([x, y]) - (x)  (y) + (y)  (x) = ([x, y] - x  y + y  x) = U(L) Vậy: SVTH: Bùi Thị Út Lan 30 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học +)  đồng cấu tuyến tính( bảo tồn nhờ ) +) ([x, y]) = (x)  (y) - (y)  (x) Suy muốn kiểm tra (U(L), ) đại số bao L ta cần kiểm tra tính phổ dụng (U(L), ) Bây ta khẳng định tính chất phổ dụng U(L): Định lý 3.2: Với đại số Lie L, đại số bao phổ dụng U(L) tồn nhất, sai khác đẳng cấu Chứng minh: Đại số U(L) xây dựng đại số thương đại số tenxơ T(L) theo iđêan sinh phần tử a  b - b  a - [ a, b ] (1) ánh xạ i cảm sinh từ ánh xạ L  T(L) Ta có L  L(U(L)) đồng cấu đại số Lie Mặt khác, giả thiết j: L  L(A) đồng cấu đại số Lie Coi j ánh xạ tuyến tính, ánh xạ cảm sinh đồng cấu đại số j : T(L)  A Ta có: j ( a1  …  ap ) = j ( a1 ) … j ( ap ) Vì j đồng cấu đại số Lie nên: j ([ a, b ]) = j (a) j(b) - j(b)j(a), nghĩa là: j ([a, b]) = j (a  b - b  a ) Vậy j ánh xạ iđêan sinh phần tử (1) vào O Từ ta có đồng cấu cảm sinh f : U(L)  A Từ cách xây dựng ta thấy phần tử L sinh U(L) f nhất.Định lý chứng minh SVTH: Bùi Thị Út Lan 31 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nếu ký hiệu HomLie (L,L’) tập hợp đồng cấu đại số Lie từ L vào L’ biểu thị định lý song ánh tự nhiên: HomLie (L, L(A))  HomAlg (U(L), A) Chúng ta suy hai hệ từ định lý: Hệ 1: a) Với đồng cấu đại số Lie f: L đồng cấu đại số U(f) : U(L)   L’, tồn U(L’) cho U(f) o iL = iL’ o f Ta có U(idL) = idU(L) b) Nếu f’ : L  L” đồng cấu khác đại số Lie U( f’ o f) = U(f’) o U(f) Chứng minh: a) Áp dụng định lý, dựa vào A = U(L’) từ đồng cấu đại số Lie iL o f b) Ta có: U(f’) o U(f) o iL = U(f’) o iL’ o f = iL” o f’ o f = U(f’ o f) o iL Một kết luận từ việc áp dụng tính U(f’ o f) chứng minh phần a) Việc khẳng định tính kéo theo U(idL) đồng thức U(L) Hệ 2: Gọi L L’ đại số Lie tổng trực tiếp chúng L Å L’ Khi đó: U(L Å L’)  U(L)  U(L’) Chứng minh: Đầu tiên, ta xây dựng đồng cấu đại số j : U(L Å L’)  U(L)  U(L’),) Công thức định nghĩa ánh xạ tuyến tính f: L Å L’  U(L)  U(L’) SVTH: Bùi Thị Út Lan 32 Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học với x Ỵ L x’ Ỵ L’, đặt: f(x, x’) = iL(x)  +  iL’ (x’) Ta f đồng cấu đại số Lie Với x, y Î L x’, y’ Î L’ ta có: [f(x, x’), f(y, y’)] = (iL(x)  +  iL’(x’))(iL(y)  +  iL’(y’)) - (iL(y)  +  iL’(y’)) (iL(x)  +  iL’(x’)) = [ iL(x), iL(y) ]  +  [iL’(x’), iL’(y’) ] = iL ([x, y])  +  iL’ ([x’, y’ ]) = f( [x, y], [x’, y’]) = f([(x, x’), (y, y’) ]) Áp dụng định lý, ta nhận đồng cấu đại số j: U(L Å L’ )  U(L)  U(L’) Ta sử dụng tính phổ dụng tích tenxơ hai đại số để xây dựng đồng cấu đại số : U(L)  U(L’)  U(L Å L’) Sự hợp thành hình chiếu tắc L L’ vào L Å L’ ánh xạ iLÅ L’ đồng cấu đại số Lie Theo định lý, tồn đồng cấu đại số 1 : U(L)  U(L Å L’) 2 : U(L’)  U(L Å L’) cho với x Î L x’ Î L’, ta có: 1(x) = iL Å L’ (x, 0) 2 (x’) = iL Å L’ (0, x’) Theo mệnh đề , công thức (a  a’) = 1(a) 2(a’) định nghĩa đồng cấu đại số : U(L)  U(L’)  U(L Å L’) giúp 1(a) 2(a’) = 2(a’) 1(a) với a Ỵ U(L) a’ Ỵ U(L’) Sau ta chứng minh việc quan sát thấy rằng: kiểm tra 1(a) 2(a’) giao hốn a = x Ỵ L a’ = x’ Ỵ L’ Thật vậy: [ 1(x), 2(x’) ] = [ iL Å L’(x, 0), iL Å L’(0, x’) ] = iL Å L’([(x, 0), (0, x)]) = iL Å L’ ([x, 0], [0, x]) = SVTH: Bùi Thị Út Lan 33 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ta phản chứng đồng cấu  j nghịch đảo Ta nhận xét hợp thành (tích)  o j : Nó đồng cấu đại số U(L Å L’) thu hẹp từ đồng thức ảnh L Å L’ Thật vậy, với x Ỵ L x’ Ỵ L’: (j(x, x’)) = (x  1) + (1  x’) = iL Å L’((x, 0) + (0, x’)) = iL Å L’(x, x’) Do đó,  o j = id Điều j o  = id ฀ Từ tính phổ dụng U(L) ta xây dựng cấu trúc đại số Hopf sau: Xét ánh xạ tuyến tính: D1: L  U(L)  U(L) ta có: a ↦ a  +  a D([a, b]) = [a, b]  +  [a, b] = [a  +  a + b  +  b] Vậy D1 đồng cấu Lie từ L tới L(U(L)  U(L)) Do cảm sinh đồng cấu đại số: U(L)  U(L)  U(L) Tính đối kết hợp D kiểm tra dễ dàng thơng qua tính phổ dụng Mặt khác, ánh xạ đối đơn vị định nghĩa cách xét ánh xạ không: L  với nhận xét đại số bao phổ dụng đại số Lie tầm thường đại số K Cụ thể, ánh xạ đối đơn vị xác định điều kiện: e(a) = 0, a Ỵ L Vậy U(L) đối đại số, dễ thấy đối giao hoán Cuối cùng, ánh xạ đối cảm sinh từ ánh xạ: SVTH: Bùi Thị Út Lan 34 Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học : L L a ↦ - a phản đồng cấu đại số Lie: [ (a), (b) ] = [a, b] = [b, a], cảm sinh phản đồng cấu đại số: S: U(L)  U(L), S(a) = - a, a Î L Cho V L-môđun, từ đồng cấu Lie L  L(End(V)) ta thu đồng cấu đại số U(L)  End(V), V U(L)_mơđun Điều ngược lại hiển nhiên Từ ta có tương ứng 1-1 L_mơđun bảo tồn đồng cấu Nhận xét tương ứng bảo toàn tích tenxơ đối ngẫu, theo định nghĩa tích tenxơ hai đối đại số tác động U(L) lên tích tenxơ hai mơđun V W cho bởi: a(v  w) = av  w + v  aw, tượng tự a(j)(v) = j(-av) Ví dụ: Một khơng gian véctơ V coi đại số Lie với tích Lie đồng (Đại số Lie giao hốn) Khi đó, đại số bao phổ dụng V T(V), đại số đối xứng V Từ T(V) đại số Hopf với ánh xạ cấu trúc xác định bởi: D( ) =  1 + 1  v, e( ) = S( ) = − SVTH: Bùi Thị Út Lan 35 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.3 Định lý Poincare-Birkhoff-Witt Một định lý sở quan trọng lý thuyết đại số Lie định lý mang tên Poincare-Birkhoff-Witt Sau đây, tìm hiểu định lý Các bổ đề cho định lý Poincare-Birkhoff-Witt: Từ ta gọi x1, …, xn  sở L Ký hiệu yi = (xi) : ảnh tắc xi U(L) Xét dãy hữu hạn I = (i1, …, ip), 1£ ij £ n, đặt yI = … Ỵ U(L) Ta ký hiệu Uq(L) ảnh qua  T0 + T1 + … + Tq  L U(L) i  T Bổ đề 1: Giả sử a1, …, ap Ỵ L,  ánh xạ tắc L  U(L),  phép hoán vị  1, …, p, (a1)… (ap) - (a(1)) … )a(p)) Ỵ Up-1(L) Khi  phép chuyển vị j j+1 ta có: (aj) (aj+1) - (aj+1) (aj) =  ([aj, aj+1]) Bổ đề 2: Với dãy I, yI, mà chiều dài I nhỏ p, sinh không gian véctơ Up(L) Bổ đề 3: Các yI, với tất dãy số có thứ tự I, hình thành nên khơng gian véc tơ U(L) SVTH: Bùi Thị Út Lan 36 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bổ đề 4: Ánh xạ tắc  L U(L) đơn ánh Do từ trở ta đồng phần tử L với ảnh tắc U(L) [L nhúng U(L)] Định lý Poincare-Birkhoff-Witt: Gọi (x1, …, xn) sở không gian véc tơ L Khi đó, phần tử có dạng   … với 1, …, n Ỵ N, hình thành nên sở U(L) (Chứng minh phức tạp ta không đưa Bạn đọc quan tâm tìm thấy chứng minh giảng Serre ) Phép