Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn

Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

*****************

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN

Thái Nguyên - 2009

Lời nói đầu 2

2.4.2 Tích tenxơ của phép biểu diễn 17

2.4.3 Phép biểu diễn đối ngẫu 18

2.4.4 Phép biểu diễn thương 18

2.5 Phân tích bất khả quy của một phép biểu diễn 19

2.6 Đặc trưng của phép biểu diễn hữu hạn 23

3 Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius 243.1 Đặc trưng hệ trực chuẩn 24

3.2 Biểu diễn chính quy 28

3.3 Hệ trực chuẩn các đặc trưng và số các biểu diễn bất khả quy 293.4 ứng dụng 32

Tài liệu tham khảo 35

Lời nói đầu

Lý thuyết biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng củanhóm abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sauđó mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger Lýthuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷ XIX trongcác công trình của Frobenius, Schur và Burnside.

Nói một cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu các cáchmà một nhóm tác động trên không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyếntính Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trong đạisố hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số, tổ hợpvà cả vật lý.

Mục đích của luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một số kiến thức cơbản trong lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và trình bày chứng minh củaB.Zagier công thức Frobenius.

Bố cục của luận văn của chúng tôi gồm ba chương:

Chương 1 Một số ví dụ về nhóm và tác động nhóm Trong chương nàychúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản như: Nhóm ma trận, tác độngnhóm, nhóm đối xứng Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong phần cònlại của luận văn.

Chương 2 Các khái niệm đại số cơ sở của phép biểu diễn nhóm Trongchương này chúng tôi trình bày các khái niệm và một số ví dụ đơn giản đểminh hoạ cho các khái niệm của phép biểu diễn nhóm.

Chương 3 Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius Đây làchương chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày lại mộtsố kết quả cơ bản của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn và đặc biệt làchúng tôi dã trình bày lại một chứng minh của công thức Frobenius thôngqua lý thuyết biểu diễn nhóm.

Qua đây, tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người thầy,người hướng dẫn khoa học của mình, TS Vũ Thế Khôi, nhờ sự hướng dẫn

chỉ bảo tận tình và nghiêm khắc của thầy mà luận văn đã được hoàn thànhmột cách khoa học và đúng tiến độ Xin chân thành cảm ơn các thầy cô côngtác tại Viện Toán, tại các trường Đại học thuộc Đại học Thái Nguyên đã trựctiếp giảng dạy và quan tâm Xin cảm ơn anh Phạm Hồng Nam, giảng viênkhoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, cảm ơn bạn bè đồngnghiệp và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tậpvà nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009Học Viên

Trần Danh Tuyên

GL(n, C) := {A ∈ Mn(C), detA 6= 0}.Ta xác định nhóm tuyến tính đặc biệt,

SL(n, C) := {A ∈ Mn(C); detA = 1}.Ta cũng xác định nhóm trực giao:

O(n) := {A ∈ Mn(R); tAA = En},và cho n = p + q, thì ta có:

O(p, q) := {A ∈ Mn(R); tADp,qA = Dp,q},

trong đó Dp,q là các ma trận đường chéo mà aii = 1, ∀i = 1, p và cácaii = −1, ∀i = p + 1, n Và xác định nhóm unita:

U (n) := {A ∈ Mn(C); tAA = En}

SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}.

A(n) := {D(a1, , an); a1, , an ∈ C∗} là ma trận đường chéo với cácphần tử a1, , an nằm trên đường chéo.

i) g ã (g0 ã x) = (gg0) ã xii) e ã x = x

với mọi g, g0 ∈ G, x ∈ χ.

Chú ý: Đặt Autχ là tập hợp tất cả các song ánh từ χ vào χ thì từ địnhnghĩa ta được đồng cấu nhóm

ϕ :G → Autχg 7→ g ã x

• Trong trường hợp G tác động trái trên χ ta cũng gọi χ là G−tập trái.•Tác động nhóm được gọi là bắc cầu nếu mọi cặp x, x0 ∈ χthì tồn tại g ∈ Gsao cho x0 = g ã x

6• Với mọi x0 ∈ χ ta xác định được tập con G ã x0 của χ:

G ã x0 := {g ã x0; g ∈ G},G ã x0 được gọi là G quỹ đạo(chứa x0).

• Với mọi x0 ∈ χ ta xác định được nhóm con của χGx0 := {g ∈ G, g ã x0 = x0}

và được gọi là nhóm đẳng hướng hay nhóm ổn định của x0.

Ví dụ 1.2.2 Cho G = GL(n, C) và χ ⊆ Cn, ta xác định được một tác độngtrái trên χ bởi ánh xạ:

G ì χ → χ(A, x) 7→ A ã xvới mọi x ∈ Cn.

Định nghĩa 1.2.3 Một tập χ được gọi là không gian thuần nhất nếu có mộtnhóm G tác động bắc cầu trên χ.

Định nghĩa 1.2.4 Với mọi G−tập, ta xác định χ/G hay χGlà tập các G−quỹđạo trong χ và χG là tập các điểm bất động của G, nghĩa là tập các phần tửx ∈ χ sao cho g ã x = x với mọi g ∈ G.

Chú ý: Nếu χ có cấu trúc đại số, ví dụ nếu χ là không gian véc tơ thìtrong trường hợp này ánh xạ:

λ :G → χx 7→ g ã xlà tuyến tính với mỗi g ∈ G.

Định nghĩa 1.2.5 Cho χ và χ0 là các G−tập trái và f : χ → χ0 là một ánhxạ ánh xạ f được gọi là đẳng biến hay G−đồng cấu nếu với mọi g ∈ G vàx ∈ χ, ta có :

g ã f (x) = f (g ã x).

Cho H là một nhóm con của G, ta định nghĩa nhóm con của G trong Hlà

NG(H) := {g ∈ G; gHg−1 = H}.

Rõ ràng NG(H) là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G trong H và nhómAut(G/H) là đẳng cấu với NG(H)/H Ta cũng xác định được nhóm conchuẩn tắc CG(H) := {g ∈ G; ghg−1 = h, ∀h ∈ H}, được gọi là nhóm tâmhoá của H trong G.

Trong trường hợp đặc biệt H = G nhóm tâm hoá xác định bởi:CG(G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G).

Hoàn toàn tương tự như vậy ta cũng có nhóm tác động phải của một nhómGtrên tập χ:

Định nghĩa 1.2.6 G được gọi là tác động phải trên χ nếu tồn tại ánh xạ

G ì χ → χ(g, x) 7→ x ã gthoả mãn các điều kiện sau:

Do đó cho χ là G−tập phải thì được tác động trái cho bởi:g ã x := x ã g−1.

ε :Sn → {−1, 1}σ 7→ ε(σ)

là đồng cấu nhóm Trong đó {−1, 1} là nhóm con của nhóm nhân R∗ =R \ {0} Kerε là nhóm con chuẩn tắc và được gọi là nhóm luân phiên.• Một nhóm hoán vị luôn phân tích được thành tích của các xích nghĩa làmột hoán vị (i1, , ir) với ij 7→ ij+1 với j < r và ir 7→ i1 nếu r > 1 và làđồng nhất nếu r = 1.

• Mỗi một hoán vị có một phân tích duy nhất thành một tích các xích rờinhau.

Định nghĩa 1.3.2 Một phân hoạch của n là một dãy (n1, , nr) là các số tựnhiên ni ∈ N với ni ≥ nj nếu i < j và P ni = n.

Định lý 1.3.3 ([4] Định lý 0.1 ) Số lớp liên hợp của Sn bằng số p(n) cácphân hoạch của n.

VÝ dô 1.3.4 Cho n = 3 v×

3 = 1 + 1 + 13 = 2 + 1

π(gg0) = π(g)π(g0), ∀g, g0 ∈ G.

AutV được kí hiệu bởi GL(V ) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của V Trong trường hợp V là một C- không gian véc tơ hữu hạn chiều vớidim V = nthì ta nói π có bậc là n hoặc π là phép biểu diễn n chiều

Cho B = (v1, , vn) là một cơ sở của V thì với mọi F ∈ AutV được biểudiễn trong cơ sở B bởi một ma trận khả nghịch A cấp n ì n, A := MB(F ),ta có một đẳng cấu của các không gian véc tơ V ' Cn và đẳng cấu nhómAutV ' GL(n, C) Do đó ta có một phát biểu khác tương đương với địnhnghĩa trước.

Định nghĩa 2.1.2 Một phép biểu diễn tuyến tính n chiều của một nhóm Glà một phép liên kết mỗi g ∈ G với một ma trận π(g) = A(g) ∈ GL(n, C)thoả mãn:

A(gg0) = A(g)A(g0), ∀g, g0 ∈ G.

Vì mọi đồng cấu nhóm biến phần tử đơn vị của nhóm này thành phần tửđơn vị của nhóm kia, nên rõ ràng π biến ma trận En thành phần tử đơn vị ecủa nhóm G và rõ ràng ta có π(e) = idV trong trường hợp tổng quát.

Nếu G là nhóm ma trận G ⊂ GL(n, C) như trong phần 1.1, chúng ta cómột phép biểu diễn tự nhiên π0 cho bởi:

π0(A) = Avới mỗi A ∈ G.

Định nghĩa 2.1.3 Cho π là một phép biểu diễn tuyến tính của G trong V πđược gọi là biểu diễn bất khả quy nếu nó không có không gian con π− bấtbiến V0 trong V

Một không gian con V0 ⊂ V là π− bất biến nếu ta cóπ(g)(v0) ∈ V0, ∀g ∈ G, ∀v0 ∈ V0.

Trong trường hợp, π0 := π |V0 là một phép biểu diễn của G trong V0 thìπ0 được gọi là phép biểu diễn con.

Do đó ta nói rằng π là biểu diễn bất khả quy nếu π không có phép biểudiễn con thực sự.

• Cho V là không gian unita phức, nghĩa là V được trang bị một tích vôhướng:

< , >:V ì V → C(v, v0) 7→< v, v0 >thoả mãn 3 tính chất:

i) Tuyến tính theo biến thứ hai và phản tuyến tính theo biến thứ nhất

12ii) Là dạng Hemitian, nghĩa là với mọi v, v0 ∈ V ta có

V −−→ VF 0

V −−→ VF 0

π và π0 được gọi là tương đương nếu có một đẳng cấu F : V → V0 bện π vàπ0 trong trường hợp đó viết là π ∼ π0.

Nhận xét: Không gian của những toán tử bện giữa π và π0 là một khônggian véc tơ trên trường C Nó được định nghĩa bởi HomG(V, V0) hoặcC(V, V0) Hơn nữa chúng ta thường sử dụng kí hiệu C(V ) := C(V, V )và

c(π, π0) = c(V, V0) = dim C(V, V0)

và c(π, π0) cũng được gọi là bội của π trong π0 và kí hiệu bởi mult(π, π0).Phép biểu diễn π và π0 với c(π, π0) = c(π0, π) = 0 được gọi là rời nhau.Ta cần xác định các lớp tương đương của các phép biểu diễn bất khả quy bấtbiến của G.

2.3 Các ví dụ

Ví dụ 2.3.1 Cho G là nhóm các ma trận thì G có phép biểu diễn tự nhiênπ0, nghĩa là với mỗi nhóm ma trận thực (phức) G ⊂ GL(n, C) có biểu diễntrong V = Cn liên kết với mọi A ∈ G Rõ ràng phép biểu diễn tự nhiên làunita với G = SO(n) hoặc SU(n) nhưng trong trường hợp tổng quát thì nóhoặc không là unita hoặc không là bất khả quy, điều đó được suy ra từ ví dụsau:

Ví dụ 2.3.2 Cho G = S3, xét các phần tử của S3 là: id = (1), x := (1, 2),y := (1, 2, 3) rõ ràng ta có:

x2 = 1 2 32 1 3

 1 2 32 1 3

= 1 2 31 2 3

y2 = 1 2 32 3 1

 1 2 32 3 1

= 1 2 33 1 2

= 1 3 2
(2.2)

xy = 1 2 32 1 3

 1 2 32 3 1

= 1 2 31 3 2

= 2 3
(2.3)

yx = 1 2 32 3 1

 1 2 32 1 3

= 1 2 33 2 1

= 1 3
(2.4)

xyx = 1 2 32 1 3

 1 2 32 3 1

 1 2 32 1 3

= 1 2 32 3 1

= 1 2 3
(2.5)

y3 = 1 2 33 2 1

 1 2 33 2 1

 1 2 33 2 1

= 1 2 31 2 3

= id (2.6)Do đó mỗi phần tử g ∈ S3 đều có thể biểu diễn thành tích của các luỹthừa của x và y Từ đó suy ra S3 =< x, y > là nhóm con sinh bởi x và y.

Do đó ta dễ dàng tìm được phép biểu diễn trong V = C, đó là phép biểudiễn tầm thường

0 0 11 0 00 1 0

ω = e1z1 + e2z2 + e2z2 ∈ V

trong đó e1 = t(1, 0, 0), e2 = t(0, 1, 0), e3 = t(0, 0, 1) và z1, z2, z3 ∈ C thìπ0 được cho bởi

π0(g)(e1 + e2 + e3) = eg(1)+ eg(2)+ eg(3) = e1 + e2 + e3

do đó π0 |V1= π1 là phép biểu diễn tầm thường trong V1 Cho

< e1 + e2 + e3, ω >= X

ziTa dễ dàng chứng minh được V3 = {ω,P

i zi = 0} là không gian concủa V và là phần bù của V1 trong V , mặt khác ta có

với mọi g ∈ S3 nên V3 là không gian con bất biến.

