Luận văn sư phạm Các tiên đề tách và một số ứng dụng

MỤC LỤC    MỞ ĐẦU  . 2  1. Lý do chọn đề tài   2  2. Mục đích nghiên cứu của đề tài   2  3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài   3  4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài   3  5. Giả thuyết khoa học   3  6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài   3  7. Phương pháp nghiên cứu   3  8. Nội dung cơng trình nghiên cứu   4  CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  . 5  1.1  Không gian metric   5  1.2  Tập mở và tập đóng  . 9  1.3  Không gian topo   15  1.4  Khơng gian con. Tích Descartes. Khơng gian thương   18  1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phơi  . 21  CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG    23  2.1  Các tiên đề tách  Ti    23  2.2. Một số định lý và hệ quả   27  2.3.    Một  số  ứng  dụng  của  tiên  đề  tách  trong  không  gian  compact   36  2.4. Các phản ví dụ   40  KẾT LUẬN  . 58  TÀI LIỆU THAM KHẢO  . 59    MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài  Trong  giải  tích  hiện  đại  một  nội  dung  có  vai  trị  quan  trọng  và  cũng  khá  hấp  dẫn  với  chúng  ta  là  nghiên  cứu  về  không  gian  topo.  Nhưng  bản  thân  không  gian  topo  lại  quá  rộng  làm  ta  khơng  thể  tìm  hiểu  sâu  về  nhiều  vấn  đề  hay  cùng  một  lúc.  Không  gian  topo  cụ  thể  thì  càng  có  nhiều  vấn  đề  để  bàn. Với mong  muốn được tìm hiểu và nắm vứng kiến thức cơ  bản  của  môn  học  đồng  thời  là  bước  đầu  tiếp  cận  với  việc  nghiên  cứu  khoa  học  cùng  với  sự  giúp  đỡ  của  thầy  giáo  Nguyễn  Năng  Tâm  em  chọn  đề  tài  “Các  tiên  đề  tách  và  ứng  dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp.   Mục đích nghiên cứu đề tài Bước  đầu  liên  quan  với  việc  nghiên  tài  cứu  khoa  học  và  tìm  hiểu  sâu  hơn  về  hình  học  đặc  biệt  là  các  tiên  đề  tách  và  một  số  ứng  dụng  của  nó.  Các  tiên  đề  tách  đề  cập  tới  việc  tách  điểm,  tách  điểm  và  tập  hợp  đóng  hoặc  tách  các  tập  hợp  đóng  thơng qua khái  niệm  T0 - khơng  gian,  T1 -  khơng gian,  T2 - không  gian,  T3 - không gian,  T - không gian,  T4 - không gian; các định  lý  đặc  trưng,  hệ  quả  và  các  nhận  xét;  các  phản  ví  dụ  chứng  tỏ  tồn  tại  những  khơng  gian  tách  “nhỏ  hơn”  nhưng  không  là  không  gian  tách  “lớn  hơn”  và  một  số  ứng  dụng  của  các  tiên  đề  tách.  Đối tượng nghiên cứu đề tài Nghiên  cứu  về  các  tiên  đề  tách  và  một  số  vấn  đề  có  liên  quan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng.  Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Giới  hạn  nội  dung:  nghiên  cứu  các  tiên  đề  tách  và  một  số  vấn đề liên quan.  Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách.  Giới hạn thời gian: 5 tháng.  Giả thuyết khoa học Hệ  thống  lý  thuyết  về  các  tiên  đề  tách  làm  thành  tài  liệu  chuyên  sâu  giúp  các  bản  thân  em  có  thể  tìm  hiểu  sâu  hơn  về  vấn đề này.  Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên  cứu  một  số  phần  kiến  thức  nhỏ  là  chuẩn  bị  cơ  bản  liên quan đến toán học.  Phương pháp nghiên cứu Để  thực  hiện  bài  này  tác  giả  khóa  luận  đã  sử  dụng  các  phương pháp nghiên cứu sau đây:  Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.  Nghiên  cứu  sách  giáo  trình,  các  sách  tham  khảo  và  các  tài  liệu liên quan đến vấn đề này.  Q  trình  làm  khóa  luận  đã  sử  dụng  nhiều  phương  pháp  ngiên  cứu,  nhưng  chủ  yếu  là  phương  pháp  tổng  hợp  kiến  thức  từ các tài liệu được lấy làm tài liệu tham khảo.  Nội dung công trình nghiên cứu Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận  gồm hai chương:  Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1. Khơng gian metric  1.2  Tập hợp mở và tập hợp đóng  1.3  Khơng gian topo  1.4  Khơng gian con. Tích Descartes. Khơng gian thương  1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phơi  Chương 2: Các tiên đề tách số ứng dụng 2.1  Các tiên đề tách  Ti     2.2  Một số định lý và hệ quả  2.3    Một  số  ứng  dụng  của  tiên  đề  tách  trong  khơng  gian  compact   2.4  Các phản ví dụ  CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về khơng  gian  metric,  khơng  gian  topo,  tập  đóng  tập  mở,  khơng  gian  con,  tích  Descartes,  khơng  gian  thương,  ánh  xạ  liên  tục  và  phép đồng phôi.  1.1 Không gian metric Định  nghĩa  1.1.1.  Không  gian  metric  là  một  cặp   X ,  d  ,   trong  đó  X   là  một  tập  hợp,  d :  X     X    ฀   là  một  hàm  xác  định trên  X     X  thỏa mãn các tiên đề sau:  (i), Tiên đề đồng nhất  d  x,  y      0 , với mọi  x,  y  X ;    d  x,  y      x     y     (ii), Tiên đề đối xứng   d  x,  y      d  y,  x  ,  với mọi  x,  y  X ;   (iii), Tiên đề tam giác   d  x,  z      d  x,  y      d  y,  z  ,  với mọi x,  y,  z  X   d   gọi  là  metric  trong  X   và  d  x,  y    là  khoảng  cách  giữa  hai  điểm  x,  y  X   Mỗi  phần  tử  trong  X   được  gọi  là  một  điểm  của  X   Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số thực ℝ và tập hợp các số   phức  ℂ  là  những  khơng  gian  metric,  với  d  x,  y       | x   y |, x,  y  ฀  (hoặc ℂ).  metric  Ví  dụ  1.1.2.  Khơng  gian  ơclit  (Euclide)  ℝ k   là  không  gian  metric với metric  d  xác định như sau:  Nếu  x   1 , ,  k    và  y  1 , ,  k      là  hai  phần  tử  của  ℝ k     thì                          d  x, y     i  i     i 1  k Hiển  nhiên  d   thỏa  mãn  hai  tiên  đề  đồng  nhất  và  đối  xứng.  Ta  kiểm  tra  tiên  đề  tam  giác.  Trước  hết,  để  ý  rằng  nếu  a1 ,  , ak , b1 ,  , bk  là những số thực thì  k  ab i 1 i i           bi     i 1   i 1  k k (Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Cosi (Cauchy)).  k Thật vậy, đặt     | |2 ,    i 1 k  i 1 k bi  và     | aibi |    i 1 Ta có   t    2 t          0  với mọi số thực t.    Do đó                     ’             0,   Tức là ta có bất đẳng thức Cosi.  Bây  giờ  giả  sử  x      (1 ,  ,  k ),  y      (1 ,  ,  k )   z      ( ,  ,  k )  là ba phần tử bất kì của  ฀ k  Khi đó:    d  x, y   k  i 1 i  i  k   i 1 i  i   i   i    và   k  i 1  k  i 1     k k i 1 i 1  i  i  2  i  i i   i   i   i 2  i  i  k  i 1 i  i  k  i 1  i  i i 1 k  i   i  i 1 k  i 1 i  i   k  2 i  i     d  x, y   d  y, z    Từ đó              d  x,  z      d  x,  y      d  y,  z     Ví  dụ 1.1.3.  Gọi  ฀  a, b   là  tập  hợp  các  hàm  số  thực  liên  tục  trên  khoảng  đóng  hữu  hạn   a, b    Dễ  dàng  chứng  minh  được  rằng  ฀  a, b  là một không gian metric với metric  d  x, y   sup x  t   y  t  , x,  y  ฀   a t b Giả  sử  M   là  một  tập  hợp  con  của  không  gian  metric   X , d    Dễ  thấy  rằng  hàm  số  d  M  d M  M   là  một  metric  trên  tập  hợp  M   Không  gian  metric   M , d M    gọi  là  không  gian  con  của  không  gian  metric   X ,  d  ;  d  M   gọi  là  metric  cảm  sinh  bởi  metric  d  trên  M    Định  nghĩa  1.1.2.  Dãy  {xn }   những  phần  tử  của  không  gian  metric   X ,  d    được  gọi  là  hội  tụ  đến  phần  tử  a  X ,  với  mọi     0,  tồn tại  n  no  sao cho  d ( xn ,  a)        Ký hiệu:  xn   a    n       hay  lim xn  a   n  Khi đó  a  được gọi là giới hạn của dãy  {xn }    Theo định nghĩa, ta suy ra:  xn  a  d  xn , a    n      hay  lim  xn , a     n    Cho dãy  {xn }  bất kì và  nk   k    1,  2,   là dãy các số tự   nhiên  thỏa  mãn  điều  kiện  n1  n2   nk    thì  dãy  {xn }   được  gọi là dãy con của dãy  {xn }   Ví dụ 1.1.4. Trong khơng gian ℝ và ℂ,    lim xn  xo  lim xn  xo    n  n  Ví dụ 1.1.5. Trong khơng gian  ฀ k ,      Giả  sử  xn  1 n  , ,  k n  , n  1, 2, ,  và  xo  1 o  , ,  k o    Khi đó   2  k n o lim xn  xo  lim   i   i    n  n     i 1   lim i n n   i  , i  1, , k o Vì  vậy,  người  ta  nói  rằng  sự  hội  tụ  trong  khơng  gian  Ơclit  ℝ k  là sự hội tụ theo các tọa độ.  Ví dụ 1.1.6. Trong khơng gian  ฀  a, b  ,  lim xn  xo   xn  t   xo  t  , với  t   a,  b     n  Thật vậy  lim xn  xo  lim d  xn , xo   , nghĩa là  n    n   0, no  ฀ , n  ฀  n  no   d  xn , xo     , tức là                    sup xn  t   xo  t     với mọi  n  no , cũng tức là  a  t b xn  t   xo  t     với mọi  n  no  và với mọi  t   a, b    Định  nghĩa 1.1.3 Dãy   xn    trong  không  gian  metric   X ,  d    gọi là dãy cơ bản nếu:     0, no : m, n  no , d  xn , xm         0, no : n  no , p  1, 2,  ta có  d  xn  p , xn      Ta  có  thể  viết   xn    là  dãy  cơ  bản  khi  và  chỉ  khi  lim d  xn , xm    hay  lim d  xn  p , xn   0, p  1, 2,    n  n  m  Định  nghĩa  1.1.4.  Khơng  gian  metric  mà  trong  nó  mọi  dãy  cơ bản đều hội tụ được gọi là khơng gian metric đủ.  Ví  dụ  1.1.7.  Khơng  gian  metric  rời  rạc  là  một  khơng  gian  metric đủ.  Ví dụ 1.1.8. Khơng gian ℂ  a, b   là một khơng gian đủ.  1.2 Tập mở tập đóng Định  nghĩa  1.2.1.  Giả  sử  X   là  một  không  gian  metric,  a  X  và  r  là một số dương. Ta định nghĩa như sau:  Hình  cầu  mở  tâm  a,   bán  kính  r   là  tập  hợp  S  a, r    x  X : d  x, a   r     Hình  cầu  đóng  tâm  a   bán  kính  r   là  tập  hợp  S  a, r    x  X : d  x, a   r    Ví dụ 1.2.1 Trong khơng gian rời rạc  X , với  a  X  ta suy  ra:  S  a,1   a S  a,1  X Ví dụ 1.2.2 Trong khơng gian ℝ  S  a, r    x  ฀ : x  a  r    a  r , a  r  S  a, r    x  ฀ : x  a  r    a  r , a  r    Định  nghĩa  1.2.2.    Cho  không  gian  metric  X ,   tập  hợp  A  X  ta nói  Điểm  x  X   được  gọi  là  điểm  trong  của  A   nếu  tồn  tại  một  hình cầu  S ( x,  )  tâm x chứa trong  A  (hay    : S  x,    A ).   A   được  gọi  là  tập  hợp  mở  nếu  mọi  điểm  thuộc  A   đều  là  điểm trong của A   A  được  gọi  là tập  hợp  mở nếu  Ac  X \ A   (phần  bù của  A )  là tập hợp mở.  ∅ là một tập hợp mở.  Định lý 1.2.1. Trong khơng gian metric  X  ta có  (i)  Hình cầu mở là một tập hợp mở.  (ii) Hình cầu đóng là một tập hợp đóng.  Chứng minh (i) Giả sử  S  a, r   là hình cầu mở trong  X ,  x  S  a, r     Suy ra                            d  x, a   r   Đặt                              r  d  x, a      Khi đó                  y  S  x,    d  y, x       Mặt khác,  d  y, a   d  y, x   d  x, a     d  x, a   r     y  S  a, r   S  x,    S  a, r     10 Nếu  x  0, y    lân  cận  của  x  có  dạng   1 V   x  , x   , chọn số nguyên  j    i1 i1   sao cho              1     d  x, y  ,  d  x, y      j i    1 suy ra                    W   y  , y    V    j j  Nếu  x  0, y    lân  cận  V   của  x   có  dạng   1 V    ,  \ Z  suy ra tồn tại  n0  là số tự nhiên    j j sao cho                        1  y   vì  y  Z   n0  n0  1 Đặt                               r   ,  n0  n0       lấy             W   y  r , y  r   W  B  y  , W  V   Vậy họ   B  x x X  sinh ra topo τ trên  X   2,   X ,    là  T2 - không gian  Gọi  θ  là  topo  tự  nhiên  trên  tập  hợp  số  thực  ℝ.  Lấy  G     Nếu   G   thì  G     là  hiển  nhiên.  Nếu  suy  ra:   1 1   1    x  , x      x  , x     ,  \ ฀  i i   xG ,i฀  i i   i฀   i i   xG , i฀   nên  G     Do  đó  topo     mạnh  hơn  topo  θ,  lại  do   X ,     là  G  không gian Hausdorff nên   X ,    là không gian Hausdorff.   45 3,   X ,    không phải là  T3 - không gian  Rõ  ràng  Z   đóng  trong  khơng  gian   X ,   ,   Z   và  bất  kì  các  tập  hợp  mở  U , V   lần  lượt  chứa  0  và  Z   có  giao  nhau  khác  rỗng. Vậy   X ,    khơng là  T3 - khơng gian.  Ví dụ 2.4.5. Cho  X  là tập hợp số thực. ℚ là tập hợp các số  hữu  tỉ.   X ,   là  topo  tự  nhiên  trên  X   và   ฀ ,  '    là  không  gian  topo  con  sinh  bởi  không  gian  topo   X ,     Đặt       '   Ta  cần chứng tỏ:   1,   X ,    là một topo trên X ;  2,   X ,    là  T2 - không gian;  3,   X ,    không phải là  T3 - không gian.  Chứng minh 1,   X ,    là  một topo trên  X  ta đi kiểm tra 3 điều kiện của  không gian topo  (i) Rõ ràng  , X   ;  (ii) Lấy  A, B      Nếu  A, B    hoặc  A, B   '  thì  A  B     Nếu  A    và  B  G  ฀ , G    thì  A  B   A  G   ฀     vì                                      A  G          (iii) Lấy họ   A I    ,  ta có   A    Ai     A j       I    I   I  i   j    Với họ  Ai  i I1  gồm tất cả các  Ai    46   i  I1 Ai   ,     họ  A j  j I  gồm tất cả các phần tử thuộc   '   Suy ra                                    j I A j   '    Nên                                        A       I Vậy   X ,    là không gian topo.  2, Chứng minh   X ,    là  T2 - không gian.  Rõ ràng topo θ  yếu hơn topo  ,  lại do   X ,    là không gian  Hausdorff suy ra   X ,    là không gian Hausdorff.   3, Chứng minh   X ,    không phải là  T3 - không gian.  Do  ℚ  là  tập  hợp  mở  nên  X   \ ฀      là  tập  hợp  đóng,  như  vậy tập  hợp các  số vơ tỉ là tập hợp đóng trong  khơng gian  topo   X ,   ,    Mọi tập hợp mở  U ,  V  lần lượt chứa điểm 0 và tập  hợp số vơ tỉ   đều có giao khác rỗng.  Do đó   X ,    khơng thể là khơng gian chính quy.  Ví  dụ  2.4.6 Trong  ℝ ,  mỗi  x    ℝ  gọi  Lx   là  đường  thẳng  qua  x   mà  không  chứa  x ,  Bx   là  hình  cầu  mở  tâm  x   và  U x   là  hình cầu  mở tâm  x   trừ  đi  một số hữu hạn  tập hợp  dạng  Lx   Đặt   x   là  họ  các  tập  hợp  có  dạng  U x   hoặc  Bx   Khi  đó  khơng  gian  ฀ , 1   không phải là  T3 - không gian.   Chứng minh Mọi  x   ℝ , họ   x  thỏa mãn 3 điều kiện sau:  47 (i), Mọi  x   ℝ  và mọi  V   x   x  ta có  x  Vx ;  (ii), Giả sử  Vx1 , Vx2   x  dễ dàng chứng minh được  W  Vx1 , Vx2   x   (iii),  Với  mọi  Vx   x ,   khi  đó  mọi  y  Vx ,   nếu  y  x   thì  tồn  tại  tập  hợp  dạng  By   x   sao  cho  U y  Vx   Còn  nếu  y     x   thì  tồn tại tập                   U x  Vx   x : U x  Vx    Do đó tồn tại topo  1  duy nhất trên ℝ  sao cho   x  là cơ sở  lân cận của mỗi  x   ℝ :   1  {G  ฀ G    hoặc  x  G , Vx   x : Vx  G}   1,  Rõ  ràng    1 ,   trong  đó     là  topo  thơng  thường  trên  ฀   Do   ฀ ,     là  T2 -  không  gian  nên   ฀ , 1    là  T2 -  không  gian.  2, Dễ thấy với mọi  x   ℝ , mọi  V   x   x , y  Vx  đều tồn tại  Vy   y : Vy  Vx  Vx      Suy ra                                 x   , x  ฀    Gọi  O  =  O(0,0)  là  gốc  tọa  độ,  đặt  L0   là  trục  hoành  trừ  ra  gốc tọa độ O.  Ta có                         U  B0 \ L0      Suy  ra  ฀ \ L0  { U  B0 \ L0   với  B0   là  hình  cầu  mở  tâm  O  trong  ℝ }.  Do  đó  ฀ \ L0  1  L0   là  tập  hợp  đóng  trong  ฀ , 1    không  chứa  điểm  O.  Mặt  khác,  rõ  ràng  không  tồn  tại  48 hai  tập  hợp  mở  nào  trong   ฀ , 1    rời  nhau  lần  lượt  chứa  tập  hợp  L0  và điểm O(0,0).  Vậy   ฀ , 1   khơng phải là  T3 - khơng gian.   Ví  dụ  2.4.7.  Để  chỉ  ra  được  một  khơng  gian  chính  quy  mà  khơng  hồn  tồn  chính  quy,  đầu  tiên  chúng  ta  xây  dựng  không  gian  topo,  tiếp  đến  chúng  ta  sẽ  chỉ  ra  nó  là  khơng  gian  chính  quy  mà  khơng  là  khơng  gian  hồn  tồn  chính  quy.  Thơng  qua  ba bước sau:  Bước  1: Trên  mặt  phẳng  tọa  độ  Descartes  xây  dựng  topo  như sau:    Với  mỗi  số  chẵn  m,   ký  hiệu  Lm   là  tập  hợp  các  điểm  trên  đoạn thẳng  m   1,       Với  mỗi  số  lẻ  n, k  ฀ , k  2,   ký  hiệu  Cn, k   là  tập  hợp  các  điểm nằm trên các đoạn thẳng  k  1 k  1   n     1,  ,  n     1,   và nửa đường tròn  k  k      k  1  2 x y x n y y     ,       trong mặt phẳng.  k   Đặt  X   là  hợp  các  đoạn  thẳng  Lm ,  ( m   chẵn),  và  các                 Cn, k (n  lẻ,  k  2)  cùng với hai điểm vô cực  a,  b      Mỗi số lẻ  n, k  ฀ , k   lấy  Pn, k  Cn , k , Pn , k  n  (Hình 1)    49 k 1    k P1,3 P1,2 a -1 Lo b C1,3 C1,2 L2 Hình 1   Gọi  β  họ  tất  cả  các  tập  hợp  con  G  của  X có  một  trong  5  dạng sau:  (i)   Tập hợp G có dạng 1 điểm {p} trong  p  Cn, k , p  pn, k    (ii) Mỗi  số  chẵn  m,   mỗi    0(0    1),   mỗi  y   1,    tập  hợp  G   có  dạng  tập  hợp  các  giao  điểm  của  X   với  đoạn  thẳng                            m   , m     y    (iii) Mỗi  số  chẵn  m,   tập  hợp  G   có  dạng  là  hợp  của   a   và tập hợp các điểm  x  y  của  X  sao cho  x  m    (iv) Mỗi  số  chẵn  m,   tập  hợp  G   có  dạng  là  hợp  của  b   và tập hợp các điểm  x  y  của  X  sao cho  x     m   Chúng  ta  sẽ  chỉ  ra  rằng  trên  X ,  có  topo     nhận  β  làm  cơ  sở.  a, Rõ ràng                        X   G ;  G  b, Lấy  G1 , G2   , x  G1  G2  chỉ cần chỉ ra  W   : x  W  G1  G2    50   Nếu  G1 , G2  cùng một dạng (hoặc (i), (ii),…)   chọn                                  W  G1  G2    Nếu  G1  có dạng (i)  G2  có dạng cịn lại thì  G1  G2    hoặc  G1  G2  G1  chọn W = G   Nếu  G1   có  dạng  (ii)  G2   có  dạng  (iv)  hoặc  (v)  thì  G1  G2    hoặc  G1  G2  G1  chọn W = G   Nếu  G1  có dạng (iii)  G2  {x  y  X x  m, m  chẵn} có dạng  (iv)  thì  G1  G2     hoặc  G1  G2  G1 ,  chọn  W  =  G   có  dạng  (iii)  hoặc  G1  G2   chỉ  chứa  các  điểm  nằm  trên  các  tập  hợp  Cn, k   lấy  x  G1  G2  Chọn  W   x  có dạng (i) và  x  W  G1  G2   Các trường hợp còn lại được xét tương tự  Vậy  họ  β  sinh  ra  topo     trên  X   nhận  β  làm  cơ  sở.  Topo  xây dựng như trên gọi là topo John Thomas. Chú ý là  Mỗi  n  lẻ,  k  nguyên  k   tập hợp  Cn, k  là mở  Các tập hợp dạng (ii) chứa lân cận của đỉnh  Pn, k    Các  tập  hợp  dạng  (iii)  chứa  lân  cận  cử  mỗi  điểm  nằm  trên  Lm    Các  tập  hợp  dạng  (iv),  (v)  chứa  lân  cận  của  điểm  vô  cực  a, b   Bước 2: Ta chứng minh   X ,    là  T3 - không gian.  Lấy  x, y  X , x  y   Rõ  ràng  có  các  lân  cận  của  điểm  này  khơng chứa điểm kia. Nên   X ,    là  T1 - không gian.  51 Để  kểm  tra  X   chính  quy,  lấy  p  X , U   là  lân  cận  chứa  p,   cần chứng tỏ tồn tại lân cận mở  V  của  p  sao cho  V  U   Trường hợp U có dạng (i), (ii), (iii) thì  U  U    chọn                             V  U   Trường  hợp  U   có  dạng  (iv)  U   chứa  a   và  các  điểm  x  y  của  X  sao cho  x  m  với  m  chẵn  Nếu  p  a   thì  có  lân  cậnV  chứa  a   cùng  với  những  điểm  x  y  của  X  sao cho  x  m   thế thì  V  V  Lm   U    Nếu  p  a, p  U   chọn  V   lân  cận  của  p   có  dạng  (i),  (ii)  hoặc (iii) và nằm trong  U ,  rõ ràng  V  U   Lý luận tương tự khi  U  có dạng (v).  Vậy   X ,    là khơng gian chính quy.  Bước  3:  Để  chứng  minh   X ,     không  là  T -  không  gian,  chỉ  cần  chỉ  ra  mọi  hàm  số  liên  tục  f : X   0,1   thì  f  a   f  b   là đủ.  Mỗi số lẻ  n, k  2, k  ℤ ký hiệu    S n , k  p  Cn, k f  p   f  pn, k   Ta sẽ chứng minh tập hợp là  tập hợp  Sn, k  đếm được.  Ký hiệu  f  pn , k   c  thì  f 1  c   52  f n 1 1 1   c  , c      n n  1  Mà  mỗi  tập  hợp  mở  f 1  c  , c     chứa  hầu  hết  các  n n  điểm  của  Cn, k   trừ  một  số  hữu  hạn.  Do  đó  f 1  c    chứa  hầu  hết  các điểm của  Cn, k  trừ một số đếm được của các điểm của  Cn, k   Vì vậy  Sn, k  là tập hợp đếm được của các phần tử.  Suy  ra  tập  hợp  là  tập  hợp  A  {S n , k n   lẻ, k  2, k  ฀ }   đếm  được  nên  tồn  tại  d   1,    sao  cho  đường  thẳng  R  d   không  giao  với  tập  hợp  A   Tức  là  mỗi  Cn, k   giá  trị  của  f   tại  giao  của  đường thẳng  R  d  với  Cn, k  bằng  f  pn, k   c   Với  mỗi  số  chẵn  m ,  ký  hiệu  cm   là  giao  điểm  của  Lm   với  đường thẳng  R  d  Ta sẽ chứng minh  f  cm   f  cm     Lấy  n     m     1,   xét  Cn, k   gọi  ak , bk   (giả  thiết  điểm  ak   có  hồnh  độ  nhỏ  hơn  hồnh  độ  điểm  bk )  lần  lượt  là  giao  điểm  của  và đường thẳng  R  d   Cm ak Lm Cn,k bk Cm+2 Lm+2 Hình 2  53   Khi  k    thì  ak  cm , bk  cm     Do  f   liên  tục  nên  lim f  ak   f  cm  , lim f  bk   f  cm   ,   k  k  suy ra                f  cm   lim f  ak   lim f  bk   f  cm      k  k  Vậy  chứng  tỏ  rằng  giá  trị  của  hàm  f   tại  các  điểm  cm   là  bằng  nhau  với  mọi  số  chẵn  m   Rõ  ràng  cm  a   khi  m     và  cm  b  khi  m    cùng với hàm  f  liên tục suy ra  f  a   lim f  cm   lim f  cm   f  b    m  m  Ví  dụ  2.4.8.  Chúng  ta  sẽ  xây  dựng  không  gian  topo  thỏa  u cầu topo đó là  T - khơng gian  mà  khơng là  T4 - khơng gian  thông qua ba bước sau:   Bước 1: Xây dựng không gian topo  Trong mặt phẳng tọa độ ℝ  ký hiệu  L :  x  y y  0 , L1 :  x  y y  0 , L2  L \ L1   Với  x  L1 , r  0,  đặt  U  x, r   là tập hợp các điểm của  L  bên  trong đường trịn bán kính  r  tiếp xúc  L1  tại  x    1 Ký hiệu              U i  x   U  x,    x , i  1, 2,     i Với  x  L2 , r  0,  đặt  U  x, r   là  tập hợp các điểm  bên  trong  đường tròn tâm  x  bán kính  r     1 Ký hiệu                  U i  x   U  x,  , i  1, 2,    i 54 Khi  đó  họ     x x X   với    x   U i  x i 1   sinh  ra  topo   X , nhận họ đó làm cơ sở lân cận của  L    Thật vậy:  a, Với mọi  x  X , từ định nghĩa họ    x   ta thấy rằng     x   , U i  x     x   thì  x  U i  x    b, Với  U i  x  , Vi  x     x   thì  U i  x   Vi  x     x    c,  Nếu  y  U j  y     y    cần  chỉ  ra  tồn  tại  U i  x     x    sao cho                           U i  x   U j  y    Nếu  x, y  L1  suy ra  x     y  chọn  U i  x   U j  y     Nếu  x  L1 , y  L2   hoặc  x  L2 , y  L1   ta  chọn  số  nguyên  i   đủ lớn để                 U i  x   U j  y  , (i, j  1, 2, )   Nếu  x, y  L2   chọn  số  nguyên  i  sao  cho    1   d  x, y  ,  d  x, y    thế thì  U i  x   U j  y    i j 1,2,  j  Vậy  họ     x x X   thỏa  mãn  điều  kiện  sinh  topo  trên  X   nhận     x x X  làm  cơ  sở  lân cận. Không gian  trên được gọi là  mặt phẳng Niemyzki.   Bước  2:  Ta  sẽ  chứng  minh  mặt  phẳng  Niemyzki  là  khơng  gian Tykhonoff  Dễ dàng có mặt phẳng Niemyzki là  T1 - khơng gian  Mỗi  x  X , U i  x     x  , y  U i  x  \  x   ký  hiệu  y '   là  giao điểm của tia  xy  với biến của  U i  x   đặt hàm  f  như sau:  55  0, y  x;   1, y  L \ U i  x  ;    f  x   x y  , y  U i  x  \  x ;  x y '  Rõ ràng hàm số  f : X  I  là hàm liên tục trên  X , hơn nữa  f  x    và  f  y    với  y  L \ U i  x    Theo  định  lý  2.2.3  thì  mặt  phẳng  Niemyzki  là  khơng  gian  Tykhonoff.  Bước  3:  Chứng  minh  mặt  phẳng  Niemyzki  là  không  gian  chuẩn tắc  Để  ý  rằng  tập  hợp  các  điểm  tụ  của  của  đường  thẳng  L1   là  L1d     Mọi  tập  hợp  con  A  L1   suy  ra  Ad     nên  A   là  tập  hợp đóng trong  L    Ký hiệu          C  {x  y  L2 x, y  là số hữu tỉ}.  Khi  đó  C   trù  mật  trong  L   Giả  sử  L   là  không  gian  chuẩn  tắc. Mọi  A  L1 , tồn tại các tập hợp mở  U A , VA  L sao cho  A  U A , L \ A  VA  và  U A  VA     Với mọi  A  L1 , đặt  C A  C  U A    Chúng  ta  sẽ  chứng  tỏ  rằng  C A  CB   với  A  B   điều  này  sẽ  dẫn  đến  mâu  thuẫn  vì  L1   chứa  2c   tập  hợp  con  phân  biệt  còn  C   chỉ chứa  c  tập hợp con phân biệt. Lấy  A, B  L1  sao cho  A  B ,  khơng mất tính tổng qt ta giả sử rằng  A \ B     Vì    A \ B  U A  VB  và   U B  VB    (do  U B  VB  )   56 Nên ta có  U A  U B  Do  C  trù mật trong  L  nên  U A  U  C , U B  V  C  và do đó  C A  CB  hay  C A  CB    Chương  này  em  đã  trình  bày  được  nội  dung  các  tiên  đề  tách  và  một  số  ứng  dụng  tách  điểm,  tách  tập  thông  qua  các  định lý, hệ quả và một số phản ví dụ.  57 KẾT LUẬN   Trong  bài  khóa  luận  này,  em  đã  tìm  hiểu  các  tính  chất  đặc  trưng  của  các  tiên  đề  tách  và  một  số  ứng  dụng  trong  việc  tách  điểm  và  các  tập  hợp  đóng  mà  nói  chung  với  khơng  gian  topo  tổng  qt  khơng  có,  đặc  biệt  có  khá  nhiều  phản  ví  dụ  trong  topo.  Mặc  dù  có  nhiều  cố  gắng  song  do  hạn  chế  về  thời  gian,  kiến  thức  của  bản  thân  nên  khóa  luận  khơng  tránh  khỏi  thiếu  sót.  Và  do  đặc  thù  của  mơn  học  nên  trong  q  trình  đánh  máy  cũng  khơng  tránh  khỏi  sai  sót  khơng  mong  muốn.  Vì  lý  do  đó  nên  em  rất  mong  nhận được  sự  chỉ bảo  của  các  thầy  cơ  giáo  và  sự góp ý của bạn bè.  58   TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]  Nguyễn  Xuân  Liêm  (1994),  Topo  đại  cương  -  độ  đo  và  tích phân, NXB Giáo dục.  [2]  Nguyễn  Định,  Nguyễn  Hồng  (1999),  Hàm  số  biến  số  thực, NXB Giáo dục.  [3]  Nguyễn  Văn  Khuê  (2009),  Cơ  sở  giải  tích  1,  NXB  ĐHQG Hà nội.  [4] Đậu Thế Cấp (2005), Topo đại cương, NXB Giáo dục.  [5]  Nguyễn  Trường  Dân  (2011),  Các tiên đề tách phản ví dụ [6] N.Bourbaki (1966), Geneal topology, Hemrmann Paris.          59 ... một? ? số? ? ứng? ? dụng? ? của  các? ? tiên? ? đề? ? tách.   Đối tượng nghiên cứu đề tài Nghiên  cứu  về  các? ? tiên? ? đề? ? tách? ? và? ? một? ? số? ? vấn  đề? ? có  liên  quan đến? ?các? ?tiên? ?đề? ?tách? ?và? ?một? ?số? ?ứng? ?dụng.  ... Chương 2: Các tiên đề tách số ứng dụng 2.1 ? ?Các? ?tiên? ?đề? ?tách? ? Ti     2.2 ? ?Một? ?số? ?định lý? ?và? ?hệ quả  2.3    Một? ? số? ? ứng? ? dụng? ? của  tiên? ? đề? ? tách? ? trong  không  gian  compact   2.4 ? ?Các? ?phản ví dụ ... gian con, tích Descartes, khơng gian thương, ánh xạ liên tục? ?và? ? phép đồng phơi chuẩn bị cho chương sau.  22 CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chương này? ?đề? ?cập tới nội dung? ?các? ?tiên? ?đề? ?tách? ?và? ? một? ?số? ? ứng? ? dụng? ? tách? ? điểm,  tách? ? tập