Luận văn sư phạm Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Khóa lu n t t nghi p L ic m n Trong th i gian h c t p t i khoa Toán, Tr ng i h c s ph m Hà N i 2, đ c s d y d , ch b o t n tình c a th y cô giáo em ti p thu đ c nhi u tri th c khoa h c, kinh nghi m ph ng pháp khoa h c m i, b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c Tr c s b ng g p nhi u khó kh n m i làm quen v i công vi c đó, em nh n đ c s giúp, đ ng viên c a th y cô b n bè khoa Qua em xin g i l i c m n t i toàn th th y cô b n bè khoa c bi t em xin g i l i c m n sâu s c t i cô giáo, Th c s Hà Th Thu Hi n, ng i t n tình giúp đ đ em hồn thành khoá lu n Qua em c ng xin g i l i c m n t i cô giáo, Th c s Nguy n Th Ki u Nga Hà N i, tháng 05 n m 2009 Sinh viên Nguy n Th Thu Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p L i cam đoan Khoá lu n c a em đ c hoàn d i s h ng d n c a cô giáo, Th c s Hà Thi Thu Hi n v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u th c hi n khoá lu n, em có tham kh o, k th a m t s k t qu c a tác gi m t s tài li u (có nêu m c tài li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n thành qu nghiên c u n l c c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin ch u hoàn toàn trách nhi m Hà N i, tháng 05 n m 2009 Sinh viên Nguy n Th Thu Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p M cl c Trang M đ u Ch Ch ng 1: Nh ng ki n th c chu n b 1.1 N a nhóm 1.2 N a nhóm ma tr n m t nhóm v i ph n t không ng 2: Lý thuy t bi u di n n a nhóm 11 2.1 Bi u di n c a đ i s n a đ n h u h n chi u 11 2.2 Các đ i s n a nhóm 22 2.3 29 nh ngh a ví d 2.4 Các bi u di n b t kh qui c a m t n a nhóm 31 2.5 Các đ c tr ng c a m t n a nhóm giao hoán 39 K t lu n 45 Tài li u tham kh o 46 Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p M đ u Lý ch n đ tài: i s m t nghành chi m v trí quan tr ng khoa h c Toán h c Nó góp ph n thúc đ y s phát tri n c a toán h c hi n đ i Ngày nhu c u h c h i c a sinh viên khoa Tốn, th y d y Toán nh ng ng tâm t i Toán h c nói chung mơn i quan i s nói riêng, ngày gia t ng V i mong mu n tìm hi u sâu h n v b mơn này, d i góc đ m t sinh viên s ph m Toán ph m vi c a m t khoá lu n t t nghi p v i s giúp đ c a cô giáo, Th c s Hà Th Thu Hi n, em xin trình bày nh ng hi u bi t c a v đ tài:” Nh p mơn lý thuy t bi u di n n a nhóm” M c đích nghiên c u: Q trình nghiên c u th c hi n đ tài đ giúp em b c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c có c h i tìm hi u sâu h n v đ i s , đ c bi t v n a nhóm thơng qua bi u di n c a Nhi m v nghiên c u: tài đ c nghiên c u nh m sâu khai thác làm n i b t đ c tr ng c a m t n a nhóm giao hốn, bi u di n b t kh qui c a m t n a nhóm Ph ng pháp nghiên c u: tài đ c hoàn thành d a s k t h p ph ng pháp: Nghiên c u lí lu n, phân tích, t ng h p đánh giá C u trúc khố lu n: Ngồi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tài