Định lý tách và một số ứng dụng

Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách.. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm

MỤC LỤC

Mở đầu 2

Chương 1 Các khái niệm cơ bản 4

1.1 Tập lồi……… 4

1.1.1 Tổ hợp lồi……….……… … … 4

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện……… … 6

1.1.3 Nón lồi……… …….… 11

1.2 Hàm lồi……….…… 15

Chương 2 Định lý tách các tập lồi 21

2.1 Định lý tách 1……… … 21

2.2 Định lý tách 2……… … 26

Chương 3 Một số ứng dụng của định lý tách 27

3.1 Điều kiện tối ưu……….………32

3.2 Hệ bất đẳng thức lồi……… … 36

3.3 Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi……… ……… 41

3.4 Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi……… …43

3.5 Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

MỞ ĐẦU

Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan Bộ môn này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng

Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời là

có, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau

Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và những ứng dụng quan trọng

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn

Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas)

Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ tận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời, được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con Kết quả của luận văn chính là món quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giải tích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàm lồi…

1.1 Tập lồi

Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêu phẳng, … đều là tập lồi Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giải tích lồi Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập a-phin, tập lồi đa diện, nón lồi

1.1.1 Tổ hợp lồi

Định nghĩa 1.1

Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong n

R là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) xR n có dạng

xRn|x(1)a  b,  R Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong n

R là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) n

Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm

Với k 2, điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và

1 1

k j j

k

j j j

Do  0,  k 0 và

1 1

1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện

Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêu phẳng Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin (đa tạp a-phin) được định nghĩa như sau:

a) Mọi tập affin (bao gồm cả tập  và R n) đều là tập lồi

b) Mọi siêu phẳng trong n

R đều là tập a-phin

Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con

Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3)

Tập M   là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M  La với L là một không gian con và aM Không gian con này được xác định duy nhất

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và aM Khi đó LMa chứa 0 và là tập a-phin Do đó, L là một không gian con

Vậy M La Điều kiện đủ: Nếu M La với aM, L là một không gian con thì

Không gian con L là duy nhất Thật vậy, nếu M La và M L' a', trong

đó L L, ' là những không gian con và a a, 'M thì

nguyên của không gian con song song với M và được ký hiệu là dim M

là r Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin có số chiều là r và M La với

aM Vậy LM a là không gian con có số chiều là r Theo đại số tuyến tính không gian con r- chiều này có dạng Lx Ax|  0Trong đó, A là ma trận cấp m n và rankA n r

Do rankAnr nên L là không gian con có số chiều r Vậy dim M r

Định nghĩa 1.5

Siêu phẳng trong không gian R n là tập hợp các điểm có dạng

xR n| a x, , trong đó: aR n\ 0 ,  R

Véc tơ a ở trên được gọi là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng

Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng

x| a x,  , x| a x, , trong đó: aR n\ 0 ,    R

Nửa không gian mở là tập hợp có dạng

x| a x,  , x| a x, , trong đó: aR n\ 0 ,    R

Như vậy, một siêu phẳng chia không gian ra làm hai nửa không gian, mỗi nửa không gian ở về một phía của siêu phẳng Nếu hai nửa không gian này đóng thì phần chung của chúng chính là siêu phẳng

Giao của tất cả các tập lồi chứa tập n

SR cho trước được gọi là bao lồi của S , ký hiệu coS , đó là tập lồi nhỏ nhất chứa S

Tập CR n , giao của tất cả các tập a-phin chứa C là tập a-phin nhỏ nhất chứa C , gọi là bao a-phin của C Ký hiệu affC

Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2)

Cho C là một tập bất kỳ Khi đó:

(i) Bao lồi của C là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C

(ii) Bao a-phin của tập C là tập hợp bao gồm tất cả các điểm có dạng

1

1 k k

x x   x (1.2)

sao cho x iC,1  k  1 và k  Ν Chứng minh

(i) Gọi M là tập hợp các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C

Vì C coC và coC lồi nên M coC Vì thế để chỉ ra M coC, ta chỉ cần chứng tỏ

M là tập lồi

Thật vậy, lấy x y, M Theo định nghĩa của M , các điểm này có dạng

1

k i i i

Giả sử x y, M , theo định nghĩa của M ta có:

k i i i

Mọi điểm xM có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

1

k i i i

x  x



 ,

1 1

k i i

Một tập C Được gọi là nón nếu

 | 0

C xR x

là một nón nhưng không lồi

Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi đó, ta nói 0 là đỉnh của nón Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện

Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 1.6)

Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(i)  CC,  0, (i) CCC Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón nên ta có (i)

Do C là một tập lồi nên với mọi x y, C thì 1 

2 xy C Vậy theo (i) ta có x y C

Điều kiện đủ: Giả sử ta có (i) và (ii)

Từ (i) suy ra C là một nón Giả sử x y, C và 0,1

Từ (ii) suy ra  xC, 1 yC Theo (ii) ta có  x1 yC

Cho C là một tập lồi trong R n Một véc tơ y 0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn trong C Tức là: y là hướng lùi xa khi và chỉ khi

Tập hợp của tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc là nón lùi xa của C ,

ký hiệu là re C Hiển nhiên nếu C là một tập bị chặn thì re C chỉ gồm duy nhất một gốc

Nhận xét 1.2 Nếu C là tập lồi đóng thì trong định nghĩa trên, thay vì đòi hỏi với mọi xC, chỉ cần đòi hỏi cho một điểm xC

Cho  , do C đóng, ta thấy u yC,với mọi uC và  0

Nhận xét 1.3 Trong trường hợp C không đóng thì bổ đề trên không đúng

Hiển nhiên, véc tơ y 0,1 có tính chất là mọi tia xuất phát từ một điểm

0  x C theo hướng này đều nằm trọn trong C nhưng nếu xuất phát từ x 0 thì điều này không đúng

Ta có thể kiểm tra được rằng N C x và *

C là hai nón lồi đóng chứa gốc

Cho C là tập lồi, khác rỗng và xC Ta nói n

dR là một hướng chấp nhận được của C nếu t0  0 sao cho x td C với mọi 0  t t0 Tập tất cả các hướng chấp nhận được là một nón lồi chứa gốc và gọi là nón chấp nhận được Ký hiệu là

 

C

F x Nón này có thể không đóng, tuy nhiên nếu lấy bao đóng, ta sẽ được một nón

khác là nón tiếp xúc với C tại x Ký hiệu nón này là T C x , thì F C x T C x Từ đây suy ra

Mệnh đề 1.7 (xem [2], mệnh đề 1.8)

Nón pháp tuyến và nón tiếp xúc là đối cực của nhau

Ta có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Bằng cách cho f x    nếu xC, ta có thể coi f được xác định trên toàn không gian và

 

dom :f  x R | f x   ,

lồi Các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, Holder… là những trường hợp riêng của bất đẳng thức này

Bất đẳng thức Jensen

Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì

* 1 2 , , , , m

    và  j0 thỏa mãn

1 1

m j j

Chọn ' f x , và ' f y , Vậy x,' , y,' epi f Do epi f lồi nên

Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào khái niệm hệ số lồi

Định nghĩa 1.17

Hàm f R: nR   (không nhất thiết lồi), n

CR là một tập lồi khác rỗng và  là một số thực Ta nói  là hệ số lồi của f trên C , nếu với mọi

f đóng

nếu nếu

c) Nếu f là một hàm lồi trên R n thì dom f là một tập lồi, vì dom f chính là hình chiếu trên n

0 1, : 1, + 1.

Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi

Chương 2 ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến…, các định lý tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm

Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là nghiệm của hệ phương trình đại số, hay vi tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu… Nếu điểm thuộc tập lồi đó thì vấn đề được giải quyết, trái lại, nếu không thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng

để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau Một mệnh đề thường được dùng làm nền tảng lý thuyết tối ưu hiện đại là định lý tách các tập lồi, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm

là định lý Hahn – Banach rất quen thuộc trong giải tích hàm

2.1 Định lý tách 1 Định nghĩa 2.1

Cho C  , CR n (không nhất thiết lồi) và y là véc tơ bất kỳ, đặt

a)   p C y , b) yN C( ) (ii) Với mọi n

yR , hình chiếu p C( )y của y trên C luôn tồn tại và duy nhất

(iii) Nếu yC , thì p C y y x, p C y  0 là siêu pẳng tựa của C tại p C( )y

       

2 0

ii) Do d C( )y  infx C xy , nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn tại một dãy k

x C sao cho

k x y d y   Vậy dãy  k

Chứng tỏ  là hình chiếu của y trên C

Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm  và 1

 đều là hình chiếu của y trên C, thì

,

yN  y N  Tức là

Gọi hình chiếu của 0

x  C Phân biệt trường hợp:

a) x0C Do C lồi, đóng, nên theo (iii) của mệnh đề 2.1, siêu phẳng

là siêu phẳng tựa của C tại p x( 0) tách hẳn C và x0

b) x0C Khi đó do x0intC, nên x0 R n\C Vậy tồn tại dãy x k x0với k

x C với mọi k Do C lồi, đóng, nên lại áp dụng (iii) của Mệnh đề 2.1, tồn tại siêu phẳng tựa của C tại p x( k) Tức là tồn tại   k 0, thỏa mãn:

Do 0

x riC, nên sự tồn tại siêu phẳng tách trong bổ đề được suy ra từ mệnh đề 2.2

Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1)

Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong n

R sao cho CD  Khi đó

Chứng minh

Giả sử C là tập Compact Ta chỉ ra tập CD đóng

C

O

Từ định nghĩa ta thấy rằng, nếu hai tập nằm trong cùng một siêu phẳng, thì chúng vẫn tách được, ví dụ chính bằng siêu phẳng đó Để tránh trường hợp này người ta đưa ra khái niệm tách đúng sau:

     , thì  Lấy   Khi đó siêu phẳng t x T  sẽ tách A và B, nhưng không thể đồng thời chứa cả A và B

ii) Trường hợp int A B 

Đặt C AB và F là không gian con song song với bao a-phin của C Khi đó, áp dụng lập luận ở phần trên cho không gian F, sẽ tồn tại một siêu phẳng '

H (trong F) tách đúng A và B Gọi t' là phiếm hàm tuyến tính từ F R xác định siêu phẳng H' Gọi F là không gian vuông góc với F Với mỗi xR n đặt

 

t x là hàm hợp giữa t' và p, trong đó p là ánh xạ chiếu xuống không gian con

F Do p là tuyến tính, nên dễ thấy t và t' cũng là tuyến tính và là siêu phẳng tách đúng hai tập A và B

Nhận xét 2.3

Nếu A và B là hai tập lồi mà riA riB , thì hai tập này vẫn có thể tách được

Ví dụ 2.2

A và B là hai đường chéo của một hình chữ nhật trong mặt phẳng 2-chiều

Rõ ràng A và B là hai tập lồi mà riA riB , chúng vẫn tách được bằng chính mặt phẳng nhưng chúng không tách đúng được

Một hệ quả rất quan trọng của định lý tách là bổ đề chọn mang tên nhà toán học Hungary Farkas, được chứng minh từ năm 1892 dưới dạng một định lý hình học Bổ đề này rất trực quan, dễ áp dụng trong nhiều lĩnh vực như tối ưu, điều khiển, lý thuyết toán tử…

Hệ quả 2.1 (Bổ đề Farkas) (xem [2], hệ quả 6.1)

Nửa không gian x a x | T 0 chứa nón x Ax | 0 khi và chỉ khi véc tơ a

nằm trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A tức là

A x a x khi và chỉ khi A y T a y,  0Tính chất hình học của bổ đề này rất rõ Nó nói rằng nón lồi, đóng

x Ax | 0 nằm trong nửa không gian x a x | T 0 khi và chỉ khi véc tơ pháp tuyến

a ở trong nón sinh bởi các hàng của ma trận A

Hình 2

Chứng minh

Giả sử (2.2) có một nghiệm y nào đó Nếu như Ax 0, thì từ T

A ya, nhân tích vô hướng với x, và do Ax0,y0, ta có a x T  y Ax T 0 Vậy (2.1) không thể