Phép biến đổi fourier và một số ứng dụng

Lý do chọn đề tài Bộ môn phương trình vi phân đạo hàm riêng là bộ môn toán cơ bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi.. Vì vậy chắc chắn nó có nghiệm và người ta th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI - 2013

Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo, PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng

và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không

có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Không gian L p( , )E  7

1.2 Tích chập 7

1.3 Tích phân trên khoảng vô hạn 10

1.4 Tích phân Fourier 14

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 18

2.1 Biến đổi Fourier trong L1( ) 18

2.2 Biến đổi Fourier trong L2( ) 35

2.3 Biến đổi Fourier rời rạc 38

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 43

3.1 Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt 43

3.2 Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 46

3.3 Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng 51

3.4 Ứng dụng khác (Thế vị Bessel) 52

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bộ môn phương trình vi phân đạo hàm riêng là bộ môn toán cơ bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường, các bài toán phương trình đạo hàm riêng được rút ra từ các bài toán trong thực tế Vì vậy chắc chắn nó có nghiệm và người ta thường dùng các phép biến đổi để giải các phương trình vi phân đó đặc biệt hiệu quả cao với các phép biến đổi

Fourier… Chính vì vậy em lựa chọn đề tài “Phép biến đổi Fourier và một số

ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Nội dung gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phép biến đổi Fourier

Chương 3: Một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu phép biến đổi Fourier và tính chất

- Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian L p( , )E 

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử E là một tập hợp nào đấy,  là một  - đại số các tập con của

E,  là độ đo trên  L p( , )E  là tập hợp tất cả các hàm số x t ( ) đo được theo độ đo  trên E sao cho tích phân sau hội tụ

Được gọi là tích chập của hàm f và hàm g





x x

Cho , , f g h là các hàm số xác định trên Nếu các tích chập f g

và f h tồn tại thì f (gh) tồn tại Hơn nữa f (gh) f g f h

Tính chất 1.3 (Tính chất nhân vô hướng)

Cho f là hàm số các định trên , hằng số 

Ta có: ( f )g  f (g) (f g)nếu một trong các tích chập trên

Tính chất 1.4 (Tích chập với hàm 0)

f  

1.3 Tích phân trên khoảng vô hạn

1.3.1 Các hàm liên tục tuyệt đối

Định nghĩa 1.3 Một hàm f :a b,  được gọi là hàm liên tục tuyệt đối trên a b,  nếu:

Một hàm f xác định trên được gọi là bình phương khả tích nếu và

Vì rect( , )a b là hàm không âm nên rect( , )a b ( )x  rect( , )a b ( )x

Nếu a, b là hai số hữu hạn thì:

Bổ đề 1.1 Nếu một hàm số f liên tục từng khúc trên một khoảng hữu hạn ( , )  thì f khả tích tuyệt đối trên ( , )  Nghĩa là f x liên tục từng ( )khúc trên ( , )  ,  x ( , )  thì

Vì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm liên tục từng khúc trên ( , )  nên

f cũng liên tục từng khúc trên ( , )  Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

Chứng minh

Theo giả thiết g bị chặn nên M sao cho g x( )  M ,    x  

Vì f là hàm khả tích tuyệt đối trên ( , )  nên ta có:

Định lý 1.3 Cho f L1( ), thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng mở hữu hạn Giả sử f x( )

trong đó tích phân vế trái được hiểu là:

tồn tại với mọi q

Sau đây ta sẽ chứng minh:

Vì t  x  a  x  0nên ( )

a

f t dt

Cho q   trong đẳng thức trên, ta có:

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

2.1 Biến đổi Fourier trong L1( )

Ví dụ 2.2 Cho f x ( )  ex,   0 Tìm biến đổi Fourier của hàm f ?

 với C0 là không gian các hàm số liên

tục tiến dần về 0 tại vô cực, hơn nữa

( ) 2

Chứng minh

Cho trước   0, ta biết rằng C0( ) trù mật trong L1( ) nên tìm được hàm g liên tục trên và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn A A,  sao cho f g p 

Tính liên tục đều của g cho ta một số   (0,A) thỏa mãn

i x j

( )2

2

b

i x a

Và là hàm liên tục tiến về 0 khi  0

Nếu hàm f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm

đặc trưng Do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có f



liên tục và tiến dần về 0 khi   

Sau cùng, nếu f  L1( ) do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong

Hơn nữa, f L1( ) nếu vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi

x   Ngoài ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f  L1( )

n n

f f

k k

k

k k k

f f

 và f  L1( ) nên tích phân trên hội tụ với mỗi  

Định lý 2.5 (Công thức Fourier ngược)

12

2

1

2 2

12

2

( )

2 2

( ) 2

1 2

2

( )2

1( )

Do đó f là dãy Cauchy trong n L2( ) , sẽ hội tụ trong L2( ) về

(d) Từ các kết quả trên suy ra toán tử F là toán tử tuyến tính liên tục và

ra F f{ }là đẳng cự trong không gian S( )và S( )

Do đó theo nguyên lý thác triển, ánh xạ F{ } :f f  f được gọi là thác triển duy nhất thành ánh xạ  từ L2( )  L2( ) là đẳng cự tuyến tính

2.2.2 Định nghĩa Ánh xạ f  f trong L2( ) xác định bởi định lý

2.6 được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm f trong L2( ) Ta ký hiệu { }

F f hoặc f Như vậy f  L2( ) ta cũng có:

2.3 Biến đổi Fourier rời rạc

2.3.1 Chuỗi Fourier rời rạc

Cho hàm số x n xác định với ( ) n0 ,1, N 1 Ta định nghĩa chuỗi Fourier rời rạc của ( )x n như sau:

1

2 / 0

Vậy X tuần hoàn, xác định trên , chu kỳ N

2.3.2 Biến đổi Fourier rời rạc

Hàm X xác định trên {0,1,…, N - 1} như sau:

km

m k

Ta viết lại (2.7) như sau:

Ký hiệu X, X1, X2 lần lượt là biến đổi Fourier rời rạc của x, x1, x2 (chúng

là các hàm số xác định trên {0, 1,…, N - 1})

Với p  , N  , ta định nghĩa phần dư của p theo module N là

số thực không âm như sau:

modN  

Ta có các tính chất sau đây của biến đổi Fourier rời rạc mà phần chứng minh được suy ra từ định nghĩa Trong các tính chất sau đây, vế phải của ký hiệu “” là biến đổi Fourier của vế trái

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3.1 Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt

3.1.1 Bài toán 1

Tìm nghiệm u x t ( , ) của phương trình vi phân sau đây:

2 2 2

Biến đổi vế trái (3.1) như là một hàm theo biến x (xem t là tham số)

dùng tính chất ii) để có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, ta có:

Tương tự, sử dụng i) và tính chất 2.7 của phép biến đổi Fourier, ta biến

đổi Fourier vế phải của (3.1) như là hàm theo biến x, ta có:

Từ đó, biến đổi hai vế của (3.1) cho ta phương trình vi phân thường

theo biến t ( là tham số) như sau:

t

u  t   a u  t

12

4

1

( )2

3.1.2 Ví dụ

Ví dụ 3.1

Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau đây:

2 2

Đây là bài toán tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt

Sử dụng phương pháp Fourier trong bài toán 1 ta có nghiệm cần tìm là:

Ví dụ 3.2

Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau đây:

2 2

Đây là bài toán tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt

Sử dụng phương pháp Fourier trong bài toán 1 ta có nghiệm cần tìm là:

3.2 Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

3.2.1 Bài toán 2

Tìm nghiệm của phương trình:

2 2

( ) 4

+ Điều kiện ban đầu là hiển nhiên

( )

4 ( ) 0

Từ đó nghiệm của phương trình tổng quát

2 2

2 ( , )( , 0) ( )

2 2

( ) ( )

4 ( ) 4

Tính

2

( ) 16 1

12

  



x t

3.3 Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng

Bài toán 3 Tìm nghiệm u x t ( , ) của phương trình:

11

ix t t

Nên

2

1 2

a b

1 2 4

4

x t

e t

 



x t t

KẾT LUẬN

Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng”

nghiên cứu tổng quan về các vấn đề: biến đổi Fourier trong L1( ), biến đổi

Fourier trong L2( ) , biến đổi Fourier rời rạc và một số ứng dụng

Qua quá trình nghiên cứu về phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng

em thấy đây là một vấn đề cơ bản của giải tích, là một đề tài hữu ích Qua khóa luận, bản thân em không chỉ lĩnh hội được những tri thức mới mà còn giúp em những hiểu biết nhất định

Việc nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier trong

có đóng góp quan trọng vào bộ môn giải tích nói chung cũng như phương trình đạo hàm riêng

Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả năng và vốn kiến thức còn hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp của em không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân,

Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục

2 Nguyễn Phụ Hy (2000), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật

3 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2008), Giáo trình

giải tích tập 2, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

4 Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại

học quốc gia Hà Nội

5 Elias M.stein  Rami Shakarchi (2002), Fourier analysis, Princeton

University Press, Princeton  Oxford