Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng

Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - năm 2009 ụ ụờ ó ệ ồ ổ ợ ồ t ồ ệ ó ồ ồ Pé ế t ồ ó ị ĩ tí t ì ế ủ ột ể ột số t q tộ ột số ứ ụ ủ é ế ị ý t t ồ ớ t tứ ế ệ t S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ờ ó tí ồ ộ ủ tí ệ ứ ề t ồ ồ ù ữ ề q ộ ó trò q trọtr ề ĩ ự ủ t ọ ứ ụ ệt tr tố ó t tứ ế t ột tr ữ ề q trọ ủ tí ồ ó é ế ó ột ụ s é ể ứ ề ị ý q trọ ị ý t ị ý ỉ t ồ ị ý ềtồ t ệ ủ t tứ ế ữ ứ ự é ế tờ tí t ế tết ợ ở ế ề ềr ú t t tr ệ trì ị ĩ ệ tí t ù ữ ứ ụ q trọ ủ é ế ự ó ú t ớ tệ tt t ể tì ệ ủ t t tứ ế qết ợ t t tứ ế tì út ó tể r ờ rt ề ề ở ì ề t trtố ó trì t ý t ề ề tr tế ỹ tt t tịề ợ t ớ óề t ồ r trớ ết ú t trì ột số ế tứ sở ủ t ồ ồ ú ữ ụ t ữ ứ ợ trì tr ột í ủ r út ể ó r ề ệ tí t ủ é ế ệt ú t trì tứ ị ì ế ủ ột ể sộ ì ủ Rn.r q trì ứ ề é ế ó ú t ết rì ế ó ủ ột ể t ồ ó rỗ tr Rn tồ t t ự ó ú t ề ế ữ ứ ụS húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ủ ó ụ tể ú t trì ứ ụ ủ é ế ó ề s ứ ị ý t ứ sự tồ t ủớ ủ ồ ự tt t t tứ ế ữ ề ợ trì tết ở ợ t ớ sự ớ t tì ủ ũ ờ t ớ q s tr ệ ứ t ị t tỏ ò ết s s tớ ồ tờ t ũ t t tr rờ ọ ọ ệ tọ t tì ú t ợ ữ ế tứ sở tề ệ t ợ t ờ t ồ ệ ổ ũ ộ ttr q trì 28 t 09 2009ọ ị ễS húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ r ú t trì ữ ệ tr tí ồ ù ớ ữ tí t tr ủ ó t ồ t ó ồ ồ ồữ t ợ q tộ ú t ết s ề t ồ ệ ề t ồ ó ột trò q trọ tr tí ồ r ú t trì ị ĩ tí t ủt ồ t t ồ ệ ó ồ ổ ợ ồị ĩ ột ờ t ố ể ét a b tr Rn t ợ tt ể ét x Rnó {x Rn| x = (1 )a + b, R}. ột t ố ể ét a b tr Rn t ợ tt ể ét x Rnó {x Rn| x = (1 )a + b, 0 1} .S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ị ĩ ột t C Rnợ ọ ột t ồ ế C ứ ọ t q ể t ỳ ủ ó ứ C ồ ỉ x, y C, [0; 1] = x + (1 )y C. ó x tổ ợ ồ ủ ể étx1, . . . , xkếx =ki=1ixi, xi Rn, i 0, i = 1, . . . , k,ki=1i= 1.ệ ề ệ ề C Rn ồ ỉ ó ứ ọ tổ ợ ồ ủ ể ủ ó ứ C ồ ỉ k N, 1, . . . , k> 0 :ki=1i= 1, x1, . . . , xk C ki=1ixi C.ứ ề ệ ủ r từ ị ĩ ủ t ồ ứ ớ k = 2.ề ệ ứ q t số ểk = 1 : ể k = 2 : ề ệ ứ s r từ ị ĩ ủ t ồ tổ ợ ồ sử ệ ề ú ớ k 1 ể t ứ ó ú ớ k ểt ế x tổ ợ ồ ủ k ể x1, . . . , xk C, tứ x =ki=1ixi, i> 0, i = 1, . . . , k,ki=1i= 1. sử k> 0, t =k1i=1i ó 0 < < 1 x =k1i=1ixi+ kxk= k1i=1ixi+ kxk.i> 0 i = 1, . . . , k 1 k1i=1i= 1S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn t tết q tì ểy =k1i=1ixi C. ó x = y + kxk. > 0, k> 0 + k=ki=1i= 1 x tổ ợ ồ ủ y xkề tộ C x C.ừ ị ĩ ủ t ồ t s r ớ t ồ ó ớ é é ộ số é tí stsệ ề ệ ề ế A, B t ồtr Rn C t ồ tr Rmtì t s ồA B = {x | x A, x B} ,A + B = {x | x = a + b, a A, b B, , R} ,A ì C = {x Rm+n| x = (a; c), a A, c C} . t ồ ệr tí ổ ể t q ớ só trờ ợ r ủ t ợ ị ĩ sị ĩ ột t C ợ ọ t ế ó ứ ọ ờt q ể t ỳ ủ ó ứ x, y C, R x + (1 )y C. ét ột trờ ợ r ủ t ồ ọ s tr Rnề t ệ ề ớ t t t í tị tế ủ ột S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ ề ệ ề M = t ỉ M = L + a ớ L ột a M. L ợ ị tứ ề ệ sử M t a M ó L = M a ứ 0 t ó L ột M = L + a.ề ệ ủ ế M = L + a ớ a M L tìx, y M, R, t ó(1 )x + y = a + (1 )(x a) + (y a). x a, y a L L (1 )(x a) + (y a) L.= (1 )x + y M. M t L ở tr t t ế M = L + a M = L+ a, tr ó L, L ữ a, a M tìL= M a = L + a a= L + (a a). a M = a + L a a L.= L= L + (a a) = L. L tr ệ ề tr ợ ọ ss ớ t Mị ĩ ứ ề ủ L s sớ t M ợ ọ tứ ề ủ M ợ ý ệ Mể a Rn t ó số ề 0 ở ì s s ớ M = {a} L = {0}S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ ề ệ ề t ỳ ột t M Rnó số ề r ề ó M = {x Rn| Ax = b} (1.1)r ó A tr (m ì n), b Rm rank A = n r.ợ ọ t ợ ó ớ rank A = n r ề t ó số ề rứ ề ệ sử M t ó số ề r M = L + a ớa M L = M a ó số ề r số tế tí r ề ó L = {x | Ax = 0}tr ó A tr m ì n rank A = n r. ừ M = L + a s rM = {x | A(x a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} .ề ệ ủ ế M ợ ở ớ a M t ó Aa = b óM = {x | A(x a) = 0} = a + Lớ L = {x | Ax = 0} . rA = n r L ó số ề r rị ĩ tr Rn t ợ ể ó {x Rn| a, x = }tr ó a Rn\ {0} , R.ét a ở tr ợ ọ ét tế ủ s ử ó ột t ợ ó {x | a, x } , {x | a, x }S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Phép chiếu lên tập lồi đóng Bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm xuống tập lồi có vai trò quan trọng trong tối ưu và nhiều lĩnh vực khác như bất đẳng thức biến phân, cân bằng Bài toán này có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt nó xuất hiện như một bài toán phụ trong rất nhiều phương pháp số tối ưu, bất đẳng thức biến phân Đây cũng là công cụ sắc bén và khá đơn giản để chứng minh nhiều... Vậy C bị chứa trong một siêu H chứa affC Gọi w là véc tơ pháp tuyến của H Khi đó tồn tại số sao cho H = x Rn | w T x = Do 2.2 C C H, nên suy ra H là siêu phẳng tựa của cả C và C Hình chiếu của một điểm lên một số tập quen thuộc Bài toán đi tìm hình chiếu của một điểm trên một tập hợp có ý nghĩa rất quan trọng Như ta đã biết ở phần trên, hình chiếu của một điểm bất kỳ lên một tập lồi, đóng, khác... xét ở chương sau Những cách chứng minh dựa trên phép chiếu vuông góc thường mang tính chất kiến thiết 2.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 2.1.1 Cho C = (không nhất thiết lồi) và y là một véc-tơ bất kỳ, đặt dC (y) = inf x y xC Ta nói dC (y) là khoảng cách từ Nếu tồn tại vuông góc y đến C C sao cho dC (y) = y của y trên thì ta nói là hình chiếu C Ta ký hiệu hình chiếu của y trên C là pC (y)... 3 Một số ứng dụng của phép chiếu 3.1 Định lý tách tập lồi Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến tính các định lý tách hai tập lồi có vai trò trung tâm Về bản chất, các định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc tập lồi không, và nếu không thuộc thì nó có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là tập nghiệm của hệ phương trình đại số, ... cơ sở B = {1 , 2 , , n } bR Giả sử k n là một điểm bất kỳ, a= cj j Rn ; cj là hằng số thực j=1 sao cho f = b a thỏa mãn f, j = 0, j = 1, 2, , k Chứng minh a là b trên L Xác định biểu thức tọa độ của a hình chiếu vuông góc của Lời giải Thật vậy, giả sử c = (c1 , c2 , , cn ) L Vì f = b a vuông góc với mọi véc tơ trong cơ sở B của L nên nó vuông góc với véc tơ thuộc L Do đó: bc 2 = b a +... dưới này, ta sẽ chứng minh: Nếu C là tập lồi đóng khác rỗng thì hình chiếu vuông góc của một điểm Mệnh đề 2.1.2 y bất kỳ trên C luôn tồn tại và duy nhất ( xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.1) Cho đóng khác rỗng Khi đó với mọi y Rn , C C là một tập lồi hai tính chất sau là tương đương: (a) = pC (y), (b) y NC () Chứng minh (a) (b) Lấy x C và (0, 1) Đặt x = x + (1 ) Do x, C và C lồi nên x C... phần trên, hình chiếu của một điểm bất kỳ lên một tập lồi, đóng, khác rỗng luôn tồn tại và duy nhất Trong một số trường hợp, tập chiếu có những tính chất đặc biệt thì ta có thể tính được hình chiếu một cách tường minh Phần này, chúng tôi trình bày công thức xác định hình chiếu của một điểm lên siêu hộp, hình cầu và không gian con của Bài toán 1: Trong Rn Rn , cho siêu hộp K có phương trình K = x =... đó ta nói 0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện (xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.6) Một tập Mệnh đề 1.1.18 C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau: (i) (ii) C C, > 0, C + C C Chứng minh C là một nón lồi Do C là một nón, nên ta có (i) 1 Do C là một tập lồi nên với mọi x, y... tập lồi khác rỗng và là một số thực Ta nói là hệ số lồi của f trên C , nếu với (0, 1), x, y C , ta có: 1 f (x + (1 )y) < f (x) + (1 )f (y) (1 ) 2 Hiển nhiên nếu xy 2 = 0 thì f lồi trên C Nếu f có hệ số lồi trên C là > 0 thì f lồi mạnh trên C với hệ số Định nghĩa 1.2.7 Một hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = và f (x) > với mọi x Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong... rỗng sao cho 0 C C Rn Khi đó tồn tại một véc tơ là một tập lồi, t Rn , t = 0 và > 0 sao cho t, x > 0, x C Chứng minh Do C đóng và 0 C nên tồn tại hình cầu B tâm ở gốc, bán kính r > 0 sao cho C B = áp dụng định lý tách 1 cho hai tập C và B , ta có t Rn \ {0} và R, sao cho t, x t, y x C, y B Bằng cách chuẩn hóa ta có thể xem đến siêu phẳng t = 1 và do đó khoảng cách từ gốc 0 t, x = . LIỄU PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC