Định lý tách và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2012 MỤC LỤC Mở đầu Chương Các khái niệm 1.1 Tập lồi…………………………………………………………… 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….… 11 1.2 Hàm lồi…………………………………………………….…… 15 Chương Định lý tách tập lồ 2.1 Định lý tách 1………………………………………………… … 21 2.2 Định lý tách 2………………………………………………… … 26 Chương Một số ứng dụng đ 3.1 Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32 3.2 Hệ bất đẳng thức lồi………………………………………… … 36 3.3 Xấp xỉ tuyến tính hàm lồi……………… …………………… 41 3.4 Sự tồn vi phân hàm lồi…………………………… …43 3.5 Ứng dụng phép vơ hướng hóa tốn véctơ…….…………46 Kết luận Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặt biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, tốn cân Một vấn đề trung tâm giải tích lồi định lý tách Về chất, định lý tách trả lời câu hỏi phần tử có thuộc tập lồi hay khơng, khơng thuộc mang tính chất gì? Đây câu hỏi liên thuộc, vấn đề tốn học Ta hình dung tập lồi tập hợp nghiệm hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập điểm bất động ánh xạ, tập nghiệm toán tối ưu,…Dĩ nhiên câu trả lời có, vấn đề liên thuộc giải Trái lại, câu trả lời khơng, xảy điều gì? Điều giải thích định lý tách thuộc loại định lý chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách ứng dụng quan trọng Luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở tập lồi hàm lồi Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương 2: Là phần luận văn, chương tác giả trình bày nội dung hai định lý tách hệ (Bổ đề Farkas) Chương 3: Trình bày ứng dụng hai định lý tách để: Chứng minh điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi hàm non a-phin nó, chứng minh tồn vi phân hàm lồi, vơ hướng hóa tốn tối ưu véc tơ Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội ý kiến đóng góp q báu, giúp đỡ tận tình cổ vũ to lớn suốt thời gian qua Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Bản luận văn hoàn thành trình gái tác giả trào đời, ủng hộ mặt tinh thần từ hai mẹ Kết luận văn quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm giải tích lồi với tính chất đặc trưng như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàm lồi… 1.1 Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà biết không gian con, siêu phẳng, … tập lồi Khái niệm tập lồi có vai trị quan trọng giải tích lồi Trong phần chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất tập lồi, tập a-phin, tập lồi đa diện, nón lồi 1.1.1 Tổ hợp lồi Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b Rn tập hợp tất điểm (véc tơ) x Rn có dạng x Rn | x (1 ) a b , R Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b Rn tập hợp tất điểm (véc tơ) x Rn có dạng x R n | x (1 )a b,0 Định nghĩa 1.2 Một tập C Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi x,y Ta nói véc tơ x C, 0;1 (1 )x y C Rn gọi tổ hợp lồi véc tơ x1 , x , , x m Rn m x m ix i ,i 0i i1 1,2, , m, i i1 Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1) Một tập Rn tập lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi khi: k k N, , , k 0: k j 1, x1, , x k C