li u tham kh o, khoá lu n g m ch ng: Ch ng 1: Nh ng ki n th c chu n b Ch ng 2: Lý thuy t bi u di n Ch ng 3: Lý thuy t bi u di n n a nhóm Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Trong su t trình nghiên c u, đ c s giúp đ t n tình c a giáo, Th c s Hà Th Thu Hi n, em hoàn thành khoá lu n M t l n n a cho em g i l i c m n sâu s c t i cô Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y, cô giáo b n khoa, đ đ tài đ c hoàn thi n h n Hà N i, tháng 05 n m 2009 Sinh viên Nguy n Th Thu Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Ch ng 1: Nh ng ki n th c chu n b 1.1 N a nhóm nh ngh a1.1.1 Phép tốn hai ngơi t p , m t ánh x : ì Ta th ng dung kí hi u: ( ), (+), … đ ch phép tốn hai ngơi nh c a ph n t ì đ ( , ) , c kí hi u t ng ng , + Phép tốn hai ngơi ( ) t p = đ + Phép tốn hai ngơi ( ) t p + đ c g i k t h p n u c g i giao hoán n u , , , = đ + c g i đ n v trái c a phép tốn hai ngơi ( ) n u +T ng t đ = c g i đ n v ph i c a phép tốn hai ngơi ( ) n u = + đ c g i đ n v n u v a đ n v trái v a đ n v ph i nh ngh a 1.1.2 N a nhóm m t t p v i m t phép tốn hai ngơi k t h p M t n a nhóm có ph n t đ n v đ c g i v nhóm M t n a nhóm g i giao hoán n u phép toán c a giao hốn VD: 1, T p h p ánh x t đ n v i phép h p thành ánh x m t n a nhóm Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p 2, T p h p ma tr n vuông c p v i phép tốn tích ma tr n m t n a nhóm nh ngh a 1.1.3 N a nhóm Cho ( , ) m t n a nhóm, c a , n u , đ c g i n a nhóm nh ngh a 1.1.4 Ph n t khơng Cho đ m t n a nhóm, ph n t trái, bên ph i n u t ng ng = , = c g i ph n t không bên ,z đ c g i ph n t khơng n u v a ph n t không bên trái v a ph n t không bên ph i nh ngh a 1.1.5 v i ph n t không đ N a nhóm khơng n u =0 t , c g i n a nhóm v i phép nhân = n u S có đ n v , tr ng h p trái l i n u S có ph n t khơng >1 tr ng h p trái l i = nh ngh a 1.1.6 Cho m t n a nhóm, đ c g i m t lu đ ng n u = VD: Các ph n t đ n v m t phía, ph n t không nh ng lu đ ng , đ u lu đ ng đ c g i n a nhóm lu đ ng hay m t b ng nh ngh a 1.1.7 Iđêan + Iđêan trái c a n a nhóm r ng c a +T ={ ng t iđêan ph i c a + Iđêan c a Nguy n Th Thu c đ nh ngh a m t t p , tho mãn , đ ={ m t t p , c a khác } tho mãn } t p c a v a iđêan trái v a iđêan ph i c a K31G – SP Tốn , Khóa lu n t t nghi p , giao t t c iđêan trái c a , ch a + đ ch a c ch a m i iđêan trái khác có tính ch t Ta g i iđêan trái c a +T sinh b i , kí hi u < >= = sinh b i , kí hi u < > = = > = = ; ng ng iđêan trái, ph i, hai phía c a n ut = ta g i + M t iđêan >= > Ta c ng d th y < = + N u t > D th y < ng t ta c ng có iđêan ph i c a iđêan sinh b i , kí hi u < < m t iđêan trái c a = ; 1 sinh b i đ hai phía, trái, ph i, c a n a nhóm c g i t i ti u ng ng khơng ch a th c s iđêan hai phía, trái, ph i, khác c a có m t iđêan t i ti u hai phía +N u đ c g i h t nhân c a S