Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dạy dỗ, bảo tận tình thầy giáo em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp khoa học mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với cơng việc đó, em nhận giúp, động viên thầy cô bạn bè khoa Qua em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy cô bạn bè khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người tận tình giúp đỡ để em hồn thành khố luận Qua em xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Lời cam đoan Khố luận em hồn hướng dẫn cô giáo, Thạc sĩ Hà Thi Thu Hiền với cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu thực khố luận, em có tham khảo, kế thừa số kết tác giả số tài liệu (có nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khoá luận thành nghiên cứu nỗ lực thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Mục lục Trang Mở đầu Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm ma trận nhóm với phần tử khơng Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm 11 2.1 Biểu diễn đại số nửa đơn hữu hạn chiều 11 2.2 Các đại số nửa nhóm 22 2.3 Định nghĩa ví dụ 29 2.4 Các biểu diễn bất khả qui nửa nhóm 31 2.5 Các đặc trưng nửa nhóm giao hốn 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Lý chọn đề tài: Đại số nghành chiếm vị trí quan trọng khoa học Tốn học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Ngày nhu cầu học hỏi sinh viên khoa Tốn, thầy dạy Tốn người quan tâm tới Tốn học nói chung mơn Đại số nói riêng, ngày gia tăng Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn này, góc độ sinh viên sư phạm Toán phạm vi khoá luận tốt nghiệp với giúp đỡ cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin trình bày hiểu biết đề tài:” Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm” Mục đích nghiên cứu: Q trình nghiên cứu thực đề tài đẵ giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu đại số, đăc biệt nửa nhóm thơng qua biểu diễn Nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trưng nửa nhóm giao hốn, biểu diễn bất khả qui nửa nhóm Phương pháp nghiên cứu: Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khố luận: Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Lý thuyết biểu diễn Chương 3: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm Trong suốt trình nghiên cứu, giúp đỡ tận tình giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em hồn thành khố luận Một lần cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn khoa, để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm Định nghĩa1.1.1 Phép ngơi tậpkí�, ánh �:hai � ì�là ⟶ � Ta thường kí ), (+), … làđể� chỉ�, phép ngơi phần (�,tốn �) hai ∈ hiệu: �ì�( hiệu �xạtốn tương ứng �.ảnh �,của � + �.tử dung + Phép tốn hai ngơi ( ) tập � gọi kết hợp ∀ �, �, � ∈ � � � � = � � � + Phép tốn hai ngơi ( ) tập � gọi giao hoán ∀ �, � ∈ � � � = � � + � ∈ � gọi đơn vị trái phép tốn hai ngơi ( ) � � = � ∀� ∈ � + Tương tự � ∈ � gọi đơn vị phải phép tốn hai ngơi ( ) � � = � ∀� ∈ � + � ∈ � gọi đơn vị vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải Định nghĩa 1.1.2 Nửa nhóm tập � ≠ ∅ với phép toán hai ngơi kết hợp �.nửa Một nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm gọi giao hốn phép tốn giao hoán VD: 1, Tập hợp ánh xạ từ � đến � với phép hợp thành ánh xạ nửa nhóm 2, Tập hợp ma trận vng cấp � với phép tốn tích ma trận nửa nhóm Định nghĩa 1.1.3 Nửa nhóm Địnhcon nghĩa Phần tử Cho (�,∙) nửa �∈ khi� � gọi nửa nhóm 1.1.4 �,một �,nhóm, �khơng ∈∅ �≠⇒� �.