Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn

Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lêi nãi ®Çu Mét sè vÝ dơ vỊ nhãm tác động nhóm 1.1 1.2 Tác động nhóm 1.3 Nhãm ®èi xøng Các khái niệm đại số së cđa phÐp biĨu diƠn nhãm 2.1 PhÐp biĨu diƠn tuyến tính 2.2 Biểu diễn tương đương 2.3 2.4 Nhãm ma trËn C¸c vÝ dơ 10 10 12 13 Tổng tích tenxơ phép biểu diễn - PhÐp biĨu diƠn th­¬ng 16 2.4.1 Tỉng cđa phÐp biĨu diƠn 2.4.2 TÝch tenx¬ cđa phÐp biĨu diƠn 16 17 2.4.3 PhÐp biĨu diƠn ®èi ngÉu 18 2.4.4 PhÐp biĨu diƠn th­¬ng 18 19 23 2.5 Phân tích bất khả quy phép biểu diễn 2.6 Đặc trưng phép biểu diễn hữu hạn Biểu diễn nhóm hữu hạn công thức Frobenius 3.1 3.2 3.3 3.4 Đặc trưng hệ trùc chn BiĨu diƠn chÝnh quy 24 24 28 29 Hệ trực chuẩn đặc trưng số biểu diễn bất khả quy ứ ng dông 32 Tài liệu tham khảo 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lêi nãi ®Çu Lý thut biĨu diƠn nhãm cã ngn gèc tõ lý thuyết đặc trưng nhóm abel phát biểu cho nhóm cyclic Gauss, Dirichlet sau mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn Frobenius Stickelberger Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn phát biểu vào cuối kỷ XIX công trình Frobenius, Schur Burnside Nói cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu cách mà nhóm tác động không gian véctơ tự đẳng cấu tuyến tính Lý thuyết biểu diễn nhóm không phần quan trọng đại số đại mà có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết số, tổ hợp vật lý Mục đích luận văn đọc hiểu trình bày lại số kiến thức lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn trình bày chứng minh B.Zagier công thức Frobenius Bố cục luận văn gồm ba chương: Chương Một số ví dụ nhóm tác động nhóm nhắc lại số khái niệm như: Trong chương Nhóm ma trận, tác động nhóm, nhóm đối xứng Những kiến thức sử dụng phần lại luận văn Chương Các khái niệm đại số sở phép biểu diễn nhóm Trong chương trình bày khái niệm số ví dụ đơn giản để minh hoạ cho khái niệm phép biểu diễn nhóm Chương Biểu diễn nhóm hữu hạn công thức Frobenius chương luận văn Đây Trong chương trình bày lại số kết lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn đặc biệt dà trình bày lại chứng minh công thức Frobenius thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, TS Vũ Thế Khôi, nhờ hướng dẫn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn bảo tận tình nghiêm khắc thầy mà luận văn đà hoàn thành cách khoa học tiến độ Xin chân thành cảm ơn thầy cô công tác Viện Toán, trường Đại học thuộc Đại học Thái Nguyên đà trực tiếp giảng dạy quan tâm Xin cảm ơn anh Phạm Hồng Nam, giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình đà động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Học Viên Trần Danh Tuyên S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Một số ví dụ nhóm tác động nhóm Ta nhắc lại số kiến thức cần dùng luận văn 1.1 Nhóm ma trận Cho cấp C trường số phức, kí hiệu mìn C trường hợp định Mm,n (C) m = n Mm,n (C) lập nên ta kí hiệu tập hợp tất ma trận C-không Mn (C) gian véc tơ thay cho mìn Mn,n (C) chiều, Ta x¸c nhãm tuyÕn tÝnh: GL(n, C) := {A ∈ Mn (C), detA 6= 0} Ta xác định nhóm tuyến tính ®Ỉc biƯt, SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1} Ta xác định nhóm trực giao: O(n) := {A ∈ Mn (R); t AA = En }, cho n=p+q , ta có: O(p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }, Dp,q ma aii = 1, i = p + 1, n trận đường Và xác định chéo mà aii = 1, i = 1, p nhãm unita: U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En } Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn nhóm khả nghịch Cho n=p+q nhóm U (p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q } Từ nhóm O(n) ta xác định ®­ỵc nhãm SO(n) cđa nhãm O(n) nh­ sau: SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1} A(n) := {D(a1 , , an ); a1 , , an ∈ C∗ } phần tử 1.2 a1 , , an ma trận đường chéo với nằm đường chéo Tác động nhóm Trong phần cho G nhóm, phần tử đơn vị e tập Định nghĩa 1.2.1 G gọi tác động trái tồn ánh xạ Gì (g, x) g à x thoả mÃn điều kiÖn sau: i) ii) g · (g · x) = (gg ) · x e·x=x víi mäi g, g G, x Chú ý: Đặt Aut tập hợp tất song ánh từ vào từ định nghĩa ta ®ång cÊu nhãm ϕ :G → Autχ g 7→ g à x ã Trong trường hợp ã Tác động nhóm gọi cho G tác động trái bắc cầu ta gọi cặp x, x0 Gtập trái tồn x0 = g · x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn g∈G ã Với x0 ta xác định ®­ỵc tËp G · x0 cđa χ : G · x0 := {g · x0 ; g ∈ G}, G à x0 ã gọi Với x0 G quỹ đạo (chứa x0 ) ta xác định nhóm Gx0 := {g G, g à x0 = x0 } gọi Ví dụ 1.2.2 trái nhóm đẳng hướng Cho hay G = GL(n, C) nhóm ổn định Cn x0 , ta xác định tác động ánh xạ: Gì (A, x) 7→ A · x víi mäi x ∈ Cn Định nghĩa 1.2.3 nhóm G gọi tác động bắc cầu Định nghĩa 1.2.4 đạo x∈χ Mét tËp χ vµ cho Chó ý: χG Với tập, ta xác định /G G có cấu trúc đại số, ví dụ tập ®iĨm bÊt ®éng víi mäi nÕu cã mét cđa gÃx=x Nếu G không gian hay G tập G quỹ , nghĩa tập phần tử gG không gian véc tơ trường hợp ánh xạ: :G x g à x tuyến tính với Định nghĩa 1.2.5 xạ ánh xạ x f gG Cho gọi đẳng biến G hay tập trái Gđồng cấu f : ánh với gG , ta cã : g · f (x) = f (g · x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn vµ Cho H nhóm G , ta định nghĩa nhãm cđa G H lµ NG (H) := {g ∈ G; gHg −1 = H} Râ rµng Aut(G/H) chuẩn tắc hoá NG (H) nhóm chuẩn tắc tối đại đẳng cấu với NG (H)/H G , gọi nhóm Ta xác định nhóm CG (H) := {g ∈ G; ghg −1 = h, ∀h ∈ H} H H nhóm tâm G Trong trường hợp đặc biệt H=G nhóm tâm hoá xác định bởi: CG (G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G) Hoàn toàn tương tự ta có nhóm tác động phải nhóm G tập : Định nghĩa 1.2.6 G gọi tác động phải tồn ánh xạ Gì (g, x) x à g thoả mÃn ®iỊu kiƯn sau: i) ii) (x · g) · g = x · (gg ) x · e = x ∀x ∈ χ, g, g ∈ G Chú ý: , Ta đưa nhóm tác động phải tác động trái ngược lại nhờ phản đẳng cấu: GG g g Do cho G tập phải tác động tr¸i cho bëi: g · x := x · g −1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.3 Nhãm ®èi xøng Sn Định nghĩa 1.3.1 Nhóm đối xứng n nhóm tạo song ánh Rõ ràng Aut {1, 2, , n} nhóm hoán vị, nghĩa phần tử nhóm song ánh từ tập Sn = Autn vào tập dạng , chọn n := Chú ý: ã Số phần tử nhóm ã Mỗi phần tử Sn Sn #Sn = n! viết tích chuyển vị, nghĩa hoán vị có hai phần tử chuyển chỗ cho ã Cho Sn , ta xác định hàm dấu Sign(σ) := ε(σ) := • σ bëi: σ(i) − σ(j) i j 1i