Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm

Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dạy dỗ, bảo tận tình thầy cô giáo em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp khoa học mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công việc đó, em nhận giúp, động viên thầy cô bạn bè khoa Qua em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy cô bạn bè khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận Qua em xin gửi lời cảm ơn tới cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận em hoàn hướng dẫn cô giáo, Thạc sĩ Hà Thi Thu Hiền với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực khoá luận, em có tham khảo, kế thừa số kết tác giả số tài liệu (có nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khoá luận thành nghiên cứu nỗ lực thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Trang Mở đầu Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm 1.2 Nửa nhóm ma trận nhóm với phần tử không Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm 11 2.1 Biểu diễn đại số nửa đơn hữu hạn chiều 11 2.2 Các đại số nửa nhóm 22 2.3 Định nghĩa ví dụ 29 2.4 Các biểu diễn bất khả qui nửa nhóm 31 2.5 Các đặc trưng nửa nhóm giao hoán 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài: Đại số nghành chiếm vị trí quan trọng khoa học Toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Ngày nhu cầu học hỏi sinh viên khoa Toán, thầy cô dạy Toán người quan tâm tới Toán học nói chung môn Đại số nói riêng, ngày gia tăng Với mong muốn tìm hiểu sâu môn này, góc độ sinh viên sư phạm Toán phạm vi khoá luận tốt nghiệp với giúp đỡ cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin trình bày hiểu biết đề tài:” Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm” Mục đích nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu thực đề tài đẵ giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học có hội tìm hiểu sâu đại số, đăc biệt nửa nhóm thông qua biểu diễn Nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trưng nửa nhóm giao hoán, biểu diễn bất khả qui nửa nhóm Phương pháp nghiên cứu: Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khoá luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Lý thuyết biểu diễn Chương 3: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trong suốt trình nghiên cứu, giúp đỡ tận tình cô giáo, Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em hoàn thành khoá luận Một lần cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn khoa, để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm Định nghĩa1.1.1 Phép toán hai tập 𝑆, ánh xạ 𝑓: 𝑆 ì𝑆 ⟶ 𝑆 Ta thường dung kí hiệu: ( ), (+), … để phép toán hai ảnh phần tử (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆ì𝑆 kí hiệu 𝑓 𝑎, 𝑏 tương ứng 𝑎 𝑏, 𝑎 + 𝑏 + Phép toán hai ( ) tập 𝑆 gọi kết hợp ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑏 𝑐 + Phép toán hai ( ) tập 𝑆 gọi giao hoán ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 + 𝑒 ∈ 𝑆 gọi đơn vị trái phép toán hai ( ) 𝑒 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑆 + Tương tự 𝑒 ∈ 𝑆 gọi đơn vị phải phép toán hai ( ) 𝑎 𝑒 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑆 + 𝑒 ∈ 𝑆 gọi đơn vị vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải Định nghĩa 1.1.2 Nửa nhóm tập 𝑆 ≠ ∅ với phép toán hai kết hợp 𝑆 Một nửa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm Một nửa nhóm gọi giao hoán phép toán giao hoán VD: 1, Tập hợp ánh xạ từ 𝑆 đến 𝑆 với phép hợp thành ánh xạ nửa nhóm Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp 2, Tập hợp ma trận vuông cấp 𝑛 với phép toán tích ma trận nửa nhóm Định nghĩa 1.1.3 Nửa nhóm Cho (𝑆,∙) nửa nhóm, ∅ ≠ 𝑇 ⊂ 𝑆 𝑇 gọi nửa nhóm 𝑆, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇 ⇒ 𝑎 𝑏 ∈ 𝑇 Định nghĩa 1.1.4 Phần tử không Cho 𝑆 nửa nhóm, phần tử 𝑧 ∈ 𝑆 gọi phần tử không bên trái, bên phải tương ứng 𝑧 𝑎 = 𝑧 , 𝑎 𝑧 = 𝑧 ∀𝑎 ∈ 𝑆, z gọi phần tử không vừa phần tử không bên trái vừa phần tử không bên phải Định nghĩa 1.1.5 Nửa nhóm 𝑆 với phần tử không gọi nửa nhóm với phép nhân không 𝑎 𝑏 = ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 Đặt 𝑆 = 𝑆∘ = 𝑆∪1 𝑆 𝑆 S có đơn vị , trường hợp trái lại S có phần tử không 𝑆 > 𝑆∪0 trường hợp trái lại Định nghĩa 1.1.6 Cho 𝑆 nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆 gọi luỹ đẳng 𝑎 𝑎 = 𝑎 VD: Các phần tử đơn vị phía, phần tử không luỹ đẳng ∀𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 luỹ đẳng 𝑆 gọi nửa nhóm luỹ đẳng hay băng Định nghĩa 1.1.7 Iđêan + Iđêan trái nửa nhóm 𝑆 định nghĩa tập 𝐴 khác rỗng 𝑆 thoả mãn 𝑆𝐴 ⊆ 𝐴, 𝑆𝐴 = {𝑠𝑎 ∖ 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑎 ∈ 𝐴} + Tương tự iđêan phải 𝑆 tập 𝐴 𝑆 thoả mãn 𝐴𝑆 ⊆ 𝐴, 𝐴𝑆 = {𝑎𝑠 ∖ 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑎 ∈ 𝐴} + Iđêan 𝑆 tập 𝑆 vừa iđêan trái vừa iđêan phải 𝑆 Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp + 𝐴 ⊆ 𝑆, giao tất iđêan trái 𝑆, chứa 𝐴 iđêan trái 𝑆 chứa 𝐴 chứa iđêan trái khác có tính chất Ta gọi iđêan trái 𝑆 sinh 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >𝑡 Dễ thấy < 𝐴 >𝑡 = 𝐴 ∪ 𝑆𝐴 = 𝑆 𝐴 + Tương tự ta có iđêan phải 𝑆 sinh 𝐴, kí hiệu < 𝐴 >𝑝 iđêan sinh 𝐴, kí hiệu < 𝐴 > Ta dễ thấy < 𝐴 >𝑝 = 𝐴 ∪ 𝐴𝑆 = 𝐴𝑆 < 𝐴 > = 𝐴 ∪ 𝑆𝐴 ∪ 𝐴𝑆 = 𝑆 𝐴𝑆 + Nếu 𝐴 = 𝑎 ta gọi 𝐿 𝑎 = 𝑆 𝑎; 𝑅 𝑎 = 𝑎𝑆 ; 𝐽 𝑎 = 𝑆 𝑎𝑆 tương ứng iđêan trái, phải, hai phía 𝑆 sinh 𝑎 + Một iđêan 𝑀 hai phía, trái, phải, nửa nhóm 𝑆 gọi tối tiểu tương ứng không chứa thực iđêan hai phía, trái, phải, khác 𝑆 + Nếu 𝑆 có iđêan tối tiểu hai phía 𝐾 𝐾 gọi hạt nhân S Dễ thấy 𝐾 giao iđêan hai phía 𝑆 Định nghĩa 1.1.8 Cho 𝑆 nửa nhóm, 𝐼 iđêan 𝑆 Ta định nghĩa quan hệ ủ 𝑆 sau: 𝑎ủ𝑏 ⇔ 𝑎=𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 Ta gọi ủ tương đẳng Rixơ theo mod 𝐼, lớp tương đương nửa nhóm 𝑆 theo mod ủ 𝐼 tập phần tử {𝑎}, 𝑎 ∈ 𝑆\𝐼 Ta viết 𝑆/𝐼 thay cho 𝑆/ủ Ta gọi 𝑆/𝐼 nửa nhóm thương Rixơ nửa nhóm 𝑆 theo mod 𝐼 Định nghĩa 1.1.9 Nửa nhóm 𝑆 gọi đơn phải, đơn trái tương ứng không chứa iđêan phải, iđêan trái thực Nửa nhóm 𝑆 gọi đơn không chứa iđêan thực Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chú ý! Nửa nhóm 𝑆 đơn phải ⇔ 𝑎𝑆 = 𝑆 , ∀𝑎 ∈ 𝑆 Vậy nửa nhóm đơn trái, đơn phải nhóm VD: 1, Các nhóm giao hoán nửa nhóm đơn 2, Nửa nhóm phần tử không bên phải nửa nhóm đơn phải Và nửa nhóm phần tử không bên trái nửa nhóm đơn trái Định nghĩa 1.1.10 Nửa nhóm 𝑆 với phần tử không gọi nửa nhóm −đơn 𝑆2 ≠ iđêan thực S Định nghĩa 1.1.11 Cho 𝑆 nửa nhóm, tập 𝐸 = 𝑠 ∈ 𝑆: 𝑠 = 𝑠 gọi tập luỹ đẳng 𝑆 Định nghĩa 1.1.12 Cho 𝑆 nửa nhóm, 𝑒, 𝑓 ∈ 𝐸, ta xét quan hệ " ≤ " sau: 𝑒 ≤ 𝑓 ⇔ 𝑒𝑓 = 𝑓𝑒 = 𝑒 Nếu ∈ 𝑆, 𝑓 ∈ 𝐸 đựơc gọi luỹ đẳng nguyên thuỷ thoả mãn điều kiện sau: 1, 𝑓 ≠ 2, 𝑒 ≤ 𝑓 𝑒=0 𝑒=𝑓 Định nghĩa 1.1.13 Nửa nhóm đơn