giao c a m i iđêan hai phía c a D th y nh ngh a 1.1.8 Cho m t n a nhóm, iđêan c a Ta đ nh ngh a m t quan h = nh sau: Ta g i t theo mod , ng đ ng Rix theo mod , l p t ng đ ng c a n a nhóm t p m t ph n t { }, Ta vi t / thay cho / Ta g i / n a nhóm th \ ng Rix c a n a nhóm theo mod nh ngh a 1.1.9 đ N a nhóm c g i đ n ph i, đ n trái n u t ng ng khơng ch a m t iđêan ph i, iđêan trái th c s N a nhóm đ Nguy n Th Thu c g i đ n n u khơng ch a m t iđêan th c s K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ n ph i Chú ý! N a nhóm = , V y n a nhóm đ n trái, đ n ph i ch nhóm VD: 1, Các nhóm giao hốn n a nhóm đ n 2, N a nhóm ph n t khơng bên ph i n a nhóm đ n ph i Và n a nhóm ph n t khơng bên trái n a nhóm đ n trái nh ngh a 1.1.10 N a nhóm v i ph n t không đ c g i n a nhóm đ n n u iđêan th c s nh t c a S nh ngh a 1.1.11 Cho = n a nhóm, t p : = đ c g i t p lu đ ng c a nh ngh a 1.1.12 Cho n a nhóm, , , ta xét quan h " = N u0 đ , " nh sau: = c g i lu đ ng nguyên thu n u tho mãn u ki n sau: 1, 2, =0 = nh ngh a 1.1.13 N a nhóm đ n hồn tồn n a nhóm đ n ch a lu đ ng nguyên thu N a nhóm đ n hồn tồn n a nhóm đ n ch a lu đ ng nguyên thu VD: 1, N a nhóm đ n h u h n n a nhóm đ n hồn tồn 2, N a nhóm đ n h u h n n a nhóm đ n hồn tồn nh ngh a 1.1.14 Ph n t qui Nguy n Th Thu K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Cho đ n a nhóm, c g i ph n t qui n u : đ N a nhóm = c g i qui n u , ph n t qui = Chú ý! 1, N u = ph n t , = ph n t = lu đ ng H nn a = , 2, N u T ng t , Th t v y: Ta có = = = ph n t qui Do = Do = 1 = = = nh ngh a 1.1.15 Cho m t n a nhóm, đ , c g i ng c n u = = , a có ph n t ng D th y c ch qui Th t v y: Hi n nhiên theo đ nh ngh a : Gi s a qui, suy t , ta ch ng minh r ng , ng = = Ta có = = = c = = = = nh ngh a 1.1.16 N a nhóm ng ng c n a nhóm m i ph n t có m t ph n t c nh t nh ngh a 1.1.17 Các quan h Grin Cho n a nhóm , ta xét quan h sau: Quan h Nguy n Th Thu : 10 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p ph n t lu đ ng không suy bi n nh t c a ( ) M t khác = Vì Suy t à = = Ã( ) , t p h u h n à = nh ngh a 2.4.2 à bi u diên b c Kí hi u à à đ thu c à đ 1 c a = tr ng =0 đ :à c g i iđêan tri t tiêu c a à –l p c a c g i bi u di n n u t p t t c ch a m t ph n t t i ti u t đ i Khi khơng nh t c g i đ nh c a à à : Suy bi u di n v i đ nh Cho à –l p c a , à m t bi u di n b c m t c a =0 cho: à =0 ( ) Khi ta đ nh ngh a m t bi u di n à c a ( ) nh sau: à =à , (2.4.2), đ ng c u t nhiên xác đ nh b i (2.4.1) v i Và g i bi u di n c a ( ) c m sinh b i à , à đ c g i m r ng c a à t i à đ c g i m r ng c a à n u à bi u di n c a v i đ nh à x = à x , x N u coi à bi u di n c a (2.4.3) xác đ nh bi u di n c a ( [S1 JS1 ] ] nh lí 2.4.3 Cho n a nhóm, Nguy n Th Thu tr ng 36 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p A, Gi s à bi u di n b t kh qui b c n c a Th đ n bi u di n à c a th ng à c ng b t kh qui khác không Khi nh v y à V im i đ ng c u t nhiên t v i ph tr ()b c khác không c a lên [ ] à bi u di n b t kh qui cho à z = , ng cho à ( ) Th = (2.4.4), m t –l p đ n c a B, Gi s không c a ( ) c m sinh b i cho , =à v i đ nh = V im i ph n t nh v y ng trình (2.4.4) giúp ta xác đ nh m t m r ng b t kh qui à c a à C, Hai bi u di n b t kh qui c a t ng đ ng ch i, Chúng có chung đ nh Và ii, Chúng c m sinh bi u di n t D, N u tho mãn ng đ ng ( ) m i bi u di n b t kh qui khác không c a bi u di n Ch ng minh: A, Do à c a à = [Ã( 1 )] rõ ràng à m t đ i s b t kh qui c a ( ) Theo gi thi t suy à Theo đ nh lí 2.1.17 suy à Ta vi t qui khác không Suy à m t iđêan không tri t tiêu đ i s đ n Suy à ( ) theo (2.4.2) à đ i s đ n nên = à = à , suy à b t kh đ n ho c đ n, theo đ nh ngh a suy đ n Nguy n Th Thu 37 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Theo b đ 2.4.2 b ng vi c thay à = b i Nh v y cho: nh v y V im i Vì v y theo ph à , ta có =à ng trình (2.4.3) =à =à à à =à , =à B, Gi s ta có gi thi t c a ý B Thì à qui ma tr n Theo b đ 2.4.2 , :à = Ta bi t r ng nh v y ph Gi ta ch ng minh v i m i m t đ i s b t kh = ng trình (2.4.4) giúp ta xác đ nh m t bi u di n c a ,à Ta có =à Th t v y: à T = ng t à à =à =à à =à s, t ) Vì s ch xác đ nh (Chú ý! Ta có =à S ta có à à =à 1 ) .à ( ) = à es à et = à este =à V i 1 ,à =à =à Nh v y à c m sinh à à =à à =à = à ( ) t c à b t kh qui Ta c n ch ng minh à bi u di n qui v i đ nh D th y Ã( ) N u : N u , Vì n u 0, v y ta ch c n ph i ch ng minh =0 = Suy Nguy n Th Thu < rõ ràng = �฀= 38 (Mâu thu n v i gi thi t) K31G – SP Toán Khóa lu n t t nghi p Theo ph ng trình (2.4.4) à Vì à =0 Ta có = à =à ) =0 , = Ã( ) Ã1 , Ã2 bi u di n b t kh qui c a C, Gi s đ à ( = =à =à t ng ng Suy t n t i ma tr n không suy bi n cho: Ã1 , Ã2 chung đ nh D th y Ã1 (0) = Ã2 (0) V i Suy Ã1 , Ã2 c ng t Ng ng đ = Ã2 = Ã1 Ã1 = Ã2 Ã1 = Ã2 ( ) ng c l i gi s Ã1 , Ã2 có chung đ nh , Ã1 , Ã2 c ng t Suy t n t i ma tr n th Ã1 = Ã2 = Ã2 D, Gi s ng , ( ) , , Ã2 ( ) = Ã2 ( ), = = Ã2 = Ã1 Suy Ã1 , Ã2 t = [ ] cho Ã2 Ã1 ng đ không suy bi n cho: Ã1 Theo A, ng đ = Ã2 ng , à bi u di n b t kh qui khác không b c tho mãn Vì à –l p khơng thu c Ã1 (0) khác r ng Theo nên t p t p ch a m t ph n t t i ti u , N u Do v y à à < = [à à = ]t c à iđêan khơng tri t tiêu c a Vì à b t kh qui, suy đ i s đ n Nguy n Th Thu 39 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Suy à Theo b đ 2.4.2 = à à , V i =à à :à = = H qu 2.4.4 tr Gi s = 1, Gi s c a ng, l pc a th = ng ng v i Th đ i s co rút ng đ 0[ à , = 1, Gi s t n a đ n n a nhóm h u h n cho ng c a ] n a đ n, t n t i t p t t c bi u di n b t kh qui không , =à đ ng c u t nhiên t V i Th à , = 1, , = 1, không t = 1, , tri t tiêu t i Ta đ nh ngh a: à ng đ ng c a đ n v c a [ ] (2.4.5) [ 1 ] lên [ ] t p t t c bi u di n b t kh