MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9.

Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức viét vào nhiều loại bài toán trong khi đó hệ thức viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán. Nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Viét để giải các bài toán liên quan. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi. Đó là lý do tôi chọn đề tài: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9”.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS LŨNG HÒA =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP Tác giả sáng kiến : Lê Thị Thanh Hương * Mã sáng kiến: 28 LŨNG HÒA, THÁNG NĂM 2020 MỤC LỤC Lời giới thiệu .2 Tên sáng kiến: .3 Tác giả sáng kiến: .3 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: .3 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: .3 Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử: Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 7.2 Hệ thức vi-ét số ứng dụng giải toán Những thông tin cần bảo mật: 21 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 21 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề 22 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả : 22 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức cá nhân 22 10.3.Kết luận 23 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Tốn học mơn học có vị trí quan trọng chương trình trung học sở, tảng cho môn khoa học tự nhiên môn khoa học xã hội Tốn học khơng cung cấp cho người kỹ tính tốn cần thiết mà cịn rèn luyện cho người khả tư logic, phương pháp luận khoa học Dạy học toán dạy cho học sinh phương pháp học toán giải toán để vận dụng kiến thức học vào giải toán thực tế sống Nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinh trung học sở ngồi việc dạy lý thuyết cịn phải trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải mốt số toán,nhưng để nắm vững cách giải dạng toán địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức học cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với khéo léo kinh nghiệm tích lũy để giải tập có liên quan Thơng qua việc giải tập em rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức học vào giải tập, kỹ trình bày, kỹ sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do nâng cao lực tư duy, óc tưởng, tượng sáng tạo, rèn khả phán đoán, suy luận học sinh Các toán ứng dụng hệ thức vi-ét có vị trí quan trọng chương trình dạy học tốn trung học sở Chính dạng tốn thường xun có mặt kỳ thi học sinh giỏi lớp 9, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Qua nhiều năm dạy tốn lớp 9, tơi nhận thấy em vận dụng hệ thức vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức vi-ét vào nhiều loại toán hệ thức vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán Nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dang Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn liên quan Góp phần giúp em tự tin kỳ thi Đó lý tơi chọn đề tài: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN LỚP 9” Từ tốn đơn giản khơng giải phương trình tính tổng tích nghiệm phương trình bậc ẩn, học sinh có phương tiện hệ thức Vi-ét để tính tốn Hệ thức giúp học sinh xét dấu nghiệm phương trình mà khơng biết cụ thể nghiệm Giải biện luận phương trình bậc có chứa tham số loại tốn khó Tiếp tục toán thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức, quan hệ nghiệm, phép tính nghiệm phương trình Việc tính nghiệm phương trình theo cơng thức nghiệm vơ khó khăn phương trình chứa tham số Trong trường hợp hệ thức Vi-ét phương tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán Tên sáng kiến: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN LỚP 9” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Lê Thị Thanh Hương - Địa chỉ: THCS Lũng Hòa-Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0388415760; Email: nguyennhatminh299@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lê Thị Thanh Hương - Trường THCS Lũng Hòa-Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào giảng dạy mơn Tốn có nội dung liên quan đến hệ thức vi-ét Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử: tháng năm 2019 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 7.1.1 Mục đích nghiên cứu -Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn phương trình bậc hai ẩn có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt toán bậc hai kỳ thi tuyển -Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn phương trình bậc hai ẩn mà dạng toán khác 7.1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Nhiệm vụ giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu tốn, từ nghiên cứu tìm cách giải Để nghiên cứu đề tài này, đề nhiệm vụ sau: -Nghiên cứu tốn phương trình bậc hai ẩn có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho -Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng thức Vi-ét vào toán phương trình bậc hai ẩn cho hợp lý 7.1.3 Địa điểm, thời gian, đối tượng phạm vi nghiên cứu + Địa điểm: Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc + Thời gian: Từ tháng năm 2018 đến tháng năm 2019 + Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường-Vĩnh Phúc + Phạm vi nghiên cứu qua tiết dạy phương trình bậc hai ẩn có liên quan tới hệ thức vi-ét 7.1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu : Tham khảo tài liệu chun mơn có liên quan + Sách giáo khoa tốn 9, sách giáo viên, sách tập + Một số vấn đề phương pháp dạy học trường phổ thông + Tài liệu bồi dưỡng GV dạy mơn tốn + Đổi phương pháp dạy học toán + Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 9,tài liệu chuyên toán lớp ,nâng cao phát triển toán 9, Điều tra: a Dự giờ: - Dự học hỏi kinh nghiệm giáo viên tổ - Rút kinh nghiệm tiết dạy lớp, tiết dự Qua đó, tơi ln ý đến phương pháp giảng dạy cách tổ chức tiết dạy giáo viên, từ giúp tơi tích lũy số kinh nghiệm hiệu việc đổi phương pháp dạy học b Đàm thoại: - Trong trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm nguyên nhân học sinh chưa sử dụng hệ thức vi-ét thành thạo dạng toán cụ thể Xem học sinh hổng kiến thức nào, phần học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời - Trao đổi với giáo viên tổ chuyên môn nhà trường bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu lớp khác c Thực nghiệm: - Tốn học mơn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành lớp, để thực điều giáo viên phải giúp học sinh củng cố kiến thức lớp qua tập ?/SGK nhằm giúp em nắm vững kiến thức cách sâu sắc từ hình thành kĩ giải toán cho học sinh Đồng thời giáo viên phải trọng bước hướng dẫn học sinh tự học nhà để học sinh củng cố lại kiến thức học vận dụng giải tập nhà tạo thói quen tự học cho học sinh Ngồi học sinh khá, giỏi giáo viến nên có thêm tập địi hỏi tính tư cao d.Theo dõi kiểm tra: - Khi kiểm tra miệng, 15 phút, tiết phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng Từ giáo viên tìm giải pháp thích hợp cho đối tượng học sinh 7.2 Hệ thức vi-ét số ứng dụng giải toán 7.2.1 Hệ thức vi-ét : -Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết chương trình cho học sinh nắm định lý Vi-ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm : x1  b   b   ; x2  2a 2a Theo hệ thức vi – ét ta có: x1  x2  x1 x2 b   b   2b b    2a 2a 2a a  b     b     b  4a   2   b  b  4ac 4ac c    2 4a 4a 4a a Đặt S P tổng tích hai nghiệm phương trình Vậy: S  x1  x2  b c P  x1.x2  a a 7.2.2.Một số ứng dụng hệ thức vi - ét: -Giáo viên soạn dạng tốn phương trình bậc hai ẩn cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài tơi trình bày nhóm ứng dụng sau:  Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn  Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng  Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình  Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm  Ứng dụng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai  Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm  Ứng dụng 9: Sử dụng hệ thức Viet giải hệ phương trình đối xứng loại I Cụ thể sau: I Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = nghiệm x2 = c a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1) +b.(-1)+c = hay a - b + c =0 Như vậy: phương trình có nghiệm x1 = -1 nghiệm x2 = c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + = (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có nghiệm x = -1 nghiệm x2 = 3 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có nghiệm x1 = nghiệm x2 = 11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + = b/ 7x2 + 500x - 507 = c/ x2 - 49x - 50 = d/ 4321x2 + 21x - 4300 = Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm b/ Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm c/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2px + = , ta được: – 4p + = � p  5 Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = x  b/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 + 5x + q = , ta được: 25+ 25 + q = � q  50 50 50 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = -50 suy ra: x2 = x   10 c/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau: �x1  x2  11 �x1  �� � �x1  x2  �x2  2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: x 5 �x1  x2 � � x2  50 � x2  52 � �2 � x2  5 �x1.x2  50 � Với x2  x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 Với x2  5 x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 II Lập phương trình bậc hai : Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: �S  x1  x2  �P  x1.x2  Theo hệ thức Vi-ét, ta có: � Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P = � x2 – 5x + = Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= x2= - b/ x1= 3a x2= a c/ x1= 36 x2= - 104 d/ x1= 1+ x2= - 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trìnhcho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �1 � 1 x x  x1    x1  x2   �  �  x1  x2      x1 x2 x1 x2 �x1 x2 � � �� � 1 P  y1 y2  �x2  � �x1  � x1 x2     11  x1 x2 2 � x1 �� x2 � S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  9 y   � y2  y   2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: 1 y2  x2  x2 x1 (Đáp số: y  y   � y  y   ) y1  x1  2/ Cho phương trình: x2 - 5x - = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1  x14 y2  x2 (Đáp số: y  727 y   ) 3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 Hãy lập phương trình bậc hai mà nghiệm : x1  x2  1 x2   x1  (Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai, năm học: 200-2009) 4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 cho: a/ y1  x1  y2  x2  b/ y1  x1  y2  x2  (Đáp số: a/ y  y   m  ; b/ y  y  (4m2  3)  ) III Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = giải phương trình ta x1= x2= - Vậy a = b = - a = - b = Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S tích P: a/ S = P = b/ S = -3 P = c/ S = P = 20 d/ S = 2x P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = a2 + b2 = 41 b/ a - b = a.b = 36 2 c/ a + b =61 a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề ta dã biết tổng hai số a b, để áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm tích hai số a b Từ a  b  �  a  b   81 � a  2ab  b2  81 � ab   81  a  b 2   20 x 4 � x2  � Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng: x  x  20  � � Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = b/ Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = a.c = -36 x  4 � x2  � Suy ra: a, c nghiệm phương trình có dạng: x  x  36  � � 2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12  x2 (Đáp án: 65) 1 b/ x  x (Đáp án: ) 3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12  x2 (Đáp án: 138) 1 b/ x  x (Đáp án: 14 ) 29 4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + = 0, Khơng giải phương trình, tính: a/ x12  x2 (Đáp án: 1) x1 x2 b/ x   x  1 c/ x  x 1 x (Đáp án: ) (Đáp án: 3) 1 x d/ x  x (Đáp án: 1) 5/ Cho phương trình: x2 - x + = có nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình, tính: Q (HD: Q  x12  10 x1 x2  x2 x1 x23  x13 x2  x1  x2   x1 x2    2.8 x  10 x1 x2  x2 17    3 2 x1 x2  x1 x2 �4  2.8� 80 x1 x2 �  x1  x2   x1 x2 � � � 5.8 � � � � 2   ) 6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m tham số, có nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ) Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2008) V Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số : Để làm toán dạng này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 12 Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = có nghiệm x x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng không phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m  �0 m �1 � � � � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m   m  1  m   �0 m� � � � � � 2m � � S  x1  x2  S  x1  x2   (1) � � � � m 1 m 1 �� Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  m  �P  x x   (2) 2 m 1 m 1 � � 2 Rút m từ (1), ta có: m   x1  x2  � m   x  x  (3) 3 Rút m từ (2), ta có: m    x1 x2 � m    x x (4) Từ (3) (4), ta có:  �   x1 x2    x1  x2   �  x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 Ví dụ : Gọi x1 x2 nghiệm phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = chứng minh biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �1 � m �1 � m  �0 m �1 � � � � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m   m  1  m   �0 m� � � � � � 2m � S  x1  x2  � � m 1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  m  � m 1 Thay vào biểu thức A, ta có: A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – = 2m m4 6m  2m   8(m  1)  8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m �1 m � Do biểu thức A không phụ thuộc giá trị m 13 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có nghiệm x x2 Hãy lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x x2 phương trình cho x1 x2 độc lập m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = (m - 2)2 + > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi :  x1  x2   x1 x2   độc lập m 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có nghiệm x x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Hướng dẫn: - Tính  ta được: = 16m2 + 33 > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi : x1 x2   x1  x2   17  không phụ thuộc giá trị m VI Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m �0 m �0 � � m  �0 � � � � � � � �  '  m  2m   9m  27 �0  ' �0 '  �  m  21 � � � � �  m  3 m �0 � m �0 � m �0 � �� ��  '   m  1 �0 m �1 � � 6(m  1) � S  x1  x2  � � m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  9(m  3) � m   Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết) 14 Nên 6(m  1) 9(m  3)  � 6( m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  ( thỏa mãn) m m Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2   x1  x2    Giải: '  Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: �S  x1  x2  2m  Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x1.x2  m  Vì 3x1x2   x1  x2    (giả thiết) 1  m  2m �۳ 2  m m2 � � Nên m    2m  1   � � ( nhận ) m �   Vậy với m = phương trình có nghiệm x x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2   x1  x2    Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - =0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1  3x2  3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  x2  Hướng dẫn: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác so với tập VD1 VD2 chỗ: + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày VD1 VD2 Bài 1: 15 16 15 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm : m �0; m � �   m  4 m S  x1  x2  � � m  1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: � �P  x x  m  � m � Theo đề ta có: x1  x2  � x1  x2 � x1  x2  3x2 �  x1  x2   x2 �  x1  x2   3x1 �x1  x2  x2 �  x1  x2   x1 x2    x1  x2   x1 � Suy ra: � Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m2 + 127m - 128 = � m1 = ; m2 = -128 Bài 2: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: 11  96 �m �11  96 �S  x1  x2   m  1 �P  x1.x2  5m  Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: � �x1    x1  x2  � Theo đề ta có: x1  3x2  � � �x2   x1  x2   � x1 x2  �   x1  x2  � �  x1  x2   1� � � � � � x1 x2   x1  x2   12  x1  x2   1  m0 � (nhận) m 1 � Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: 12m(m – 1) = � � � Bài 3: 2 Vì    3m    4.3  3m  1  m2  24m  16   3m   �0 với số thực m nên phương trình ln có nghiệm 3m  � S  x1  x2  � �  1 Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: � �P  x x    3m  1 � � � x1   x1  x2   � Theo đề ta có: 3x1  x2  � � x2   x1  x2   � � 64 x1 x2  �  x1  x2   � �  x1  x2   � � � � � � 64 x1 x2  15  x1  x2   12  x1  x2   36 Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m  45m  96   m0 � � � 32 (nhận) � m 15 � 16 VII Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S = x + x2 P = x1 x2 trái dấu � m P0  �0  �0 ; P > dương + + S>0 P>0  �0  �0 ; P > ; S > âm - - S0  �0  �0 ; P > ; S <  Điều kiện chung Ví dụ : Xác định tham số m cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – = có nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:   �    3m  1  4.2 m  m  �0 �    m   �0m  �0 � � � �� �� � 2  m  � m2  m  P  m  m   �P      �P  � 0 � Vậy với 2  m  phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng: 1/ Xác định tham số m cho phương trình: mx – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = có nghiệm dấu 2/ Xác định tham số m cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = có nghiệm âm 3/ Xác định tham số m cho phương trình: (m - 1)x +2x + m = có nghiệm khơng âm VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm : Ví dụ : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để: A = x12  x2  x1 x2 có giá trị nhỏ Giải: vì:    2m  1  4m  4m   với m nên phương trình ln có hai nghiệm �S  x1  x2    2m  1 �P  x1.x2   m Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có: � Theo đề ta có: 2 A = x12  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2   2m  1  8m  4m2 12m    2m    �8 17 Suy ra: A  8 � 2m   � m  Ví dụ : Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biều thức sau: B x1 x2 x  x2   x1 x2  1 2 Giải: vì:   m  4( m  1)  m  4m   (m  2) �0 với m nên phương trình ln có hai nghiệm �S  x1  x2  m �P  x1.x2  m  Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: � 2x x 2x x 2  Theo đề ta có: B  x  x   x x  1   x1  x2   2 Cách 1: Biến đổi B cách thêm, bớt sau: B      m  1 m   m  2m  m2  Vì  m 1�   m  1  m  1  m 2  2m  m2  2 m2  2 m2  Vậy maxB = � m = B Với cách thêm, bớt khác ta lại có: 1 2 m  2m   m  m  4m   m  m  2  2 2 B    2 m 2 m 2 m 2  Vì  m 2  �  m  2   2 m2   B     1 B   � m  2 Vậy 2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc hai với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho ln có nghiệm với m 2m  � Bm  2m  B   (với ẩn m B tham số) m2  2 Ta có:    B  B  1   B  B B (*) Để phương trình (*) ln có nghiệm với m ≥ 2 Hay  B  B �0 � B  B  �0 �  B  1  B  1 �0 � � �B � � � B  � � � � � � � � �B  �0 �B �1 �� �� �  �B �1 � 2 B  �0 � � � � �B � � � � � �B  �0 � � � �B �1 � Vậy: max B  1 � m  ; B   � m  2 18 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ 2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = Tìm m nghiệm x x2 thỏa mãn điều kiện x12  x2 �10 có giá trị nhỏ 3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – = Xác định m nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn b/ B  x12  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ 4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – =0 Với giá trị m để biểu thức C  x12  x22 đạt giá trị nhỏ 5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 Xác định m để biểu thức D  x12  x2 đạt giá trị nhỏ IX ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I *Khái niệm hệ phương trình đối xứng loại I: Một phương trình hai ẩn gọi đối xứng ta thay x y y x phương trình khơng thay đổi Ví dụ phương trình: x  y  xy  11 � y  x  yx  11 x  y  25 � y  x  25 Nên hệ phương trình gọi đối xứng loại I gồm phương trình đối xứng Ví dụ: Giải hệ phương trình đối xứng loại I: 2 2 � � �x  y  25 �x  y  25 � �2 �2 2 �x  y  xy  13 �y  x  yx  13 *Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I: - Biểu diễn phương trình qua x  y; x y -Đặt S  x  y; P  xy ta hệ phương trình chứa ẩn S,P -Giải hệ phương trình ẩn S,P -Các số x,y nghiệm phương trình t  St  P  (Vận dụng hệ thức vi – ét đảo tìm hai số biết tổng tích chúng) Lưu ý: Hệ cho có nghiệm hệ phương trình chứa ẩn S,P có nghiệm thỏa mãn S  P �0 Tùy theo yêu cầu toán ta giải biện luận phương trình theo tham số từ đưa nghiệm kết luận cần thiết cho hệ phương trình 19 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 5( x  y )  2xy  19 � a, � ( x  y )  3xy  35 � �x  xy  y  b, � �x  y  �x y  18 �  c, �y x �x  y  12 � c, � �x  y  ( x  y ) xy  2 � Hướng dẫn giải: 5( x  y )  2xy  19 � ( x  y )  3xy  35 � -Em có nhận xét hệ phương trình � -Muốn giải hệ phương trình ta làm nào? ( giáo viên nêu cách làm cách đặt S  x  y; P  xy em thảo luận trình bày lời giải sau) Giải: 5( x  y )  2xy  19 � đặt S  x  y; P  xy hệ phương trình trở thành ( x  y )  3xy  35 � a, � 5S  P  19 15S  P  57 3S  13 � � � �S  �� �� �� � 2S  P  70 �S  3P  35 � �S  3P  35 �P  12 �x  y  �� �x y  12 Theo hệ thức vi-ét x y nghiệm phương trình bậc hai X  X  12  giải phương trình ta hai nghiệm X  4; X  3 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y) � (4; 3);( 3; 4) Hoặc em biến đổi trực tiếp hệ phương trình phương pháp cộng �x  y  �x y  12 đại số ta tính � từ áp dụng hệ thức vi-ét giải phương trình tìm x,y �x  a �x  b có nghiệm � �y  b �y  a Chú ý: hệ đối xứng loại I có nghiệm � Chúng ta cần lưu ý tới điều để khơng bỏ sót nghiệm hệ phương trình Ví dụ 2: giải hệ phương trình �x  y  xy  �2 �x  y  xy  -Muốn giải hệ phương trình ta làm nào? -Học sinh nêu cách làm biến đổi hệ phương trình dạng tổng, tích x y bắng cách �S  P  đặt S  x  y; P  xy ta có hệ phương trình � �S  S  12  giải hệ phương trình 20 -Khi em đèu nhận thấy cách vận dụng hệ thức vi-ét vào nhẩm nghiệm củ phương trình bậc hai em trình bày lời giải sau: ( x  y )  xy  � �x  y  xy  � �xy   ( x  y ) � � �2 � � ( x  y )2    ( x  y)  ( x  y )  xy  � �x  y  xy  � a) �xy   ( x  y ) �� ( x  y )  ( x  y)  12  � đặt S  x  y; P  xy ta có hệ phương trình �S  P  �S  P  �� �2 x y 3 �S  3; S  4 +)Với S =3 suy P=2 ta có � �S  S  12  � theo hệ thức �xy  vi-ét x,y hai nghiệm phương trình bậc hai t  3t   (1) Giải phương trình (1) ta có hai nghiệm t1=1 t2=2 Vậy phương trình có hai nghiệm (1;2);(2;1) �x  y  theo hệ thức vi-ét x,y hai nghiệm �xy  +)Với S =2 suy P=3 ta có � phương trình bậc hai t  2t   (2) Giải phương trình (2) ta có  '  2  nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm (1;2);(2;1) Phương pháp chung: Như từ toán hệ phương trình trình đối xứng loại I xong biết biến đổi lin hoạt vận dụng hệ thức vi-ét tìm hai số biết tổng hiệu đưa toán trở dạng đơn giản từ tìm nghiệm hệ phương trình Khi giải hệ phương trình mà vế trái đa thức đối xứng ta có thê coi ẩn nghiệm phương trình sử dụng hệ thức vi-ét để thiết lập phương trình này.Tức ta chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn giải phương trình bận n ẩn, phương trình giải nghiệm hệ n ẩn cho Những thông tin cần bảo mật: không Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo 21 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả : Qua việc hướng dẫn đối tượng học sinh thông qua mức độ nhận thức số ứng dụng hệ thức vi-ét áp dụng giải toán tương tự tạo tập phong phú đa dạng đồng thời có hướng đề xuất cách giải hay giúp học sinh hứng thú học tập Việc khai thác đề xuất ứng dụng hệ thức vi-ét nhiều mức độ kiến thức tốn THCS cịn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho em học sinh khá, giỏi lớp em tiếp thu tốt có hứng thú suy nghĩ, tìm tịi tốn có nội dung tương tự từ chỗ mặc cảm với dạng tốn em có hứng thú học đạt kết cao tốt - Kết học tập: Với tập giáo viên đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: Trước áp dụng sáng kiến: Số HS giải theo mức độ Năm học 2016 - 2017 Số HS 40 Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 17,5 12 30 11 27,5 10 25 Sau áp dụng sáng kiến : Số HS giải theo mức độ Năm học 2018 - 2019 Số HS 40 Giỏi Khá TB Yếu SL % SL % SL % SL % 13 32,5 15 37,5 10 25 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức cá nhân Sau thời gian nghiên cứu, kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi giảng dạy ôn thi vào trung học phổ thông hàng năm với giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN LỚP 9” Tơi thấy đa số em tự giác, tích cực học tập vận dụng tương đối linh hoạt ứng dụng hệ thức 22 vi-ét vào giải tập có liên quan, tập tương tự nâng cao ứng dụng thực tế toán học sống Dù người truyền đạt lại kiến thức khoa học giáo viên phải tâm huyết giảng dạy Đặc biệt giáo viên dạy mơn tốn học Khi hướng dẫn em giải toán dạng tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu với phân tích để em hiểu, nắm bắt vận dụng phương pháp làm Từ tập cụ thể giáo viên cần khai thác cách giải mở rộng kiến thức( khái quát hóa) 10.3.Kết luận 1)Bài học kinh nghiệm: - Đối với học sinh yếu, kém: Là trình liên tục củng cố rèn luyện kỹ để vận dụng tốt ứng dụng hệ thức vi-ét vào giải toán Giáo viên cần cho học sinh thực hành theo tập mẫu với tương tự từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm tập khác với nội dung SGK - Đối với học sinh trung bình: Cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kỹ biến đổi vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể từ rèn luyện khả tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm ứng dụng bản, giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm ứng dụng nâng cao khác hệ thức vi-ét thông qua tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, linh hoạt lựa chọn phương pháp Qua kích thích óc tìm tịi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán nhằm phát triển tư cách toàn diện cho học sinh - Đối với giáo viên: Phải định hướng vạch dạng tốn giúp học sinh tìm phương pháp giải hợp lý từ nắm vững dạng tốn, rèn kỹ phân tích dạng tập Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Đồng thời giáo viên phải tạo khơng khí tích cực giải tập đối tượng học sinh Muốn giáo viên cần tác động đến đối tượng cho phù hợp Chẳng hạn đối 23 với học sinh yếu, kém, trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét hướng học sinh theo đường cần đến Nên học sinh tích cực tìm tịi sáng tạo phát triển tư trí tuệ cho học sinh 2)Hướng phổ biến, áp dụng nghiên cứu tiếp đề tài: - Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng ứng dụng hệ thức vi-ét chương trình đại số Tơi nhận thấy kết bước đầu học sinh tiến đáng kể, giúp học sinh tự tin giải toán khó tốn sách giáo khoa - Đề tài áp dụng thực tổ chuyên môn, khối đồng thời làm tài liệu tham khảo khối khác năm học tới - Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần, áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi Vì việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức theo yêu cầu chương trình, có kỹ giải tốn thành thạo quan trọng Việc áp dụng đề tài cần phải có thời gian, phải tiến hành cách hệ thống Do hình thức tổ chức buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng tập trình bày theo hệ thống kiến thức - Để áp dụng đề tài đạt hiệu cao giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh trình dạy phải khắc sâu kiến thức cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học tự học Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tịi tập liên quan, cách giải hay độc đáo phân loại dạng tập chương trình sách giáo khoa THCS - Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm thân tôi, thông qua thực trạng học sinh lớp 9A năm học 2016 -2017 mà xây dựng tiết học đạt hiệu quả,xong cịn số thiếu sót, hạn chế mong góp ý bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện - Với đề tài này, tơi áp dụng nghiên cứu tiếp năm học sau tự tìm tịi rút kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất lượng dạy học 24 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Tên tổ chức/ cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng Nguyễn Thị Thu Hằng THCS Lũng Hịa Phương trình bậc hai ẩn Trần Thị Thanh Tâm THCS Lũng Hòa Phương trình bậc hai ẩn Vương Thị Phương Hoa THCS Lũng Hịa Phương trình bậc hai ẩn Lê Thị Hạnh THCS Lũng Hịa Phương trình bậc hai ẩn Lũng Hòa, ngày tháng năm 2020 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Lũng Hịa, ngày 20 tháng 02 năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Lê Thị Thanh Hương 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Tuyển tập toán hay khó _Đại số nhà xuất đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng Khanh-Lê Văn Thường) Sách giáo khoa Toán _ Tập Sách giáo viên Toán _ Tập Sách tập Toán _ Tập Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán nhà xuất giáo dục (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc) Các đề thi tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh nước đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn Nhà xuất giáo dục Việt Nam 26 ... kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN LỚP 9” Tơi thấy đa số em tự giác, tích cực học tập vận dụng tương đối linh hoạt ứng dụng hệ thức 22 vi-ét vào giải tập có liên...  a a 7.2.2 .Một số ứng dụng hệ thức vi - ét: -Giáo viên soạn dạng tốn phương trình bậc hai ẩn cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài tơi trình bày nhóm ứng dụng sau:  Ứng dụng 1: Nhẩm... tốn lớp 9, tơi nhận thấy em vận dụng hệ thức vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức vi-ét vào nhiều loại toán hệ thức vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải