Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn

PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi nghiên cứu hệ vật lý, tính chất đặc biệt quan tâm trước hết tính đối xứng Từ tính chất đối xứng ta suy định luật bảo toàn Lý thuyết nhóm cho phép ta nghiên cứu cách đối xứng không gian, từ không gian chiều tới không gian chiều nhiều Vì lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng vật lý môn học chương trình bậc đại học Trong trình học vật lý, việc giải tập có vai trò quan trọng, hoạt động giúp người học hiểu sâu kiến thức, biết phân tích vận dụng chúng cách linh hoạt Đồng thời việc giải tập hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức biến kiến thức thành vốn riêng người học Khi nhập môn lý thuyết nhóm, có nhiều bạn gặp khó khăn việc giải tập học phần Vì chọn đề tài “Tổng hợp số tập nhóm hữu hạn” với mục đích tổng hợp số tập nhóm hữu hạn để hiểu nắm vững đặc điểm tính chất nhóm hữu hạn thường dùng vật lý Tôi hi vọng đề tài tài liệu tham khảo cho bạn bước đầu làm quen với môn lý thuyết nhóm Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nhóm hữu hạn Giải số tập nhóm hữu hạn Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập nhóm hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa sở lý thuyết nhóm hữu hạn Giới thiệu số tập nhóm hữu hạn cách giải tập Các phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán Cấu trúc khóa luận Gồm chương: Chương 1: Nhóm hữu hạn Chương 2: Một số tập PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ Định nghĩa Một tập hợp G : a, b, c,  gọi nhóm có toán tử ∙, gọi phép nhân nhóm, mà toán tử với phần tử G thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính kín: Với a, b  G a  b  G (ii) Tính kết hợp: Với a, b, c  G a   b  c    a  b   c (iii) Tồn phần tử đơn vị: Trong số phần tử G, có phần tử đơn vị e cho: a  e  a với a  G (iv) Tồn phần tử nghịch đảo: Với a  G có phần tử nghịch đảo a 1  G cho: a  a 1  e Từ tiên đề định nghĩa nhóm, ta rút hệ như: e1  e; a 1  a  e; e  a  a với a  G Ví dụ 1: Tập hợp số thực R với phép cộng tạo thành nhóm Tập R với phép nhân thông thường tạo thành nhóm Nhưng phép nhân với tập hợp cho trước tạo thành nhóm không thỏa mãn đồng thời bốn tính chất Ví dụ: Tập R với phép nhân thông thường, tập hợp vectơ không gian ba chiều với phép nhân vô hướng,…  Nhóm Abelian: nhóm mà phép nhân nhóm đòi hỏi có tính chất giao hoán: a b  b  a với a, b  G  Nhóm tuần hoàn: nhóm sinh từ tập hợp sinh gồm phần tử a Nếu nhóm viết theo lối nhân phần tử nhóm lũy thừa a, nhóm viết theo lối cộng phần tử nhóm bội a  Hạng nhóm: số phần tử nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Nhóm mà số phần tử nhóm hữu hạn gọi nhóm hữu hạn, ngược lại nhóm vô hạn  Bảng nhân nhóm: bảng thể luật nhân nhóm phần tử nhóm e a b ……… e e a b ……… a a a.a a.b ……… b b b.a b.b ……… … … … … ……… Ví dụ 2: Nhóm đơn giản gồm phần tử đơn vị e nghịch đảo e e luật nhân nhóm ee=e Rõ ràng ta thấy tất tiên đề nhóm thỏa mãn Số với phép nhân thông thường tạo thành nhóm này, kí hiệu C1 Ví dụ 3: Nhóm đơn giản có phần tử, có phần tử đơn vị Ta biểu thị nhóm e, a Tùy theo tính chất e, ta phải có ee=e ea=ae=a Vậy aa cần xác định Hoặc aa=e, aa=a Khả thứ hai nhân vế với a-1 dẫn tới a=e Luật nhân nhóm tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1 Nhóm kí hiệu C2 Rõ ràng số +1 (e) -1 (a) hình thành nhóm với phép nhân thông thường Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm C2 e a e e a a a e Ví dụ 4: Chỉ có nhóm ba phần tử C3 với bảng nhân nhóm 1 đưa bảng 1.2 Vì a-1=b nên ta biểu thị phần tử e, a, a  với đòi hỏi a3=e   i 2 /3 , e  i 2 /3 với luật nhân Các ví dụ cụ thể nhóm C3 là: (i) số 1, e thông thường, (ii) toán tử đối xứng tam giác mặt phẳng, tức phép quay góc 0, 2 / 3, 4 / Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm C3 e a b e e a b a a b e b b e a Ví dụ 5: Nhóm không tuần hoàn đơn giản hạng Nó thường gọi nhóm bốn nhóm nhị diện kí hiệu D2 Nếu ta biểu thị bốn phần tử e, a, b, c , bảng nhân đưa bảng 1.3 Bốn phần tử tương ứng với phép biến đổi đối xứng hình 1.1: (i) giữ hình không đổi, (ii) phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3), (iii) phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4) (iv) phép quay quanh tâm góc  mặt phẳng Hình 1.1: Dạng đối xứng D2 Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm D2 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Ví dụ 6: Nhóm không Abelian nhỏ hạng Nó tạo từ phép biến đổi đối xứng dạng hình học hình 1.2 3’ 2’ 1’ Hình 1.2: Dạng đối xứng D3 Đây nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) phép biến đổi đơn vị, (ii) phép chiếu xuống trục (1, 1’), (2, 2’), (3, 3’), (iii) phép quay quanh tâm với góc 2 / 4 / Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần ta trở lại hình ban đầu Ví dụ chiếu xuống trục (3, 3’) làm đổi chỗ 2,… Do ta biểu thị ba toán tử chiếu (12), (23), (31) Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2 / 4 / dẫn tới hoán vị tuần hoàn ba điểm, biểu thị (321) (123) Ta nhận thấy có tương ứng phép biến đổi đối xứng hoán vị ba điểm hình thành nhóm hoán vị S3 Có thể dễ dàng kiểm tra thực phép biến đổi (12) (123) liên tiếp tùy thuộc vào thứ tự áp dụng cho kết (31) (23) Điều chứng tỏ nhóm không Abelian Bảng 1.4: Bảng nhân nhóm D3 (hay S3) e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) 1.2 NHÓM CON Định nghĩa: Một tập H nhóm G với luật nhân G hình thành nhóm G Ví dụ 1: Nhóm bốn D2 có ba nhóm riêng biệt bao gồm phần tử e, a , e, b e, c Ví dụ 2: Nhóm S3 có bốn nhóm riêng biệt sau: e, 12 , e,  23 , e, 31, e, 123 , 321 Ba nhóm đầu nhóm hạng 2, nhóm lại nhóm hạng Tập hợp ma trận n  n khả nghịch bao gồm ma trận đơn vị ma trận có tính kín phép nhân ma trận, hình thành nhóm ma trận Một số nhóm quan trọng thường dùng sau: (i) Nhóm tuyến tính tổng quát GL(n) bao gồm tất ma trận n  n khả nghịch (ii) Nhóm Unita U(n) bao gồm tất ma trận unita, tức ma trận n  n U thỏa mãn U U   (iii)Nhóm Unita đặc biệt SU(n) bao gồm ma trận unita với định thức đơn vị (iv) Nhóm trực giao O(n) bao gồm ma trận trực giao thực, ma T trận n  n thực thỏa mãn O O  Rõ ràng SU(n) O(n) nhóm U(n); U(n) lại nhóm GL(n) 1.3 BỔ ĐỀ SẮP XẾP VÀ NHÓM ĐỐI XỨNG ( NHÓM HOÁN VỊ ) Sự tồn thành phần nghịch đảo phần tử tính chất đặc trưng nhóm Hệ trực tiếp tính chất bổ đề xếp Bổ đề xếp: Nếu có p, b, c  G pb  pc b  c 1 Chứng minh: Nhân trái hai vế với p ta có: p 1 pb  p 1 pc 1 Mà p p  e eb  ec hay b  c (đpcm) Kết có nghĩa là: Nếu b c phần tử khác G pb pc khác Bởi tất phần tử G xếp theo trật tự nhân trái với phần tử p thứ tự kết với thứ tự xếp ban đầu Tất nhiên kết giống ta áp dụng phép nhân phải Hãy xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n Ta biểu thị phần tử nhóm  g1 , g , , g n  Nhân phần tử với phần tử không đổi h kết hg1 , hg , , hg n    g h1 , g h , , g hn   h1 , h2 , , hn  hoán vị số 1, 2, , n  xác định h Từ ta tìm chất mối quan hệ phần tử h  G hoán vị đặc trưng  h1 , h2 , , hn  Một hoán vị tùy ý n đối tượng biểu thị 1 p  p1  p3  p2 n  pn  , phần tử hàng thay phần tử tương ứng hàng thứ hai Tập hợp n! hoán vị n đối tượng hình thành nhóm Sn, gọi nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng Không khó để nhận thấy kết thứ hai đổi chỗ dẫn tới hoán vị Điều định nghĩa phép nhân nhóm Phần tử đơn vị tương ứng việc đổi chỗ, tức 1  n  e  1  n  Lấy nghịch đảo từ p ta p p 1   1 p2  pn    n Một kí hiệu thích hợp ngắn gọn cho phép hoán vị sở cấu trúc tuần hoàn giải thích rõ ràng ví dụ sau: Xét hoán vị sáu đối tượng 1 6 p  3 6 Vì thay 3, thay 4, thay 1nên ba đối tượng hình thành chu kì-3 kí hiệu (134) Tương tự, hình thành chu kì-2, kí hiệu (25) Số không bị xáo trộn, có dạng chu kì-1, kí hiệu (6) Các kí hiệu tuần hoàn (134)(25)(6) xác định rõ phép hoán vị Với kí hiệu này, phần tử đơn vị bao gồm n chu kì-1 nghịch đảo  p1 , p2 , , pm  số giống cấp nghịch đảo, tức  pm , pm1 , , p1  Rõ ràng vị trí tuyệt đối số chu kì không quan trọng, cần kể đến bậc tuần hoàn Phép đẳng cấu: Hai nhóm G G gọi đẳng cấu tồn tương ứng phần tử chúng Các phần tử tuân theo luật nhân nhóm Nói cách khác, gi  G  gi  G g1 g  g3 G g1g 2  g3 G  ngược lại Ví dụ: (i) Nhóm A bao gồm số 1, i với phép nhân thông thường   2 i /4 , e4 i /4 , e6 i /4 , kí hiệu đẳng cấu với nhóm tuần hoàn hạng 4, C4  1, e A  C4 ; (ii) Nhóm nhị diện D3 đẳng cấu với nhóm đối xứng S3, D3  S3 Định lí 1.1 (Cayley): Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với nhóm Sn Chứng minh: Bổ đề xếp đưa tương ứng từ G tới Sn: 1 a  G  pa    a1  n   Sn , a2  an  (1.3-1) số ai  xác định từ việc định nghĩa đơn vị gai  agi , i  1, 2, , n 10 (1.3-2) Rõ ràng ta có: a  b  e vì:  Nếu a  b  b nhân phải hai vế với b 1 ta có: a  b  b 1  b  b 1  a  e  e  a  e (vô lí)  Nếu a b  a 1 nhân trái hai vế với a ta có: a 1  a  b  a 1  a  e  b  e  b  e (vô lí) Vậy a  b  e Tương tự b  a  e 1 Nhân trái a váo hai vế a  b  e ta a 1  a  b  e  a 1  e  b  a 1  b  a 1  Do có nhóm hạng ba G  e, a, b  a Xây dựng bảng nhân nhóm: e  e  e; e  a  a  e  a; eb  b e  b a b  b a  e   a  a  e a  b  vô lí  a  a  b   a  a  a a  e  vô lí   b  b  e b  a  vô lí  b  b  a   b  b  b b  e  vô lí  Từ ta có luật nhân C3 thể qua bảng 2.1 Bảng 2.1: Bảng nhân nhóm C3 e a b e e a b a a b e b b e a 19 1  Bài tập 3: Hãy xây dựng bảng nhân nhóm nhóm tuần hoàn C4 Giải:  Nhóm tuần hoàn C4 gồm phần tử sau: C4  e  a , a , a , a với a  e i 2 /4  ; a  ei 4 /4 ; a3  ei 6 /4 Ta thấy e  e  e; e  a2  a2  e  a2 e  a1  a1  e  a1 ; e  a3  a3  e  a3 a1  a  a  a1  a3 ; a1  a3  a3  a1  e a  a3  a3  a  a1 a1  a1  a ; a  a  e; a3  a3  a Do nhóm tuần hoàn C4 có bảng nhân 2.2: Bảng 2.2: Bảng nhân nhóm C4 e a1 a2 a3 e e a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 e a2 a2 a3 e a1 a3 a3 e a1 a2 Bài tập 4: Xây dựng bảng nhân nhóm nhóm hoán vị ba phần tử S3 Giải: Nhóm S3 có 3!=6 phần tử sau: S3  e, 12  ,  23 , 31 , 123  , 321 3’ 2’ Trong đó: (12) phép hoán vị (23) phép hoán vị (31) phép hoán vị 20 1’ (123) phép hoán vị cho 2, cho 3, cho (321) phép hoán vị cho 2, cho 1, cho Ta có: e  e  e; e  12   12   e  12  ; e   23   23  e   23 ; e   31   31  e   31 ; e  123  123  e  123 ; e   321   321  e   321 ; 12   12   e;  23   23  e;  31   31  e; 123   321  e;  321  123  e; 12  23  123   12  31   321 12    12 123   23 12  321   31  2312    321   23 31  123  23    23123   31   23 321  12    3112   123   31 23   321  31     31123  12    31 321   23  12312    31  123 23  12  123    123 31   23 123123   321   32112    23    321 23  31  321     321 31  12   321 321  123 Do xây dựng bảng nhân nhóm S3 21 Bảng 2.3: Bảng nhân nhóm S3 e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) Bài tập 5: Xây dựng bảng nhân nhóm G  1, i với phép nhân thông thường Giải: Nhóm G gồm bốn phần tử 1, 1, i, i nhóm hạng Ta có: 11  1; 1  1   1 1  1; 1 i  i 1  i; 1  i    i  1  i;  1   1  1;  1  i  i   1  i;  1   i    i    1  i; i  i  i  1; i   i    i   i  i  1;  i    i   i  1; Vậy ta xây dựng bảng nhân nhóm G Bảng 2.4: Bảng nhân nhóm G -1 i -i 1 -1 i -1 -1 -1 -i i i i -i -1 -i -i i -1 22 2.2 BÀI TẬP VỀ LỚP VÀ NHÓM CON Bài tập 6: Chỉ phần tử nhóm thuộc lớp phần tử đơn vị hình thành lớp với Giải: Xét nhóm G: Giả sử ta có a liên hợp với b: a  b  a, b  H với H lớp G  b, c  H  với H  lớp Giả sử ta có b liên hợp với c: b  c G Theo tính chất bắc cầu: a  b; b  c lớp, tức  a  c Do a c phải thuộc H  H Vậy phần tử nhóm thuộc lớp Ta có: e  e  e  e1 Do phần tử đơn vị hình thành lớp với Bài tập 7: Xét nhóm G với a, b  G , tồn g  G cho b  gag 1  mối ta nói b liên hợp với a, viết b  a Hãy quan hệ tương đương G Các lớp tương ứng với mối quan hệ gọi lớp liên hợp G Giải: Ta có a  a sử dụng g=e Nếu b  a với g  G b  gag 1 Nhân trái với g-1 nhân phải với g ta g 1bg  g 1 gag 1 g  a   1 1 1 Do a  g bg  g b g 1 dẫn tới a  b 23 Nếu c  b b  a c  gbg   1 b  hah 1 với g , h  G Do c  g hah1 g 1   gh  a  gh  Điều c  a Vậy  1 mối quan hệ tương đương G với tính chất: (i) a  a (ii) Nếu b  a a  b (iii) Nếu c  b b  a c a Bài tập 8: Xét nhóm nhị diện D4 nhóm đối xứng hình vuông bao gồm phép quay quanh tâm phép chiếu lên trục nằm ngang, thẳng đứng, đường chéo Hãy liệt kê phần tử nhóm, nhóm nhóm bất biến Giải: Lấy phép quay quanh tâm góc  / g, phép chiếu lên đường chéo (24) h Hình 2.1: Dạng đối xứng D4 Thì nhóm nhị diện D4 gồm phần tử là: D4  e, g , g , g , h, gh, g 2h, g 3h 1 với e  g  h   gh  ; hg  g h Đây nhóm hạng có nhóm không tầm thường hạng 2, Các nhóm hạng là: 24 e, h e, g  N  e, gh e, g h e, g h Các nhóm hạng là: N 41  e, g , g , g  N 42  e, g , h, g h N 43  e, g , gh, g 3h Các nhóm nêu nhóm bất biến Luật nhân nhóm D4 thể qua bảng 2.5 Bảng 2.5: Bảng nhân nhóm D4 e g g2 g3 h gh g2h g3h e e g g2 g3 h gh g2h g3h g g g2 g3 e gh g2h g3h h g2 g2 g3 e g g2h g3h h gh g3 g3 e g g2 g3h h gh g2h h h g3h g2h gh e g3 g2 g gh gh h g3h g2h g e g3 g2 g2h g2h gh h g3h g2 g e g3 g3h g3h g2h gh h g3 g2 g e 25 Bài tập 9: Tìm lớp liên hợp D4 Giải: D4  e, g , g , g , h, gh, g h, g 3h Ta có D4 gồm phần tử: với e  g  h   gh  ; hg  g h Vì 1 2 x e x 1  e nên phần tử đơn vị e liên hợp với  e Nếu x x lũy thừa g giao hoán với g, x g x 1  x x 1 g  g Nếu x  g h i x g x 1  g i hgg i h  g i hg 1i h  g i g i 1h  g 2i 1 Điều g3 liên hợp với g   g , g  Tương tự ta có: x g x1  g i hg g i h  g i hg 2i h  g i g i 2h2  g 2i 2  g 2i 1 g2   liên hợp với  g Nếu x  g xhx i 1  g i hg i  g i g i h  g 2i h Nếu x  g i h     x h x 1  g i h h g i h  1  g i hhg i h  g i g i h  g 2i h Do g2h  liên hợp với h  h, g h i Nếu x  g x  gh  x 1  g i  gh  g i  g i ghg i  g i 1 g i h  g 2i 1h Nếu x  g h i     x gh x 1  g i h gh g i h 1  g i hghg i h  g i g 1h g i h  g i 1g i h  g 2i 1h   Do gh liên hợp với g3h  gh, g h  Vậy D4 có lớp liên hợp là: e , g , g 26  ,g  , h, g h , gh, g h 2 Bài tập 10: Xét nhóm nhị diện Dn tạo từ phép toán mối 1 quan hệ Với phép toán a hạng n b hạng thỏa mãn: ba  a b a) i i Hãy ba  a b cho i với  i  n b) Hãy phần tử dạng c) Liệt kê tất lớp kề trái lớp kề phải b  e, b aib hạng Giải: a) Xét với số nguyên dương i chứng minh theo phương pháp quy nạp: Giả sử ta ba k  a  k b có bak 1  bak a  ak ba  a k a 1b  a  k 1b i i Vậy ba  a b cho i với  i  n b) Ta có aib     b  aibaib  bai b  a ib  a  e Vậy phần tử hạng   c) Lớp kề trái e, b có dạng a e, b  a , a b i Lớp kề phải i i 0in e, b có dạng e, b a  a , ba   a , a b với i i i i i 0i  n   Bài tập 11: Chứng tỏ nhóm H  e, 123 ,  321 nhóm S3 nhóm bất biến Giải: Dựa vàoluật nhân nhóm S3 bảng 2.3, rõ ràng ta có phần tử nhóm liên hợp H  phần tử H e e, 123 ,  321 e1  e, 123 ,  321 12  e, 123 , 321 12  1  e, 321 , 123  27  23 e, 123 , 321  23   31 e, 123 , 321 31  e, 321 , 123  1 1 123 e, 123 , 321 123   e, 321 , 123  1  321 e, 123 , 321 321   123  , 321, e 1  e, 321 , 123   Vậy ta có H  e, 123 ,  321 nhóm S3 nhóm bất biến 2.3 BÀI TẬP VỀ NHÓM THƢƠNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP Bài tập 12: Cho H  e, 123 ,  321 , chứng tỏ S3 / H nhóm thương Giải: Ta có H  e, 123 ,  321 nhóm bất biến nhóm S3, gọi M  12  ,  23 ,  31 Nhóm thương S3 / H  aH : a  S3  Cụ thể: eH  e e, 123 ,  321  e, 123 ,  321  H 12  H  12  e, 123 ,  321  12  ,  23 ,  31  M  23 H   23 e, 123 ,  321   23 ,  31 , 12   M  31 H   31 e, 123 ,  321   31 , 12  ,  23  M 123 H  123 e, 123 , 321  123 , 321 , e  H 123 H   321 e, 123 ,  321   321 , e, 123  H Vậy S3 / H  H , M  , nhóm thương hạng 2, nS3 / nH Bài tập 13: Chứng tỏ G nhóm tuần hoàn, N nhóm G nhóm thương G/N nhóm tuần hoàn 28 Giải: Vì G nhóm tuần hoàn nên G nhóm Abelian, ta có:   G  a  ak : k  Z Nhóm thương G/N có dạng: G / N   Nx : x  G   Na     k Do G / N  N a : k  Z  k  : k  Z  Na Vậy G/N nhóm tuần hoàn Bài tập 14: Gọi H nhóm G, không thiết nhóm bất biến Có thể định nghĩa tích lớp kề trái cách trực tiếp công thức pH  qH   pq  H sau thu nhóm thương có chứa lớp kề trái hay không? Áp dụng định nghĩa trường hợp đặc biệt với H  e, 12  S3 Giải: Định nghĩa nhóm đòi hỏi tồn toán tử mà kết hợp cặp phần tử G với phần tử khác tập hợp Sự kết hợp ánh xạ hai tập hợp:  : GG  G Hay  :  a, b   c với a, b, c  G Gọi LH tập hợp lớp kề trái H, tức là: LH   gH , g  G Định nghĩa toán tử kết hợp hai phần tử LH với phần tử khác:  : LH  LH  LH pH  qH   pq  H Ta kiểm tra lại định nghĩa trên: 29 Giả sử H nhóm bất biến tồn p  G cho pHp 1  H Điều tồn h  H cho php 1  H Với trường hợp ta có:  pH    hH   p 1      H    pH   hp 1 H  php 1 H   1 1 Vì php  H nên php H  H Hơn h  H điều hH  eH     1 1 Vì  pH    hH   p H  phải  pH    eH   p H  Tuy nhiên  pH    eH    p 1H    pH    ep  H 1  pH  p 1H  eH  H Như ta rằng:  pH    hH   p 1    H    pH    eH   p 1H  thực tế hH  eH Do toán tử  không với định nghĩa 1 Nếu H nhóm bất biến pHp  H vấn đề giải Vậy H phải nhóm bất biến định nghĩa Bài tập 15: Chứng minh G  H1  H dẫn tới G/H1 đẳng cấu với H2 G/H2 đẳng cấu với H1 ( G / H1  H G / H  H1 ) Giải: Vì H1 H2 nhóm bất biến, tập hợp G/H1 G/H2 với phép nhân thông thường lớp kề nhóm Nếu G  H1  H , ta có: 30 G / H1   gH1 : g  G   h1h2  H1 : h1  H1 , h2  H    h1 H1  h2 H1  : h1  H1 , h2  H    eH1  h2 H1  : h2  H   h2 H1 Điều lớp kề trái H1 tạo phần tử H2 phần tử nhóm thương G/H1 T Phương trình dẫn tới tương ứng: h2  H  h2 H1  G / H1 tương ứng một-một nhiều Mối quan hệ đồng cấu T  hh    hh  H   hH  hH   T  h  T  h  Do T đẳng cấu G / H1  H Tương tự ta có G / H  H1 31 h, h  G PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu khái niệm lý thuyết nhóm như: định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm bất biến, lớp liên hợp, lớp kề, nhóm thương, tích trực tiếp, phép đẳng cấu với ví dụ đơn giản Qua đây, lý thuyết sở nhóm hữu hạn phần rõ Dựa lý thuyết này, đề tài tổng hợp số dạng tập thường gặp đưa cách giải cụ thể Tuy nhiên điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vậy mong góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện 32 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hoàng Phương (2002), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào Vật lý học Lượng tử, NXB Giáo Dục [2] Howard Georgi, (1999), Lie algebras in particle physics, NXB World Scientific [3] Michael Aivazis, Wu-Ki-Tung, (1991), Group theory in physics: Problems and Solutions, NXB World Scientific [4] Wu-Ki-Tung, (1985), Group theory in physics, NXB World Scientific 33 [...]... pH và qH phải được định nghĩa khác nhau Với một nhóm con H cho trước hạng nH, các lớp kề trái riêng biệt của H chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng nH Định lí 1.3 (Lagrange): Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó   Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S3: (i) Nhóm con H1 : e, 123 ,  321 có một lớp   kề M : 12  ,  23 ,  31 thu... là một nhóm con liên hợp với H Rõ ràng rằng, nếu H và H  liên hợp với nhau thì chúng có cùng số phần tử Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó 2 2 3 Ví dụ: (i) Nhóm con H  e, a  của nhóm C4  e, a, a , a  là nhóm con   bất biến; (ii) Nhóm con H  e, 123 ,  321 của nhóm S3 là một nhóm con bất biến Mọi nhóm. .. nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm con bất biến, lớp liên hợp, lớp kề, nhóm thương, tích trực tiếp, phép đẳng cấu cùng với những ví dụ đơn giản Qua đây, những lý thuyết cơ sở về nhóm hữu hạn phần nào được hiện rõ Dựa trên lý thuyết này, đề tài đã tổng hợp được một số dạng bài tập thường gặp và đưa ra được những cách giải cụ thể Tuy nhiên do điều kiện nghiên cứu còn nhiều hạn chế và thời gian nghiên cứu có hạn. .. M  , nhóm thương này hạng 2, đúng bằng nS3 / nH Bài tập 13: Chứng tỏ rằng nếu G là một nhóm tuần hoàn, N là nhóm con của G thì nhóm thương G/N cũng là một nhóm tuần hoàn 28 Giải: Vì G là nhóm tuần hoàn nên G là nhóm Abelian, ta có:   G  a  ak : k  Z Nhóm thương G/N có dạng: G / N   Nx : x  G   Na     k Do đó G / N  N a : k  Z  k  : k  Z  Na Vậy G/N là nhóm tuần hoàn Bài tập 14:... n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tương ứng của Sn chỉ gồm các chu kì-n Định lí 1.2: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm đó phải đẳng cấu với Cn 1.4 LỚP LIÊN HỢP VÀ NHÓM CON BẤT BIẾN Các phần tử của một nhóm G có thể được chia thành các lớp liên hợp và các lớp kề Các cách cấu thành khác nhau để sắp xếp các phần tử của nhóm sẽ sử dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm và... ít nhất hai nhóm con bất biến tầm thường: e và chính G Nhóm đơn điệu và bán đơn điệu: Một nhóm là đơn điệu nếu nó chỉ chứa các nhóm con bất biến tầm thường Một nhóm là bán đơn điệu nếu nó không chứa bất kì một nhóm con bất biến Abelian nào Ví dụ: (i) Nhóm tuần hoàn Cn với n là số nguyên tố là nhóm đơn điệu; (ii) Cn với n không phải là số nguyên tố không là nhóm đơn điệu, cũng không là nhóm bán đơn... tới a  pqcq p   pq  c  pq  1 hay a  c Điều này được hiểu là một mối quan hệ tương đương bất kì sẽ cho ta một cách phân loại các phần tử của một tập hợp Lớp liên hợp: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành một lớp Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp Phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó Ví dụ: Nhóm S3 ở trên có thể chia thành 3 lớp như sau: Lớp đơn vị  1  e... 321, e 1  e, 321 , 123   Vậy ta có H  e, 123 ,  321 của nhóm S3 là một nhóm con bất biến 2.3 BÀI TẬP VỀ NHÓM THƢƠNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP Bài tập 12: Cho H  e, 123 ,  321 , chứng tỏ rằng S3 / H là một nhóm thương Giải: Ta có H  e, 123 ,  321 là nhóm con bất biến của nhóm S3, gọi M  12  ,  23 ,  31 Nhóm thương S3 / H  aH : a  S3  Cụ thể: eH  e e, 123 ,  321... ra trường hợp cụ thể như S3 có nhóm con bất biến H  e, 123 ,  321 , nhóm thương S3/H đẳng cấu với nhóm con bất kì H i  e,  jk  ( i, j, k = hoán vị tuần hoàn của 1, 2, 3) Nhưng S3 không phải là tích trực tiếp của H và Hi vì các phần tử của H và Hi không giao hoán 17 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP 2.1 BÀI TẬP VỀ BẢNG NHÂN NHÓM Bài tập 1: Từ các tiên đề của định nghĩa nhóm, chứng minh các tính chất... i -i -1 1 -i -i i 1 -1 22 2.2 BÀI TẬP VỀ LỚP VÀ NHÓM CON Bài tập 6: Chỉ ra rằng mọi phần tử của nhóm chỉ thuộc một lớp và phần tử đơn vị hình thành lớp với chính nó Giải: Xét nhóm G: Giả sử ta có a liên hợp với b: a  b  a, b  H với H là một lớp của G  b, c  H  với H  là một lớp của Giả sử ta có b liên hợp với c: b  c G Theo tính chất bắc cầu: a  b; b  c cùng một lớp, tức là  a  c Do đó ... phần tử nhóm bội a  Hạng nhóm: số phần tử nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Nhóm mà số phần tử nhóm hữu hạn gọi nhóm hữu hạn, ngược lại nhóm vô hạn  Bảng nhân nhóm: bảng thể luật nhân nhóm phần tử nhóm. .. Chương 1: Nhóm hữu hạn Chương 2: Một số tập PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ Định nghĩa Một tập hợp G : a, b, c,  gọi nhóm có toán tử ∙, gọi phép nhân nhóm, ... Với nhóm H cho trước hạng nH, lớp kề trái riêng biệt H chia phần tử nhóm lớn G thành tập hợp nhóm hạng nH Định lí 1.3 (Lagrange): Hạng nhóm hữu hạn phải số nguyên lần hạng nhóm   Ví dụ: Xét nhóm