Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

HàNội, ngày10tháng5năm2012 SinhviênNguyễnThịDuyền... HàNội, ngày10tháng5năm2012 SinhviênNguyễn ThịDuyền LờicảmơnLời camđoan MỤC LỤC Trang PHẦN1:MỞĐẦU...1 1.. Tấtcảcácnhómconcủanhómgiaoho

HÀNỘI, 2012

HàNội, ngày10tháng5năm2012

SinhviênNguyễnThịDuyền

Khóaluậnnàylàkếtquảcủabảnthânemtrongquátrìnhhọctậpv à nghiên

c ứutrêncơsởhướngdẫncủat h ầygiáoTh.SNguyễnH u y Thảo.

Trongkhinghiêncứuhoànthànhbảnkhóaluận,emcóthamkhảomộtsốtà iliệuthamkhảo

Emxinkhẳngđịnhkếtquảcủađềtài:“Tổnghợpmộtsốbàitậpv ềlýthuy ếtbiểudiễnnhóm”làtrungthựcvàkhôngtrùnglặpvớikếtquảcủacácđềtàikhá

c

HàNội, ngày10tháng5năm2012

SinhviênNguyễn ThịDuyền

LờicảmơnLời

camđoan

MỤC LỤC

Trang

PHẦN1:MỞĐẦU 1

1 Lýdochọnđềtài 1

2 Mụcđíchnghiêncứu 1

3 Đốitượngnghiêncứu 1

4 Nhiệmvụnghiêncứu 1

5 Phươngphápnghiêncứu 1

6 Cấutrúckhóaluận 1

PHẦN2:NỘIDUNG 3

Chương1:Mộtsốđịnhnghĩacơbảnvềlýthuyếtnhóm 3

Chương2:Lýthuyếtbiểudiễnnhóm 9

2.1 Địnhnghĩaphépbiểudiễnnhóm 9

2.2 Đặcbiểu 11

2.3 Biểudiễnkhảquyvà bấtkhảquy 12

2.4 BiểudiễnUnita 16

2.5 Biểudiễnchínhquy 17

2.6 Biểudiễntíchtrựctiếp 18

2.7 CácđịnhlýthườngdùngtrongVậtLý 19

2.8 BổđềSchur 22

Chương3:Mộtsốbàitập 23 PHẦN3:KẾTLUẬN 34 TÀILIỆUTHAMKHẢO

1 Lýdochọnđềtài

PHẦNI:MỞĐẦU

Lýthuyếtbiểudiễnnhómlàmộtnộidungquantrongthườngđượcsửdụngtrongvậtlýhọcnóichung,củavậtlýhạtcơbảnnóiriêngvàviệcgiảib à i tậpbiểudiễnnhómnhằmcủngcốlýthuyếtvàtraudồikĩnăngthựchành.Đồngthờiquađógiúpchúngtahiểusâusắchơnnộidungkiếnthứcđãhọc

Trướcthựctếđó,tôichọnđềtài“Tổnghợpmộts ốbàitậpvềlýthuyếtbiểudiễnnhóm”nhằmđưaraph

ươngphápgiảicủamộtsốbàitậpvềbiểudiễnnhóm,giúpcácbạnsinhviênrènluyệnkĩnăng,kĩxảotrongquátrìnhgiảibàit ập,n ắmv ữngcáccôngcụtoáncũngnhưcácht ư duynhạyb é n , khôngcònlúngtúngkhig ặpcácbàitoánbiểudiễnv à hiểur õ hơnv ề lýthuyếtbiểudiễnnhóm

Tôihivọngrằngluậnvănnàysẽmộttàiliệuthamkhảochocácbạnsinhviênbướcđầulàmquenvớilýthuyếtbiểudiễnnhóm

2 Mụcđíchnghiêncứu

Tìmhiểulýthuyếtnhómvà

biểudiễnnhóm.Giảimộtsốbàitậpvềlýthuyếtbiểudiễnnhóm

3 Đốitượngnghiêncứu

Mộtsốbàitậpvềlýthuyếtbiểudiễnnhóm

4 Nhiệmvụnghiêncứu

Chương1:Mộtsốđịnhnghĩacơbảnvềlýthuyếtnhóm.Chương2:Lýthuyếtbiểudiễnnhóm

Chương3:Mộtsốbàitập

PHẦNII:NỘIDUNG Chương1:Mộtsốđịnhnghĩacơbảnvềlýthuyếtnhóm

Vídụ:tậphợpcácvectortrongkhônggianbachiềuthôngthườngvớiphépnhânvôhướng,…

 Nhómcon

GgọilànhómconcủaG.

MỗinhómGđềucóphầntửtrunghòaevàcácphầntửcủaGđềulànhómconc ủaG.

CácphầntửcủamộtnhómGcóthểphânchiathànhcáclớpliênhợp.

Cáclớpkề:ChoHlàmộtnhómconnàođócủaGvàaG.Thếthìtậphợpa HgọilàlớpkềtráicủanhómGtheonhómconH,xácđịnhbởiphầntử

 Bảngnhânnhóm

Bảngnhânnhómlàmộtbảngthểhiệnluậtnhânnhómcủacácphầntửtrongnhóm

(321) (321) (23) (31) (12) e (123)

Tấtcảcácnhómconcủanhómgiaohoánđềubấtbiến.Tínhbấtbiếnc ủanhómc

onkhôngphảilàmộttínhchấtbắccầu:nhómconbấtbiếnH 1c ủamộtnhómbấtbiếnHcủ aGkhôngnhấtthiếtlàmộtnhómconbấtbiếncủaG.

 Đồngcấuvàđẳngcấu

Sựtồntạicủamộtnghịchđảochomọiphầntửlàmộttínhchấtquantrọngcủamộtnhóm.Mộthệquảquantrọngcủatínhchấtnàylàbổđềsắpxếp,nósẽđượcsửdụngnhiềulầntrongphéplấyđạohàmcủacáckếtquảquantrọng

sắpxếptrongmộtchuỗivàđượcnhânvàobêntráibởimộtphầntửpthìchuỗikếtquảl

àmộtsựsắpxếplạicủachuỗibanđầu.Tấtnhiênlàsẽápdụngđượcphépnhânvàovếphải

a

i

MộtphépánhxạtừnhómGđếnnhómG’trongđóphépnhânnhómđượcbảoto àng ọilàphépđồngcấut ừG đ ế nG’.H a y n ó i c á c h khác,nếu

ChoH 1v à H 2l à hainhómconcủanhómG cócáctínhchấtsau:

*MọiphầntửcủaH 1giao hoánvớibấtkỳphầntửnàocủaH 2.Vídụ:

trườnghợptrên,thừasốđầutiêncủatíchthuộcH 1,thừasốthứhaicủatích

thuộcH 2.TừH

~C và H ~C t a thuđược C ~C

C.

1 2 2 3 6 2 3

Chương2:Lýthuyếtbiểudiễnnhóm2.1 Địnhnghĩaphépbiểudiễnnhóm

Chomộtkhônggiantuyếntínhn chiềuV nvà mộtnhómDc á c phépbiếnđổinàođ ótrongkhônggianđó.LạichomộtnhómGnàođó.Phépđồngcấu:

cos  x2

Ápdụnghaiphépquaybằngcácgócvàtrongphầntiếptheo,chúngtacóthểxácminhđượcrằngtíchmatrận D()D(

) cũngnhưlàcủa

chỉmộtphépquaybằng(),D(

 Đặcbiểucủabiểudiễn

Cácbiểudiễnthuộccùngmộtlớpđượcxemnhưnhau,nêncầnnêulênc á c đặctrưngnộitạichotoànlớpbiểudiễn,nghĩalàtìmcácđạilượngliênquanđếnbiểudiễn,nhưngbấtbiếnđốivớicácbiếnđổi(khảnghịch)cơsởc ủakhônggianbiểudiễn

rD(g)

Đólàđiềuphảichứngminh

anóiđặcbiểulàmộth à m củalớp.Vìvậy,n ếunhómc ó s lớpK1,K2, ,K s,thìđặcbiểulàmộttậphợpcủaslượng:

X iXK i,i1,2, ,s.Nhưthế,đặcbiểucủamỗibiểudiễncóthểxemnhưmộtvectortrongmộtkhônggianschiềunàođó

Tấtnhiênvớibiểudiễnđơnvịtaluôncó:

X i1,(i1,2, ,s) Lưuýrằng:vìD(e)=I n,nên: X(e)n.

2.3 Biểudiễnkhảquyvàbấtkhảquy

ChomộtkhônggiantuyếntínhV nvà mộtmatrận(phépbiếnđổituyếntính)A HệAgọilàkhảquytrongkhônggianV nn ếucómộtkhônggianconV <V n,V0,saocho:

AV<VvớimọiAA,

tứclàAx

KhônggianconVgọilàbấtbiếnđốivớihệA.

Tráilại,nếumọikhônggianconbấtbiếncủaV nho ặcbằng0 h o ặctrùngvớiV n,thì

hệAgọilàbấtkhảquyvàkhônggianV ncũng gọilàbấtkhảq u y đốivớihệA.

 0 A

A1 K

0 A2trongđóA1l àmatrậncon vuôngcấpr,A2l àmatrậnvuôngcấpn–

r,Klàmatrậnconchữnhậtr(n-r)

 Hệphângiảiđược

MộttrườnghợpquantrọnglàngoàiV,khônggianV ncómộtkhônggianconthứhaibấtbiếnsaochoV nV .Thếthìchọn(n–

r)vectorcơsởcủalàmcácvectorcơsởcònlạicủaV n,tathấyrằngtấtcảcácAphảicó

dạng:

AA 1 0

22Trongtrườnghợpnày,hệAgọilàphângiảithànhhaihệconkhác:

 Biểudiễnkhảquy,bấtkhảquyvàhoàntoànkhảquy

NếubiểudiễnDlàmộthệkhảquy,bấtkhảquyhayhoàntoànkhảquythìbiểudiễ

nđótươngứnggọilàkhảquy,bấtkhảquyhayhoàntoànkhảquy.Theonghĩatrên,cácbiểudiễnbấtkhảquylà

nhữngbiểudiễnđơngiản

 Địnhlý vềtiêuchuẩnbấtkhảquy

ĐiềukiệncầnvàđủđểmộtbiểudiễncóđặcbiểuXlàbấtkhảquylà

TgTg=Tgg'điềunàychứngtỏrằngcáctoántửTgl à mthànhmộtbiểudiễncủanhómG

trongkhônggianLcáchàm,vàkýhiệulàTg

Theođịnhnghĩachungcủamatrậntoántử,nếu

i

gianL, tacó:

Từnayvềsau,khinóiđếnbiểudiễncácnhómhữuhạn,tathườnghiểul à biểudiễnunita.Trongtrườnghợpnày,từtínhc h ấtunitav à tínhc h ất(2.1-3),tacó:

D+(h)=D-1(h) =D(h-1),Từđótađượcđẳngthứcsauchođặcbiểucácbiểudiễnunita:

annàylàGphầntửcủanhóm.Khitácdụngmỗiphầntửcủanhómlêncácphầntửkhácbằngcáchnhânnhóm,tacómộthoánvịcủaGvật.VìlànhữngphépbiếnđổituyếntínhtrongkhônggianGchiều,cáchoánv ịnàycóthểbiểudiễnbởinhữngmatrậnGG

ReG, X

Rg 0,ge (2.5-5)



D   (2.5-7)trongđó:nlàchiềucủabiểudiễnbấtkhảquy

Bảng2.1:Bảngđặcbiểucủanhóm.

X1(2) = n1

X1(s) = ns

g2K21

X2(2)

X2(s)

gsKs1

Xs(s)

Bởiv ì d o tínhchấtc ủanhóml à mọid j làthựcs ự

dương.Bằngcáchgiảthiếtcómộtd j s=0.Khiđócómộtvectorsaocho

 

cácsốnguyên,l à m ộtv í d ụcủabiểudiễnkhảquy( r ú t gọnđược)nhưngkhôngphảil

àmộtbiểudiễnkhảquyhoàntoàn.PhươngpháplàmlàcómộtP,chiếuPvàotrongmột khônggianconbấtbiếnnhưng(1-

cđườngchéochính.Nếunólàkhảquythìkhiấytồnt ạimộtchiếuxạPsaocho

DP(g)P  D(g

Từcác bổđềSchurtrên,tasuyra

Địnhlý:Cácbiểudiễnbấtkhảquycủacácnhómgiaohoánđềumột

chiều.

sựthựchiệnmatrậnchohaichukỳ3là:

232

D(23) .

Nhớlại,Dlàmộtđồngcấu:

0 1

Hãy chứngminhrằng:ánhxạD (3)cũng làmộtbiểudiễnnhómD 3.

Bàilàm

D(23)D(12)=D(321)=D((23)(12)),

D(23)D(123)=D(31)=D((23)(123)),

D(23)D(321)=D(12)=D((23)(321)),



23

23

23

23

D(12)D(31)=D(321)=D((12)(31)),

D(12)D(12)=D(e)=D((12)(12)),

2

23

23

D(12)D(123)=D(23)=D((12)(123)),

D(12)D(321)=D(31)=D((12)(321)),



13

X3 1.

Hãy trìnhbàybảngđặcbiểucủanhómD 3

Bàilàm

Thậtvậy,ta đãbiếtnhómD 3đ ư ợcchiathành3lớp:

6

Như vậy,cácbiểudiễncủanhómD 3l àbấtkhảquy

Bài

tậ p 6

HãytìmsốcácbiểudiễnbấtkhảquycủanhómD3.

tậ p 7

Hãychứngminhrằng:nếuD(G)làbấtkỳmộtbiểudiễncủamộtnhómh ữuhạ nGởbêntrongkhônggiantíchVvàx , yVthì:

i) Tiềnđềthứnhấtquyđịnhrằng(x,y)phảibằngy,x

x,y

gG

D g xD g y.

iii) Tínhdươngcủaquytắc sauđâytừ:

X:(2 0-1).

Khiđó,theobàitập5, biểudiễncủanhómD 3l àbấtkhảquy

Đềt à i nàyc ũ n g đưar a đượcmộts ốbàit ậpv ềlýthuyếtbiểudiễnnhóm.Qua

đ ó cácn ộ i dungc ơ b ả ncủalýthuyếtbiểudi ễnnhómnhư:đ ặ cbiểu,biểudiễnkhảquy–

bấtkhảquy,biểudiễnUnita,biểudiễnchínhquy,biểudiễntíchtrựctiếpcùngvớicáccôngcụphụcvụchoviệcgiảicácbàitậpbiểudiễnnhómnhư:cácbổđềSchur,địnhlývềtiêuchuẩnbấtkhảquy,địnhl ý Burnsideđượcthểhiệnrõrànghơn

Đềtàisẽđượchoànthiệnhơnkhinhữngbàitoánthựctếliênquanđếnl ý thuyếtbiểudiễnnhómđượcđưavào.Tuynhiên,dothờigiannghiêncứuc ó hạnnênkhinghiêncứuđềtàinàychắcchắnkhôngtránhkhỏithiếusót.Tôirấtmongđượcsựgóp

ý,chỉdẫncủacácthầycô và cácbạnsinhviên