Luận văn sư phạm Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

Khoá lu n t t nghi p đ i h c M CL C Trang L IM U Lí ch n đ tài 2 M c đích nghiên c u Nhi m v nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u C u trúc khóa lu n N I DUNG Ch ng I: M t s khái ni m k t qu chu n b 1.1 S l c v gi i tích ph c 1.2 M t s khái ni m c b n c a ph Ch ng trình h ph ng trình vi phân12 ng II: Phép bi n đ i Laplace 20 2.1 Bi n đ i Laplace thu n 20 2.2 Bi n đ i Laplace ng 41 c Ch ng III: ng d ng c a phép bi n đ i Laplace 3.1 ng d ng gi i ph 3.2 ng d ng đ tính tích phân suy r ng tính t ng c a chu i ng trình vi phân h ph 57 ng trình vi phân 57 97 B ng đ i chi u g c - nh 106 K T LU N 110 TÀI LI U THAM KH O 111 Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c L IM U 1.Lý ch n đ tài: Phép bi n đ i Laplace m t phép bi n đ i tích phân Lý thuy t bi n đ i tích phân ban đ u đ th ng, ph c áp d ng đ gi i ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Ph ng trình vi phân ng trình vi phân mơt l nh v c c a toán h c c b n, v a mang tính lý thuy t, v a mang tính ng d ng r ng rãi Thơng th ng toán ph v n đ th c t sau ng ng trình vi phân đ c rút t i ta tìm có nhi u ng d ng nhi u l nh v c khác nh V t lý, K thu t, X lý tín hi u, Xác su t… Các sách tham kh o dành cho sinh viên nghiên c u s d ng phép bi n đ i Laplace vào ph ng trình h ph ng trình vi phân ch a có nhi u B i v y vi c nghiên c u phép bi n đ i r t c n thi t đ i v i m i sinh viên Do v y mà em ch n đ tài: ”Phép bi n đ i Laplace ng d ng” đ th c hi n khóa lu n t t nghi p đ i h c 2.M c đích nghiên c u: B h n v ph c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c tìm hi u sâu ng trình h ph ng trình vi phân, gi i tích hàm đ c bi t phép bi n đ i Laplace 3.Nhi m v nghiên c u: Nghiên c u phép bi n đ i Laplace thu n ngh ch, ng d ng c a phép bi n đ i vào gi i toán 4.Ph ng pháp nghiên c u: Nghiên c u lý lu n, phân tích, t ng h p đánh giá 5.C u trúc khóa lu n: Ngồi ph n M đ u, K t lu n, Tài li u tham kh o, n i dung khóa lu n g m ba ch ng : Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c Ch ng I : M t s khái ni m k t qu chu n b Ch ng II : Phép bi n đ i Laplace Ch ng III : ng d ng c a phép bi n đ i Laplace Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c N I DUNG CH NG I: M T S 1.1 S KHÁI NI M VÀ K T QU CHU N B L C V GI I TÍCH PH C 1.1.1 Hàm bi n ph c 1.1.1.1 Khái ni m hàm bi n ph c m t t p c a Cho m t quy lu t đ t t Ký hi u ng ng m i , + N u + N u + t M t hàm bi n ph c xác đ nh v i m t ph n t v im i hàm g i h u h n v im i hàm g i b ch n Khi đó: ) hàm c a hai bi n th c g i t th c ph n o c a hàm Ký hi u : ; ng ng ph n 1.1.1.2 Hàm s liên t c Hàm g i liên t c t i , đ u có: , +) N u n u: đ nh ngh a t , +) N u hàm s ng đ , ng v i: liên t c t i m i m thu c g i liên t c +) Hàm v(x, y) liên t c t i +) T ng, hi u, tích, th ng (n u m u khác 0) c a hai hàm s liên t c t i hàm s liên t c t i +) Hàm g i liên t c đ u n u: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c , , 1.1.2 HƠm gi i tích: T p h p d g i lân c n c a ng đ y) n u ( s Còn t p g i lân c n c a m xa vô t n o hàm c a hàm ph c: 1.1.2.1 xác đ nh mi n , Cho hàm Cho có s gia , s gia c a hàm là: hàm g i có đ o hàm t i N u t n t i h u h n: gi i h n g i đ o hàm c a hàm t i , ký hi u Nh v y: có đ o hàm t i Hàm thì: ) vơ bé b c cao h n t i Ta g i: Chú ý: , vi phân c a hàm c ng kh vi t i o hàm c a hàm ph c có cơng th c quy t c tính t ng t hàm th c 1.1.2.2 Hàm gi i tích: 1.1.2.2.1 nh lý Cauchy-Riemann: kh vi t i m Hàm s (nh hàm s c a bi n s ph c ) ch hàm s kh vi t i (nh hàm s giá tr th c c a hai bi n th c , ) đ o hàm riêng c a chúng t i m Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán tho mãn u ki n: Khoá lu n t t nghi p đ i h c nh ngh a hàm gi i tích: 1.1.2.2.2 xác đ nh +) Hàm n u hàm m t i g i gi i tích (hay ch nh hình) t i có đ o hàm t i m i m m t lân c n c a có đ o hàm t i m i Hay: n u +) Hàm s g i hàm gi i tích mi n n u gi i tích t i ng h p mi n tu ý m i m thu c mi n +) Nh n xét: Ta có th m r ng đ nh ngh a nêu t i tr ánh x t h n cịn ta nói b i phép ngh ch đ o Nh v y vào gi i tích t i ta nói gi i tích t i n u n u: , , gi i tích t i h u h n N u khơng có đ c bi t ta ln coi Ví d : Hàm gi i tích t i h u N u N u 1.1.3 Tích phơn c a hƠm bi n ph c 1.1.3.1 nh ngh a cách tính - Tích phân c a hàm s tr ng L v i mút a,b h xác đ nh, liên t c đ ng t a đ n b, ký hi u ng cong kh gi i h n c a t ng tích phân: m chia thành ph n, - Gi s m tu ý thu c cung , v i Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c V i gi thi t cho v hàm s v đ ng cong , ta ln có: ph n th c ph n o c a v ph i (1.1.1) tích phân đ l y - Khi phân đ ng t a đ n b theo h đ ng lo i ng cong kh tr c l y theo h ng d ng đóng (1.1.1) có ngh a tích ng (h ng mà chuy n đ ng L, mi n h u h n gi i h n b i L n m bên trái) Nh v y, tính tích phân ph c ta có th áp d ng cơng th c (1.1.1) tính tích phân đ ng lo i t ng ng ta s d ng ph ng pháp bi t - N u L đ ng cong tr n, có ph ng trình d ng tham s : Thì ta có cơng th c: tích phân xác đ nh c a hàm s bi n s th c nh n giá tr ph c 1.1.3.2 Tích phân Cauchy (m t s đ nh lý quan tr ng) 1.1.3.2.1 nh lý tích phân Cauchy đ i v i mi n đ n liên N u hàm s gi i tích mi n D đ n liên L đ ng cong Jordan đóng, tr n t ng khúc n m D 1.1.3.2.2 nh lý tích phân Cauchy đ i v i mi n đa liên Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c N u D mi n h u h n đ - liên v i biên g mm ts h uh n ng cong Jordan đóng, tr n t ng khúc cho mi n đóng h u h n gi i h n b i n m hoàn toàn mi n h u h n gi i h n b i đôi m t không giao nhau, hàm s gi i tích mi n đóng , th thì: 1.1.3.2.3 Cơng th c tích phân Cauchy N u D mi n h u h n v i biên c a g m m t s h u h n đ cong Jordan đóng, tr n t ng khúc, hàm s gi i tích ng , m c a m t ph ng ph c khơng thu c Khi nh ngh a tích phân lo i Cauchy: Tích phân lo i Cauchy hàm s đ n tr c a bi n z, d ng: đ liên t c ; m thu c m t ph ng ph c nh ng không thu c c bi t, đ b i ng cong Jordan (đóng ho c khơng đóng) tr n t ng khúc; f(t) ng cong liên t c đóng, f(t) gi i tích mi n D h u h n gi i h n tích phân lo i Cauchy tr thành cơng th c tích phân Cauchy: 1.1.3.2.4 nh lí tính ch t c a tích phân lo i Cauchy Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c V i m i thu c m t ph ng ph c không thu c , tích phân lo i Cauchy hàm gi i tích, có đ o hàm m i c p đ c tính theo cơng th c: (n = 1,2,3,…) Chú ý: Trong u ki n c a công th c (1.1.2) công th c (1.1.3) tr thành: 1.1.4 LỦ thuy t chu i vƠ th ng d 1.1.4.1 Chu i Laurent 1.1.4.1.1 nh ngh a chu i Laurent g it ng ng ph n ph n đ u c a khai tri n Laurent N u ph n có mi n h i t , ph n đ u có mi n h i t mi n h i t c a chu i Laurent là: g i hình vành kh n h i t c a chu i N u hàm gi i tích hình vành kh n: hình vành kh n khai tri n đ Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán c thành chu i Laurent: Khoá lu n t t nghi p đ i h c h s nh t đ đ (n = 0, ±1, ±2,…; c tính theo cơng th c: ng trịn ) 1.1.4.1.2 Các m kì d cô l p +) ≠ ∞ g i m kì d l p c a hàm s lân c n th ng lân c n gi i tích ,n u gi i tích c a ∞ g i m kì d cô l p c a hàm s +) ,n u c a m +) i m kì d l p c a chia thành lo i:  đ c g i m kì d b đ cn u  đ c g i c c m n u  đ c g i m kì d c t y u n u không t n t i c l n m t ph ng ph c m r ng m t ph ng ph c 1.1.4.2 Th ng d 1.1.4.2.1 nh ngh a th ng d Gi s ≠ ∞ m kì d l p c a hàm gi i tích , đ ng cong Jordan đóng, tr n t ng khúc n m hồn tồn mi n gi i tích c a cho mi n h u h n D v i biên khác ngồi Tích phân d c a khơng ch a m kì d l p l y d c L theo h t i m kì d l p ng d ng đ c g i th ng , kí hi u là: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 10 Khoá lu n t t nghi p đ i h c L y phép bi n đ i Laplace ng c tra b ng đ i chi u g c - nh ta đ c nghi m t ng quát c a h là: t: Khi nghi m c a h là: 3.2: NG D NG TệNH TệCH PHỂN SUY R NG V̀ TệNH TƠNG CUA CHI 3.2.1 ng d ng đ tính tích phơn suy r ng Ta ch ng minh đ c r ng: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 97 Khoá lu n t t nghi p đ i h c a) hàm g c b) : N u c) tích v i ; ; , gi i thì: (đ nh lý Paseval) Ch ng minh: a) Khi V i ta có: : b) Ta có: c) Ta có: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 98 Khoá lu n t t nghi p đ i h c  Ví d áp d ng: Tính tích phân suy r ng sau Ta s d ng công th c 3.2.1.a) t Ta có: Theo tính ch t tích phân nh ta có: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 99 Khoá lu n t t nghi p đ i h c V y: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 100 Khoá lu n t t nghi p đ i h c Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 101 Khoá lu n t t nghi p đ i h c 3.2.2 ng d ng đ tính t ng c a chu i Ta ch ng minh đ N u a) b) Cho hàm c r ng: , , có cho: Ch ng minh: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 102 Khoá lu n t t nghi p đ i h c  Ví d áp d ng: Tính t ng chu i sau Ta bi t r ng v i m i a, b có: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 103 Khoá lu n t t nghi p đ i h c Theo 3.2.2.a) ta có: Xét hàm Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 104 Khoá lu n t t nghi p đ i h c Ta có: Theo cơng th c 3.2.2.b) ta s có: Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 105 Khoá lu n t t nghi p đ i h c B NG stt f(t) 1 t I CHI U G C - NH F(p) 10 11 12 Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 106 Khoá lu n t t nghi p đ i h c 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 107 Khoá lu n t t nghi p đ i h c 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 108 Khoá lu n t t nghi p đ i h c K T LU N Trên tồn b n i dung c a khố lu n t t nghi p:” Phép bi n đ i Laplace ng d ng” mà em m nh d n đ a Các t p ph ng pháp nghiên c u đ đ n l i gi i khoá lu n t t nghi p đ c em áp d ng h c t p em h c v ph hàm d is h So v i ph th y ph ng trình đ o hàm riêng gi i tích ng d n c a th y khoa Tốn ng pháp c n đ gi i ph ng trình vi phân h s h ng ta ng pháp s d ng phép bi n đ i Laplace có nh ng u m v + Dù n l n ta ch c n gi i m t ph t tr i: ng trình đ i s b c nh t đ i v i Y(p) Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 109 Khoá lu n t t nghi p đ i h c + Kh i l ng tính tốn nói chung h n so v i ph ng pháp bi n thiên h ng s Lagrance + Cho nghi m riêng không c n thông qua nghi m t ng quát Trong tr , ng h p mu n có nghi m t ng quát ta ch c n đ t ,…, , v i nh ng h ng s tu ý Bi n đ i Laplace nhi u ng d ng toán h c l nh v c khác Trong khuôn kh c a m t khoá lu n t t nghi p em ch khai thác đ c v n đ trên, em r t mong đ mong đ c nghiên c u thêm v v n đ này, kính c s góp ý c a th y giáo b n sinh viên đ khoá lu n t t nghi p c a em đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! TÀI LI U THAM KH O ng ình Áng, Tr n L u C ng, Hu nh Bá Luân, Nguy n V n Nhân (2002), Bi n đ i tích phân, Nxb Giáo d c u Th C p, Bài t p hàm bi n ph c (2000), Nxb Giáo d c Nguy n Th Hoàn, Tr n V n Nhung, Bài t p ph (1979), Nxb ng trình vi phân i h c Trung h c chuyên nghi p Nguy n Th Hồn, Ph m Phu, C s ph ng trình vi phân lí thuy t n đ nh (2003), Nxb Giáo d c Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 110 Khoá lu n t t nghi p đ i h c Nguy n Ph Hy, Bài t p hàm s bi n s ph c (2006), Nxb Khoa h c K thu t Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán 111 ... ng phép bi n đ i Laplace vào ph ng trình h ph ng trình vi phân ch a có nhi u B i v y vi c nghiên c u phép bi n đ i r t c n thi t đ i v i m i sinh viên Do v y mà em ch n đ tài: ? ?Phép bi n đ i Laplace. .. trình vi phân, gi i tích hàm đ c bi t phép bi n đ i Laplace 3.Nhi m v nghiên c u: Nghiên c u phép bi n đ i Laplace thu n ngh ch, ng d ng c a phép bi n đ i vào gi i toán 4.Ph ng pháp nghiên c u:... ng II : Phép bi n đ i Laplace Ch ng III : ng d ng c a phép bi n đ i Laplace Sinh viên Nguy n Th Liên – K32E khoa Toán Khoá lu n t t nghi p đ i h c N I DUNG CH NG I: M T S 1.1 S KHÁI NI M VÀ K T