Tổng hợp một số bài tập về nhóm hữu hạn

PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi nghiên cứu hệ vật lý, tính chất đặc biệt quan tâm trước hết tính đối xứng Từ tính chất đối xứng ta suy định luật bảo tồn Lý thuyết nhóm cho phép ta nghiên cứu cách đối xứng không gian, từ không gian chiều tới khơng gian chiều nhiều Vì lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng vật lý mơn học chương trình bậc đại học Trong trình học vật lý, việc giải tập có vai trò quan trọng, hoạt động giúp người học hiểu sâu kiến thức, biết phân tích vận dụng chúng cách linh hoạt Đồng thời việc giải tập hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hóa kiến thức biến kiến thức thành vốn riêng người học Khi nhập mơn lý thuyết nhóm, có nhiều bạn gặp khó khăn việc giải tập học phần Vì tơi chọn đề tài “Tổng hợp số tập nhóm hữu hạn” với mục đích tổng hợp số tập nhóm hữu hạn để hiểu nắm vững đặc điểm tính chất nhóm hữu hạn thường dùng vật lý Tơi hi vọng đề tài tài liệu tham khảo cho bạn bước đầu làm quen với mơn lý thuyết nhóm Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nhóm hữu hạn Giải số tập nhóm hữu hạn Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập nhóm hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa sở lý thuyết nhóm hữu hạn Giới thiệu số tập nhóm hữu hạn cách giải tập Các phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán Cấu trúc khóa luận Gồm chương: Chương 1: Nhóm hữu hạn Chương 2: Một số tập PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ Định nghĩa Một tập hợp {G : a, b, c, } gọi nhóm có tốn tử ∙, gọi phép nhân nhóm, mà tốn tử với phần tử G thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính kín: Với ∀a, b ∈ G (ii) Tính kết hợp: Với a ⋅ b ∈G ∀a, b, a ⋅ ( b ⋅ c ) = c ∈G (a ⋅ b)⋅ c (iii) Tồn phần tử đơn vị: Trong số phần tử G, có phần tử đơn vị e cho: a ⋅e =a với ∀a ∈G (iv) Tồn phần tử nghịch đảo: Với a có phần tử nghịch đảo ∈G −1 a ∈ G cho: a ⋅ a −1 = e Từ tiên đề định nghĩa nhóm, ta rút hệ như: − e = e; − a 1⋅ a = e; e⋅a =a với ∀a ∈G Ví dụ 1: Tập hợp số thực R với phép cộng tạo thành nhóm Tập R +∗ với phép nhân thông thường tạo thành nhóm Nhưng khơng phải phép nhân với tập hợp cho trước tạo thành nhóm khơng thỏa mãn đồng thời bốn tính chất Ví dụ: Tập R với phép nhân thơng thường, tập hợp vectơ không gian ba chiều với phép nhân vơ hướng,…  Nhóm Abelian: nhóm mà phép nhân nhóm đòi hỏi có tính chất giao hốn: a ⋅b = b⋅a với ∀a, b ∈ G  Nhóm tuần hồn: nhóm sinh từ tập hợp sinh gồm phần tử a Nếu nhóm viết theo lối nhân phần tử nhóm lũy thừa a, nhóm viết theo lối cộng phần tử nhóm bội a  Hạng nhóm: số phần tử nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Nhóm mà số phần tử nhóm hữu hạn gọi nhóm hữu hạn, ngược lại nhóm vơ hạn  Bảng nhân nhóm: bảng thể luật nhân nhóm phần tử nhóm e a b e e a b a a a.a a.b b b b.a b.b … … … … Ví dụ : Nhóm đơn giản gồm phần tử đơn vị e nghịch đảo e e luật nhân nhóm ee=e Rõ ràng ta thấy tất tiên đề nhóm thỏa mãn Số với phép nhân thơng thường tạo thành nhóm này, kí hiệu C1 Ví dụ : Nhóm đơn giản có phần tử, có phần tử đơn vị Ta biểu thị nhóm {e, a} Tùy theo tính chất e, ta phải có ee=e ea=ae=a Vậy aa cần xác định Hoặc aa=e, aa=a Khả thứ hai khơng thể -1 nhân vế với a dẫn tới a=e Luật nhân nhóm tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1 Nhóm kí hiệu C2 Rõ ràng số +1 (e) -1 (a) hình thành nhóm với phép nhân thơng thường Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm C2 e a e e a a a e Ví dụ 4: Chỉ có nhóm ba phần tử C3 với bảng nhân nhóm -1 đưa bảng 1.2 Vì a =b nên ta biểu thị phần tử a, a −1 } {e, với đòi hỏi a =e Các ví dụ cụ thể nhóm C3 là: (i) số i 2π /3 −i 2π /3 (1, e ,e với luật nhân thơng thường, (ii) tốn tử đối xứng tam giác mặt phẳng, tức phép quay góc 0, 2π / 3, 4π / Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm C3 e a b e e a b a a b e b b e a Ví dụ 5: Nhóm khơng tuần hồn đơn giản hạng Nó thường gọi nhóm bốn nhóm nhị diện kí hiệu D2 Nếu ta biểu thị bốn phần tử này {e, a, b, c} , bảng nhân đưa bảng 1.3 Bốn phần tử tương ứng với phép biến đổi đối xứng hình 1.1: (i) giữ hình khơng đổi, (ii) phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3), (iii) phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4) (iv) phép quay quanh tâm góc π mặt phẳng Hình 1.1: Dạng đối xứng D2 Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm D2 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Ví dụ : Nhóm khơng Abelian nhỏ hạng Nó tạo từ phép biến đổi đối xứng dạng hình học hình 1.2 3’ 2’ 1’ Hình 1.2: Dạng đối xứng D3 Đây nhóm nhị diện D3 bao gồm: (i) phép biến đổi đơn vị, (ii) phép chiếu xuống trục (1, 1’), (2, 2’), (3, 3’), (iii) phép quay quanh tâm với góc 2π / 4π / Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần ta trở lại hình ban đầu Ví dụ chiếu xuống trục (3, 3’) làm đổi chỗ 2,… Do ta biểu thị ba toán tử chiếu (12), (23), (31) Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2π / 4π / dẫn tới hoán vị tuần hoàn ba điểm, biểu thị (321) (123) Ta nhận thấy có tương ứng phép biến đổi đối xứng hoán vị ba điểm hình thành nhóm hốn vị S3 Có thể dễ dàng kiểm tra thực phép biến đổi (12) (123) liên tiếp tùy thuộc vào thứ tự áp dụng cho kết (31) (23) Điều chứng tỏ nhóm khơng Abelian Bảng 1.4: Bảng nhân nhóm D3 (hay S3) e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (123) (321) (23) (31) (23) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) 1.2 NHÓM CON Định nghĩa: Một tập H nhóm G với luật nhân G hình thành nhóm G Ví dụ : Nhóm bốn D2 có ba nhóm riêng biệt bao gồm phần tử {e, h} N2 = {e, g } {e, gh} {e, g h} {e, g h} Các nhóm conN = hạng là: g {e, g, g } = { e , g , h , g 2 , h Bảng 2.5: Bảng nhân nhóm D4 N4 } N = { e g g2 g3 h e e g g2 h g g g2 gh 2 g3 e g3 e g gh gh g g e g e , g h g h gh gh g gh gh h gh gh gh 2 gh gh h gh 3 gh g2 gh gh h g3 gh , g h , g h } Các nhóm nêu nhóm bất biến Luật nhân nhóm D4 thể qua bảng 2.5 g g gh e g Bài tập : Tìm lớp liên hợp D4 Giải: D g, 4g= Ta có D4 gồm phần tử: {e, , g , h, gh, g h, g h} với e= = = g h Vì x e x −1 x lũy thừa g xgx Nếu −1 −1 ; hg = g h {e} nên phần tử đơn vị e liên hợp với ⇒ = e Nếu ( gh) x giao hoán với g, −1 = xx g= g x= g ih − x g x = gihgg − = g i g i 1h −i − h = gihg1 ih = g Điều g liên hợp với g ⇒ 2i−1 {g, g } Tương tự ta có: −1 i −i i x g x = g hg g h = g hg i i −2 =g g h liên hợp với ⇒ −1 Nếu x = xhx = i g xh x −1 = g i g i hg = i i 2i = i g = g 2i−2 g {g } ( g h ) h ( g h )1 = gh= g h h 2( i−1) = g i g i h = Nếu x = gih g 2i h −i i −i g hhg −i h Do g h liên hợp với h ⇒ x ( gh)−ix gh) g x = gi Nếu {h, g h} −1 = g i ( = g−ii ghg i +1 i = hg g h = g 2i+1 Nếu x = g h i x gh x −1 − = ( g h) gh ( g i h )1 = gihghg i −i h = gi g −1 h2 g i h − = g i 1g i h = g 2i 1h Do gh liên hợp với ⇒ gh Vậy D4 có lớp liên hợp là: { } {gh, g h} {} {} { } { e , g, g , g 2 , h, g h , } gh, g h Bài tập 10 : Xét nhóm nhị diện Dn tạo từ phép toán mối quan hệ Với phép toán a hạng n b hạng thỏa mãn: a) Hãy ba = i −1 ba = a b cho i với ≤ i < n −i a b b) Hãy phần tử dạng c) Liệt kê tất lớp kề trái lớp kề phải b = i ab hạng {e, b} Giải: a) Xét với số nguyên dương i chứng minh theo phương pháp quy nạp: Giả k +1 sử −k −1 Vậy ba = −i ) b) Ta có −( k +1) b cho i với ≤ i < n ( ) = aibaib = ba b = a i a −i b = a0 = e i ( Vậy phần tử hạng c) Lớp kề trái {e, có dạng b} a i {e, b} = i ab Lớp kề phải b} a b a ib i ba = k −k a b = ba a = a ba = a a b = a ab có −k k ba i ta {e, 0≤ i < n {a , i ∀ 0≤ i < n } có dạng {e, b} a i {a , ba } = {a , a b} i = i với −i i Bài tập 11: Chứng tỏ nhóm nhóm bất biến {e, (123) , (321)} H= nhóm S3 Giải: Dựa vàoluật nhân nhóm S3 bảng 2.3, rõ ràng ta có phần tử nhóm liên hợp H ′ phần tử H e{e, (123) , (321)}e −1 = {e, (123) , (321)} (12 ) {e, (123) , (321)} (12 ) −1 = {e, (321) , (123 )} ( 23) {e, (123) , (321)} ( 23 ) ( 31) {e, (123) , (321)} (31) = {e, (321) , (123 )} = {e, (321), (123 )} −1 −1 (123){e, (123), (321)}(123) −1 = {(123), (321), e} ( 321) {e, (123) , (321)} (321) Vậy ta có H = biến −1 = {e, (321) , (123 )} {e, (123) , (321)} nhóm S nhóm bất 2.3 BÀI TẬP VỀ NHĨM THƢƠNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP Bài tập 12: H= Cho thương {e, (123) , ( 321)} , S3 / H nhóm chứng tỏ Giải: Ta có H= {e, (123) , (321)} nhóm bất biến nhóm S3, gọi M= {(12) , (23), (31)} Nhóm thương Cụ thể: S3 / H = {aH : a ∈ S 3} eH = e{e, (123) , (321)} = {e, (123) , (321)} = (12) H = (12){e, (123) , (321)} (31)} (23) = {(12 ) , (23), = M H = (23){e, (123) , (321)} = {(23), (31), (12)} =M (31) H = (31){e, (123) , (321)} ( 23)} = M = {( 31) , (12 ) , H (123) H = (12 (123) H = (321){e, (123) , (321)} = (123)} {( 321) , e, =H 3){e, (123) , (321) }= {(12 3) , (321) , e} = H Vậy S3 / H = {H , M } , nhóm thương hạng 2, n / nH S3 Bài tập 13: Chứng tỏ G nhóm tuần hồn, N nhóm G nhóm thương G/N nhóm tuần hồn Giải: Vì G nhóm tuần hồn nên G nhóm Abelian, ta có: G= a = {a Nhóm thương G/N có dạng: Do G / N = = G/ N k :k∈ Z } {Nx : x ∈G } {N (a ) : k ∈ Z} = {( Na ) k ∈ Z }= k :k Na Vậy G/N nhóm tuần hồn Bài tập 14: Gọi H nhóm G, khơng thiết nhóm bất biến Có thể định nghĩa tích lớp kề trái cách trực tiếp công thức pH  qH = ( pq) sau thu nhóm thương H có chứa lớp kề trái hay không? Áp dụng định nghĩa trường hợp đặc biệt với H = {e, (12)} S3 Giải: Định nghĩa nhóm đòi hỏi tồn tốn tử mà kết hợp cặp phần tử G với phần tử khác tập hợp Sự kết hợp ánh xạ hai tập hợp: Hay □ : G ×G → G  : ( a, b )  c với a, b, c ∈ G Gọi LH tập hợp lớp kề trái H, tức là: LH {gH , ∀g ∈G} = Định nghĩa toán tử kết hợp hai phần tử LH với phần tử khác: □ : L H → LH × LH pH  qH  pq H ( ) Ta kiểm tra lại định nghĩa trên: Giả sử H khơng phải nhóm bất biến tồn p ∈ G cho − pHp ≠ H Điều tồn cho php−1 ∉ H Với h∈ H trường hợp ta có: ( pH ) (hH )    Vì php −1 ) H =   −1 pH ) nên ∉ H ( php ) −1 ( (hp ) −1 H = −1 ≠ H = eH điều ∈ H hH ( pH (p (hH )   ) −1 H phải ) (   pH   Tuy nhiên ( php ) H H Hơn h Vì ) (p ( pH ) (eH ) (   −1 p H ) = pH )   −1( ) eH   ( p H )  ( (ep−1 ) H  p−1H = pH  = eH = H Như ta rằng: ( pH ) (hH )    (p pH ) ) H ≠  −1  ( (eH )   (p ) thực tế −1 H  hH = eH Do tốn tử  khơng với định nghĩa Nếu H nhóm bất biến pHp−1 = H vấn đề giải Vậy H phải nhóm bất biến định nghĩa Bài tập 15: Chứng minh G = H1 ⊗ H2 dẫn tới G/H1 đẳng cấu với H2 G/H2 đẳng cấu với H1 ( G / H1  H2 G / H2  H1 ) Giải: Vì H1 H2 nhóm bất biến, tập hợp G/H1 G/H2 với phép nhân thông thường lớp kề nhóm Nếu G = H1 ⊗ H2 , ta có: G / H1 = {gH1 : g ∈ G} = {( h1h2 ) H1 : h1 ∈ H1 , h2 ∈ H } = {( h1 H1 )( h2 H1 ) : h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } = = {(eH )( h {h H } H ) : h2 ∈ H } Điều lớp kề trái H1 tạo phần tử H2 phần tử nhóm thương G/H1 T Phương trình dẫn tới tương ứng: h2 ∈ H2  h2 H1 ∈G / H1 tương ứng một-một nhiều Mối quan hệ đồng cấu T (hh′) = (hh′) H = (hH )(h′H ) = T (h)T h′ Do T đẳng cấu ( ) G / H1  H Tương tự ta có G / H  H ∀h, h ′ ∈G PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài giới thiệu khái niệm lý thuyết nhóm như: định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm bất biến, lớp liên hợp, lớp kề, nhóm thương, tích trực tiếp, phép đẳng cấu với ví dụ đơn giản Qua đây, lý thuyết sở nhóm hữu hạn phần rõ Dựa lý thuyết này, đề tài tổng hợp số dạng tập thường gặp đưa cách giải cụ thể Tuy nhiên điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vậy mong góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hồng Phương (2002), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào Vật lý học Lượng tử, NXB Giáo Dục [2] Howard Georgi, (1999), Lie algebras in particle physics, NXB World Scientific [3] Michael Aivazis, Wu-Ki-Tung, (1991), Group theory in physics: Problems and Solutions, NXB World Scientific [4] Wu-Ki-Tung, (1985), Group theory in physics, NXB World Scientific ... phần tử nhóm bội a  Hạng nhóm: số phần tử nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Nhóm mà số phần tử nhóm hữu hạn gọi nhóm hữu hạn, ngược lại nhóm vơ hạn  Bảng nhân nhóm: bảng thể luật nhân nhóm phần tử nhóm. .. Chương 1: Nhóm hữu hạn Chương 2: Một số tập PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHÓM HỮU HẠN 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ Định nghĩa Một tập hợp {G : a, b, c, } gọi nhóm có tốn tử ∙, gọi phép nhân nhóm, ... Với nhóm H cho trước hạng nH, lớp kề trái riêng biệt H chia phần tử nhóm lớn G thành tập hợp nhóm hạng nH Định lí 1.3 (Lagrange): Hạng nhóm hữu hạn phải số ngun lần hạng nhóm Ví dụ : Xét nhóm