Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số tập lý thuyết biểu diễn học lƣợng tử” đƣợc hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình gia đình, bạn bè thầy cô Qua đây, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo hƣớng dẫn –Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan tận tình hƣớng dẫn, bảo tơi suốt q trình tham gia khóa luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội tạo điều kiện để tơi hồn thành khoa luận Xin chân thành cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình,bạn bè suốt q trình làm khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, đƣợc hồn thành với nỗ lực thân hƣớng dẫn Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan Các liệu đƣa khóa luận hồn tồn trung thực khơng trùng với cơng trình nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Tọa độ 1.2 Xung lƣợng 1.3 Mômen xung lƣợng 1.4 Năng lƣợng Kết luận chƣơng CHƢƠNG LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 10 2.1 Biểu diễn tọa độ 10 2.2 Biểu diễn xung lƣợng 11 2.3 Biểu diễn lƣợng 13 2.4 Biểu diễn Schrodinger 16 2.5 Biểu diễn Heisenberg 16 2.6 Biểu diễn tƣơng tác 20 Kết luận chƣơng 22 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 23 3.1 Bài tập trạng thái lƣợng tử biểu diễn khác 23 3.2 Bài tập toán tử biểu diễn khác 29 Kết luận chƣơng 38 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thế kỷ XX kỷ của, vật lý học đại với khuynh hƣớng xâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất, vật thể vơ nhỏ bé nhƣ nguyên tử, hạt nhân hạt Cho đến nay, đối tƣợng nghiên cứu quan trọng vật lý học đại giới vi mô mà học lƣợng tử sở giúp ngƣời tìm hiểu chinh phục giới Cơ học lƣợng tử phần trừu tƣợng vật lý lý thuyết, có khái niệm vốn quen thuộc vật lý học cổ điển Có thể định nghĩa cách tóm tắt học lƣợng tử lý thuyết nguyên tử hạt nhân Ngun tử có kích thƣớc vào cỡ 10-8cm, hạt nhân có kích thƣớc vào cỡ 10-13cm Những vật có kích thƣớc nhƣ nhỏ đƣợc gọi vật vi mô Để nghiên cứu đại lƣợng động lực hệ hạt vi mơ, ngƣời ta dùng biểu diễn khác Mỗi toán học lƣợng tử có cách giải riêng việc chọn dùng biểu diễn để giải toàn đơn giản nhất, mà cho kết mơ tả đầy đủ tính vật lý hệ vật lý vi mô cần thiết quan trọng Thêm vào việc giải tập mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác để củng cố lý thuyết Phải nắm đƣợc lý thuyết, hiểu vận dụng để tìm tòi nhiều điều khác có liên quan Giúp nắm hiểu lý thuyết sâu sắc Vì vậy, tơi định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số tập lý thuyết biểu diễn học lƣợng tử” Mục đích nghiên cứu Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập lý thuyết hạt vi mô Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đại lƣợng động lực học lƣợng tử Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập học lƣợng tử Đối tƣợng nghiên cứu Các đại lƣợng động lực dạng chúng biểu diễn khác Một số tập lý thuyết biểu diễn Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp vật lý lý thuyết vật lý toán học Phƣơng pháp lý thuyết biểu diễn học lƣợng tử Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm ba chƣơng: CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ NỘI DUNG CHƢƠNG NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Tọa độ Các hạt vi mơ vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt đại lƣợng động lực mô tả trạng thái hạt nhƣ tọa độ, xung lƣợng, momen xung lƣợng, lƣợng, thời điểm t sang thời điểm t’ khác khơng tn theo qui luật cổ điển mà tuân theo qui luật lƣợng tử tức trạng thái khơng hồn tồn đồng thời xác định Để mô tả đƣợc trạng thái hạt vi mơ đại lƣợng động lực có qui luật a.b # b.a đại lƣợng động lực trở thành toán tử theo nguyên lý tƣơng ứng Để tìm dạng tƣờng minh toán tử biểu diễn biến số động lực ý học cổ điển trƣờng hợp giới hạn học lƣợng tử (khi kích thƣớc vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mơ) Nhƣ ta thừa nhận cách tự nhiên rằng: Những toán tử học lƣợng tử thỏa mãn hệ thức giống nhƣ hệ thức đại lƣợng động lực tƣơng ứng học cổ điển (khơng chứa đạo hàm) Đó nguyên lý tƣơng ứng Toán tử tọa độ ̂ Xét trƣờng hợp hạt chuyển động trục x, trạng thái hạt mơ tả hàm sóng x) đƣợc chuẩn hóa Tốn tử tọa độ ̂ phải ecmit có dạng để trị trung bình tọa độ cho công thức: ̅ ̂ ∫ (1.1.1) Nếu gọi p(x) mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị x trị trung bình x là: ̅ ∫ Theo cách giải thích Boocnơ ý nghĩa hàm sóng thì: | P(x)=| Vậy ̅ ∫ Ta có: ∫ ̂ ∫ Vậy ̂ (1.1.2) Nhƣ toán tử ̂ phép nhân với x Ta viết: ̂ (1.1.3) Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, hạt chuyển động không gian có tốn tử tọa độ ̂ ̂ (1.1.4) ̂ 1.2 Xung lƣợng Theo nguyên lý tƣơng ứng xung lƣợng hạt vi mơ toán tử: ̂ ̂ ̂ (i     j k ) x y z Toán tử xung lƣợng: Đối với hạt vi mơ có xung lƣợng ̂ lƣợng E chuyển động tự hàm sóng có dạng: ( i ψ= Et  pr ) ħ Ta xét tốn tử ̂ Hàm sóng ψ viết hàm số biểu diễn trạng thái có giá trị xác định, hàm phải hàm riêng toán tử ̂, nghĩa là: ̂ ψ= ψ Muốn phải chọn: iħ ̂ Thực  x (1.2.1) ħ2 n π = 2m d n=1,2,3…… Hàm sóng E biểu diễn có dạng: = =∫ (x)dx d nπx = sin( )(x  4d )dx  d0 d 2  nπx  2  nπx  = x sin dx  4d x sin     dx  d 0 d d d     d d (2)  nπx  I = x 2sin   dx d   d Tích phân phần: d  nπx  d d d  nπx  I =  x cos   2xcos    dx   d  nπ nπ  d  I = -d d 2d cos(nπ)    I nπ nπ (3)  nπx  I = xcos   dx d   d d d  nπx  d d  nπx  I = xsin sin   dx   2sin   dx nπ  d  nπ  d  d  nπx  I = 2sin   dx  nπ  d  d (4) d 2d nπx n Thay (4) vào (3) ta có: I =  1  2 2sin   dx nπ n π  d  d Thay I vào (1) ta có:  d 2d nπx nπx  n =  1  2 2sin   dx  4d sin    d  nπ n π  d   d  d d 26   d 2d  4d  n n n  =  1  2  1  1  2  1  1  n=1,2,3…  d  nπ n π n π  -là hàm sóng hạt hố chiều biểu diễn lƣợng Bài tập 4: Gỉa sử biết phổ lƣợng hệ Hãy tìm hàm sóng trạng thái dừng biểu diễn lƣợng Lời giải: Đối với phổ gián đoạn, hệ hàm riêng đƣợc chuẩn hóa theo ký hiệu Kronecker: (E)=⟨ | ⟩= Đối với phổ liên tục, hệ hàm riêng đƣợc chuẩn hóa hàm delta Dirac: (E)=⟨ |ε⟩= ε Bài tập 5: Xác định xác suất để đo xung lƣợng đƣợc giá trị 𝐩 dao động tử chiều trạng thái n? Lời giải: Đáng lẽ phân tích hàm sóng trạng thái dừng theo hàm riêng toán tử xung lƣợng, trƣờng hợp này, cách làm đơn giản trực tiếp xuất phát từ phƣơng trình Schrodinger biểu diễn Thay toán tử tọa độ ̂ iħ  vào biểu thức ̂ dao động tử với U(x) cho  px kx m x  U=- Fx d x  kxd x  2 0 x x p x m 2ħ2  ̂=  2m  p2 x 27 Phƣơng trình Schrodinger tƣơng ứng ̂ a( )=Ea( hàm sóng a( ) Trong -biêu diễn là: d 2a  p2 x   E   a  px   d p2 m 2ħ2  2m  x Phƣơng trình đƣa dạng phƣơng trình cho dao động tử điều hòa: 2m  m x  ψ" x   E  ψx  ħ   Nếu thay x Nhƣ ta có: m px  ħ mħ n = (2 n) 1 1  p2 x   px  m  π ħ   exp   Hn    2mħ   mħ  Từ phân bố xác suất phải tìm là: | | =  p2 x   px  exp  H n   2m  ħ 2n n! m πħ  mħ    Bài tập 6: Trong x biểu diễn ,hàm sóng hạt có dạng ψ  ħi p0x  e = a  0,  a a x 2 a x tìm dạng hàm sóng biểu diễn xung lƣợng lời giải: Khai triển hàm sóng theo hàm riêng toán tử xung lƣợng ip x x e ħ = 2πħ 28 (5) trị riêng tốn tử xung lƣợng có giá trị liên tục nên: ψ Trong = ∫ hàm sóng sau biểu diễn xung lƣợng (p-biểu diễn) tìm đƣợc nhờ điều kiện trực chuẩn hàm riêng: ⟨ ⟩ | a 2πħa 2πħa = = = e  e i  p0  p x  x ħ i  p0  p x  = dx e i  p0  p x  x ħ a a   ħi  p0 px  a2  ħi  p0 px  a2  e e  2πħa   = dx a i  p0  p x  2πħa i  p0  p x  Vậy hàm sóng p-biểu diễn: e ip0 x ħ a a   ip x x ħ  p  p a  2isin  x  2ħ 2πħa     p  px  a  2ħ sin   πa p0  p x 2ħ   3.2 Bài tập toán tử biểu diễn khác Bài tập 1: Viết tốn tử Haminton dao động tử điều hòa chiều biểu diễn xung lƣợng Tìm hàm riêng trị riêng biểu diễn xung lƣợng 29 Lời giải: Toán tử Haminton dao động tử điều hòa chiều biểu diễn xung lƣợng có dạng: 2 ̂ = P  m  iħ   2m  P  2 P2 2 m ħ = 2m  P2 Phƣơng trình hàm riêng trị riêng ̂ ̂ φ(p)=Eφ(p) 2   P2 m  ħ   φ(p)= Eφ(p) 2m   P  Đƣa vào thông số không thứ nguyên: = p 2E đặt 𝞮= ħ mħ d dξ  φ(p)= dξ dp P Ta có: d φ(p) mħ dξ  φ(p)= P2 = = d d φ(p) mħ dp dξ dξ d2 φ(p) dp mħ dξ d2 φ(p) mħ dξ Thay vào phƣơng trình (6): P2 2 m ħ ( )φ(p)=Eφ(p) 2m mħ  ξ 30 (6)  P ħ     E   φ(p)=0 2m  ξ    mħξ ħ  ħ E      φ(p)=0 2m  ξ    d2 2   ε  ξ  φ(p)=0  dξ   d2 2   ε  ξ  ̃(ξ)=0  dξ  (7) Nghiệm phƣơng trình có dạng:  ξ  ̃(ξ)=v(ξ)exp     Thay vào phƣơng trình (7) ξ d2  v ξ e2    dξ  ξ   +( ε  ξ ) v  ξ  e =0  ξ ξ d   v  ξ  e  v  ξ  ξ  e dξ  2 +( ε ξ   +( ε  ξ ) v  ξ  e =0  =0  Nghiệm phƣơng trình dạng: v  ξ   a k ξ k k 0   k 1 k 0 v  ξ   ka k ξ k 1    k  1 a k 1ξ k Ta có :   k 2 k 0 v  ξ   k  k  1 a k 1ξ k 1    k   k  1 a k 2ξ k Thay vào (8) 31 (8)    k  2 k  1 a   ξ  2ξ   k  1 a k 1ξ   ε  1 a kξ k =0 k k 2 k 0 k k 0 k 0    k 0 k 0 k 0   k  2 k  1 a k2ξ k  2ka kξ k   ε  1 a kξ k =0    k  2 k  1 a k 0  a k 2  Đặt k=n,  k 2   2k   ε  a k  ξ k =0 2k   ε a  k   k  1 k =0 2n+1= ε Phổ lƣợng: = (n  )ħ Để xác định đƣợc hàm sóng ta sử dụng đa thức hermite +2n =0  =  φ( )= A n e ξ2 Hn  ξ    d n ξ2 e =  1 e dξ n  mw  =   πħ  ξ2 2n n! Bài tập 2: Tìm tốn tử tọa độ xung lƣợng biểu diễn xung lƣợng Lời giải: Toán tử ̂ ⃗ ⃗ -biểu diễn (trong biểu diễn xung lƣợng ) đƣợc xã định từ đẳng thức: 32 ̂ ⃗ φ(⃗ )=∫ φ(⃗ )d⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Trong φ(⃗ ) hàm sóng p-biểu diễn ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ Với ̂ toán tử trong⃗ -biểu diễn lƣợng ⃗̂ ⃗ hàm riêng toán tử xung ⃗ r-biểu diễn ψp  r   Hàm: *Khi ̂ ̂ ⃗ ̂ i  2πħ  eħ pr ta có: ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ i pr ħ iħ i pr ħ e  2πħ   e  2πħ   re i pr ħ dr  ħi pr e dr  p'  ħi  pp r e dr   2π ħ   p' iħ Chú ý rằng: e i  pp r ħ   i ħ   i ħ   i ħ    dr   e (p x  p'x )dx  e (p y  p'y )dy  e (p z  p'z )dz  p y  p'y   p  p'x   p z  p'z  =2 πδ  x  2πδ    2πδ   ħ   ħ   ħ  =  2πħ  δ  p x  p'x  δ  p y  p'y  δ  pz  p'z  =  2πħ  δ  p  p  33 rpp  iħ Ta có: Tốn tử ⃗  δ  p  p  p p-biểu diễn đƣợc xác định phƣơng trình: ̂ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ iħ ⃗  δ  p  p   φ  p' dp'  p iħd δ  p  p  φ  p' dp' =0+ iħ δ  p  p   = iħ r p  iħ Vậy *Khi ̂ φ  p  p  p ̂ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗̂ ⃗ =⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ∫⃗ [ ⃗ ⃗ ] ⃗ ̂⃗ ⃗ ⃗ ∫ ̂⃗ ⃗̂ ⃗ ∫ Vậy φ  p' ' dp p ⃗ ⃗ 34 ⃗ ⃗ Trong p-biểu diễn có: r  iħ  pp p Bài tập 3: Tìm tốn tử tọa độ biểu diễn Heisenberg hạt chuyển động tự Lời giải: Heisenberg qua Schrodinger xˆ  t   e i ˆ Ht ħ xˆ se i ˆ  H t ħ Vì hạt tự ̂ P ̂ i ˆ  i  ˆ  ˆ  xˆ  t   xˆ  t H, xˆ  +  t   H, H, xˆ     ħ 2!  ħ    [̂ ] ̂ ̂] [P [̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] ̂ Bài tập 4: Tìm tốn tử tọa độ xung lƣợng dao động tử tuyến tính tranh Heisenberg cách giải phƣơng trình chuyển động cho tốn tử Lời giải Phƣơng trình chuyển động : dxˆ  t  i ˆ   H, xˆ  t   dt ħ 35 (9) dpˆ  t  i ˆ   H,pˆ  t   Tƣơng tự: dt ħ (10) Liên hệ toán tử Heisenberg với toán tử Schrodinger trạng thái bất kỳ: i ˆ i ˆ Ht  Ht ˆ ħ fˆ  t   e ħ fe Thay vào (9) i ˆ  Ht dxˆ  t  i ħi Htˆ ˆ pˆ  t  ħ  e  H, xˆ  e  dt ħ μ Với pˆ i ˆ  dxˆ  t  pˆ  t   vˆ  xˆ   H, xˆ    μ ħ dt μ (11) Tƣơng tự cho (10), dao động tử điều hòa ̂ ̂ ̂ dpˆ  t  = dt  ̂ (12) Nhƣ ta thu đƣợc phƣơng trình: (11) (12) Giải ta đƣợc: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Xác định toán tử hệ số từ điều kiện ban đầu: xˆ    xˆ pˆ    pˆ  xˆ    c1  c1  xˆ pˆ    cˆ 2μω            c2  Vậy: 36 pˆ μω ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 37 Kết luận chƣơng Trong chƣơng 3, trình bày dạng tập lý thuyết biểu diễn học lƣợng tử: tập trạng thái lƣợng tử biểu diễn khác nhau, tập toán tử biểu diễn khác Và áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập dạng nêu Qua đây, nhận thấy tốn tìm đại lƣợng động lực trạng thái hạt vi mơ hạt có đại lƣợng động lực xác định nên giải toán biểu diễn đại lƣợng động lực dễ 38 KẾT LUẬN Trong khóa luận này,tơi nghiên cứu trình bày đƣợc khái niệm bản: Tọa độ, Xung lƣợng, Mômen xung lƣợng, Năng lƣợng Các biểu diễn học lƣợng tử nhƣ: biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lƣợng, biểu diễn lƣợng, biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn tƣơng tác Và dạng tập lý thuyết biểu diễn học lƣợng tử: tập trạng thái lƣợng tử biểu diễn khác nhau, tập toán tử biểu diễn khác Ở phần trọng tâm khóa luận, tơi áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải tập trạng thái lƣợng tử biểu diễn khác tập toán tử biểu diễn khác Tùy toán khác mà ta dùng biểu diễn phù hợp để giải đơn giản nhanh chóng Tuy nhiên, trình độ, kinh nghiệm thời gian nhiều hạn chế nên khóa luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn đƣợc hoàn thiện 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Quý Tƣ (1986), Cơ học lƣợng tử, NXB Giáo dục Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học sƣ phạm Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết Vật lý lƣợng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Bài giảng Cơ lƣợng tử Thầy cô Tổ Vật Lý Lý Thuyết,khoa Lý, ĐHSP Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Bài tập vật lý lý thuyết tập 2, NXB Giáo dục 40 ... 22 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 23 3.1 Bài tập trạng thái lƣợng tử biểu diễn khác 23 3.2 Bài tập toán tử biểu diễn khác 29 Kết... Heisenberg, biểu diễn tƣơng tác Tùy toán cụ thể mà nên chọn biểu diễn để giải cho kết đơn giản 22 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3.1 Bài tập trạng thái lƣợng tử biểu diễn. .. ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học