BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8, 9 ĐỊNH LÝ TALÉT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8, 9ĐỊNH LÝ TALÉT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGĐịnh lý Talét là một trong những định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng trong chương trình toán THCS. Định lý Talét được sử dụng nhiều trong giải toán, đặc biệt là những bài toán có liên quan đến đoạn thẳng và tỉ số hai đoạn thẳng.Thông qua việc vận dụng định lý Talét vào giải toán ta có thể ôn lại cho học sinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác...Vận dụng định lý Talét vào giải toán ngoài việc học sinh được rèn luyện các kỹ năng toán học, chủ yếu còn được nâng cao về mặt tư duy toán học. Các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, … thường xuyên được rèn luyện và phát triển.

Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tường

Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 8, 9

Số tiết: 6 tiết (2buổi)

Thông qua việc vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ta có thể ôn lại cho họcsinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức,giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác

Vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ngoài việc học sinh được rèn luyệncác kỹ năng toán học, chủ yếu còn được nâng cao về mặt tư duy toán học Các thaotác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, … thườngxuyên được rèn luyện và phát triển

2 Cơ sở thực tiễn.

Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Ta-lét vàogiải bài toán của học sinh còn hạn chế Khi học về phần này, học sinh còn khókhăn:

- Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng haymắc sai lầm

- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ,tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế

- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bàitoán, khai thác bài toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao

- Học sinh chưa có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phươngpháp qua từng bài toán, dạng toán

3 Kết luận khái quát.

Nhận thức rõ được vị trí và tầm quan trọng của định lý Ta-lét trong chương

trình Toán THCS từ đó ý tưởng về chuyên: “Định lý Ta-lét và ứng dụng” ra đời.

Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với bồi dưỡng học sinh giỏi và một số sáchviết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này

Những năm gần đây, trong các kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thichọn HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyênTin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nộidung áp dụng định lý Ta-lét Đây không phải là một kiến thức mới, tuy nhiên đòihỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng đượcnội dung định lý

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra

được một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề: “Định lý Ta-lét và một số ứng

dụng” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh :

- Nắm vứng nội dụng định lý Ta-lét trong tam giác và định lý Ta-lét tổngquát

- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các dạng bài tập và phươngpháp giải Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, vẽ hình, phân tích,suy luận, tổng hợp,…

- Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác tưduy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,…

PHẦN 2: NỘI DUNG

I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT

Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt

là Ta-lét (tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος;

khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN), là một triết

gia, một nhà toán học người Hy Lạp sống

trước Socrates, người đứng đầu trong bảy nhà hiền

triết của Hy Lạp Ông cũng được xem là một nhà

triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại,

là "cha đẻ của khoa học" Tên của ông được dùng

để đặt cho một định lý toán học do ông phát hiện

ra

Ta-lét sống trong khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh ra

ở thành phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander(của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác Có hainguồn: một nguồn cho là ông sống khoảng 90 tuổi, còn một nguồn khác cho là ôngsống khoảng 80 tuổi

Trước Ta-lét, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên của thế giới, vạn

vật qua các câu truyện thần thoại của chúa trời, của các vị thần và các anh hùng Các hiện tượng như sấm, sét hay động đất được cho là do các vị thần trong tự nhiên.Ông quan niệm toàn bộ thế giới của chúng ta được khởi nguồn từ nước.

Nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới Mọi cáitrên thế gian đều khởi nguồn từ nước và khi bị phân hủy lại biến thành nước

Với quan niệm nước là khởi nguyên của thế giới, của mọi sự vật, hiện tượng Ông

đã đưa yếu tố duy vật vào trong quan niệm triết học giải thích về thế giới Thế giớiđược hình thành từ một dạng vật chất cụ thể là nước chứ không phải do chúa trờihay các vị thần

Định lý Ta-lét:

- Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những đoạnthẳng tỷ lệ

- Góc chắn nửa đường tròn thì bằng một vuông

- Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần bằng nhau

- Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau

- Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằngnhau

- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Ta-lét là người đầu tiên nghiên cứu về thiên văn học, hiểu biết về hiện tượng nhậtthực diễn ra do mặt trăng che khuất mặt trời.

Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứvào bóng của chúng

Ta-lét được coi là người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu về Sự sống ngoài Trái Đất.Ta-lét chết lúc già một cách đột ngột khi đang xem một thế vận hội Trên mộ ông

khắc dòng chữ: “Nấm mồ này nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang của con người

này, ông vua của các nhà thiên văn, mới vĩ đại làm sao”.

II - KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1 Đoạn thẳng tỉ lệ.

1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng

- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo

Như vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.

AB CD A'B' C'D'

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh

của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên

hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

GT  ABC, B'C ' BC(B' AB, C' AC)   

A

KL AB' AC ' AB' AC ' BB' C 'C

AB AC B'BC 'C AB AC

2.2 Định lý đảo.

N u m t ếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam ột đường thẳng cắt hai cạnh của tam đường thẳng cắt hai cạnh của tamng th ng c t hai c nh c a tamẳng cắt hai cạnh của tam ắt hai cạnh của tam ạnh của tam ủa tam

giác v à định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳngnh ra trên hai c nh n y nh ng o n th ngạnh của tam à định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng ững đoạn thẳng đ ạnh của tam ẳng cắt hai cạnh của tam

tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song vớing ng t l thì ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với ỉ lệ thì đường thẳng đó song song với ệ thì đường thẳng đó song song với đường thẳng cắt hai cạnh của tamng th ng ó song song v iẳng cắt hai cạnh của tam đ ới

c nh còn l i c a tam giác.ạnh của tam ạnh của tam ủa tam

tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho

GT  ABC, B'C ' BC(B' AB, C' AC)   

KL AB' AC ' B'C '

AB AC  BC

Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo và hệ quả vẫn đúng trong

trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của

tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:

C B

A

3 Định lý Ta-lét tổng quát:

3.1 Định lý thuận:

Nhi u ều đường thẳng song song định ra trên đường thẳng song song định ra trên ng th ng song song ẳng song song định ra trên định ra trên nh ra trên

hai cát tuy n b t k nh ng o n th ng t ến bất kỳ nhữngđoạn thẳng tương ứng ất kỳ nhữngđoạn thẳng tương ứng ỳ nhữngđoạn thẳng tương ứng ữngđoạn thẳng tương ứng đ ạn thẳng tương ứng ẳng song song định ra trên ương ứng ng ng ứng

minh đượcAB'' A ' B', B''C '' B'C '   Sau đó áp dụng định lý Ta-lét trong tam giácvào  ACC''để có: AB AB''

BC B"C''từ đây suy ra kết luận.AB A'B'

BC B'C'

3.2 Định lý đảo.

Cho 3 đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’

tại các điểm theo thứ tự; A, B, C và A’, B’, C’ thoả

mãn tỉ lệ thức: ' '

' '

AB A B

BC B C mà 2 trong 3 đường thẳng a,

b, c là song song với nhau thì 3 đường thẳng a, b, c

song song với nhau

3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)

Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song

những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

O O

A' B'

Hệ quả 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng

song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm

A' B'

C' B' A'

C B A

c b a

Ta có thể chứng minh định lý bằng cách gọi giao điểm của hai đường thẳng d1, d2

là O Ta chứng minh d3 cũng đi qua O

Gọi C” là giao điểm của OC và đường thẳng b Ta chưng minh C' C''  Thật vậy,

vì AC//A’C’ nên hệ quả 1 ta có: AB AC

A 'B'A 'C '' mà theo giả thiết ta có : AB AC

A 'B'A 'C '

Từ đó suy ra C ' C''  Hay d3 đi qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy

III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT.

Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; các bài toán về diện tích, vận dụng để chứng minh định lý Tuy nhiên trong khuân khổ của chuyên đề, tôi chọn hai ứng dụng chính để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy và nhiều điểm thẳng hàng

Dạng 1 CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.

Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó.Nếu như ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳngbằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác,… thì lênlớp 8, 9 học sinh sau khi học xong về diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giácđồng dạng, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông và các kiến thức

về đường tròn thì lớp bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng vàphong phú Đối với các bài toán lớp 8, 9 thì định lý Ta-lét và các trường hợp đồngdạng của tam giác là những công cụ để giải toán

Ví dụ 1(lớp 8) Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC,

qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi

Hướng dẫn tìm lời giải:

A

BK BE AB BK.DG AB.AD

Ví dụ 2 (lớp 8):  ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác, qua O kẻ HF//

BC, DE//AB, MK//AC với H, K  AB;

A

* Hướng dẫn tìm lời giải:Giả thiết đã cho các đường thẳng song song, ta cố định

một trong 3 tỉ số trong hệ thức cần chứng minh chẳng hạn:

BCAB KM//AC =>KM BK

AC AB FH

Ví dụ 3 (lớp 8) Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b Qua giao điểm O của

hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E

Nhận xét:Nếu thay đổi dữ kiện của bài toán ta có bài toán sau.

Ví dụ 4 (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2006)

Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm

tương ứng thuộc AB và AC Đường thẳng PC và QB

cắt nhau tại G Đường thẳng đi qua G và song song với

BC cắt AB tại E và AC tại F Biết PQ = a và EF = b

Tính độ dài của BC

Hướng dẫn tìm lời giải:

Sau khi vẽ hình ta thấy tứ giác BPQC là hình thang có các yếu tố thỏa mãn

ví dụ 3 Từ đó ta có thể vận dụng kết quả của ví dụ 3 vào giải bài toán

a x ax GF

*Nhận xét: Định lý Ta-lét ngoài việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình

học còn được vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Sau đây ta có thểxét một ví dụ về việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 5 (lớp 8)

Cho  ABC, phân giác trong AD chứng minh rằng:

a) Nếu A = 120 thì 0 1 1 1

ADAB ACb) Nếu A <120 thì 0 AD1 AB AC1  1

C B

A

Dạng 2: 1 1 1 1 b c b b c

     

Ở ví dụ này ta biến đổi hệ thức cần chứng minh về dạng 2

Qua C kẻ CF //AD, F  AB, ta có nhận xét gì về  AFC?

Từ (1) và (2) suy ra  AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào  BFC, AD//FC:

Kẻ AD là tia phân giác góc A, D∈BC Qua D kẻ

DE song song với AB, E∈AC

Ta có ∆EAD cân tại E Suy ra AE =ED

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét vào ∆ABC ta

Trong tam giác ADE có AD < AE + ED hay AD 2AE 2bc

này ta có thể giải bài toán sau:Ví dụ 7 (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2014).Cho a,

b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, x là độ dài của các đường phân giáctương ứng Chứng minh bất đẳng thức sau:1x1 1y z 1 1 1ab c

Ví dụ 9(lớp 8).Cho tứ giác lồi ABCD Gọi O là giao điểm của AD và BC Gọi I, K

,H là chân các đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD Chứng minh rằng :

Ta lại có AD.BI.CH=2.S ABD.CH

Mà BD.CE=2SABD ,OA.HC=OK.AC, AO ≥AE

nên AD.BI.CH=2.S ABD.CH=BD.CE.CHBD.AO.CH=BD.OK.AC

Dấu “=” xảy ra khi AE=AO hay AC  BD

Ví dụ 10 (lớp 9)(Câu 4c_Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013)

Cho tam giác nhọn ABC(AC  AB) có các đường cao AA', BB',CC' và trựctâm H Gọi ( )O là đường tròn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến

AM, AN tới đường tròn ( )O (M, N là các tiếp điểm) Gọi ' M là giao điểm thứ

hai của A N' và đường tròn ( )O , K là giao điểm của OH và B C' ' Chứng minhrằng:

H K I

B A

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy đẳng thưc cần chứng minh là đẳng thức của các tỉ số Để chứngminh các hệ thức giữa các tỉ số ta có thể vận dụng một trong các kiến thức: Định lýTa-lét; tam giác đồng dạng; hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác; tínhchất của cát tuyến cắt nhau với đường tròn Tuy nhiên trong bài toán này sử dụngphương pháp loại trừ ta có thể thấy chỉ có thể sử dụng kiến thức về định lý Ta-lét

và tam giác đồng dạng

Để có thể sử dụng được định lý Ta-lét ta cần phải vẽ thêm hình phụ:Qua O

kẻ đường thẳng d song song với B’C’ Từ đó ta có thể tìm được mối quan hệ giữacác tỉ số và chứng minh được định lí

F K

Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, gọi E và F theo thứ tự là hìnhchiếu của H trên AC và AB Cho D là một điểm trên BC Gọi M, N theo thứ tự làhình chiếu của D trên AB và AC Chứng minh rằng:

Vì MD//AC nên theo hệ quả của định lý Ta-lét  BDBC MDAC MBAB(4)

Vì ND//AB nên theo hệ quả của định lý Ta-lét  CDCBNCAC NDAB (5)

 BD.CD NA.NC MA.MB

b/ Tia AO cắt BC tại A1 và cắt cung nhỏ BC tại

A2 tia BO cắt AC tại B1 và cắt cung nhỏ AC tại

B2 Tia CO cắt AB tại C1 và cắt cung nhỏ AB tại

H E

A

F M

N

D C

B A

Gọi H là giao điểm của BD và CE AH cắt BC tại K cắt BC tại M Ta có AK BC

Đến lớp 8, sau khi học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức về

độ dài đoạn thẳng cũng cho ta kết luận 2 đường thẳng song

song

 ABC, .AM AN / /

AB AC MN BCNhư vậy định lý Ta-lét đảo cho ta thêm một cách chứng minh

2 đường thẳng song song

Ví dụ 1 (lớp 8):  ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC tại H, phân

giác góc AMB cắt AB tại K Chứng minh rằng HK // BC

Hướng dẫn tìm lời giải:

K

Theo giả thiết: MK là phân giác của AMB =>AKKB AMMB

MH là phân giác góc AMC suy ra: AH AM

HC MC

Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra:.AH AK / /

HC KB KH BC (định lý Ta-létđảo)

Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O của 2 đường chéo tứ giác ABCD, kẻ 1 đường

thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N Đường thẳng qua M song song với CDcắt AC ở E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F Chứng minh BE//CF

* Hướng dẫn tìm lời giải:

OB OE

OF OC / /

BE CF 

Hãy sử dụng các đường thẳng song song

trong giả thiết và định lý Ta-lét để chứng minh hệ

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minhAI AG

BC ID



 , bằng cách sử dụng tínhchất của đường phân giác

* Lời giải:

17

F E

N M

O D

C B

A

G I A

Gọi AI cắt BC ở D, AG cắt BC tại M

Nối B với I, C với I sử dụng tính chất

đường phân giác trong tam giác ta được:

Ví dụ 4 (lớp 8) : ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi M,

N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA Chứng minh rằng M, N,

P, Q thẳng hàng

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q

thẳng hàng Giả thiết của bài toán cho các đường

thẳng vuông góc, từ đó sẽ có các đường thẳng song

song Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng

H

Q M

D A