Định nghĩa 2.2.1 Đại số nửa nhóm Cho 𝑆 là nửa nhóm, ệ là một trường
ệ 𝑆 = 𝑖∈𝐼ỏ𝑖𝑠𝑖 \ỏ𝑖 ∈ệ , 𝑠𝑖 ∈ 𝑆, 𝐼 là một tập hữu hạn
Đại số ệ [𝑆]của 𝑆 trên ệ là một đại số trên ệ chứa một tập con 𝑆 đồng thời là cơ sở của ệ [𝑆] và là một nửa nhóm con của ệ 𝑆 đẳng cấu với 𝑆.
Ta đồng nhất 𝑆 với 𝑆 như vậy ta coi ệ 𝑆 là đại số trên ệ chứa 𝑆 là cơ sở và nửa nhóm con.
Cho 𝑇 là một tập con của 𝑆, kí hiệu ệ 𝑇 là không gian con của ệ 𝑆
“căng” bởi 𝑇. Khi đó ệ 𝑇 = 𝑖∈𝐼ỏ𝑖𝑡𝑖 \ỏ𝑖 ∈ ệ , 𝑡𝑖 ∈ 𝑇, 𝐼 là một tập hữu hạn . Qui ước: ệ[∅] = 0, ệ 𝑇 là đại số con (iđêan) của ệ 𝑆 khi và chỉ khi 𝑇 là nửa nhóm con (iđêan) của 𝑆.
VD: 𝑆 là nửa nhóm xyclíc vô hạn sinh bởi 𝑥. Khi đó ệ [𝑆1] = ệ[𝑥].
Định nghĩa 2.2.2
𝑆 là nửa nhóm với phần tử không 𝑧, đại số co rút của 𝑆 trên ệ. Kí hiệu là ệ 0[𝑆]. Là một đại số trên ệ chứa cơ sở 𝐵 sao cho 𝐵 ∪ 0 là một nửa nhóm con của ệ 0[𝑆] đẳng cấu với 𝑆.
VD: 1, ệ 𝑆 ệ 𝑧 là đại số co rút với 𝐵 = 𝑠 + ệ [𝑧] 𝑠 ∈ 𝑆\𝑧 2, 𝑆 là nửa nhóm các 𝑛ì𝑛 ma trận đơn vị, tức
𝑆 = 𝑒𝑖𝑗 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛 ∪ 𝑧 . Với phép (∙) xác định: 𝑒𝑖𝑗 ∙ 𝑒𝑘𝑙 = 𝑒𝑖𝑙 nếu k=j
𝑧 nếu k≠j . Suy ra ệ0[𝑆] ≅ (ệ)𝑛.
Bổ đề 2.2.3
Nguyễn Thị Thu 27 K31G – SP Toán Giả sử 𝑇 là một iđêan của 𝑆, thế thì ệ [𝑆] ệ [𝑇] đẳng cấu với đại số co rút ệ 0[𝑆/𝑇]của 𝑆 𝑇 trên ệ.
Chứng minh:
Ta thấy tập 𝐵 = 𝑠 +ệ [𝑇] 𝑠 ∈ 𝑆\𝑇 là cơ sở của ệ [𝑆] ệ [𝑇] và 𝐵 ∪ 0 + ệ [𝑇] ≅ 𝑆/𝑇, vậy 𝐵 cũng là cơ sở của ệ 0[𝑆/𝑇].
Vậy ta có điều phải chứng minh. ∎ Bổ đề 2.2.4
Giả sử 𝑆 là nửa nhóm hữu hạn với phần tử không 𝑧. Thế thì ệ 𝑆 khi và chỉ khi ệ 0[𝑆] là nửa đơn.
Chứng minh:
ệ 𝑧 là đại số một chiều và đẳng cấu với ệ , suy ra ệ [𝑧] là nửa đơn.
Vì ệ 0 𝑆 ≅ệ [𝑆]/ệ[𝑧], nên ta có điều phải chứng minh. ∎ Định lí 2.2.5
Đại số ệ [𝑆] của một nửa nhóm hữu hạn 𝑆 trên ệ là nửa đơn khi và chỉ khi đại số ệ [𝑆𝑖 𝑆𝑖+1] của một trong các thương chính của 𝑆 trên ệ là nửa đơn.
Với 𝑆 = 𝑆1 ⊃ 𝑆2 ⊃. . . ⊃ 𝑆𝑛 ⊃ 𝑆𝑛+1 = ∅ (1) là chuỗi chính của nửa nhóm 𝑆.
Chứng minh:
Tương ứng với chuỗi (1) ta có chuỗi các iđêan của ệ [𝑆]
ệ 𝑆 = ệ 𝑆1 ⊃ệ 𝑆2 ⊃ ⋯ ⊃ ệ 𝑆𝑛 ⊃ệ[𝑆𝑛+1] = 0.
Theo bổ đề 2.2.3 ta có ệ [𝑆𝑖] ệ [𝑆𝑖+1] ≅ ệ 0[𝑆𝑖/𝑆𝑖+1] ∀𝑖 = 1, 𝑛 − 1 . Mặt khác theo bổ đề 2.1.6 ệ [𝑆] là nửa đơn khi và chỉ khi ệ [𝑆𝑖] ệ [𝑆𝑖+1] là nửa đơn. Theo bổ đề 2.2.4 ta có điều phải chứng minh. ∎
Hệ quả 2.2.6
Nếu ệ[𝑆] là nửa đơn thì 𝑆 là nửa đơn.
Nguyễn Thị Thu 28 K31G – SP Toán Chứng minh:
Giả sử 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 là một thương chính của 𝑆 khi đó ệ 0[𝑆𝑖 𝑆𝑖+1] là nửa đơn.
Ta biết rằng mỗi thương chính của một nửa nhóm 𝑆 hoặc là 0 −đơn hoặc là một nửa nhóm với phép nhân không.
Nếu 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 là nửa nhóm với phép toán nhân không thì ệ 0[𝑆𝑖 𝑆𝑖+1] là đại số với phép nhân không, khi đó nó không thể là nửa đơn.
Vậy mỗi thương chính của 𝑆 đều là 0 −đơn. Theo định nghĩa 1.1.20 suy ra 𝑆 là nửa đơn. ∎
Hệ quả 2.2.7
Nếu 𝑆 có chuỗi chính (1) và ệ [𝑆] là nửa đơn. Khi đó 𝒞ℓ ệ 𝑆 = 𝑛𝑖=1𝒞ℓ(ệ 0[𝑆𝑖 𝑆𝑖+1]).
Từ định lí 2.2.5 và hệ quả 2.2.6 , ta thấy rằng để tìm điều kiện cần và đủ cho ệ [𝑆] là nửa đơn ta chỉ cần xét cho trường hợp 𝑆 là 0 −đơn.
Giả sử 𝑆 là 0 −đơn hữu hạn, như vậy 𝑆 là 0 −đơn hoàn toàn. Theo định lí 1.2.4 𝑆 ≅ ℳ0(𝐺; 𝑚, 𝑛; 𝑃).
Bổ đề 2.2.8
Đại số co rút ệ 0[𝑆] của 𝑆 = ℳ0(𝐺; 𝑚, 𝑛; 𝑃) trên ệ đẳng cấu với đại số Man ℬ = ℳ(ệ 𝐺 ; 𝑚, 𝑛; 𝑃).
Chứng minh:
Giả sử ta đồng nhất các phần tử không của 𝐺 và ệ [𝐺] và các phần tử không của 𝑆 và ℬ . Vì 𝐺 ⊆ ệ 𝐺 nên suy ra 𝑆 ⊆ ℬ.
𝐴 ∈ ℬ, A= (𝑎𝑖ở) với 𝑎𝑖ở ∈ ệ[𝐺] . 𝑎𝑖ở = ỏọ;𝑖,ở. 𝑔ọ (ỏọ;𝑖,ở ∈ ệ ), ⇒ 𝐴 = 𝑟ọ=1 𝑚𝑖=1 𝑛ở=1ỏọ;𝑖,ở. (𝑔ọ )𝑖ở
Nguyễn Thị Thu 29 K31G – SP Toán Vậy mỗi phần tử thuộc ℬ là một tổ hợp tuyến tính khác không (𝑔ọ )𝑖ở ∈ 𝑆 với hệ số thuộc ệ.
Do 𝑆\0 là độc lập tuyến tính trên ệ, nên nó là cơ sở của ℬ.
Vậy ta có điều phải chứng minh. ∎ Bổ đề 2.2.9
Đại số Man ℬ = ℳ 𝒜; 𝑚, 𝑛; 𝑃 trên đại số 𝒜 hữu hạn chiều trên ệ chứa một phần tử đơn vị khi và chỉ khi 𝒜 chứa một phần tử đơn vị và 𝑃 không suy biến.
Trong trường hợp này ánh xạ 𝐴 ⟼ 𝐴𝑃 là một đẳng cấu từ ℬ lên (𝒜)𝑛.
Chứng minh:
Giả sử ℬ có một phần tử đơn vị 𝐸, thế thì 𝑋. 𝐸 = 𝑋𝑃𝐸 = 𝑋
𝐸. 𝑌 = 𝐸𝑃𝑌 = 𝑌 ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ ℬ. Ta chứng minh 𝑚 = 𝑛.
Thật vậy:
Nếu 𝑛 > 𝑚 theo định lí 2.1.21, tồn tại ma trận 𝑋 ≠ 0 cấp 𝑚ì𝑛 trên 𝒜 sao cho 𝑋. 𝑃 = 0 mâu thuẫn với 𝑋𝑃𝐸 = 𝑋.
Tương tự với 𝑚 > 𝑛, tồn tại ma trận 𝑌 ≠ 0 cấp 𝑚ì𝑛 trên 𝒜 mà 𝑃. 𝑌 = 0 mâu thuẫn với 𝐸𝑃𝑌 = 𝑌.
Vậy 𝑃 không có ước bên phải và bên trái của không trong (𝒜)𝑛. Theo định lí 2.1.20, 𝒜 là đơn vị và 𝑃 không suy biến.
Ngược lại giả sử 𝒜 có đơn vị và 𝑃 không suy biến. Theo định nghĩa của ma trận không suy biến suy ra 𝑚 = 𝑛.
Giả sử 𝑃−1 là nghịch đảo của 𝑃 trong (𝒜)𝑛. Suy ra 𝐸 = 𝑃−1 là đơn vị của ℬ.
Nguyễn Thị Thu 30 K31G – SP Toán Nếu 𝒜 có đơn vị và P không suy biến thì ℬ ≡ (𝒜)𝑛 và ánh xạ 𝐴 ⟶ 𝐴𝑃 là một đẳng cấu từ ℬ lên(𝒜)𝑛.
Thật vậy: ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ ℬ ta có 𝐴 ⟶ 𝐴𝑃, 𝐵 ⟶ 𝐵𝑃 𝐴. 𝐵 ⟶ 𝐴. 𝐵 𝑃 = 𝐴𝑃𝐵 𝑃 = 𝐴𝑃 (𝐵𝑃).
Vậy ánh xạ trên là đồng cấu.
Nó là song ánh do 𝑃 không suy biến.
Vậy ta có điều phải chứng minh. ∎ Định lí 2.2.10
Đại số Man ℬ = ℳ(𝒜; 𝑚, 𝑛; 𝑃) trên đại số 𝒜 hữu hạn chiều trên ệ là nửa đơn khi và chỉ khi 𝒜 là nửa đơn và 𝑃 không suy biến. Trong trường hợp đó ℬ ≅ (𝒜)𝑛.
Chứng minh:
Ta biết rằng một đại số nửa đơn hữu hạn chiều thì chứa một phần tử đơn vị.
Như vậy theo định lí 2.2.9 nếu ta giả thiết ℬ là nửa đơn hoặc 𝒜 là nửa đơn và 𝑃 không suy biến thì ánh xạ 𝐴 ⟼ 𝐴𝑃 là một đẳng cấu.
Vậy ℬ ≅ (𝒜)𝑛.
Vì (𝒜)𝑛 là nửa đơn khi và chỉ khi 𝒜 là nửa đơn.
Vậy ta có điều phải chứng minh. ∎ Định lí 2.2.11
Giả sử Ã là biểu diễn trung thành của đại số đơn 𝒜, 𝑃 là một ma trận cấp 𝑛ì𝑛 trên 𝒜. Thế thì 𝑃 không suy biến khi và chỉ khi Ã𝑛 𝑃 không suy biến. Với Ã𝑛 𝑃 = (Ã(𝑃𝑖𝑗)).
Chứng minh:
Giả sử 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ (𝒜)𝑛.
Nếu Ã𝑛 𝐴 = 0 ⇒ Ã 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀ 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛
Nguyễn Thị Thu 31 K31G – SP Toán Vì Ã là biểu diễn trung thành nên 𝑎𝑖𝑗 = 0 ⇒ 𝐴 = 0
Vậy biểu diễn Ã𝑛 của (𝒜)𝑛 cũng là biểu diễn trung thành.
Vậy suy ra à 𝑛 𝑃 không suy biến. ∎ Định lí 2.2.12
Giả sử {Ãọ\ ọ = 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của đại số nửa đơn 𝒜 trên trường ệ. Giả sử 𝑃 ∈ (𝒜)𝑛, thế thì P không suy biến khi và chỉ khi Ãọ𝑛 𝑃 không suy biến với ∀ ọ= 1, 𝑐 .
Chứng minh:
Giả sử Ã là biểu diễn chính qui của 𝒜. Khi đó theo định lí biểu diễn cơ bản đối với các đại số nửa đơn thì Ã có dạng “ô kẻ chéo”, mỗi Ãọ có mặt ít nhất một lần trong Ã𝑖, ∀𝑖 = 1, 𝑛 .
Như vậy Ã𝑛 có thể chuyển tới dạng “ô kẻ chéo” mỗi Ãọ được thay thế bởi Ãọ𝑛. Vì vậy Ã𝑛 𝑃 không suy biến khi và chỉ khi Ãọ𝑛 𝑃 không suy biến
∀ ọ= 1, 𝑐
Theo bổ đề 2.2.11 suy ra điều phải chứng minh. ∎ Định lí 2.2.13
Giả sử {Ãọ/ọ= 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của một đại số nửa đơn 𝒜 trên trường ệ, giả sử 𝑃 ∈ (𝒜)𝑛 là ma trận không suy biến. Với mỗi 𝐴 ∈ ℬ = ℳ(𝒜; 𝑚, 𝑛; 𝑃), giả sử Ã′ọ 𝐴 = Ãọ𝑛 𝐴𝑃 thế thì
{Ã′ọ/ọ = 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của ℬ.
Chứng minh:
Từ giả thiết suy ra {Ãọ𝑛;ọ= 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của (𝒜)𝑛.
Nguyễn Thị Thu 32 K31G – SP Toán Theo định lí 2.2.10 thì ℬ là nửa đơn và ánh xạ 𝐴 ⟼ 𝐴𝑃 là một đẳng cấu từ ℬ lên(𝒜)𝑛. Vậy mỗi Ã′ọ là một biểu diễn của ℬ.
{Ãọ𝑛;ọ = 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của (𝒜)𝑛
Mà Ã′ọ 𝐴 = Ãọ𝑛 𝐴𝑃 suy ra {Ã′ọ/ọ= 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của ℬ.
Ta có điều phải chứng minh. ∎
Giờ ta đi xác định tất cả các biểu diễn bất khả qui của nửa nhóm 𝑆 trên trường ệ.
Định lí 2.2.14
Giả sử 𝑆 = ℳ0(𝐺; 𝑚, 𝑛; 𝑃) trên nhóm hữu hạn 𝐺 mà cấp của 𝐺 không chia hết đặc số của ệ.
P là ma trận không suy biến, coi 𝑃 ∈ ệ[𝐺].
Giả sử {Ãọ ọ= 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của 𝐺 trên trường ệ. Với mỗi (𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑆.
Ta định nghĩa:
Ã′ọ(𝑎)𝑖𝑗 = Ãọ𝑛 𝑎 𝑖𝑗𝑃 = 𝑛𝑘=1Ãọ𝑛((𝑎𝑝𝑗𝑘)𝑖𝑘). (2) Thế thì {Ãọ′ ọ = 1, 𝑐 } là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui không tương đương của 𝑆 trên ệ ánh xạ không của 𝑆 lên ma trận không bậc thích hợp trên ệ.
Chứng minh:
Theo bổ đề 2.2.8 và định lí 2.2.13 ta có ngay điều phải chứng minh cho các mệnh đề của định lí trừ phép toán (2).
Giờ ta đi kiểm tra phép toán (2).
Ta biết rằng theo định nghĩa tích ma trận thì 𝑎 𝑖𝑗𝑃 là ma trận mà dòng thứ 𝑖 là: 𝑎𝑝𝑗1, 𝑎𝑝𝑗2, … , 𝑎𝑝𝑗𝑛 còn các dòng khác đều là 0.
Nguyễn Thị Thu 33 K31G – SP Toán Suy ra trong (ệ[𝐺])𝑛 , 𝑎 𝑖𝑗𝑃, là tổng của 𝑛 ma trận Rixơ (𝑎𝑝𝑗𝑘 )𝑖𝑘 (𝑘 = 1, � ).
Suy ra Ãọ𝑛 𝑎 𝑖𝑗𝑃 = Ãọ𝑛 𝑛𝑘=1(𝑎𝑝𝑗𝑘)𝑖𝑘 = 𝑛𝑘=1Ãọ𝑛((𝑎𝑝𝑗𝑘)𝑖𝑘). Vậy ta có điều phải chứng minh. ∎