⊂� Cho � nhóm, tử = �� ∈ ,� phần∈tử�, không bên trái, bên phải nửa tương ứng phần � � �.được � =gọi �là∀� z phần khơnggọi nếulànó vừatửlà phần tử khơng bên trái vừa phần tử khơng bên phải Định nghĩa 1.1.5 Nửa nhóm �� với=phần không nhân không � ∀tử�, �nếu ∈được � � S có gọi đơnlàvị.nửa nhóm với phép Đặt �1 = , �∪1 trường hợp trái lại � S có phần tử khơng � > �∘ = �∪0 trường hợp trái lại Định nghĩa 1.1.6 Cho � nửa nhóm, � ∈ � gọi luỹ đẳng � � = � VD: Các phần tử đơn vị phía, phần tử khơng luỹ đẳng ∀� ∈ �, � luỹ đẳng � gọi nửa nhóm luỹ đẳng hay băng Định nghĩa 1.1.7 Iđêan + Iđêan trái nửa nhóm � định nghĩa tập � khác rỗng � thoả mãn �� ⊆ �, �� = {�� ∖ � ∈ �, � ∈ �} + Tương tự iđêan phải � tập � � thoả mãn �� ⊆ �, �� = {�� ∖ � ∈ �, � ∈ �} + Iđêan � tập � vừa iđêan trái vừa iđêan phải � � ⊆��, giao tất sinh tráihiệu của Ta � gọi iđêan trái bởiiđêan �,mọi kí �chứa >� � Dễlà thấy � iđêan sinh �, kí hiệu < � > Ta dễ thấy < � >� = � ∪ �� = ��1 < � > = � ∪ �� ∪ �� = � 1�� + Nếu � = � ta gọi � � = �1�; � � = ��1; � � = �1��1 tương ứng iđêan trái, phải, hai phía � sinh � + Một iđêan � hai phía, trái, phải, nửa nhóm � gọi tối tiểu tương ứng khơng chứa thực iđêan hai phía, trái, phải, khác � + Nếu � có iđêan tối tiểu hai phía � � gọi hạt nhân S Dễ thấy � giao iđêan hai phía � Định nghĩa 1.1.8 Cho � nửa nhóm, � iđêan � Ta định nghĩa quan �=� hệ ủ � sau: �ủ� ⇔ �, � ∈ � Ta gọi ủ tương đẳng Rixơ theo mod �, lớp tương đương nửa nhóm � theo mod ủ � tập phần tử {�}, � ∈ �\� Ta viết �/� thay cho �/ủ Ta gọi �/� nửa nhóm thương Rixơ nửa nhóm � theo mod � Định nghĩa 1.1.9 Nửa nhóm � gọi đơn phải, đơn trái tương ứng không chứa iđêan phải, iđêan trái thực Nửa nhóm � gọi đơn khơng chứa iđêan thực Suy à � = à � Theo bổ đề 2.4.2 ∃ � ∈ ệ � : Ã′ � = �� ⇒ à � = à � �� ∀� ∈ � Với � ∈ �, �� ≱ � à � = ∎ Hệ 2.4.4 Giảsửsửchính trường, hạnvàsao cho nửa đơn Giả �ệ� là�của =� ứng , � với nửa −lớp hữu � �� = ệ�� � ∪ �� thương � �nhóm Thế đại số co rút ệ0[�� ] nửa đơn, tồn �� đơn vị ệ[�� ] ′ Giả sử Ã�ọ , ọ =của 1� , �′ triệt tập tất khả � qui không tương đương ệ, tiêucảtạicác ��biểu � diễn = bất ,� Ta định nghĩa: Ã�ọ � =�Ã�ọ � � � , ∀� ∈ � (2.4.5) Với � ⟶ � đồng cấu tự nhiên từ ệ[�1�� � 1] lên ệ[�� ] Chứng minh: Thế thìqui Ãkhơng ,đương � �, � ,� �ọ, ọ = diễn bất khả tương của=�1trên ệ tập tất biểu Theo bổ đề 2.2.4 định lí 2.2.5 ta có ệ0 �� nửa đơn Theo định lí 2.4.3 suy ∃ �� ∈ ệ[�� ] đơn vị Phần lại định lí suy trực tiếp từ ý (C) định lí 2.4.3 ∎ Bổ đề 2.4.5 Giả diễn sử �của � −lớp −đơn �.giả GiảsửsửÃà � một(óbiểu � bậc � ệ vàcủa vớimột mỗinửa �nhóm ∈ �, = �� (�)) (�, � = … �) Nếu ó�� � = ∀�, �: ≤ � ≤ � ≤ �, ∀� ∈ � à � = ∀ � ∈ � Chứng minh: Nguyễn Thị Thu 40 K31G – SP Toán � � ∈ �� Giả sử � ∈ Thế ∃ �, ��� = thiết � Do giác 0� đường chéo �� với �� =là � Nhưng Ã(�) = Ã(�) sao=cho 0, theo giả Ã(�), Ã(�) các� ma trận tam Do à � = à � � à � à � � = ∎ Định lí 2.4.6 Giảqui, sử � nửa nhóm nửa đơnmỗi mãntoàn điều kiệnqui �� sử Chứng minh: ệtoàn trường Nếu biểu diễn thương �vàlàgiả hồn khả biểu diễn � ệthoả hoàn khả Giả sử à biểu diễn � ệ có dạng sau: à � = Ã1(�) … Ã21 � Ã2 � … ⋮ … ⋮ à �1 � Ã�2(�) … , (� ∈ �) Ã� (�) Trong biểu diễn Ã� (� = , � ) phận bất khả qui à rànggiảkhi Ãà khác biểu khơng diễn khơng định lí hiển nhiên Vì ta Rõ có chứng thể thiết Ta minh định lí phương pháp qui nạp theo � = �(Ã) số phận bất khả qui à Với � = 1, định lí hiển nhiên Với � > 1, ta giả sử biểu diễn Ã′ � với � Ã′ õ, õ Khi õ gọi đỉnh ữ Định lí 2.5.5 Giả � sử � nửa nhóm hốn có đơn vị, � hợp của� nửa đàn � nhóm : �là=∪ �ỏ /ỏgiao ∈� ,� phần tử đơn vị A, Giảỏ sử ữ đặc trưng ỏ�, õ đỉnh ữ, cáiỏ thu hẹp ữ′ ữ �õ đặc trưng �õ ữ ��õ ′ ∈ �õ∈ � s� Vớiõmỗi ữ� = trường hợp khác (4) B, Với õ ∈ �, ữ′ đặc trưng �õ, (4) xác định đặc trưng ữ � với đỉnh õ trùng với ữ′ �õ C, Nếu điều kiện tối tiểu với � đặc trưng � đặc trưng Chứng minh: Ta có � =∪ �ỏ /ỏ ∈ � ữ: � ⟶ ℂ thỏa mãn ữ �� = ữ � ữ � ∀ �, � ∈ � �⟶ ữ� Khi ∃! õ ∈ �: ỏ > õ ữ �ỏ = ữ′ : �õ ⟶ ℂ ; � ⟼ ữ′ � = ữ(�) A, thấy củaữ � (4).Dễ Nếu s�ữ′õ ∈ �õ đặc ⇒ ữtrưng � = �õ Giờ =taữchứng � ữminh �õ = ữ ��õ = ữ′ ��õ Nếu s�õ ∉ �õ, � ∈ �õ, nên s�õ ∈ �ỏõ với ỏõ < õ ⇒ ữ ��õ = B, Nếu ��õ, ��õ ∈ �õ ⇒ ��õ ��õ = (��)�õ ⇒ ữ �� = ữ′ �� �õ = ữ′ ( ��õ ��õ ) = ữ′ ��õ ữ′ ��õ = ữ � ữ � ∀ �, � ∈ � Tức ữ đặc trưng � Nếu thuộc �õ, giả sử s�õ ∉ �õ, � ∈ �ỏ ⇒ s�õ ∈ �ỏõ ỏõ < õ ⇒ s��õ ∉ �õ ⇒ ữ �� = ữ � ữ � = Suy ữ đặc trưng � C, õGiả sử� ữ đặc trưng �, theo giả thiết tồn phần tử tối tiểu triệt � ỏ thì: ữcho � ữ khơng =ữ� � = ữ(� ) ữ � = ỏõ ỏ õ ỏ õ Vìđàn) ỏõ ≤ tối tiểu nên ỏõ =tự õ, (theo tính chất nửa vậỹ, ỏõ≥làõphần (địnhtử� nghĩa của= thứ suy tự ⇒ bộraữphận nhiên) Ngược �ỏ = lại Suyỏra≥ữ õlà ⇒ đặc trưng ỏ �õ chính�với õ đỉnh õ ∎ Kết luận Khố luận: “Nhập mơn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm” nghiên cứu tổng quan vấn đề: + Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm thơng qua biểu diễn đại số + Các đặc trưng nửa nhóm giao hốn + Các biểu diễn bất khả qui nửa nhóm Việc nghiên cứu sâu lý thuyết biểu diễn nửa nhóm góp phần bổ sung thêm kết luận quan trọng vào lý thuyết Đại số học, mơn có vị trí đặc biệt quan trọng toán học lý thuyết toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài em khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (dịch), (1972), Lý thuyết nửa nhóm, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thị Thu 50 K31G – SP Toán ... thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm ma trận nhóm với phần tử khơng Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm 11 2.1 Biểu diễn đại số nửa đơn hữu hạn chiều 11 2.2 Các đại số nửa nhóm 22 2.3 Định... Nửa nhóm ma trận Rixơ −đơn qui Định lí 1.2.4 Một nửa nhóm −đơn hồn tồn đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rixo qui nhóm với phần khơng chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm Đểthơng tìm hiểu lý thuyết. .. hồn tồn nửa nhóm đơn chứa luỹ đẳng ngun thuỷ Nửa nhóm −đơn hồn tồn nửa nhóm −đơn chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ VD: 1, Nửa nhóm đơn hữu hạn nửa nhóm đơn hồn tồn 2, Nửa nhóm −đơn hữu hạn nửa nhóm −đơn