Các tiên đề tách và một số ứng dụng

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu đề tài Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu Nội dung cơng trình nghiên cứu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.2 Tập mở tập đóng 1.3 Không gian topo 15 1.4 Khơng gian Tích Descartes Khơng gian thương 18 1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi 21 CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 23 2.1 Các tiên đề tách Ti 23 2.2 Một số định lý hệ 27 2.3 Một số ứng dụng tiên đề tách không gian compact .36 2.4 Các phản ví dụ 40 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giải tích đại nội dung có vai trò quan trọng hấp dẫn với nghiên cứu không gian topo Nhưng thân không gian lại q topo rộng làm ta khơng thể tìm hiểu sâu nhiều vấn đề hay lúc Không gian topo cụ thể có nhiều vấn đề để bàn Với mong muốn tìm hiểu nắm vứng kiến thức môn học đồng thời bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học với giúp đỡ thầy giáo Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài “Các tiên đề tách ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu đề tài Bước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học tìm hiểu sâu hình học đặc biệt tiên đề tách số ứng dụng Các tiên đề tách đề cập tới việc tách điểm, tách điểm tập hợp đóng tách tập hợp đóng thơng qua khái niệm T0 - khơng gian, T1 - không gian, T2 - không gian, T3 - không gian, T - không gian, T4 - không gian; định lý đặc trưng, hệ nhận xét; phản ví dụ chứng tỏ tồn không gian tách “nhỏ hơn” không không gian tách “lớn hơn” số ứng dụng tiên đề tách Đối tượng nghiên cứu đề tài Nghiên cứu tiên đề tách số vấn đề có liên quan đến tiên đề tách số ứng dụng Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Giới hạn nội dung: nghiên cứu tiên đề tách số vấn đề liên quan Giới hạn đối tượng: tiên đề tách Giới hạn thời gian: tháng Giả thuyết khoa học Hệ thống lý thuyết tiên đề tách làm thành tài liệu chuyên sâu giúp thân em tìm hiểu sâu vấn đề Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số phần kiến thức nhỏ chuẩn bị liên quan đến toán học Phương pháp nghiên cứu Để thực tác giả khóa luận sử dụng phương pháp nghiên cứu sau đây: Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến vấn đề Q trình làm khóa luận sử dụng nhiều phương pháp ngiên cứu, chủ yếu phương pháp tổng hợp kiến thức từ tài liệu lấy làm tài liệu tham khảo Nội dung cơng trình nghiên cứu Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Tập hợp mở tập hợp đóng 1.3 Khơng gian topo 1.4 Khơng gian Tích Descartes Không gian thương 1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi Chương 2: Các tiên đề tách số ứng dụng 2.1 Các tiên đề tách Ti 2.2 Một số định lý hệ 2.3 Một số ứng dụng tiên đề tách không gian compact 2.4 Các phản ví dụ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương đề cập đến số kiến thức khơng gian metric, khơng gian topo, tập đóng tập mở, khơng gian con, tích Descartes, khơng gian thương, ánh xạ liên tục phép đồng phôi d, 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric cặp X tập hợp, d : X  X định X □ X, hàm xác  X thỏa mãn tiên đề sau: (i), Tiên đề đồng d  x, y   , với x, y  X ; d  x, y    x  y (ii), Tiên đề đối xứng d  x, y   d  y, x  với x, y  X ; , (iii), Tiên đề tam giác d  x, z   d  x, y   d  y, z  , với x, y, z  X d gọi metric X d  x, y  khoảng cách hai điểm x, y  X Mỗi phần tử X gọi điểm X Ví dụ 1.1.1 Tập hợp số thực ℝ tập hợp số phức ℂ d  x, y   không gian metric, | x  y |, x, y  □ (hoặc ℂ) với metric Ví dụ 1.1.2 Khơng gian ơclit (Euclide) ℝ k không gian metric với metric d xác định sau: Nếu x    , ,   k y  1, ,k  k d  x, y     i  i 1 hai phần tử ℝ k 2    i Hiển nhiên d thỏa mãn hai tiên đề đồng đối xứng Ta kiểm tra tiên đề tam giác Trước hết, để ý a1 ,, ak , b1 ,, bk số thực k k i 1 i k  2        bi    i 1   i 1  ab i 2 (Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cosi (Cauchy)) k    | | ,    bi i1 a i 1 i Thật vậy, đặt Ta có k  t  2 t    Do  k   | aibi | i1 với số thực t ’      0, Tức ta có bất đẳng thức Cosi Bây z  (  ,,  k ) giả sử x  (1, ,  k ), y  (1 ,,  k ) ba phần tử □ k Khi đó: d  x, y   k    i  k  i 1 i i 1    i i    i 2 i k k    i  i  2  i   i i 1   k i 1    k i 1    ii i 1  2 Từ   i i    ii i 1 i   i i 1 k  i 1 k 2   i   i i   i i 1 k  i  i k k  i 1 i   i     d  x, y   d  y, z     d  x, z   d  x, y   d  y, z  Ví dụ 1.1.3 Gọi □  a, b tập hợp hàm số thực liên tục khoảng đóng hữu hạn  a, b  Dễ dàng chứng minh □ a, b   không gian metric với metric d  x, y   sup x  t   y  t  , x, y  □ a t b Giả sử M tập hợp không gian metric  X , d  Dễ thấy hàm số hợp M Không gian metric không gian metric d M d  M , dM   X, d  ; d M M metric tập gọi không gian gọi metric cảm sinh M metric d M Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn} phần tử không gian metric   0, X,d gọi hội tụ đến phần tử a  X , với tồn n  no Ký hiệu: x  n cho d (xn , a) a n    hay lim xn a n Khi a gọi giới hạn dãy {xn} Theo định nghĩa, ta suy ra: xn  a  d  xn , a    n    hay lim  xn , a   n Cho dãy {xn} n  k  1, 2,  k dãy số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n1  n2   nk  dãy {x } n gọi dãy dãy {xn} Ví dụ 1.1.4 Trong không gian ℝ ℂ, lim xn  xo  lim xn  xo  n n Ví dụ 1.1.5 Trong khơng gian □ k, Giả sử  x   n  n , ,   n ,n   o x   , ,   1, 2, , k o o   k Khi kn lim x  x  lim   n n o  lim  n n   i  i 1 o  , i  1, , k i n o  i 1   i Vì vậy, người ta nói hội tụ không gian Ơclit ℝ k hội tụ theo tọa độ Ví dụ 1.1.6 Trong khơng gian □  a,b , lim xn  x n o   x n  t   xo  t  , với Thật lim xn t   a, b  xo  lim d  xn , xo   , nghĩa n n   sup at b  0, no  □ , n  □ xn  t   xo  t    xn  t   xo  t     n  no   d  xn , xo     , tức với n  no , tức với n  no với t   a, b  Định nghĩa 1.1.3 Dãy  xn  X,d không gian metric gọi dãy nếu:   0, no : m, n  no , d  xn , xm      Ta  0, no : n  no , p  1, 2, viết  xn  lim d  xn , xm   ta có d  xn  p , xn    dãy hay lim d  xn p , xn   0, p  1, 2, n n m Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric mà dãy hội tụ gọi khơng gian metric đủ Ví dụ 1.1.7 Không gian metric rời rạc không gian metric đủ Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ℂ  a, b  không gian đủ 1.2 Tập mở tập đóng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử a X X không gian metric, r số dương Ta định nghĩa sau: Hình cầu tâm mở a, bán S  a, r    x  X Hình cầu đóng tâm a kính r tập hợp tập hợp : d  x, a   r bán S  a, r    x  X kính r : d  x, a   r  Ví dụ 1.2.1 Trong không gian rời rạc X , với a  X ra: S  a,1   a S  a,1  X ta suy n1 ... Các tiên đề tách số ứng dụng 2.1 Các tiên đề tách Ti 2.2 Một số định lý hệ 2.3 Một số ứng dụng tiên đề tách không gian compact 2.4 Các phản ví dụ CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương đề cập đến số. .. 24 CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chương đề cập tới nội dung tiên đề tách số ứng dụng tách điểm, tách tập thông qua định lý, hệ số phản ví dụ 2.1 Các tiên đề tách Ti Định nghĩa 2.1.1... chứng tỏ tồn không gian tách “nhỏ hơn” không không gian tách “lớn hơn” số ứng dụng tiên đề tách Đối tượng nghiên cứu đề tài Nghiên cứu tiên đề tách số vấn đề có liên quan đến tiên đề tách số ứng