lọc đại số bao: Đại số phân bậc: Lấy n  0, L đại số Lie, U(L) đại số bao L Gọi Un(L) không gian U(L) sinh tích x1x2…xp mà x1, …, xp Ỵ L p £ n +) Nếu U(L) = KD[x, y] : đại số đa thức theo biến x, y Un(L) tập đa thức có bậc £ n +) Ta cịn xem Un(L) ảnh tắc T0 + T1 + … + Tn U(L) Khi đó, dãy (Un(L))n  dãy tăng phủ U(L), đây: U0(L) = K, U1(L) = K Å L Un(L) Up(L)  Un+p (L) Do đó, U(L) đại số lọc Định nghĩa 3.3: Ta gọi dãy (Un(L))n  lọc tắc U(L) Xét u Ỵ U(L), u  0, ta gọi số lọc U số n mà u Ỵ Un(L) SVTH: Bùi Thị Út Lan 37 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nhận xét: 1) Các phần tử Ỵ Up(L) có số lọc £ p 2) Gọi (e1, …, er) sở L Khi phần tử  …  Ỵ U(L) mà 1 + 2 + … + r £ n, hình thành nên sở Un(L) SVTH: Bùi Thị Út Lan 38 Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Kết Luận Trên toàn nội dung đề tài “ Nhập môn đại số Lie” Khóa luận trình bày số vấn đề đại số Lie bao gồm: +) Một số kiến thức bản, khái niệm đại số Lie +) Nghiên cứu vấn đề liên quan tới đại số Lie Tuy nhiên thời gian có hạn vốn kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! SVTH: Bùi Thị Út Lan 39 Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, NXB Đại học sư phạm 2) Phùng Hồ Hải, Đại số đa tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 3) Hồng Xn Sính (1996), Đại số đại cương, NXB giáo dục 4) Nguyễn Hữu việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 5) J.P.Serre, Lie Algebras and Lie Groups, W.A.Benjamin, Inc SVTH: Bùi Thị Út Lan 40 Lớp: K35G – Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học_Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng Thầy hết lịng tận tình hướng dẫn em trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Trong q trính làm khóa luận, em nhận góp ý, động viên thầy cô giáo bạn Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo bạn quan tâm giúp đỡ Em xin trân thành cảm ơn thầy cô tổ môn đại số, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình học tập làm khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Út Lan SVTH: Bùi Thị Út Lan 41 Lớp: K35G – Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học LỜI CAM ĐOAN! Khóa luận kết thân em qua trình học tập, nghiên cứu bậc đại học Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy khoa tốn , đặc biệt hướng dẫn nghiêm khắc tận tình thầy Nguyễn Huy Hưng Em xin khẳng định kết đề tài “Nhập mơn đại số Lie ” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Út Lan SVTH: Bùi Thị Út Lan 42 Lớp: K35G – Toán ... Chương Đại số Lie Chương trình bày khái niệm đại số Lie, đại số Lie con, đồng cấu đại số Lie số tính chất đại số Lie Chương Đại số bao phổ dụng đại số Lie Trong chương này, em trình bày khái niệm đại. .. chất đại số Lie Đưa số vấn đề liên quan đến đại số Lie như: đại số Lie con, iđêan đại số Lie, đồng cấu đại số Lie, đại số Lie giao hốn, mơđun khái niệm định nghĩa tương tự khái niệm đại số con,... Nội Khóa luận tốt nghiệp Đại học Kết Luận Trên toàn nội dung đề tài “ Nhập môn đại số Lie? ?? Khóa luận trình bày số vấn đề đại số Lie bao gồm: +) Một số kiến thức bản, khái niệm đại số Lie +) Nghiên