Đặt a := e1ξ + e2 + e3ξ2 và b := e1 + e2ξ + e3ξ2 với ξ = e2πi/3, ta dễdàng chứng minh được a, b là cơ sở của V3 Đặt π2 := π0 |V3 ta cũng chỉ rarằng π2 là bất khả quy.

Nhận xét: Tất cả các phép biểu diễn trong S3 là tương đương với π1, π2

hoặc π0.

Ví dụ 2.3.3 Cho χ là G−tập với G tác động trái x 7→ g ã x và V = F(χ)là không gian véc tơ của các hàm phức f : χ → C thoả mãn với f ∈ V thìfg ∈ V trong đó fg xác định bởi:

fg(x) = f (g−1x).

Nhận xét: Hàm (λ(g)f)(x) := f(g−1x) xác định một phép biểu diễn λcủa G trong V

Chứng minh Thật vậy, (gg0) ã x = g ã g0 ã x và suy ra

λ(gg0)f (x) = f ((gg0)−1ã x) = f (g0−1g−1ã x) = f (g0−1 ã g−1 ã x)và

λ(g)λ(g0)f (x) = λ(g)fg0(x) = fg0(g−1 ã x) = f (g0−1ã g−1 ã x).

16Suy ra

λ(g.g0)f (x) = λ(g)λ(g0)f (x).

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể xây dựng một phép biểu diễn của Gtrong V thông qua G−tác động phải với V = F(χ)−không gian các hàmphức và với fg = f (x ã g) khi đó hàm (ρ(g)f)(x) := f(g ã x) xác định mộtphép biểu diễn ρ của G trong V Thật vậy

x ã (gg0) = x ã g ã g0do đó suy ra

ρ(gg0)f (x) = f (x ã (gg0)) = f (x ã g ã g0)và

ρ(g)ρ(g0)f (x) = ρ(g)fg0(x) = f (x ã g ã g0).Suy ra

ρ(gg0)f (x) = ρ(g)ρ(g0)f (x).

2.4 Tổng và tích tenxơ của phép biểu diễn - Phép biểu diễnthương

2.4.1 Tổng của phép biểu diễn

Cho (π, V ) và (π0, V0) là các phép biểu diễn (tuyến tính) của nhóm G thìtổng trực tiếp π ⊕ π0 của π và π0 được cho bởi:

(π ⊕ π0)(g)(v ⊕ v0) := π(g)v ⊕ π0(g)v0, ∀v ⊕ v0 ∈ V ⊕ V0.

Cho V = Cn, V0 = Cm và π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) , π0(g) = A0(g) ∈GL(m, C)thì ta có:

(π ⊕ π0)(g) = A(g) 00 A0(g)

∈ GL(n + m, C) (2.8)

2.4.2 Tích tenxơ của phép biểu diễn

Cho (π, V ) và (π0, V0) là các phép biểu diễn của nhóm G và V ⊗ V0 tíchtenxơ của V và V0 thì tích tenxơ π ⊗ π0 của π và π0 được cho bởi:

(π ⊗ π0)(g)(v ⊗ v0) := π(g)v ⊗ π0(g)v0, ∀v ⊗ v0 ∈ V ⊗ V0.

Cho V = Cn, V0 = Cm và π(g) = A(g) ∈ GL(n, C), π0(g) = A0(g) ∈GL(m, C)thì tích tenxơ cho bởi tích Kronecker của ma trận A(g) và A0(g):

(π ⊗ π0)(g) =a1,1A0(g) ã ã ã a1,nA0(g)an,1A0(g) ã ã ã an,nA0(g)

∈ GL(nm, C) (2.9)Chú ý: Nếu V có một cơ sở là (ei)i∈I và V0 có một cơ sở là (fj)j∈J thìV ⊗ V0 có cơ sở là (ei ⊗ fj)(i,j)∈IìJ.

Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa được tích tenxơ của nhiều hơn hai nhântử và tích tenxơ luôn có hai tính chất giao hoán và kết hợp.

Ví dụ 2.4.1 Cho V là một không gian véc tơ ba chiều với cơ sở là (e1, e2, e3)thì ta có:

• ⊗2V có số chiều là 9 với một cơ sở là

(e1 ⊗ e1, e1 ⊗ e2, e1 ⊗ e3, e2 ⊗ e1, , e3 ⊗ e3)• S2V có số chiều là 6 với một cơ sở là

(e1 ⊗ e1, e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1, e1 ⊗ e3, e2 ⊗ e2, e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2, e3 ⊗ e3)• ∧2V có số chiều là 3 với một cơ sở là

e1 ∧ e2 := e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1e1 ∧ e3 := e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1e2 ∧ e3 := e2 ⊗ e3 − e3 ⊗ e2

Trong trường hợp tổng quát ta có cơ sở của SpV và ∧pV trong ⊗2V tươngứng là

ei1 eip := X

eig(1) ⊗ ⊗ eig(p), i1 ≤ ã ã ã ≤ ip.

18ei1 ∧ ∧ eip := X

sign g eig(1) ⊗ ⊗ eig(p), i1 < < ip.Chú ý:

•Nếu V là không gian 3 chiều thì SpV có thể đồng nhất với không gian conC[u, v, w]p các đa thức thuần nhất bậc p của các không gian 3 biến Nếu πlà phép biểu diễn của G trong V thì ánh xạ ei 7→ π(g)ei cảm sinh một phépbiểu diễn tuyến tính Spπ và ∧pπ trong SpV tương ứng ∧pV.

• Một tính chất quan trong của cấu trúc của phép biểu diễn với chiều hữuhạn tới phép biểu diễn chiều tự nhiên π0 và tới phép biểu diễn bất khả quybởi tích Tenxơ và quy về các tổng của các thành phần bất khả quy.

2.4.3 Phép biểu diễn đối ngẫu

Cho V∗ là không gian đối ngẫu của C-không gian véc tơ V thì:V∗ = Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ là C - tuyến tính}.

Nếu dim V∗ < ∞ thì dim V∗ = dimV Đặt ϕ(v) =:< ϕ, v > với mọiϕ ∈ V∗ và v ∈ V Nếu dim V = n với một cơ sở là (e1, , en) thì dodim V∗ = n nên tồn tại một cơ sở (e∗

1, , e∗n) của V∗ được xác định như sau:< e∗i, ej >= δij(= 1 , i = j và = 0 , i 6= j)

khi đó ta gọi (e∗

1, , e∗n) là cơ sở đối ngẫu của V∗.

Định nghĩa 2.4.2 Cho π là một phép biểu diễn của G trong V thì phép biểudiễn đối ngẫu π∗ trong V ∗ được xác định bởi:

(π∗(g)ϕ)(v) := ϕ(π(g−1)v), ∀ϕ ∈ V∗, v ∈ V.2.4.4 Phép biểu diễn thương

Cho (π1, V1) là phép biểu diễn con của phép biểu diễn (π, V ) của G Khiđó phép biểu diễn thương trong V/V1 kí hiệu là π π được xác định như sau:

π(g) = π(g) + V1, ∀g ∈ G.

Nhận xét: Ta dễ thấy:

π(g) = 0 + V1 ⇔ π(g) = π1(g)và

π(g) 6= 0 + V1 ⇔ π(g) 6= π1(g)

Một tính chất chính của phép biểu diễn là chúng ta có thể phân tích đượcchúng thành các phép biểu diễn bất khả quy Phần tiếp theo chúng ta sẽ giớithiệu về phân tích bất khả quy được của một phép biểu diễn.

2.5 Phân tích bất khả quy của một phép biểu diễn

Nhắc lại rằng một phép biểu diễn (π, V ) là bất khả quy nếu nó không cóphép biểu diễn con thực sự nào.

Định nghĩa 2.5.1 Cho (π, V ) là một phép biểu diễn, (π, V ) được gọi là phântích được nếu tồn tại một không gian con bất biến V1 ⊂ V với phần bù bấtbiến V2, nghĩa là V = V1 ⊕ V2 Thì khi đó ta có π = π1 + π2 trong đó π1 làphép biểu diễn G trong V1 và π2 là phép biểu diễn G trong V2.

Định nghĩa 2.5.2 Cho (π, V ) là một phép biểu diễn, (π, V ) được gọi là khảquy đầy đủ nếu mọi phép biểu diễn con không tầm thường của (π, V ) đềucó phần bù bất biến.

Định lý 2.5.3 ([4], Định lý 1.1) Cho (π, V ) là một phép biểu diễn của nhómhữu hạn G và (π1, V1)là một phép biểu diễn con Khi đó tồn tại phần bù bấtbiến V2.

Chứng minh Cho <, >0 là một tích vô hướng trong V vì luôn tồn tại ít nhấtkhông gian V ' Cn Ta xác định một tích vô hướng G−bất biến là: