Luận văn sư phạm Phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =====***===== NGUYỄN THỊ THÚY PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2013 Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =====***===== NGUYỄN THỊ THÚY PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI - 2013 Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành với bảo, hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS.TS Khuất Văn Ninh Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Khuất Văn Ninh, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy giáo khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo, PGS.TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu riêng thân, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian L p ( E ,  ) 1.2 Tích chập 1.3 Tích phân khoảng vơ hạn 10 1.4 Tích phân Fourier 14 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 18 2.1 Biến đổi Fourier L1 ( ฀ ) 18 2.2 Biến đổi Fourier L2 ( ฀ ) 35 2.3 Biến đổi Fourier rời rạc 38 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 43 3.1 Tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt 43 3.2 Tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt khơng 46 3.3 Tìm nghiệm phương trình truyền sóng 51 3.4 Ứng dụng khác (Thế vị Bessel) 52 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bộ mơn phương trình vi phân đạo hàm riêng mơn tốn bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thơng thường, tốn phương trình đạo hàm riêng rút từ toán thực tế Vì chắn có nghiệm người ta thường dùng phép biến đổi để giải phương trình vi phân đặc biệt hiệu cao với phép biến đổi Fourier… Chính em lựa chọn đề tài “Phép biến đổi Fourier số ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp Nội dung gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép biến đổi Fourier Chương 3: Một số ứng dụng phép biến đổi Fourier Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm, số tính chất số ứng dụng phép biến đổi Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phép biến đổi Fourier tính chất - Nghiên cứu số ứng dụng phép biến đổi Fourier Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi Fourier số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp Đây tổng quan phép biến đổi Fourier Giúp người đọc không hiểu rõ tính chất mà cịn thấy phép biến đổi Fourier áp dụng cho tốn truyền nhiệt, truyền sóng vật lý… Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian L p ( E ,  ) 1.1.1 Định nghĩa Giả sử E tập hợp đấy,   - đại số tập E ,  độ đo  L p ( E ,  ) tập hợp tất hàm số x (t ) đo theo độ đo  E cho tích phân sau hội tụ  p , với p  x (t ) d  E 1.1.2 Tính chất Bất đẳng thức Holder  E  x ( t ) y ( t ) d      x (t ) p E p   d     y (t )  E với x  L p ( E ,  ) , y  Lq ( E ,  ) , q  d   q 1   với p  1, q  p q Bất đẳng thức Mincovxki     x (t )  y (t ) E p  d   p      x (t ) E p  d   p     E y (t ) p p d   với x , y  L p ( E ,  ) , p  Định lý 1.1 Không gian L p ( E ,  ) không gian Banach 1.2 Tích chập 1.2.1 Định nghĩa Giả sử hàm f g khả tích ฀ Khi hàm h ( x )   f ( s ) g ( x  s ) ds ฀ Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Được gọi tích chập hàm f hàm g Ta ký hiệu tích chập hàm f g f  g Ví dụ 1.1 Cho f (t ) = e 2t step(t ) g (t )  e t với 1 step( x)  rect(0, ) ( x)   0 nÕu x  nÕu x  Ta có f ( s )  e 2 s step ( s ) g ( x  s )  e 3( x  s ) Và tích chập f g là: f g =   f ( s) g ( x  s)ds    e 2 s step ( s ) e 3( x  s ) ds  e 3x  e 5 s ds    1  e3 x  e 5 s |  5   3x e Vậy tích chập f g f  g  3x e Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp 1.2.2 Tính chất Tính chất 1.1 (Tính chất giao hoán) Cho f g hai hàm xác định ฀ Nếu tồn f  g tồn g  f f  g  g  f Chứng minh Từ định nghĩa tích chập ta có: f  g ( x)    f ( s ) g ( x  s ) ds  g  f ( x )    g ( s ) f ( x  s ) ds  Đặt   x  s   d   ds Suy ra: g  f ( x)    g ( s ) f ( x  s ) ds s   =   g ( x   ) f ( )( 1)d    =  f ( ) g ( x   )d  = f  g ( x) Tính chất 1.2 (Tính chất phân phối) Cho f , g , h hàm số xác định ฀ Nếu tích chập f  g f  h tồn f  ( g  h ) tồn Hơn f  ( g  h )  f  g  f  h Tính chất 1.3 (Tính chất nhân vơ hướng) Cho f hàm số định ฀ , số   ฀ Ta có: ( f )  g  f  ( g )   ( f  g ) tích chập tồn Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Tính chất 1.4 (Tích chập với hàm 0) f 0  1.3 Tích phân khoảng vô hạn 1.3.1 Các hàm liên tục tuyệt đối Định nghĩa 1.3 Một hàm f :  a , b   ฀ gọi hàm liên tục tuyệt đối  a , b  nếu: n    0,   : i 1 f (  i )  f ( i )   Với n họ khoảng rời  , 1  , ,  n ,  n  n  a , b  có tổng độ dài:    i 1 i  i    Hiển nhiên hàm liên tục tuyệt đối  a , b  liên tục (đơn giản ta lấy n = 1) Định lý 1.2 Giả sử f :  a , b   ฀ liên tục tuyệt đối, f khả vi hầu hết  a , b  , f   L1  a , b  và: f ( x)  f (a )  x  f (t ) dt , a xb a 1.3.2 Các hàm khả tích tuyệt đối Định nghĩa 1.4 Một hàm f gọi khả tích tuyệt đối khoảng ( ,  )    f ( x) dx   Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 10 Khóa luận tốt nghiệp Tính chất 2.21 N 1  x(n) n0  N N 1  X (k ) k 0 đẳng thức gọi đẳng thức Parseval Tính chất 2.22 Giả sử x ( n )  ฀ , n  0,1, , N  , ta có tính chất đây: X  (k )mod N   X  (k ) Re  X ( k )   Re  X  (  k ) mod N   Im  X ( k )    Im  X  (  k ) mod N    X ( k )    X  (  k ) mod N   arg  X ( k )    arg  X  (  k ) mod N   Nếu Ev ( x ) phần chẵn x O d ( x ) phần lẻ x E v  x(n)    x ( n )  x  (  n ) m od N   2 O d  x (n )    x ( n )  x  (  n ) m o d N    Thì ta có Ev ( x )  R e( X ) O d ( x )  i Im ( X ) Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 42 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 3.1 Tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt 3.1.1 Bài tốn Tìm nghiệm u ( x , t ) phương trình vi phân sau đây: u  u  a t x , t  , - < x < +  (3.1) Thỏa mãn điều kiện ban đầu u ( x , 0)  f ( x ) , -  < x < +  thỏa mãn điều kiện: i) u, ux, uxx liên tục, khả tích ฀ theo biến x, t  cố định ii) T > 0,    L1 ( ฀ ) , u t ( x , t )   ( x ) , t  [0, T]  x Lời giải Biến đổi vế trái (3.1) hàm theo biến x (xem t tham số) dùng tính chất ii) để lấy đạo hàm dấu tích phân, ta có: 2   ut ( x , t )e  i x    dx   t  2  u ( x , t ) e  i x d x       u t (  , t ) Tương tự, sử dụng i) tính chất 2.7 phép biến đổi Fourier, ta biến đổi Fourier vế phải (3.1) hàm theo biến x, ta có: u x x ( x , t )    ( i  ) u (  , t )    u (  , t ) Từ đó, biến đổi hai vế (3.1) cho ta phương trình vi phân thường theo biến t ( tham số) sau: u t (  , t )    a u (  , t ) Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán 43 Khóa luận tốt nghiệp u t (  , t )    2a u (  , t ) d (ln u (  , t ))    a d t  2 u (  , t )  ea  t u (  , 0) 2  u (  , t )  e  a  t ฀f (  ) Mặt khác ví dụ 2.1.4: x  a 2t  e  a 2t      e  a 2 2t  x   a 2t  u ( , t )   e  a 2t    ฀f (  )    2  x    e 4a t  f   a 2t    x   a 2t  e  f   2a  t    Vậy u ( x, t)    2a  t 2a  t 2a  t    x2 e 4a t  f ( x)   e  a 2t f ( x   )d     f ( ) e  (  x )2 a 2t d  Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 44 Khóa luận tốt nghiệp 3.1.2 Ví dụ Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau đây: u  2u  t x , t  , - < x < +  Thỏa mãn điều kiện ban đầu: u ( x , )  x , -  < x < +  Lời giải Đây tốn tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt Sử dụng phương pháp Fourier toán ta có nghiệm cần tìm là: u ( x, t)    t  t  e  4t   e Theo ví dụ 2.1.4 ta có d   x ( x   )e  4t  4t  d  t   e  4t d  d   t    x t  Vậy   e  4t d   x   e  4t d  e  t  x t  4t |   0 u ( x,t)  x   x Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau đây: u  2u  , t  , - < x < +  t x Thỏa mãn điều kiện ban đầu: u ( x , )  e  x , -  < x < +  Lời giải Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 45 Khóa luận tốt nghiệp Đây tốn tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt Sử dụng phương pháp Fourier tốn ta có nghiệm cần tìm là: u ( x,t)    e  (  x )2 4t d   t (  x )    4t 4t e t  Xét   e  (  x )2  4t d   x  x   t 4t   x  x  t  4t   2 (2t  x )  (2t  x)  4t  4tx  x x     4t 4t 4t   2t  x   4t Ta đổi biến: p  u ( x, t )     2t  x t  t etx    t  x  dp  t d e t  x e  p t dp  e  p2 dp   et  x Vậy nghiệm phương trình cho u ( x, t )  et x 3.2 Tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt khơng 3.2.1 Bài tốn Tìm nghiệm phương trình: Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 46 Khóa luận tốt nghiệp u  2u  a2  f ( x,t) t x (3.2) Thỏa mãn điều kiện ban đầu u ( x , )  Lời giải Xét hàm V ( x , , t )  2a  t    (  x )2 e a 2t f ( ,  ) d   Kiểm tra thấy hàm thỏa mãn phương trình: V  V  a t x Và điều kiện ban đầu V ( x ,  , 0)  f ( x ,  ) Ta chứng minh hàm u ( x , t )  t  V ( x , , t   ) d nghiệm toán ban đầu: + Điều kiện ban đầu hiển nhiên + Ta có u  t  2u a  x 2  Do t   V ( x , , t   ) d  V ( x, t, 0) t t a  2V ( x ,  , t   ) d x u  2u  a2  V ( x,t, 0)  f ( x,t) t x u ( x,t)  t  V ( x , , t   ) d   t    d   (  x )2 f ( ,  ) e a ( t   ) d  a  (t   ) nghiệm phương trình ban đầu Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 47 Khóa luận tốt nghiệp Từ nghiệm phương trình tổng qt  u  u a  f ( x, t )  x  t  u ( x , 0)   ( x )  là: u ( x,t )      ( ) e 2a  t  (  x )2 a 2t d  t    d   (  x )2 f ( , ) e a ( t  ) d  a  (t   ) 3.2.2 Ví dụ Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau đây:  u  2u   xt  x  t u ( x, 0)   thỏa mãn -  < x < +  Lời giải Đây tốn tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt khơng Sử dụng phương pháp Fourier tốn ta có nghiệm cần tìm là: u ( x, t )  t  Tính I  Đặt      e   (t   )  2  (t   ) (  x ) (t   )    e  (  x )2 ( t  )  (  x )2 ( t  ) d  d d   d  d t   d   t   d Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 48 Khóa luận tốt nghiệp  I1       (t   )      t     x  e   2 t   d          t    e d   x t    ( t   )   2  e     2 ( ) t e  d (  )  x t        (t   )      d         x  (t   )    (t   )   x   2 t  I d  t  x d  x  3 | t xt  Vậy nghiệm phương trình là: u ( x , t )  xt Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau đây:  u  2u   t  et  x  t u ( x, 0)   thỏa mãn -  < x < +  Lời giải Đây tốn tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt không Sử dụng phương pháp Fourier tốn ta có nghiệm cần tìm là: u ( x,t)     2  t e  (  x )2 16t d  Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán t    d   (  x )2 (  e  ) e ( t  ) d   (t   ) 49 Khóa luận tốt nghiệp Tính I  Đặt y   e t  x t  (  x )2 16 t d   dy  t d  d  t dy  I1   Tính   I2   Đặt   t     e  y t d y e y dy    (  x )2 (  e  ) e ( t  ) d   (t   )  x  dp  d t  t  p   d   t   dp (  e  )  I2   (t   )   e      e  p2 t   d p  e p dp     e  t I d  t  (  e ) d    t   e  |   t2   et  Vậy u ( x,t)   t2 t2  et    et  2 Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán 50 Khóa luận tốt nghiệp 3.3 Tìm nghiệm phương trình truyền sóng Bài tốn Tìm nghiệm u ( x , t ) phương trình:  u tt ( x , t )  u x x ( x , t )  ,t>0   u ( x , )  g ( x ), u t ( x , )  Lời giải u biến đổi Fourier u biến x  ฀ Khi ta có:  u t t ( x , t )  u x x ( x , t )   ,t>0  u ( x , )  g฀ ( x ) , u t ( x , )  Hay  u tt ( x , t )   u ( x , t )    u ( x , 0)  g฀ ( x ), u t ( x , 0)  ,t>0 Đây phương trình vi phân thường với  cố định thuộc ฀ ta tìm nghiệm dạng: u   e t  (  ,   ฀ ) Từ đó:       u     u ( x , )  g฀ ( x ), u t ( x , )  ,t>0 Suy (    ) u          i  Xét điều kiện ban đầu u ( x , 0)  g฀ ( x )    g฀ ( x )  u t ( x , 0)  thỏa mãn Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán 51 Khóa luận tốt nghiệp   ฀ e it   e  it  Vì u  g   it   it    ( u )    g฀ e e   2  u ( x, t )   g฀ (  )  e   i x  t     i x  t   d  , ( x  ฀ , t  0) e   Là nghiệm phương trình truyền sóng 3.4 Ứng dụng khác (Thế vị Bessel) Giải phương trình đạo hàm riêng:  u xx  u  f ฀ Trong f  L ( ฀ ) Lời giải Để tìm công thức biểu diễn nghiệm u, ta dùng biến đổi Fourier: (  u x x )   u  ฀f mà  u x x (  )      u (  ) Do phương trình trở thành:    u (  )  u (  )  ฀f (  )   u (  )  ฀f (  ) (  ฀ ) Như biến đổi Fourier biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành phương trình đại số: u  Hay ฀f 1   u   ฀f   1       Theo định lý 2.5 ta có Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 52 Khóa luận tốt nghiệp (u  v )  u.v  2 uv ( u.v )   2 ฀ ) Từ u  ( ฀f B Với ฀  B 1  f B 2 ,u  Ta tìm B:  Ta có e  t   n d t  lim    e  t  |   n   0 a     a Tức Từ ta có e  1  Hay B  với a >   ) dt e t i x  2   e  e i x   t (1   ) 1  d i d td    t (1        e  e   2 2 dt  Suy B   1     ta    ix   t   d  d t   e    Bây giờ, a , b  ฀ , b  đặt z  b x  a 2b a2  z  b x  a ix  4b Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 53 Khóa luận tốt nghiệp  Nên  e a ix  b x d x   e b  a2 4b  2 ez dz   a2  ( ) im z   Với  chu tuyến   2b    mặt phẳng phức làm biến dạng   thành trục thực ta thấy: e  z2 dz     e x dx    Và đó:   e ia x  b x d x  e a2 4b    2    b  Vì suy ra:   e ix   t   n dt   j 1   e   e  t   B    e t x dj    2 t ix j  j  t  j  ( x )2 4t 4t dt B gọi vị Bessel Từ ta có: u ( x, t)  4    e  t x 4t t f ( ) d  dt Là công thức nghiệm phương trình ban đầu Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 54 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Fourier số ứng dụng” nghiên cứu tổng quan vấn đề: biến đổi Fourier L1 ( ฀ ) , biến đổi Fourier L ( ฀ ) , biến đổi Fourier rời rạc số ứng dụng Qua trình nghiên cứu phép biến đổi Fourier số ứng dụng em thấy vấn đề giải tích, đề tài hữu ích Qua khóa luận, thân em không lĩnh hội tri thức mà giúp em hiểu biết định Việc nghiên cứu số ứng dụng phép biến đổi Fourier ฀ có đóng góp quan trọng vào mơn giải tích nói chung phương trình đạo hàm riêng Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn Sinh viên Nguyễn Thị Thúy Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Tốn 55 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục Nguyễn Phụ Hy (2000), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Elias M.stein  Rami Shakarchi (2002), Fourier analysis, Princeton University Press, Princeton  Oxford Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán 56 ... Chương 3: Một số ứng dụng phép biến đổi Fourier Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm, số tính chất số ứng dụng phép biến đổi Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phép biến đổi Fourier tính... phép biến đổi Fourier? ?? Chính em lựa chọn đề tài ? ?Phép biến đổi Fourier số ứng dụng? ?? để thực khóa luận tốt nghiệp Nội dung gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép biến đổi Fourier. .. Fourier tính chất - Nghiên cứu số ứng dụng phép biến đổi Fourier Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi Fourier số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo - Phân