qui Ch ng minh: Theo b đ 2.2.4 đ nh lí 2.2.5 ta có n a đ n Theo đ nh lí [ ] đ n v 2.4.3 suy Ph n l i c a đ nh lí suy tr c ti p t ý (C) c a đ nh lí 2.4.3 B đ 2.4.5 Gi s m t bi u di n c a (, =1 N uó l p đ n c a m t n a nhóm Gi s à m t b c =0 , :1 v i m i , gi s à = (ó ( )) =0 ) , à Ch ng minh: Nguy n Th Thu 40 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Gi s , Th = Do cho = Nh ng Ã( ) = Ã( ) = 0, theo gi thi t Ã( ), Ã( ) ma tr n tam giác v i đ Do à ng chéo =à à à = nh lí 2.4.6 m t n a nhóm n a đ n tho mãn u ki n Gi s m t tr ng N u m i bi u di n c a m i th qui, m i bi u di n c a ng c a gi s là hoàn toàn kh hoàn toàn kh qui Ch ng minh: Gi s à m t bi u di n c a à có d ng sau: Ã1 ( ) Ã2 Ã21 = à à 2( ) 0 ,( ) à ( ) Trong bi u di n à ( = 1, ) b ph n b t kh qui c a à Rõ ràng à bi u di n khơng đ nh lí hi n nhiên Vì v y ta có th gi thi t à khác không Ta ch ng minh đ nh lí b ng ph ng pháp qui n p theo = (Ã) s b ph n b t kh qui c a à V i = 1, đ nh lí hi n nhiên V i > 1, ta gi s r ng m i bi u di n à c a v i à < đ u hoàn toàn kh qui V im i c a , s thu c m t đ n theo gi thi t N uà =0 = 1, l p c a M i l p n a đ n theo b đ 2.4.5 suy à bi u di n không (trái v i gi thi t) Vì v y à Nguy n Th Thu 0, = 1, 41 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p M i à khác không bi u di n theo u ki n M theo đ nh lí 2.4.3(D) đ nh c a à , Gi s ph n t t i ti u t p cách khác, à khác không n u à c ng khác khơng N u < cho Theo b đ 2.4.5 suy à c a suy à à = 1, à đ i v i h t nhân c a ) th = ,( Vì, nh ta ch ng t , à = Ã( ) v i đ ng c u t nhiên t = � 1 ng ( ), t =0v i m t bi u di n à c a lên , H n n a, à khác khơng à khác khơng c a mà à khác = = liên k t v i v i m i = v i m i nh v y, dó khơng Do à Gi s rõ ràng Nói , à ch a bi u di n c m sinh b i à Theo gi thi t à hoàn toàn kh qui theo đ nh lí 2.4.3(A), à b t kh qui Do h ng ma tr n không suy bi n cho: à = à ( ) Ä( ) Trong Ä m t bi u di n c a ( ), N u ta đ nh ngh a Ä b i: Ä Ä m t bi u di n c a à = Ä ( ) (v i = à ( ) (v i Ä( ) Ã11 ( ) b c v i à Nguy n Th Thu = ), tri t tiêu ( ) H n n a, Gi s ta phân tích Ã( ) à 1 b ng cách t 1 ) ng t : Ã11 ( ) Ã12 ( ) ( Ã21 ( ) Ã22 ( ) ), 42 K31G – SP Toán Khóa lu n t t nghi p Gi s à Ta có , = à Th Ã( ) 1 , t à ( ) Ã12 ( ) à ( ) = 11 Ä( ) Ã21 ( ) Ã22 ( ) Do Ã21 =0 v i m i à = Vì :à 2.4.3(B), à ( ) 0 Ä( ) Theo đ nh lí m t t h p n tính ph n t nên t suy T Ã12 = Ã21 = Ã21 Ã21 ng t , b ng cách xét =0( à ) ta có th ch ng t đ thay cho c r ng = Nh v y à phân tích thành hai bi u di n Ã11 Ã22 Vì c hai bi u di n có b c nh h n b c c a Ã, nên đ u có s b ph n b t kh qui h n à Theo qui n p ta có u ph i ch ng minh 2.5 Các đ c tr ng c a m t n a nhóm giao hốn nh ngh a 2.5.1 Gi s n a nhóm giao hoán ph n t đ n v M t đ c tr ng c a không đ ng nh t b ng không tho mãn : m t ánh x = T p = nh sau: , đ c tr ng c a S , a = a