hoàn toàn nửa nhóm đơn chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ Nửa nhóm −đơn hoàn toàn nửa nhóm −đơn chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ VD: 1, Nửa nhóm đơn hữu hạn nửa nhóm đơn hoàn toàn 2, Nửa nhóm −đơn hữu hạn nửa nhóm −đơn hoàn toàn Định nghĩa 1.1.14 Phần tử qui Nguyễn Thị Thu K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Cho 𝑆 nửa nhóm, 𝑎 ∈ 𝑆 gọi phần tử qui ∃𝑥 ∈ 𝑆: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎 Nửa nhóm 𝑆 gọi qui ∀𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 phần tử qui Chú ý! 1, Nếu 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎 phần tử 𝑓 = 𝑎𝑥, 𝑔 = 𝑥𝑎 phần tử luỹ đẳng Hơn 𝑓𝑎 = 𝑎, 𝑎𝑔 = 𝑎 2, Nếu 𝑎 ∈ 𝑆, 𝑎 phần tử qui 𝑎𝑆 = 𝑎𝑆 𝑆 𝑎 = 𝑆𝑎 Thật vậy: Ta có 𝑎𝑆 = 𝑎 ∪ 𝑎𝑆 𝑎 = 𝑎𝑔 ∈ 𝑎𝑆 Do 𝑎𝑆 = 𝑎𝑆 Tương tự 𝑆 𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑆𝑎 𝑎 = 𝑓𝑎 ∈ 𝑆𝑎 Do 𝑆 𝑎 = 𝑆𝑎 Định nghĩa 1.1.15 Cho 𝑆 nửa nhóm, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 gọi ngược 𝑎𝑏𝑎 = 𝑎 𝑏𝑎𝑏 = 𝑏 Dễ thấy 𝑎 ∈ 𝑆, a có phần tử ngược 𝑎 qui Thật vậy: ⟹ Hiển nhiên theo định nghĩa ⟸ Giả sử a qui, suy ∃ 𝑥 ∈ 𝑆: 𝑎 = 𝑎𝑥𝑎 Đặt 𝑏 = 𝑥𝑎𝑥, ta chứng minh 𝑎, 𝑏 ngược Ta có 𝑎𝑏𝑎 = 𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎 = 𝑎𝑥𝑎 = 𝑎 𝑏𝑎𝑏 = 𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥 = 𝑥𝑎𝑥𝑎𝑥 = 𝑥𝑎𝑥 = 𝑏 Định nghĩa 1.1.16 Nửa nhóm ngược nửa nhóm phần tử có phần tử ngược Định nghĩa 1.1.17 Các quan hệ Grin Cho nửa nhóm 𝑆, ta xét quan hệ sau: Quan hệ ℒ: Nguyễn Thị Thu 10 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Mặt khác 𝐼𝑛 phần tử luỹ đẳng không suy biến (ệ)𝑛 Suy 𝐼𝑛 = 𝐸 Vì 𝐸 ∈ à 𝑇 Đặt 𝑒 = 𝑖∈𝐼 ⇒𝐸= 𝑖∈𝐼 ỏ𝑖 Ã(𝑥𝑖 ) ,𝐼 tập hữu hạn ỏ𝑖 𝑥𝑖 ⇒ 𝑒 ∈ ệ 𝑇 à 𝑒 = 𝐼𝑛 ∎ Định nghĩa 2.4.2 à biểu diên bậc 𝑛 𝑆 trường ệ Kí hiệu Ã−1 = 𝑠 ∈ 𝑆: à 𝑠 = gọi iđêan triệt tiêu à à gọi biểu diễn tập tất 𝒥 –lớp 𝑆 không thuộc Ã−1 chứa phần tử tối tiểu tuyệt đối 𝐽 Khi 𝐽 gọi đỉnh à Suy biểu diễn với đỉnh 𝐽 ⇔ à 𝑠 ≠0∀𝑥 ∈𝐽 𝑠 ∈ 𝑆: 𝐽𝑠 ≱ 𝐽 à 𝑠 = Cho 𝐽 𝒥 –lớp 𝑆, à biểu diễn bậc 𝑛 𝑆 ệ cho: à 𝑦 = ∀ 𝑦 ∈ 𝐼(𝐽) Khi ta định nghĩa biểu diễn Ã′ 𝑄(𝐽) sau: Ã′ 𝑥 = à 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑆 (2.4.2), với 𝑥 ⟼ 𝑥 đẳng cấu tự nhiên xác định (2.4.1) Và gọi biểu diễn 𝑄(𝐽) cảm sinh à , à gọi mở rộng Ã′ tới 𝑆 à gọi mở rộng Ã′ à biểu diễn 𝑆 với đỉnh 𝐽 Nếu coi à biểu diễn ệ 𝑆 Ã′ x = à x , ∀x ∈ ệ[S1 JS1 ] (2.4.3) xác định biểu diễn ệ(𝑄 𝐽 ] Định lí 2.4.3 Cho 𝑆 nửa nhóm, ệ trường Nguyễn Thị Thu 36 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp A, Giả sử à biểu diễn bất khả qui bậc n 𝑆 ệ với đỉnh 𝐽 Thế 𝐽 −đơn biểu diễn Ã′ thương 𝑄(𝐽) cảm sinh à bất khả qui khác không Khi ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽 cho 𝑒 = 𝐼𝑛 Với 𝑒 à 𝑠 = Ã′ 𝑠𝑒 , ∀ 𝑠 ∈ 𝑆 (2.4.4), với 𝑥 ⟼ 𝑥 đồng cấu tự nhiên từ ệ 𝑆 𝐽𝑆 lên ệ[𝑄 𝐽 ] B, Giả sử 𝐽 𝒥–lớp −đơn 𝑆 Ã′ biểu diễn bất khả qui khác không 𝑄(𝐽) bậc 𝑛 trường ệ cho Ã′ z = , 𝑧 phần tử không 𝑄(𝐽) Thế ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽 cho Ã′ 𝑒 = 𝐼𝑛 Với 𝑒 phương trình (2.4.4) giúp ta xác định mở rộng bất khả qui à Ã′ C, Hai biểu diễn bất khả qui 𝑆 tương đương i, Chúng có chung đỉnh 𝐽 Và ii, Chúng cảm sinh biểu diễn tương đương 𝑄(𝐽) D, Nếu 𝑆 thoả mãn 𝑀𝐽 biểu diễn bất khả qui khác không 𝑆 ệ biểu diễn Chứng minh: A, Do à 𝐽 = [Ã(𝑆1 𝐽𝑆 )] rõ ràng à 𝐽 à 𝑆 Theo giả thiết suy à 𝑆 iđêan không triệt tiêu đại số bất khả qui (ệ)𝑛 Theo định lí 2.1.17 suy à 𝑆 đại số đơn Suy à 𝐽 Ta viết 𝑄 ≔ 𝑄(𝐽) theo (2.4.2) Ã′ 𝑄 = à 𝑆 = à 𝐽 , suy Ã′ bất khả qui khác không Suy Ã′ 𝑄 đại số đơn nên 𝑄 −đơn đơn, theo định nghĩa suy 𝐽 −đơn Nguyễn Thị Thu 37 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Theo bổ đề 2.4.2 việc thay 𝐽 𝑇 Như ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽 cho: à 𝑒 = 𝐼𝑛 Với 𝑒 ∀ 𝑠 ∈ 𝑆 , ta có 𝑠𝑒 ∈ ệ 𝑆 𝐽𝑆 Vì theo phương trình (2.4.3) à 𝑠𝑒 = à 𝑠 Ã′ 𝑒 = Ã′ 𝑠𝑒 = à 𝑠 𝐼𝑛 = à 𝑠 ⇒ à 𝑠 = Ã′ 𝑠𝑒 , ∀ 𝑠 ∈ 𝑆 B, Giả sử ta có giả thiết ý B Thì Ã′ 𝐽 đại số bất khả qui ma trận Theo bổ đề 2.4.2 , ∃ 𝑒 ∈ ệ 𝐽 : Ã′ 𝑒 = 𝐼𝑛 Ta biết 𝑒 = 𝑒 Giờ ta chứng minh với 𝑒 phương trình (2.4.4) giúp ta xác định biểu diễn 𝑆 Ta có ∀𝑠 ∈ 𝑆, Ã′ 𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒𝑠 Thật vậy: Ã′ 𝑠𝑒 = 𝐼𝑛 Ã′ 𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒 Ã′ 𝑠𝑒 = Ã′ 𝑒𝑠𝑒 Tương tự Ã′ 𝑒𝑠 = Ã′ 𝑒𝑠𝑒 (Chú ý! 𝑠 𝑒 ≠ 𝑠 𝑒 ) Vì s xác định 𝑠 ∈ 𝑆 𝐽𝑆 ) Ta có ∀ s, t ∈ S ta có à 𝑠 à 𝑡 = Ã′ 𝑠𝑒 Ã′ (𝑡𝑒) = Ã′ es Ã′ et = Ã′ este = Ã′ 𝑠𝑡𝑒 = à 𝑠𝑡 Với 𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑆 , à 𝑥 = Ã′ 𝑥𝑒 = Ã′ 𝑥 Ã′ 𝑒 = Ã′ 𝑥 Như à cảm sinh Ã′ à 𝑆 = Ã′ (𝑄) tức à bất khả qui Ta cần chứng minh à biểu diễn qui với đỉnh 𝐽 Dễ thấy Ã(𝐽) ≠ 0, ta cần phải chứng minh Nếu 𝑠 ∈ 𝑆: 𝐽𝑠 ≱ 𝐽 ⇒ 𝐽 𝑠 = Nếu 𝑥 ∈ 𝐽, 𝐽𝑠𝑥 ≤ 𝐽𝑥 rõ ràng 𝐽𝑠𝑥 < 𝐽𝑥 Vì 𝐽𝑠𝑥 = 𝐽𝑥 𝐽𝑠 ≥ 𝐽𝑠𝑥 = 𝐽�⃈= 𝐽 (Mâu thuẫn với giả thiết) Suy 𝑠𝑥 ∈ 𝐼 𝐽 Nguyễn Thị Thu 38 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Theo phương trình (2.4.4) à 𝑠𝑥 = Ã′ 𝑠𝑥𝑒 = Ã′ 𝑧 ( 𝑧 = 𝑠𝑥𝑒 ) Vì Ã′ 𝑧 = ⇒ à 𝑠𝑥 = Ta có 𝑒 = 𝑖∈𝐼 ỏ𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 ∈ 𝐽𝑖 , ỏ𝑖 ∈ ệ ⇒ à 𝑠 = à 𝑠𝑒 = 𝑖∈𝐼 ỏ𝑖 Ã(𝑠𝑥𝑖 ) C, Giả sử Ã1 , Ã2 biểu diễn bất khả qui 𝑆 ệ tương đương Suy tồn ma trận 𝐶 không suy biến ệ cho: Ã1 𝑠 = 𝐶 Ã2 𝑠 𝐶 −1 ∀𝑠 ∈ 𝑆 Dễ thấy Ã1−1 (0) = Ã−1 (0) ⇒ Ã1 , Ã2 chung đỉnh 𝐽 Với 𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑆 Ã1′ 𝑥 = Ã1 𝑥 = 𝐶 Ã2 𝑥 𝐶 −1 = 𝐶 Ã′2 (𝑥) 𝐶 −1 Suy Ã1′ , Ã′2 tương đương Ngược lại giả sử Ã1 , Ã2 có chung đỉnh 𝐽, Ã1′ , Ã′2 tương đương Suy tồn ma trận 𝐶 không suy biến cho: Ã1′ 𝑥 = 𝐶 Ã′2 𝑥 𝐶 −1 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑄(𝐽) Theo A, ∃𝑒 ∈ ệ[𝑆] cho Ã′2 𝑒 = 𝐼𝑛 , ∀ 𝑠 ∈ 𝑆, Ã2 (𝑠) = Ã′2 (𝑠𝑒), Ã1′ 𝑒 = 𝐶Ã′2 𝑒 𝐶 −1 = 𝐼𝑛 ⇒ Ã1 𝑠 = Ã1′ 𝑠𝑒 = 𝐶 Ã′2 𝑥 𝐶 −1 = 𝐶 Ã2 𝑥 𝐶 −1 Suy Ã1 , Ã2 tương đương D, Giả sử 𝑆 thoả mãn 𝑀𝐽 , à biểu diễn bất khả qui khác không bậc 𝑛 ệ Vì à ≠ nên tập 𝒥 –lớp không thuộc Ã1−1 (0) khác rỗng Theo 𝑀𝐽 tập chứa phần tử tối tiểu 𝐽 Nếu 𝑦 ∈ 𝐼 𝐽 , 𝐽𝑦 < 𝐽 ⇒ à 𝑦 = Do à 𝐽 = [à 𝑆1 𝐽𝑆 ] tức à 𝐽 iđêan không triệt tiêu à 𝑆 Vì à 𝑆 bất khả qui, suy đại số đơn Nguyễn Thị Thu 39 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Suy à 𝐽 = à 𝑆 Theo bổ đề 2.4.2 ∃ 𝑒 ∈ ệ 𝐽 : Ã′ 𝑒 = 𝐼𝑛 ⇒ à 𝑠 = à 𝑠 𝐼𝑛 ∀𝑠 ∈ 𝑆 Với 𝑠 ∈ 𝑆, 𝐽𝑠 ≱ 𝐽 à 𝑠 = ∎ Hệ 2.4.4 Giả sử ệ trường, 𝑆 nửa nhóm hữu hạn cho ệ 𝑆 nửa đơn Giả sử 𝐽𝑖 𝑖 = 1, 𝑛 𝒥 −lớp 𝑆 𝑄𝑖 = 𝐽𝑖 ∪ 𝑧𝑖 thương 𝑆 ứng với 𝐽 Thế đại số co rút ệ0 [𝑄𝑖 ] nửa đơn, tồn 𝑒𝑖 đơn vị ệ[𝐽𝑖 ] Giả sử Ã′𝑖ọ , ọ = 1, 𝑐𝑖 tập tất biểu diễn bất khả qui không tương đương 𝑄𝑖 ệ, triệt tiêu 𝑧𝑖 𝑖 = 1, 𝑛 Ta định nghĩa: Ã𝑖ọ 𝑠 = Ã′𝑖ọ 𝑠𝑒𝑖 , ∀𝑠 ∈ 𝑆 (2.4.5) Với 𝑥 ⟶ 𝑥 đồng cấu tự nhiên từ ệ[𝑆 𝐽𝑖 𝑆 ] lên ệ[𝑄𝑖 ] Thế Ã𝑖ọ , ọ = 1, 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 tập tất biểu diễn bất khả qui không tương đương 𝑆 ệ Chứng minh: Theo bổ đề 2.2.4 định lí 2.2.5 ta có ệ0 𝑄𝑖 nửa đơn Theo định lí 2.4.3 suy ∃ 𝑒𝑖 ∈ ệ[𝐽𝑖 ] đơn vị Phần lại định lí suy trực tiếp từ ý (C) định lí 2.4.3 ∎ Bổ đề 2.4.5 Giả sử 𝐽 𝒥 −lớp −đơn nửa nhóm 𝑆 Giả sử à biểu diễn 𝑆 bậc 𝑚 ệ với 𝑠 ∈ 𝑆, giả sử à 𝑠 = (ó𝑖𝑗 (𝑠)) (𝑖, 𝑗 = … 𝑚) Nếu ó𝑖𝑗 𝑥 = ∀𝑖, 𝑗: ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐽 à 𝑥 = ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 Chứng minh: Nguyễn Thị Thu 40 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Giả sử 𝑥 ∈ 𝐽 Thế ∃ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐽 cho 𝑎𝑥𝑏 = 𝑥 Do 𝑎𝑚 𝑥𝑏 𝑚 = 𝑥 Nhưng Ã(𝑎)𝑚 = Ã(𝑏)𝑚 = 0, theo giả thiết Ã(𝑎), Ã(𝑏) ma trận tam giác với đường chéo Do à 𝑥 = à 𝑎 𝑚 à 𝑥 à 𝑏 𝑚 = ∎ Định lí 2.4.6 Giả sử 𝑆 nửa nhóm nửa đơn thoả mãn điều kiện 𝑀𝐽 giả sử ệ trường Nếu biểu diễn thương 𝑆 hoàn toàn khả qui, biểu diễn 𝑆 ệ hoàn toàn khả qui Chứng minh: Giả sử à biểu diễn 𝑆 ệ có dạng sau: à 𝑠 = Ã1 (𝑠) … Ã21 𝑠 Ã2 𝑠 … ⋮ … ⋮ Ã𝑛1 𝑠 Ã𝑛2 (𝑠) … Ã𝑛 (𝑠) , (𝑠 ∈ 𝑆) Trong biểu diễn Ã𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛) phận bất khả qui à Rõ ràng à biểu diễn không định lí hiển nhiên Vì ta giả thiết à khác không Ta chứng minh định lí phương pháp qui nạp theo 𝑛 = 𝑁(Ã) số phận bất khả qui à Với 𝑛 = 1, định lí hiển nhiên Với 𝑛 > 1, ta giả sử biểu diễn Ã′ 𝑆 với 𝑁 Ã′ < 𝑛 hoàn toàn khả qui Với 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑠 thuộc 𝒥 −lớp 𝑆 Mỗi 𝒥 −lớp 𝑆 −đơn theo giả thiết 𝑆 nửa đơn Nếu Ã𝑖 = ∀𝑖 = 1, 𝑛 theo bổ đề 2.4.5 suy à biểu diễn không (trái với giả thiết) Vì ∃Ã𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1, 𝑛 Nguyễn Thị Thu 41 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Mỗi Ã𝑖 khác không biểu diễn theo điều kiện M𝐽 theo định lí 2.4.3(D) Giả sử 𝐽𝑖 đỉnh Ã𝑖 , 𝐽𝑘 phần tử tối tiểu tập 𝐽𝑖 Nói cách khác, Ã𝑘 khác không Ã𝑗 khác không 𝐽𝑗 ≮ 𝐽𝑘 Nếu 𝑥 ∈ 𝑆 cho 𝐽𝑥 < 𝐽𝑘 rõ ràng 𝐽𝑥 ≱ 𝐽𝑖 với 𝑖 mà Ã𝑖 khác không Do Ã𝑖 𝑥 = với 𝑖 vậy, dó ∀𝑖 = 1, 𝑛 Ã𝑖 𝑥 = Theo bổ đề 2.4.5 suy à 𝑥 = Giả sử 𝑄𝑘 = 𝐽𝑘 ∪ 𝑧𝑘 , (𝑄𝑘 = 𝐽𝑘 hạt nhân 𝑆) thương 𝑆 liên kết với 𝐽𝑘 Vì, ta chứng tỏ, à 𝑥 = với 𝑥 ∈ 𝐼(𝐽𝑘 ), từ suy Ã′ 𝑥 = Ã(𝑥) với ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑘 �냌𝑉 biểu diễn Ã′ 𝑄𝑘 , 𝑥 ⟼ 𝑥 đồng cấu tự nhiên từ 𝑆 𝐽𝑘 𝑆 lên 𝑄𝑘 Hơn nữa, Ã′ khác không Ã𝑘 khác không 𝐽𝑘 , Ã′ chứa biểu diễn Ã′𝑘 𝑄𝑘 cảm sinh Ã𝑘 Theo giả thiết Ã′ hoàn toàn khả qui theo định lí 2.4.3(A), Ã′𝑘 bất khả qui Do ∃𝐶 ma trận không suy biến cho: ′ 𝐶à 𝑥 𝐶 −1 Ã′ 𝑘 (𝑥 ) = ′ Ä (𝑥) (∀𝑥 ∈ 𝑄𝑘 ), Trong Ä′ biểu diễn 𝑄𝑘 Nếu ta định nghĩa Ä bởi: Ä 𝑥 = Ä′ (𝑥 ) (với ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑘 𝑆 ), Ä biểu diễn 𝑆 𝐽𝑘 𝑆 triệt tiêu 𝐼(𝐽𝑘 ) Hơn nữa, 𝐶à 𝑥 𝐶 −1 = Ã𝑘 (𝑥) ( với ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑘 𝑆 ) Ä(𝑥) Giả sử ta phân tích 𝐶Ã(𝑠)𝐶 −1 cách tương tự: 𝐶à 𝑠 𝐶 −1 = ∗ ∗ Ã11 (𝑠) Ã12 (𝑠) (∀𝑠 ∈ 𝑆), ∗ ∗ Ã21 (𝑠) Ã22 (𝑠) ∗ Ã11 (𝑠) bậc với Ã𝑘 𝑥 Nguyễn Thị Thu 42 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Giả sử 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑥 ∈ 𝐽𝑘 Thế 𝑠𝑥 ∈ 𝑆 𝐽𝑘 𝑆 , từ 𝐶à 𝑠𝑥 𝐶 −1 = 𝐶à 𝑠 𝐶 −1 𝐶Ã(𝑥)𝐶 −1 Ta có ∗ Ã∗ (𝑠) Ã12 (𝑠) Ã𝑘 (𝑠𝑥) = 11 ∗ ∗ Ä(𝑠𝑥) Ã21 (𝑠) Ã22 (𝑠) Ã𝑘 (𝑥) 0 Ä(𝑥) Do Ã∗21 𝑠 Ã𝑘 𝑥 = với 𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ 𝐽𝑘 Theo định lí 2.4.3(B), ∃𝑒 ∈ ệ 𝐽𝑘 : Ã𝑘 𝑒 = 𝐼 Vì 𝑒 tổ hợp tuyến tính phần tử 𝑥 ∈ 𝐽𝑘 nên từ suy Ã∗21 𝑠 = Ã∗21 𝑠 𝐼 = Ã∗21 𝑠 Ã𝑘 𝑒 = (𝑠 ∈ 𝑆) Tương tự, cách xét 𝑥𝑠 thay cho 𝑠𝑥 ta chứng tỏ ∗ ∗ Ã12 𝑠 = Như à phân tích thành hai biểu diễn Ã11 Ã∗22 Vì hai biểu diễn có bậc nhỏ bậc Ã, nên có số phận bất khả qui 𝑁 à Theo qui nạp ta có điều phải chứng minh ∎ 2.5 Các đặc trưng nửa nhóm giao hoán Định nghĩa 2.5.1 Giả sử 𝑆 nửa nhóm giao hoán phần tử đơn vị Một đặc trưng 𝑆 ánh xạ ữ ∶ 𝑆 ⟶ ℂ không đồng không thoả mãn : ữ 𝑎𝑏 = ữ 𝑎 ữ 𝑏 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 Tập 𝑆 ∗ = ữ ữ đặc trưng S , 𝑆 ∗ ta trang bị phép toán ∙ sau: ữ ∙ a = ữ a ∙ a ∀ a ∈ S, ∀ữ, ∈ S ∗ Khi (𝑆 ∗ ,∙) làm thành nửa nhóm giao hoán gọi nửa nhóm đặc trưng 𝑆 Với phần tử đơn vị 𝑆 ∗ đặc trưng đơn vị 1∗ xác định bởi: 1∗ 𝑎 = ∀ 𝑎 ∈ 𝑆 Không làm tính tổng quát ta xét với nửa nhóm có đơn vị Định nghĩa 2.5.2 Iđêan nguyên tố Nguyễn Thị Thu 43 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Iđêan 𝑃 𝑆 gọi nguyên tố 𝑆\𝑃 nửa nhóm 𝑆 Qui ước : ∅ iđêan nguyên tố 𝑆 𝑆 không iđêan nguyên tố 𝑆 𝐴, 𝐵 iđêan nguyên tố 𝑆 𝐴 ∪ 𝐵 iđêan nguyên tố 𝑆, 𝐴 ∩ 𝐵 chưa Khi 𝑌 ∗ tập tất iđêan nguyên tố 𝑠 nửa đàn phép hợp ( Nửa đàn hay băng giao hoán nửa đàn thứ tự phận tự nhiên 𝑆: Trên 𝑆 thứ tự phận " ≤ " 𝑆 gọi nửa đàn tập 𝑎, 𝑏 𝑆 có “giao” 𝑆 Tập ⊂ 𝑆 , phần tử 𝑦 ∈ 𝑆 gọi cận 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 Cận 𝑦 𝑅 gọi cận lớn (“giao”) 𝑧 ≤ 𝑦, với 𝑧 cận 𝑅 ) Với ữ ∈ S ∗ , xét Vữ = {a a ∈ S ữ a = 0} Khi 𝑉ữ iđêan nguyên tố Thật vậy: ữ 𝑎 = ⇒ ữ 𝑎𝑏 = (∀ 𝑏 ∈ 𝑆) ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝑉ữ Nếu 𝑎, 𝑏 ∉ 𝑉ữ ⇒ ữ(𝑎) ≠ ⇒ ữ 𝑎𝑏 = ữ 𝑎 ữ 𝑏 ≠ ữ(𝑏) ≠ ⇒ 𝑎𝑏 ∉ 𝑉ữ Ta gọi 𝑉ữ iđêan triệt tiêu ữ Với 𝑃 iđêan nguyên tố 𝑆 Ta định nghĩa ồ𝑃 : ồ𝑃 𝑎 = a∈ P a ∈S\P Dễ thấy ồ𝑃 hàm đặc trưng 𝑆\𝑃 Ta có ồ𝑃 𝑎𝑏 = ồ𝑃 𝑎 ồ𝑃 𝑏 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 chúng Hơn ồ𝑃 luỹ đẳng 𝑆 ∗ Nguyễn Thị Thu 44 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Thật vậy: Theo định nghĩa ồ𝑃 rõ ràng đặc trưng 𝑆 Mặt khác ồ𝑃 𝑎 = ồ𝑃 𝑎 ồ𝑃 𝑏 = a∈ P a S\P Suy iđêan triệt tiêu ồ𝑃 𝑃 Mặt khác phần tử luỹ đẳng 𝑆 ∗ 𝑎 = ∀ a∈ S (do 𝑎 ∈ ℂ) Nếu = 𝑉ồ ⇒ = ồ𝑃 Dễ thấy với 𝑃, 𝑃′ iđêan nguyên tố 𝑆 ồ𝑃∪𝑃′ = ồ𝑃 ồ𝑃′ Bổ đề 2.5.3 Tồn đẳng cấu nửa đàn 𝐸 ∗ luỹ đẳng 𝑆 ∗ với nửa đàn 𝑌 ∗ iđêan nguyên tố 𝑆 cho ∈ 𝐸 ∗ ứng với 𝑃 ∈ 𝑌 ∗ 𝑃 iđêan triệt tiêu 𝑉ồ Và đặc trưng ồ𝑃 𝑆\𝑃 Chứng minh: Hiển nhiên theo ∎ Với 𝑃 iđêan nguyên tố 𝑆, ta định nghĩa: 𝐻𝑃∗ = ữ ữ ∈ 𝑆 ∗ , 𝑉ữ = 𝑃 tập gồm tất đặc trưng 𝑆 triệt tiêu 𝑃 Khi 𝐻𝑃∗ nửa nhóm 𝑆 ∗ chứa ồ𝑃 ồ𝑃 phần tử đơn vị 𝐻𝑃∗ Với ữ ∈ 𝐻𝑃∗ , ta định nghĩa: ữ−1 𝑎 = a∈P 1/ữ 𝑎 a∈ S\P Thế ữ−1 ∈ 𝐻𝑃∗ ữ ữ−1 = ồ𝑃 Suy 𝐻𝑃∗ nhóm 𝑆 ∗ dễ thấy chúng không giao đôi Thật vậy: ữ ∈ 𝐻𝑃∗ , ữ′ ∈ 𝐻′∗𝑃 ⇒ ữữ′ 𝑎 = ⇔ ữ 𝑎 =0 𝑎∈𝑃 ⇔ ′ 𝑎 ∈ 𝑃′ ữ 𝑎 =0 Từ ta có định lí sau Nguyễn Thị Thu 45 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Định lí 2.5.4 Nửa nhóm đặc trưng 𝑆 ∗ nhóm giao hoán có đơn vị 𝑆 hợp nửa đàn 𝑌 ∗ nhóm 𝐻𝑃∗ (𝑃 ∈ 𝑌 ∗ ) 𝑌 ∗ nửa đàn iđêan nguyên tố S 𝐻𝑃∗ gồm tất đặc trưng 𝑆 triệt tiêu 𝑃 Nửa nhóm đặc trưng 𝑆 ∗ nửa nhóm giao hoán có đơn vị 𝑆 hợp nửa đàn 𝑌 ∗ nhóm 𝐻𝑃∗ ( 𝑃 ∈ 𝑌 ∗ ) Tức 𝑆 ∗ =∪ 𝐻𝑃∗ 𝑃 ∈ 𝑌 ∗ Giả sử 𝑇 nửa nhóm giao hoán hợp nửa đàn 𝑌 nhóm 𝐺ỏ : 𝑇 =∪ 𝐺ỏ /ỏ ∈ 𝑌 , 𝑒ỏ phần tử đơn vị 𝐺ỏ ữ đặc trưng 𝑇 triệt tiêu 𝐺ỏ Một đặc trưng ữ 𝑇 gọi đặc trưng tồn õ ∈ 𝑌 cho ữ eỏ = ⇔ ỏ > õ, õ Khi õ gọi đỉnh ữ Định lí 2.5.5 Giả sử 𝑇 nửa nhóm giao hoán có đơn vị, 𝑇 hợp nửa đàn 𝑌 nhóm 𝐺ỏ : 𝑇 =∪ 𝐺ỏ /ỏ ∈ 𝑌 , 𝑒ỏ phần tử đơn vị 𝐺ỏ A, Giả sử ữ đặc trưng 𝑇, õ đỉnh ữ, thu hẹp ữ′ ữ 𝐺õ đặc trưng 𝐺õ Với 𝑠 ∈ 𝑇 ữ′ 𝑠𝑒õ s𝑒õ ∈ 𝐺õ ữ 𝑠 = (4) trường hợp khác B, Với õ ∈ 𝑌, ữ′ đặc trưng 𝐺õ , (4) xác định đặc trưng ữ 𝑇 với đỉnh õ trùng với ữ′ 𝐺õ C, Nếu điều kiện tối tiểu với 𝑌 đặc trưng 𝑇 đặc trưng Chứng minh: Ta có 𝑇 =∪ 𝐺ỏ /ỏ ∈ 𝑌 ữ: 𝑇 ⟶ ℂ thỏa mãn ữ 𝑎𝑏 = ữ 𝑎 ữ 𝑏 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇 Nguyễn Thị Thu 46 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp 𝑎⟶ ữ 𝑎 Khi ∃! õ ∈ 𝑌: ỏ > õ ữ 𝑒ỏ = ữ′ : 𝐺õ ⟶ ℂ ; 𝑎 ⟼ ữ′ 𝑎 = ữ(𝑎) A, Dễ thấy ữ′ đặc trưng 𝐺õ Giờ ta chứng minh (4) Nếu s𝑒õ ∈ 𝐺õ ⇒ ữ 𝑠 = ữ 𝑠 = ữ 𝑠 ữ 𝑒õ = ữ 𝑠𝑒õ = ữ′ 𝑠𝑒õ Nếu s𝑒õ ∉ 𝐺õ , 𝑠 ∈ 𝐺õ , nên s𝑒õ ∈ 𝐺ỏõ với ỏõ < õ ⇒ ữ 𝑠𝑒õ = B, Nếu 𝑠𝑒õ , 𝑡𝑒õ ∈ 𝐺õ ⇒ 𝑠𝑒õ 𝑡𝑒õ = (𝑠𝑡)𝑒õ ⇒ ữ 𝑠𝑡 = ữ′ 𝑠𝑡 𝑒õ = ữ′ ( 𝑠𝑒õ 𝑡𝑒õ ) = ữ′ 𝑠𝑒õ ữ′ 𝑡𝑒õ = ữ 𝑠 ữ 𝑡 ∀ 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇 Tức ữ đặc trưng 𝑇 Nếu thuộc 𝐺õ , giả sử s𝑒õ ∉ 𝐺õ , 𝑠 ∈ 𝐺ỏ ⇒ s𝑒õ ∈ 𝐺ỏõ ỏõ < õ ⇒ s𝑡𝑒õ ∉ 𝐺õ ⇒ ữ 𝑠𝑡 = ữ 𝑠 ữ 𝑡 = Suy ữ đặc trưng 𝑇 C, Giả sử ữ đặc trưng 𝑇, theo giả thiết tồn phần tử tối tiểu õ 𝑌 cho ữ không triệt 𝐺ỏ thì: ữ 𝑒ỏõ = ữ 𝑒ỏ 𝑒õ = ữ(𝑒ỏ ) ữ 𝑒õ = Vì ỏõ ≤ õ, õ phần tử tối tiểu nên suy ỏõ = õ, (theo tính chất nửa đàn) ỏ ≥ õ (định nghĩa thứ tự phận tự nhiên) Ngược lại ỏ ≥ õ ⇒ 𝑒ỏ 𝑒õ = 𝑒õ ⇒ ữ 𝑒ỏ = Suy ữ đặc trưng với đỉnh õ ∎ Nguyễn Thị Thu 47 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Kết luận Khoá luận: “Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm” nghiên cứu tổng quan vấn đề: + Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm thông qua biểu diễn đại số + Các đặc trưng nửa nhóm giao hoán + Các biểu diễn bất khả qui nửa nhóm Việc nghiên cứu sâu lý thuyết biểu diễn nửa nhóm góp phần bổ sung thêm kết luận quan trọng vào lý thuyết Đại số học, môn có vị trí đặc biệt quan trọng toán học lý thuyết toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài em không tránh khỏi thiếu sót định Vì em Nguyễn Thị Thu 48 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (dịch), (1972), Lý thuyết nửa nhóm, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thị Thu 49 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thu 50 K31G – SP Toán [...]... tử khác 0 của 𝐺 ∎ Định lí 1.2.3 Nửa nhóm ma trận Rixơ 0 −đơn khi và chỉ khi nó là chính qui Định lí 1.2.4 Một nửa nhóm là 0 −đơn hoàn toàn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một nửa nhóm ma trận Rixo chính qui trên một nhóm với phần không Nguyễn Thị Thu 13 K31G – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm Để tìm hiểu lý thuyết biểu diễn của nửa nhóm 𝑆 trên trường ệ ta tìm hiểu... là một biểu diễn của ệ[𝑆] thì ánh xạ thu hẹp à của nó trên 𝑆 là một biểu diễn của 𝑆 Vì vậy ta đồng nhất lý thuyết biểu diễn của 𝑆 trên ệ với ệ[𝑆] 2.4 Các biểu diễn bất khả qui của một nửa nhóm Ta quay lại xét về nửa nhóm với các quan hệ Grin Cho 𝒳 là một tập các 𝒥 − lớp 𝐽 ∈ 𝒳 được gọi là tối tiểu trong 𝒳 nếu 𝐽′ ∈ 𝒳 ⇒ 𝐽′ ≮ 𝐽 𝐽 ∈ 𝒳 được gọi là tối tiểu tuyệt đối trong 𝒳 nếu 𝐽′ ∈ 𝒳 ⇒ 𝐽 ≤ 𝐽′ Nửa nhóm 𝑆... 3 ⟼ −1 ; 4 ⟼ 1 Ã5 = ố là biểu diễn không Nhận xét: Khi 𝑆 là một nửa nhóm hữu hạn, thì ta có một tương ứng 1 − 1 giữa các biểu diễn của 𝑆 và các biểu diễn của đại số ệ[𝑆] của 𝑆 trên ệ Tương ứng đó bảo tồn sự khả qui và sự phân tích, do đó tính khả qui hoàn toàn đúng đối với các biểu diễn của 𝑆 khi và chỉ khi ệ[𝑆] là nửa đơn Vì vậy ta định nghĩa một biểu diễn của ệ[𝑆] qua biểu diễn của 𝑆 trên trường ệ... Tương tự ta có biểu diễn chính qui bên trái của 𝒜, ó𝑎 = 𝑎𝑥, ó: 𝑎 → ó𝑎 Ta quy ước gọi biểu diễn chính qui bên phải là biểu diễn chính qui Định lí biểu diễn cơ bản về các đại số 𝓐 nửa đơn Giả sử 𝒜 là một đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên ệ, thế thì 𝒜 là tổng trực tiếp của một tập hữu hạn các iđêan phải tối tiểu Tức biểu diễn chính qui bên ủ bên phải của 𝒜 là hoàn toàn khả qui Mỗi biểu diễn chính qui... Nếu 𝑆 là một nửa nhóm hữu hạn, thì rõ ràng có một tương ứng một – một giữa các biểu diễn của 𝑆 và biểu diễn của đại số ệ[𝑆] của 𝑆 trên ệ, tương ứng đó bảo tồn sự khả qui và sự phân tích Do đó tính khả qui hoàn toàn đúng đối với các biểu diễn của 𝑆 khi và chỉ khi ệ[𝑆] là nửa đơn Trong muc 2.1 chúng ta tóm tắt lý thuyết về các đại số nửa đơn Sau đó ta đi tìm điều kiện cần và đủ về một nửa nhóm hữu hạn... sao cho ệ[𝑆] là nửa đơn, và điều đó được trình bày trong mục 2.2 Với nửa nhóm hữu hạn ta có thể xác định được tất cả các biểu diễn của nó (hệ quả 2.4.4) Với 𝑆 nửa nhóm không nhất thiết là hữu hạn, ta xem xét các biểu diễn bất khả qui chính của nó Và kết quả là (định lí 2.4.3) Phần cuối cùng mục 2.5 ta nghiên cứu các đặc trưng của một nửa nhóm giao hoán 𝑆 2.1 Biểu diễn của các đại số nửa đơn hữu hạn... , 𝑆𝑖+1 không có iđêan nào của 𝑆 nữa + Các thương của chuỗi (1) là các nửa nhóm thương Rixơ 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 (𝑖 = 1, 𝑚) Định nghĩa 1.1.20 Nửa nhóm nửa đơn Một nửa nhóm 𝑆 được gọi là nửa đơn nếu mỗi thương chính của nó là đơn hoặc 0 −đơn 1.2 Nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử 0 Định nghĩa 1.2.1 Giả sử 𝑋, 𝑌 là các tập nào đó, 𝐺 0 là nhóm với phần tử 0 ánh xạ 𝐴: 𝑋ì𝑌 ⟶ 𝐺 0 𝑖, 𝑗 ⟼ 𝐴 𝑖, 𝑗 ≔ (𝑎𝑖𝑗 ) Với 𝑎𝑖𝑗... nghĩa 2.3.1 Cho 𝑆 là một nửa nhóm, là một trường ệ Một biểu diễn à của nửa nhóm 𝑆 bậc 𝑛 trên trường ệ, là một ánh xạ từ 𝑆 vào (ệ)𝑛 thoả mãn: à 𝑠𝑡 = à 𝑠 à 𝑡 , ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑆 Khi à là một đẳng cấu từ 𝑆 lên (ệ)𝑛 , thì à được gọi là biểu diễn trung thành VD: 1, Cho nửa nhóm 𝑆 = {𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , … }, ệ là một trường Với mỗi ỏ ∈ ệ Xét Ãỏ : 𝑆 ⟶ ệ, 𝑥 𝑛 ⟼ Ãỏ 𝑥 𝑛 = ỏ 𝑛 Khi đó Ãỏ chính là một biểu diễn bậc 1 của 𝑆 trên... 2.2.10 thì ℬ là nửa đơn và ánh xạ 𝐴 ⟼ 𝐴𝑃 là một đẳng cấu từ ℬ lên(𝒜)𝑛 Vậy mỗi Ã′ọ là một biểu diễn của ℬ {Ã𝑛ọ ; ọ = 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của (𝒜)𝑛 Mà Ã′ọ 𝐴 = Ã𝑛ọ 𝐴𝑃 suy ra {Ã′ọ /ọ = 1, 𝑐} là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của ℬ Ta có điều phải chứng minh ∎ Giờ ta đi xác định tất cả các biểu diễn bất khả qui của nửa nhóm 𝑆 trên trường... biến thực sự của 𝐴 thì 𝑤∆(𝑎) ∈ 𝑊 Do ∆ là biểu diễn chính qui bên phải nên 𝑤∆ 𝑎 = 𝑤𝑎 ∈ 𝑊 nên 𝑊 là iđêan phải của 𝒟 ∎ Định lí 2.1.16 Giả sử 𝒜 là một đại số hữu hạn chiều trên trường ệ, và 𝒩 là căn của nó Một biểu diễn bất khả qui khác không của 𝒜 ánh xạ 𝒩 vào 0, và do đó nó là một biểu diễn của đại số nửa đơn 𝒜 𝒩 Chứng minh: Giả sử V là không gian biểu diễn của biểu diễn bất khả qui à của 𝒜 Khi đó 𝑉𝒩 là ... Nhập môn lý thuyết biểu diễn nửa nhóm nghiên cứu tổng quan vấn đề: + Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm thông qua biểu diễn đại số + Các đặc trưng nửa nhóm giao hoán + Các biểu diễn bất khả qui nửa. .. chương 2: Lý thuyết biểu diễn nửa nhóm Để tìm hiểu lý thuyết biểu diễn nửa nhóm