Giả sử 𝑆 là nửa nhóm giao hoán phần tử đơn vị 1. Một đặc trưng của 𝑆 là một ánh xạ ữ ∶ 𝑆 ⟶ ℂ không đồng nhất bằng không và thoả mãn :
ữ 𝑎𝑏 = ữ 𝑎 .ữ 𝑏 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆
Tập 𝑆∗ = ữ ữ là đặc trưng của S , trên 𝑆∗ ta trang bị phép toán ∙ như sau: ữ∙ử a = ữ a ∙ử a ∀ a ∈ S, ∀ữ,ử ∈ S∗.
Khi đó (𝑆∗,∙) làm thành nửa nhóm giao hoán và được gọi là nửa nhóm đặc trưng của 𝑆.
Với phần tử đơn vị của 𝑆∗ là đặc trưng đơn vị 1∗ xác định bởi:
1∗ 𝑎 = 1 ∀ 𝑎 ∈ 𝑆
Không làm mất tính tổng quát ở đây ta chỉ xét với các nửa nhóm có đơn vị.
Định nghĩa 2.5.2 Iđêan nguyên tố
Nguyễn Thị Thu 44 K31G – SP Toán Iđêan 𝑃 của 𝑆 được gọi là nguyên tố nếu 𝑆\𝑃 là nửa nhóm con của 𝑆 Qui ước : ∅ là iđêan nguyên tố của 𝑆.
𝑆 không là iđêan nguyên tố của 𝑆
𝐴, 𝐵 là các iđêan nguyên tố của 𝑆 thì 𝐴 ∪ 𝐵 là iđêan nguyên tố của 𝑆, nhưng 𝐴 ∩ 𝐵 thì chưa chắc.
Khi đó 𝑌∗ tập tất cả các iđêan nguyên tố của 𝑠 là nửa đàn đối với phép hợp.
( Nửa đàn hay băng giao hoán chính là nửa đàn dưới đối với thứ tự bộ phận tự nhiên trên 𝑆: Trên 𝑆 được sắp thứ tự bộ phận " ≤ " . 𝑆 được gọi là nửa đàn dưới nếu mỗi tập con 𝑎, 𝑏 của 𝑆 có “giao” trong 𝑆.
Tập ⊂ 𝑆 , phần tử 𝑦 ∈ 𝑆 được gọi là cận dưới của 𝑅 nếu 𝑦 ≤ 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅.
Cận dưới 𝑦 của 𝑅 được gọi là cận dưới lớn nhất (“giao”) nếu 𝑧 ≤ 𝑦, với mỗi 𝑧 là cận dưới của 𝑅 )
Với ữ ∈ S∗, xét Vữ = {a a ∈ S ữ a = 0}
Khi đó 𝑉ữ là một iđêan nguyên tố của .
Thật vậy: ữ 𝑎 = 0 ⇒ ữ 𝑎𝑏 = 0 (∀ 𝑏 ∈ 𝑆) ⇒ 𝑎𝑏 ∈ 𝑉ữ. Nếu 𝑎, 𝑏 ∉ 𝑉ữ ⇒ ữ(𝑎) ≠ 0
ữ(𝑏) ≠ 0 ⇒ ữ 𝑎𝑏 =ữ 𝑎 ữ 𝑏 ≠ 0 ⇒ 𝑎𝑏 ∉ 𝑉ữ.
Ta gọi 𝑉ữ là iđêan triệt tiêu của ữ.
Với 𝑃 là iđêan nguyên tố của 𝑆. Ta định nghĩa ồ𝑃: ồ𝑃 𝑎 = 0 nếu a∈ P
1 nếu a ∈S\P . Dễ thấy ồ𝑃 là hàm đặc trưng của 𝑆\𝑃.
Ta có ồ𝑃 𝑎𝑏 = ồ𝑃 𝑎 ồ𝑃 𝑏 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 vì chúng cùng bằng 0 hoặc 1.
Hơn nữa ồ𝑃 là một luỹ đẳng của 𝑆∗.
Nguyễn Thị Thu 45 K31G – SP Toán Thật vậy: Theo định nghĩa của ồ𝑃 thì rõ ràng nó là một đặc trưng của 𝑆.
Mặt khác ồ𝑃2 𝑎 = ồ𝑃 𝑎 .ồ𝑃 𝑏 = 0 nếu a∈ P 1 nếu a S\P Suy ra iđêan triệt tiêu của ồ𝑃 chính là 𝑃.
Mặt khác nếu ồ là phần tử luỹ đẳng của 𝑆∗ thì ồ 𝑎 = 0 hoặc 1 ∀ a∈ S (do ồ 𝑎 ∈ ℂ).
Nếu = 𝑉ồ ⇒ ồ =ồ𝑃 .
Dễ thấy với 𝑃, 𝑃′ là 2 iđêan nguyên tố của 𝑆 thì ồ𝑃∪𝑃′ = ồ𝑃ồ𝑃′ . Bổ đề 2.5.3
Tồn tại một đẳng cấu giữa nửa đàn 𝐸∗ các luỹ đẳng của 𝑆∗ với nửa đàn 𝑌∗ các iđêan nguyên tố của 𝑆 sao cho nếu ồ∈ 𝐸∗ ứng với 𝑃 ∈ 𝑌∗ thì 𝑃 là iđêan triệt tiêu 𝑉ồ của ồ. Và ồ chính là đặc trưng ồ𝑃 của 𝑆\𝑃.
Chứng minh: Hiển nhiên theo trên. ∎
Với 𝑃 là iđêan nguyên tố của 𝑆, ta định nghĩa:
𝐻𝑃∗ = ữ ữ ∈ 𝑆∗, 𝑉ữ = 𝑃 là tập gồm tất cả các đặc trưng của 𝑆 triệt tiêu đúng trên 𝑃.
Khi đó 𝐻𝑃∗ là một nửa nhóm con của 𝑆∗ chứa ồ𝑃 và ồ𝑃 là phần tử đơn vị của 𝐻𝑃∗.
Với ữ ∈ 𝐻𝑃∗, ta định nghĩa:
ữ−1 𝑎 = 0 nếu a∈P 1/ữ 𝑎 nếu a∈ S\P. . Thế thì ữ−1 ∈ 𝐻𝑃∗ và ữ.ữ−1 =ồ𝑃.
Suy ra 𝐻𝑃∗ là một nhóm con của 𝑆∗ và dễ thấy chúng không giao nhau từng đôi một.
Thật vậy: ữ ∈ 𝐻𝑃∗ , ữ′ ∈ 𝐻′𝑃∗ ⇒ ữữ′ 𝑎 = 0 ⇔ ữ 𝑎 = 0
ữ′ 𝑎 = 0⇔ 𝑎 ∈ 𝑃𝑎 ∈ 𝑃′
Từ đó ta có định lí sau đây.
Nguyễn Thị Thu 46 K31G – SP Toán Định lí 2.5.4
Nửa nhóm đặc trưng 𝑆∗ của một nhóm giao hoán có đơn vị 𝑆 là hợp của nửa đàn 𝑌∗các nhóm 𝐻𝑃∗ (𝑃 ∈ 𝑌∗) trong đó 𝑌∗ là nửa đàn các iđêan nguyên tố của S và 𝐻𝑃∗ gồm tất cả các đặc trưng của 𝑆 triệt tiêu đúng trên 𝑃.
Nửa nhóm đặc trưng 𝑆∗ của nửa nhóm giao hoán có đơn vị 𝑆 là hợp của nửa đàn 𝑌∗ các nhóm 𝐻𝑃∗ ( 𝑃 ∈ 𝑌∗).
Tức 𝑆∗ =∪ 𝐻𝑃∗ ∈ 𝑌𝑃 ∗ .
Giả sử 𝑇 là nửa nhóm giao hoán là hợp của nửa đàn 𝑌 các nhóm 𝐺ỏ: 𝑇 =∪ 𝐺ỏ /ỏ ∈ 𝑌 , 𝑒ỏ là phần tử đơn vị của 𝐺ỏ. ữ là một đặc trưng của 𝑇 triệt tiêu trên 𝐺ỏ.
Một đặc trưng ữ của 𝑇 được gọi là đặc trưng chính nếu tồn tại õ ∈ 𝑌 sao cho
ữ eỏ = 1 ⇔ ỏ> õ, õ là duy nhất. Khi đó õ được gọi là đỉnh của ữ.
Định lí 2.5.5
Giả sử 𝑇 là nửa nhóm giao hoán có đơn vị, 𝑇 là hợp của nửa đàn 𝑌 các nhóm 𝐺ỏ: 𝑇 =∪ 𝐺ỏ /ỏ∈ 𝑌 , 𝑒ỏ là phần tử đơn vị của 𝐺ỏ.
A, Giả sử ữ là đặc trưng chính của 𝑇, õ là đỉnh của ữ, cái thu hẹp ữ′
của ữ trên 𝐺õ là một đặc trưng của 𝐺õ .
Với mỗi 𝑠 ∈ 𝑇. ữ 𝑠 = ữ′ 𝑠𝑒õ nếu s𝑒õ ∈ 𝐺õ.
0 trong trường hợp khác. (4).
B, Với õ ∈ 𝑌, ữ′ là đặc trưng bất kỳ của 𝐺õ, thế thì (4) xác định một đặc trưng chính ữ của 𝑇 với đỉnh õ và trùng với ữ′ trên 𝐺õ.
C, Nếu điều kiện tối tiểu đúng với 𝑌 thì mỗi đặc trưng của 𝑇 là đặc trưng chính.
Chứng minh:
Ta có 𝑇 =∪ 𝐺ỏ /ỏ∈ 𝑌
ữ: 𝑇 ⟶ ℂ thỏa mãn ữ 𝑎𝑏 =ữ 𝑎 .ữ 𝑏 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑇
Nguyễn Thị Thu 47 K31G – SP Toán 𝑎 ⟶ ữ 𝑎 .
Khi đó ∃! õ ∈ 𝑌: ỏ> õ và ữ 𝑒ỏ = 1.
ữ′: 𝐺õ ⟶ ℂ ; 𝑎 ⟼ ữ′ 𝑎 = ữ(𝑎).
A, Dễ thấy ữ′ là một đặc trưng của 𝐺õ. Giờ ta chứng minh (4).
Nếu s𝑒õ ∈ 𝐺õ ⇒ ữ 𝑠 = ữ 𝑠 . 1 = ữ 𝑠 .ữ 𝑒õ =ữ 𝑠𝑒õ = ữ′ 𝑠𝑒õ . Nếu s𝑒õ ∉ 𝐺õ, 𝑠 ∈ 𝐺õ, nên s𝑒õ ∈ 𝐺ỏõ với ỏõ < õ ⇒ ữ 𝑠𝑒õ = 0.
B, Nếu 𝑠𝑒õ, 𝑡𝑒õ ∈ 𝐺õ ⇒ 𝑠𝑒õ. 𝑡𝑒õ = (𝑠𝑡)𝑒õ ⇒ ữ 𝑠𝑡 = ữ′ 𝑠𝑡 𝑒õ =ữ′( 𝑠𝑒õ 𝑡𝑒õ )
=ữ′ 𝑠𝑒õ .ữ′ 𝑡𝑒õ = ữ 𝑠 .ữ 𝑡 ∀ 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇.
Tức ữ là một đặc trưng của 𝑇.
Nếu không phải cả 2 đều thuộc 𝐺õ, giả sử s𝑒õ ∉ 𝐺õ, 𝑠 ∈ 𝐺ỏ
⇒s𝑒õ ∈ 𝐺ỏõ ỏõ < õ
⇒ s𝑡𝑒õ ∉ 𝐺õ ⇒ ữ 𝑠𝑡 = ữ 𝑠 .ữ 𝑡 = 0.
Suy ra ữ là một đặc trưng chính của 𝑇.
C, Giả sử ữ là một đặc trưng chính của 𝑇, theo giả thiết tồn tại phần tử tối tiểu õ của 𝑌 sao cho ữ không triệt 𝐺ỏ thì:
ữ 𝑒ỏõ = ữ 𝑒ỏ. 𝑒õ = ữ(𝑒ỏ).ữ 𝑒õ = 1.
Vì ỏõ ≤ õ, õ là phần tử tối tiểu nên suy ra ỏõ = õ, (theo tính chất của nửa đàn) vậy ỏ≥ õ (định nghĩa của thứ tự bộ phận tự nhiên).
Ngược lại nếu ỏ≥ õ ⇒ 𝑒ỏ. 𝑒õ = 𝑒õ ⇒ ữ 𝑒ỏ = 1.
Suy ra ữ là đặc trưng chính với đỉnh õ. ∎