a a S, ta trang b phép tốn , S Khi ( , ) làm thành n a nhóm giao hốn đ c g i n a nhóm đ c tr ng c a V i ph n t đ n v c a đ c tr ng đ n v xác đ nh b i: Không làm m t tính t ng quát =1 ta ch xét v i n a nhóm có đ n v nh ngh a 2.5.2 Iđêan nguyên t Nguy n Th Thu 43 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Iđêan đ c a Qui c g i nguyên t n u \ n a nhóm c a iđêan nguyên t c a c: không iđêan nguyên t c a , iđêan nguyên t c a nh ng iđêan nguyên t c a , thì ch a ch c Khi t p t t c iđêan nguyên t c a n a đàn đ i v i phép h p ( N a đàn hay b ng giao hốn n a đàn d đ ph n t nhiên : Trên n a đàn d c s p th t b ph n " T p , ph n t đ " c g i có “giao” , c a đ c g i c n d i n u m i t p i đ i v i th t b ic a n u C nd i c a v i m i c n d đ ic a c g i c n d Khi , ) S , xét V = {a a V i i l n nh t (“giao”) n u S a = 0} m t iđêan nguyên t c a =0 Th t v y: =0 ( ( ) ( ) N u , 0 ) = iđêan tri t tiêu c a Ta g i V i iđêan nguyên t c a Ta đ nh ngh a = n ua P n u a S\P : D th y hàm đ c tr ng c a \ H nn a , = Ta có m t lu đ ng c a Nguy n Th Thu 44 chúng b ng ho c K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Th t v y: Theo đ nh ngh a c a M t khác = n ua P n u a S\P = Suy iđêan tri t tiêu c a M t khác n u rõ ràng m t đ c tr ng c a ph n t lu đ ng c a = ho c a S ) (do N u= = D th y v i , iđêan nguyên t c a = B đ 2.5.3 T n t i m t đ ng c u gi a n a đàn đàn iđêan nguyên t c a iđêan tri t tiêu lu đ ng c a cho n u ng v i c a Và đ c tr ng v in a c a \ Ch ng minh: Hi n nhiên theo V i iđêan nguyên t c a , ta đ nh ngh a: = , t p g m t t c đ c tr ng c a = tri t tiêu Khi c a m t n a nhóm c a ch a ph n t đ n v , ta đ nh ngh a: V i Th Suy = 1/ = n ua P n u a S\P m t nhóm c a d th y chúng không giao t ng đôi m t Th t v y: =0 , =0 =0 T ta có đ nh lí sau Nguy n Th Thu 45 K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p nh lí 2.5.4 N a nhóm đ c tr ng n a đàn nhóm c a m t nhóm giao hốn có đ n v ) ( g m t t c đ c tr ng c a c a S N a nhóm đ c tr ng n a đàn n a đàn iđêan nguyên t tri t tiêu c a n a nhóm giao hốn có đ n v ( nhóm = Gi s n a nhóm giao hoán h p c a n a đàn / tiêu h p c a ) T c = h p c a ph n t đ n v c a , : nhóm m t đ c tr ng c a tri t M t đ c tr ng đ c a c g i đ c tr ng n u t n t i õ cho > õ, õ nh t Khi õ đ =1 e c g i đ nh c a nh lí 2.5.5 n a nhóm giao hốn có đ n v , Gi s nhóm : = / õ ph n t đ n v c a , m t đ c tr ng c a V im i , thu h p n us õ õ (4) tr ng h p khác õ , đ c tr ng b t k c a õ, c a v i đ nh õ trùng v i B, V i õ đ c tr ng = õ đ c tr ng c a , õ đ nh c a A, Gi s c a h p c a n a đàn C, N u u ki n t i ti u v i th (4) xác đ nh m t õ m i đ c tr ng c a đ c tr ng Ch ng minh: Ta có = : Nguy n Th Thu / th a mãn = 46 , K31G – SP Tốn Khóa lu n t t nghi p Khi ! õ : = : > õ = ( ) ; õ m t đ c tr ng c a A, D th y N us õ N us õ õ, õ õ, = = = õ nên s õ, õ õ = õ = = ( v i õ