jx j1 j C j1 Chứng minh Điều kiện đủ: Suy từ định nghĩa tập lồi ứng với k Điều kiện cần: Ta chứng minh quy nạp theo số điểm Với k , điều kiện cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k điểm, ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Thật vậy, x tổ hợp lồi k điểm x1 , , x k Giả sử C Tức k k1 Do j1 Ta có x y k kx j k Do 0, k k j j nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x C Từ định nghĩa tập lồi ta suy lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Decastes Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2) Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi: A B: x|x A, x B , A B : x | x a b , a A, b B , , R , A C: x Rm n|x a,c:a A, c C 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện Trong giải tích cổ điển, ta làm quen với khơng gian con, siêu phẳng Đó trường hợp riêng tập a-phin (đa tạp a-phin) định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức x,y C, R (1 )x y C Nhận xét 1.1 a) Mọi tập affin (bao gồm tập Rn ) tập lồi b) Mọi siêu phẳng Rn tập a-phin Mệnh đề cho ta thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến không gian Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3) Tập M tập a-phin có dạng M L a với L không gian a M Không gian xác định Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M tập a-phin a Khi L Vậy M a chứa tập a-phin Do đó, L khơng gian M L a Điều kiện đủ: Nếu M x,y M, L a với a M , L không gian R , ta có: Do x M x y a y a x a a , y a L L không gian nên x a y a x y L M Vậy M tập a-phin Không gian L Thật vậy, M L a M L ' a ' , L, L ' không gian a , a ' M L' M a Do a ' M L a a ' L ' ( a a ') a L , nên a ' a L L ' L ( a a ') L Không gian L mệnh đề gọi không gian song song với tập a-phin M Định nghĩa 1.4 Thứ nguyên (hay chiều) tập a-phin M định nghĩa thứ m i yi y C i0 Chú ý theo định nghĩa C , với x f0 x D , ta có C , , f m x Vậy m fi x i x D i Điều với , nên suy m i fi x x D i Ta chứng tỏ i i Thật vậy, trái lại có j với j đó, với x D , yi f i x , ta có y , , y m C , nên m i yi i Cho y j yi khác cố định, ta thấy vế trái bất đẳng thức tiến đến Mâu thuẫn vế phải Vậy i với i Cuối giả sử điều kiện Slater thỏa mãn Nếu 0 theo (3.3), có m i fi x i Lấy x x D x D , theo điều kiện quy Slater m i f i x0 i Ta có mâu thuẫn mệnh đề chứng minh Trong nhiều ứng dụng, hệ bất đẳng thức lồi thường có tham gia đẳng thức tuyến tính Khi ta có mệnh đề sau: 38 Mệnh đề 3.2 (xem [2], mệnh đề 9.6) Cho f1, , fm hàm lồi hữu hạn tập lồi D A ma trận thực cấp k n Giả sử b riA D Khi đó, hệ x D , Ax b, f i x 0, i 1, , m m Rk khơng có nghiệm tồn t 0,i i 1, , m cho i i1 m t , Ax - b if i x x D i1 Chứng minh Điều kiện đủ: Hiển nhiên Điều kiện cần: Lấy tập E: D | Ax b x Do D lồi nên E lồi theo giả thiết, hệ x E,fi x 0, i 1, , m khơng có nghiệm Vậy áp dụng mệnh đề 3.1, tồn m i i ,i 1, , m thỏa mãn m if i i1 x x E i1 m Bằng cách chia cho m i , ta coi i i1 i1 m Với x D , lấy f x : if i x Khi f lồi hữu hạn D Lấy i1 C: y , y0 Rk R| x D , Ax b 39 y,f x y0 Do D f lồi nên C lồi Từ với giả thiết ta suy C Theo mệnh đề R k R 2.1, ta tách C Tức tồn t ,t y , y C cho C, t , y t y0 y , y0 t, Dựa vào định nghĩa C , lập luận tương tự mệnh đề 3.2.1 ta có t0 Nhưng t0 khơng thể 0, t0 t,y y AD b Thế theo giả thiết b riA D , tức ri A D b Từ (3.5) suy t,y Do t0 y AD 0, nên t , y t y0 Mâu thuẫn với (3.4), y y,y0 C A D Vậy t0 Từ định nghĩa C ta có Ax - b , f x C t , Ax - b t f x Điều với x 0, x D Vậy D , nên t , Ax - b t f x x D m Thay f x if i x chia hai vế cho t0 , ta có điều cần chứng minh i1 Nhận xét 3.2 Mệnh đề thay hệ Ax 40 b hệ Ax b 3.3 Xấp xỉ tuyến tính hàm lồi Một tập lồi, với giả thiết cho trước xấp xỉ với độ xác tùy ý tập lồi đa diện, xác định nửa không gian tựa tập lồi Một cách tương ứng, ta hàm lồi, với giả thiết thơng thường xấp xỉ với độ xác tùy ý hàm a-phin non Kết sở cho việc xấp xỉ tốn có cấu trúc lồi tốn tuyến tính Trong mục dùng định lý tách để chứng minh Bổ đề làm sở cho định lý xấp xỉ hàm lồi hàm non a-phin Trước hết ta xét định nghĩa hàm non a-phin: Định nghĩa 3.3 Hàm l hàm non a-phin hàm f Rn l hàm a-phin Rn l x f x với x Rn Ví dụ 3.2 Hàm đồng hàm non a-phin hàm Ví dụ 3.3 Nếu f * hàm liên hợp f , x*,x f* x* f x x Từ thấy x* xác định hàm a-phin lx: x*,x f* x* f x x hàm non a-phin f tồn khơng gian Bổ đề 3.1 (xem [2], bổ đề 10.1) Cho f hàm lồi đóng, thường Rn Khi với điểm x ,t epif , tồn tạiR n , R cho 41 T x T f x x t0 x dom f Chứng minh Theo giả thiết f hàm lồi đóng thường nên epif tập lồi, đóng khác rỗng Do điểm lồi, đóng C : x ,t0 x ,t epi f , nên áp dụng định lý tách mạnh cho hai tập D : epi f , tồn a ,0, a R n , R R cho a T x ta T x t0 Trước hết ta thấy rằng0, nếu0 thức đầu (3.6) cho t tiến đến Lúc vế trái tiến đến , vế phải số hữu hạn cố định Hơn x0 lấy x cho dom f x0 , ta có a T x 0 , từ bất đẳng thức (3.5), a T x0 Vô lý Vậy trường hợp này, chia hai vế (3.6) , ta có điều phải chứng minh Bây cần xét trường hợp x dom f Từ (3.6) có a T x a T x x dom f Lấy x1 domf t f x1 Khi x1 ,t epif Lại áp dụng định lý tách mạnh cho tập gồm điểm x1 ,t1 tập epif Khi đó, ý x1 domf , tương tự trên, tồn b, 0,b R n , R cho bT x t Từ (3.6), thấy với a T x1 t x ,t x ,t epi f epif , ta có (b a )T x t b T x t a T x Chú ý rằng, a T x0nên (b a )T x t b T x t a T x0 42 với đủ lớn Vậy với đủ lớn, cách lấy b a, ' từ (3.7) (3.8) suy T Nói riêng lấy t x t T ' x t0 epi f x ,t f x , ta có T x f x T ' x t0 x dom f Như trường hợp ta có (3.6) Từ bổ đề chứng minh định lý Định lý 3.2 (xấp xỉ tuyến tính hàm lồi) (xem [2], định lý 10.1) Mọi hàm lồi đóng thường f Rn bao hàm non aphin Tức là: f x sup lv x | lv A v A tập hợp tất hàm non a-phin f Chứng minh [xem [2], định lý 10.1] 3.4 Sự tồn vi phân hàm lồi Phép tính vi phân vấn đề giải tích cổ điển Trong giải tích lồi, lý thuyết phong phú nhờ tính chất tập lồi hàm lồi Trong phần này, mở rộng khái niệm đạo hàm khái niệm vi phân số tính chất Đặc biệt áp dụng định lý tách siêu phẳng tựa để chứng minh tồn vi phân hàm f trường hợp f lồi Như ta biết, hàm lồi khả vi điểm đó, phương trình tiếp tuyến điểm nằm đồ thị Tuy nhiên, hàm lồi khơng khả vi, ví dụ hàm lồi biến f x x khơng khả vi x Trong trường hợp này, người 43 ta mở rộng khái niệm đạo hàm đạo hàm, cho có tính chất đạo hàm hàm lồi khả vi Định nghĩa 3.4 Cho f : R n Rn đạo hàm f x Ta nói x * R x* , z x f x f z z Tương tự hàm lồi khả vi thơng thường, biểu thức có nghĩa phương trình tiếp tuyến nằm đồ thị hàm số Tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến khơng tồn Ký hiệu tập hợp tất đạo hàm f x f x Đây tập Rn (có thể rỗng) Khi f x ta nói hàm f khả vi vi phân x Theo định nghĩa, điểm x * thỏa mãn hệ vơ hạn f x bất đẳng thức tuyến tính Như vậy, f x giao nửa không gian đóng Vậy f x ln tập lồi đóng (có thể rỗng) Ký hiệu dom f : x|f x Ví dụ 3.4 Hàm f x x , x Rn Tại điểm x hàm không khả vi, khả vi phân f 0: x*| x*,x x x Ví dụ 3.5 C Rn tập lồi, khác rỗng f x C x + 44 Khi với x C , ta có: C Với x C x0 x*| x*,x x0 C x, x nên bất đẳng thức Vậy C C x0 x*| x*,x x 0, x C N C x0 Vậy vi phân hàm tập lồi C khác rỗng điểm x C nón pháp tuyến ngồi C x0 Mệnh đề 3.3 (xem [2], mệnh đề 11.3) Cho f : R n (i) R lồi, thường Khi đó: Nếu x domf , f x (ii) Nếu x int domf f xvà com-pắc Ngược lại, f x Com-pắc x ri domf Chứng minh (i) Cho z domf , f z Vậy x domf , f x khơng thể tồn x* thỏa mãn x* , z x f x Vậy f x f z (ii) Trước hết giả sử x int dom f Ta có điểm x , f x nằm biên epi f Do f lồi, thường, nên tồn siêu phẳng tựa bao đóng epi f qua x , f x , tức tồn p R n ,t R không đồng thời thỏa mãn p,x Ta có t , t p,x 45 Nhưng x int dom f nên điều kéo theo p Vậy, t t bất đẳng thức (3.9), cho trái cố Hơn nữa, t 0, ta suy mâu thuẫn vế định Chia hai vế (x) cho t , đồng thời thayf y Hay Nếu y domf Chứng tỏ x * f x Nhận xét 3.3 Cách chứng minh cho thấy đạo hàm pháp tuyến siêu phẳng tựa bao đóng epi f x , 3.5 Phép vơ hướng hóa tốn véc tơ Trong sống, vấn đề thường có nhiều mối ràng buộc Khi mơ hình hóa mối liên hệ tốn học ta tốn nhiều biến Nếu ta coi nhiều biến véc tơ ta tốn véc tơ Trong phần nghiên cứu toán tối ưu véc tơ Bài toán F x : x Trong đó, F f1 , , f p : R n Rp 46 D Rn (VP ) x : biến D : tập xác định (tập ràng buộc) F : hàm mục tiêu (hàm tiêu chuẩn) Với hai véc tơ a T a1 , , an bT b1 , ,bn Rn , ta nói a b bi i a b a b bi i Định nghĩa 3.5 Véc tơ x * D gọi nghiệm Pareto lý tưởng toán (VP ) Fx* Fx x D Trong trường hợp tổng qt nghiệm Pareto lý tưởng nói chung thường không tồn Định nghĩa 3.6 Véc tơ x * D gọi nghiệm Pareto tốn VP khơng tồn x D cho F x F x* F x F x* Nếu không tồn x D mà F x F x* x* gọi nghiệm Pareto yếu toán (VP) Định nghĩa 3.7 Véc tơ x * D gọi nghiệm Pareto lý tưởng tốn max F x : x khơng tồn x D cho F x F x* F x D Rn (VP max ) F x* Nếu không tồn x D mà F x F x* x* gọi nghiệm Pareto yếu toán (VP max ) Nhận xét 3.4 Một điểm nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) toán cực tiểu 47 F x : x D Rn nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) toán cực đại D Rn Cx với C ma trận thực, x Rn max Fx:x Bài toán véc tơ tuyến tính: Bài tốn (VP ) (VP max ) Fx D tập lồi đa diện xác định rõ, ví dụ D x 0, Ax b với A ma trận m n b Rm gọi toán tối uu véc tơ tuyến tính Bài tốn tối ưu véc tơ lồi Bài toán (VP ) (VP max ) D tập lồi tất hàm mục tiêu hàm lồi D gọi tốn tối ưu véc tơ lồi Ví dụ 3.6 Giả thiết công ty sản xuất hai loại hàng hóa Đặt: xj số lượng loại hàng hóa j j 1,2 , f1 x1 , x2 f1 x1 , x2 Chẳng hạn: f x , x 2 x1 x2 , f x , x x1 x Tập ràng buộc x1 a , x a 48 (giới hạn số lượng sản phẩm) (ngân sách) b x1 b x2 b Bài toán đặt xác định số lượng hàng hóa cần sản xuất để giảm tối đa chi phí tức tìm nghiệm x1 , x2 toán (VP ) Để giải toán tối ưu véc tơ ta thường sử dụng cách vô hướng hóa tốn véc tơ Mệnh đề 3.4 (i)Cho R p Khi nghiệm cực tiểu tồn cục tốn T D Fx:x Rn P nghiệm Pareto toán VP Cho 00 R p Khi nghiệm cực tiểu tồn cục tốn (ii) T Fx:x D Rn P nghiệm Pareto yếu toán VP Chứng minh Hiển nhiên Mệnh đề 3.5.2 Giả sử VP toán lồi ( F D tập lồi) Khi đó, với nghiệm Pareto u VP tồn 0 cho u arg T Fx:x D x Chứng minh Đặt K: Đặt C y Rp:y Fx coK 49 Fu,x D Rp Ta chứng minh C Do K nên C C , đó, tồn y 1, , y r Giả sử y K thỏa mãn r r j y j1 K nên tồn x j Với j , y j t j tjy ,tj j, j1 D thỏa mãn y j Fxj Fu r t j x j Do F hàm lồi nên ta có Đặt x j r F x F ut j F x j Fu j1 r tj Fxj F ut j y j j1 Từ đó, u nghiệm Pareto nên y kéo theo Do C Rp Theo định lý tách tồn thỏa mãn (3.10) (3.11) Bằng cách chia choj Từ (3.10) ta thấy , từ (2) định nghĩa K ta suy T Fx Fu Điều có nghĩa u nghiệm nhỏ P Như vậy, ta vơ hướng hóa xong tốn VP 50 x D Kết luận Luận văn trình bày hai định lý tách số ứng dụng nó, cụ thể: Nội dung hai định lý tách hệ Ứng dụng định lý tách để: Chứng minh điều kiện tối ưu, tìm điều kiện có nghiệm hệ bất đẳng thức lồi, chứng minh tồn xấp xỉ tuyến tính hàm lồi hàm non a-phin, chứng minh tồn vi phân hàm lồi vô hướng hóa tốn tối ưu véc tơ Trong luận văn này, tác giả đề cập đến định lý tách tập lồi ứng dụng không gian hữu hạn chiều Rn , chưa xét trường hợp tổng quát xét không gian vô hạn chiều Một số vấn đề lý thú tiếp tục từ đề tài là: Ứng dụng định lý tách không gian vô hạn chiều Xây dựng giải toán tối ưu kinh tế dựa định lý tách Mơ hình hóa toán học hoạt động sản xuất doanh nghiệp dự đoán thành bại doanh nghiệp…bằng việc mở rộng định lý kiểu tách cho tập rời rạc Vì thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 51 Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên công nghệ Hà Nội Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viên tốn học Hà Nội Hồng Tụy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer academic Publishers R.Tyrrell Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton, New Jersey Princeton University press 52 ... lồi…………………………………………………….…… 15 Chương Định lý tách tập lồ 2.1 Định lý tách 1………………………………………………… … 21 2.2 Định lý tách 2………………………………………………… … 26 Chương Một số ứng dụng đ 3.1 Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32... x0 Chứng minh Do x riC , nên tồn siêu phẳng tách bổ đề suy từ mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn cho C D Khi có siêu phẳng tách. .. chúng tách mặt phẳng chúng không tách Một hệ quan trọng định lý tách bổ đề chọn mang tên nhà toán học Hungary Farkas, chứng minh từ năm 1892 dạng định lý hình học Bổ đề trực quan, dễ áp dụng nhiều