SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 khai thác một số ứng dụng của hệ thức viét 1

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Hiện nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trường THCS quan trọng đòi hỏi người giáo viên nói chung giáo viên dạy tốn nói riêng phải trăn trở nhiều Chúng ta không dạy cho học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa mà phải hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức để khai thác cách giải cho tập nâng cao khác Là giáo viên dạy toán THCS, năm qua tơi đặt cho nhiệm vụ phải nghiên cứu tìm phương pháp thích hợp cho giảng dạy vấn đề cụ thể phù hợp với đối tượng thực tế Một chun đề mà tơi tâm quan tâm tìm hiểu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh khai thác số ứng dụng Hệ thức Viét " Tôi tham khảo nhiều tài liệu viết ứng dụng Hệ thức Viét, phần tác giả đưa toán tương đối đa dạng, nhiên tản mạn nhiều sách khác Để giáo viên có tài liệu giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mạnh dạn lựa chọn số toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức nắm chuyên đề Hy vọng hệ thống tập "Một số ứng dụng Hệ thức Viét " phần làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh lớp dạy học, rèn luyện cho học sinh lực từ kiến thức quen biết, nhận dạng đưa dạng tập chưa biết cách giải dạng quen biết biết cách giải, có hệ thống tập để ôn luyện cho học sinh thi học sinh giỏi thi vào THPT Rất mong quan tâm, góp ý đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài giúp học sinh nắm Hệ thức Viét, biết cách khai thác ứng dụng Hệ thức Viét để giải tốn nội dung quan trọng chương trình tốn THCS THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các ứng dụng hệ thức Viét chương trình tốn THCS 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu nội dung hệ thức Viét SGK SBT - Nghiên cứu ứng dụng Hệ thức Viét để giải dạng toán đề thi vào 10, Đề thi học sinh giỏi - Nghiên cứu khả tư duy, khả nhận thức học sinh NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Trong chương trình giáo dục phổ thơng, mơn Tốn có vị trí đặc biệt quan trọng có khả to lớn góp phần thực nhiệm vụ đào tạo người “làm chủ tri thức khoa học công nghệ đại, có tư sáng tạo, có kỹ thực hành giỏi, có tác phong cơng nghiệp, có tính tổ chức kỉ luật, có sức khoẻ người thừa kế xây dựng CNXH vừa hồng vừa chuyên” - Các kiến thức phương pháp toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt mơn học khác - Mơn Tốn có khả to lớn phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến tri thức thu nhận thành thân mình, thành cơng cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực học tập mãi sau - Mơn Tốn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng sống lao động xây dựng sở giới quan khoa học, giáo dục lòng yêu nước, yêu CNXH, rèn luyện nhiều đức tính quý báu lao động cần cù, sáng tạo, đẹp ứng dụng phong phú toán học, đẹp lời giải hay Trong chương trình tốn lớp phương trình bậc hai hệ thức Viét chủ đề kiến thức quan trọng xuất nhiều kỳ thi học sinh giỏi, thi vào THPT thi vào trường chuyên kiến thức sách giáo khoa giúp học sinh chăm chỉ, khả tư chưa thật sáng tạo giải toán mức độ khơng q khó Vì việc trang bị cho học sinh phương pháp tư duy, kỹ tìm tòi lời giải vấn đề quan trọng giáo viên dạy tốn hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu nâng cao, học kỹ kiến thức mở rộng phương trình bậc hai hệ thức Viét để học có thêm cơng cụ giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế q trình giảng dạy tơi phát đứng trước vấn đề kiến thức học sinh thường biết vận dụng trực tiếp kiến thức học mà chưa biết khai thác triệt để nội dung kiến thức gặp tốn đòi hỏi cần phải có tư sáng tạo học sinh học sinh thường bó tay Vì việc hướng dẫn học sinh khai thác triệt để nội dung kiến thức vấn đề vô quan trọng Đặc biệt Hệ thức Viét chủ đề kiến thức trọng tâm chương trình tốn THCS ứng dụng vơ phong phú học sinh phải sử dụng nhiều chương trình THPT.Từ thực trạng để giúp học sinh nắm vững khắc sâu kiến thức phương trình bậc hai hệ thức Viét tơi xin trình bày kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác "Một số ứng dụng hệ thức Viét "để góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường THCS, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 THPT 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp thứ Khơi dậy em tình u Tốn cần thiết phải học mơn Tốn tiết học hoạt động ngoại khóa 2.3.2 Giải pháp thứ hai Tổng hợp kiến thức lý thuyết Hệ thức Viét thông qua học ‘Hệ thức Viét ứng dụng’ SGK giáo viên tóm tắt kiến thức theo nội dung sau a Hệ thức Viét: Nếu phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai ngiệm x1 , x2 x1 + x2 = −b c x1 x2 = a a b Ứng dụng tính nhẩm nghiệm - Nếu phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hệ số a + b + c = phương trình có c a - Nếu phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hệ số a − b + c = phương trình có c hai nghiệm x1 = −1 x2 = − a hai nghiệm x1 = x2 = c Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x − Sx + P = (điều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ ) 2.3.3 Giải pháp thứ ba: Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng hệ thức Viét Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng đặc biệt: Phươngtrình có nghiệm -1 Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau( Bài tập 26 trang 53SGK) a) 35 x − 37 x + = c) x − 49 x − 50 = b) x + 500 x − 507 = d) 4321x + 21x − 4300 = Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải a) Phương trình 35 x − 37 x + = có hệ số a + b + c = 35 − 37 + = nên có hai 35 b) Phương trình x + 500 x − 507 = có hệ số a + b + c = + 500 − 507 = nên có hai 507 nghiệm x1 = ; x2 = − c) Phương trình x − 49 x − 50 = có hệ số x − 49 x − 50 = a − b + c = + 49 − 50 = nên có hai nghiệm x1 = −1 ; x2 = 50 nghiệm x1 = ; x2 = d) Phương trình 4321x + 21x − 4300 = cócác hệ số a − b + c = 4321 − 21 − 4300 = nên có hai nghiệm x1 = −1 ; x2 = 4300 4321 Học sinh thấy tác dụng việc nhẩm nghiệm việc giải phương trình sau Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình sau( Bài tập 31 trang 54SGK) a) 3x − (1 − 3) x − = b) (2 − 3) x + 3x − (2 + 3) = c) (m − 1) x − (2m + 3) x + m + = với m ≠ Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải a) Phương trình 3x − (1 − 3) x − = có hệ số a − b + c = + − − = nên có hai nghiệm x1 = −1 ; x2 = 3 b) Phương trình (2 − 3) x + 3x − (2 + 3) = có hệ số a + b + c = − + − − = nên có hai nghiệm x1 = ; x2 = − 2+ = −(2 + 3) 2− c) Phương trình (m − 1) x − (2m + 3) x + m + = với m ≠ có hệ số a + b + c = m − − 2m − + m − = nên có hai nghiệm x1 = ; x2 = m+4 m −1 GV cho học sinh giải ví dụ cơng thức nghiệm để học sinh so sánh cách giải từ hs thấy lợi ích việc nhẩm nghiệm Dạng tốn tìm giá trị tham số nghiệm thứ hai phương trình cho biết phương trình có nghiệm x =a Ví dụ : Dùng hệ thức Viét để tìm nghiêm x2 phương trình tìm giá trị m trường hợp sau ( Bài tập 40 trang 57SBT) a) Phương trình x + 3x − m2 + 3m = biết nghiệm x1 = −2 b) Phương trình 3x − 2(m − 3) x + = biết nghiệm x1 = Nhận xét: câu a ta tìm nghiệm x2 theo tổng hai nghiệm tổng hai nghiệm khơng chứa tham số m sau tìm m dựa vào tích hai nghiệm câu b ta lại tìm nghiêm x2 theo tích hai nghiệm tích hai nghiệm khơng chứa tham số m sau tìm m dựa vào tổng hai nghiệm Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải a) Vì phương trình x + 3x − m + 3m = có nghiệm x1 = −2 nên áp dụng hệ thức Viét 4 − m + 3m Áp dụng hệ thức Viét ta lại có x1.x2 = −m + 3m = −2 ⇔ m − 3m − 10 = ⇔ m1 = 2; m2 = Suy 4 Vậy x2 = ; m1 = 2; m2 = ta có −2 + x2 = − ⇔ x2 = − + ⇔ x2 = b) Vì phương trình 3x − 2(m − 3) x + = có nghiệm x1 = nên áp dụng hệ thức Viét ta có ×x2 = ⇔ x2 = 2(m − 3) = x1.x2 suy 2( m − 3) 11 = ×5 ⇔ 2m − = ⇔ 2m = 11 ⇔ m = 3 11 Vậy x2 = ; m = Áp dụng hệ thức Viét ta lại có Ứng dụng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng Ví dụ 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − tích P = ab = − 24 ( Bài tập 41c trang 58 SBT) Hướng dẫn giải: Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x − Sx + P = (điều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ ) Vì a + b = − ab = − 24 n ên a, b nghiệm phương trình : x + x − 24 = giải phương trình ta x = −8 x2 = Vậy a = -8 b = a = b = -8 Ví dụ 2: Tìm số a b biết a) a + b = 11 a2 + b2 = 85 b) a − b = 10 ab = 24 ( Bài tập 41 trang 58 SBT) Hướng dẫn giải: a) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức Viét cần tìm tích a b Từ a + b = 11 ⇒ ( a + b ) = 121 ⇔ a + 2ab + b = 121 ⇔ ab = 2 121 − ( a + b ) = 18  x1 =  x2 = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x − x + 18 = ⇔  Vậy: Nếu a = b = a = b = b) Đã biết tích: ab = 24 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 10 a.c = − 24 Suy a,c nghiệm phương trình : x − 10 x − 24 = ⇔ x1 = −2 x2 = 12 Do a = − c = 12 nên b = − 12 a = 12 c = − nên b = 2 Cách 2: Học sinh tính tổng a+b từ cơng thức ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab giải tương tự cách Ứng dụng 3: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 = − ; x2 = + lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 =  P = x1 x2 = Ta có  x1 ; x2 nghiệm phương trình x − x + = Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ 1: Cho phương trình : x − x − = Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1 , y2 thõa mãn y1 = x1 − x2 ; y2 = x2 − x1 Nhận xét: Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình x − Sx + P = (điều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ ) để lập phương trình ta cần tính S = y1 + y2 P = y1 y2 thơng qua x1 , x2 Vì phương trình x − x − = có ac = −1 < nên có hai nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Viét ta có x1 + x2 = 2; x1.x2 = −1 Ta có S = y1 + y2 = x1 + x2 = P = y1 y2 = (2 x1 − x2 )(2 x2 − x1 ) = x1 x2 − 2( x12 + x2 ) = x1 x2 − 2(( x1 + x2 ) − x1 x2 ) = −5 − 2(4 + 2) = −17 Vậy phương trình cần lập là: y − y − 17 = ( Trích tài liệu ơn thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình Biến đổi biểu thức chứa nghiệm làm xuất x1 + x2 ; x1.x2 Ví dụ 1: Cho phương trình: x − x + = Khơng giải phương trình, tính x1 + x2 ; x1.x2 Học sinh thường mắc sai lầm tính x1 + x2 ; x1.x2 mà khơng để ý phương trình vơ nghiệm ∆ = (−1)2 − = − = −3 < giáo viên cần lưy ý cho học sinh trước tính giá trị biểu thức liên quan đến nghiệm phương trình cần tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm Ví dụ 2: Cho phương trình : x − x − = Khơng giải phương trình, tính a) x12 + x2 1 b) x + x c) x13 + x23 ( Trích tài liệu ơn thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải: Phương trình x − x − = có ac = −6 < nên có hai nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Viét ta có x1 + x2 = 4; x1.x2 = −6 Suy x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = − 2(−6) = 28 1 Câu b thực tương tự kết x + x = −6 = − c) x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = 43 − 3(−6).4 = 136 Ví dụ 3: Cho phương trình x − 3x + = có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương x12 + 10 x1 x2 + x22 trình, tính Q = x1 x23 + x13 x2 Hướng dẫn : - Chỉ phương trình có hai nghiệm phân biệt 6 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80   Ví dụ 4: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức B = x13 − x22 − x1 + x2 + 2008 - Biến đổi Q = ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2015-2016) Hướng dẫn : Chứng minh phương trình có nghiệm theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x2 = B = x13 − x22 − x1 + x2 + 2008 = x13 − ( − x1 ) − x1 + ( − x1 ) + 2008 = x13 − x12 − x1 + 2016 2 Mà x1 nghiệm phương trình x − x − = nên B = x1 ( x1 − x1 − ) + 2016 = 2016 Ví dụ 5: Cho biểu thức F ( x ) = x8 + 12 x + 12 − 3x Gọi x0 nghiệm phương trình x − x − = Tính giá trị F ( x0 ) ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2016-2017) Hướng dẫn: Vì x0 nghiệm phương trình nên ta có x02 − x0 − = ⇒ x02 = x0 + Khi x04 = x02 + x0 + = ( x0 + 1) + x0 + = 3x0 + ⇒ x08 = x02 + 12 x0 + F ( x0 ) = x02 + 24 x0 + 16 − 3x0 = 3x0 + − 3x0 Do 3x0 + = 3( x0 + 1) + = x02 + > ∀x0 nên 3x0 + = x0 + Vậy F ( x0 ) = x0 + − 3x0 = Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Tìm điều kiện tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 - Áp dụng hệ thức Viét viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để khử m Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m − 4m + = ( m − ) + > 2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức Viét ta có  m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m +  ⇔  x1 x2 +  x1.x2 = 2m −  m = (2) Từ (1) (2) ta có: x1 + x2 − = x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m ( Bài tập 220 trang 82sách tập nâng cao số chuyên đề toán 9) Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2  x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔  x1.x2 = 2(m − 4) 4m = x1 x2 + 16(2) Theo hệ thức Viét ta có  Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = hệ thức cần tìm Ví dụ 3: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ 2m    x1 + x2 = m −  x1 + x2 = + m − (1) ⇔ Theo hệ thức Viét ta có :  m −  x x =  x x = − (2) 2 m −1 m −1   2 Rút m từ (1) ta có : m − = x1 + x2 − ⇔ m − = x + x − 2 3 Rút m từ (2) ta có : m − = − x1 x2 ⇔ m − = − x x (3) (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Chú ý ta khử m phương pháp cộng sau 2m     x1 + x2 = m −  x1 + x2 = + m − 3 x1 + 3x2 = + m − (1) ⇔ ⇔   x x = m −  x x = − 2 x x = − (2) 2 m −1 m −1 m −1    Cộng vế hai phương trình (1) (2) ta hệ thức ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = hệ thức hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m ( Bài tập 23 chuyên đề để giải toán sơ cấp) Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Các bước thực hiện: - Tìm điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Viét để giải phương trình có ẩn tham số - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để chọn giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 x2 l  m ≠ m ≠ ⇔   2 ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 m ≥  ∆ ' = 3 ( m − 1)  − 9(m − 3) m ≥ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ∆ ' = ( m + 1) ≥ m ≥ −1 6(m − 1)   x1 + x2 = m Theo h ệ th ức Viét ta c ó:   x x = 9(m − 3)  m Theo giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 − 5( x1 + x2 ) = 14 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 ; x2 : ∆ = (2m + 1) − 4(m + 2) ≥ ⇔ 4m + 4m + − 4m − ≥ ⇔ 4m − ≥ ⇔ m ≥  x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức Viét ta có:   x1 x2 = m + từ giả thiết 3x1 x2 − 5( x1 + x2 ) = 14 Suyra  m = −1 3(m + 2) − 5(2m + 1) − 14 = ⇔ 3m + − 10m − − 14 = ⇔ 3m − 10m − 13 = ⇔   m = 13  2 Giá trị m = 13 thỏa mãn điều kiện giá trị m = −1 không thõa mãn điều kiện Vậy với m = 13 phương trình có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: 3 x1 x2 − 5( x1 + x2 ) = 14 Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = 2 Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − = Tìm m để nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: x1 + 3x2 = Cho phương trình : 3x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 − x2 = Hướng dẫn cách giải: 1) - ĐK: m ≠ m ≤ 16 15 −( m − 4)  (1)  x1 + x2 = m -Theo hệ thức Viét :   x x = m + (2)  m  x1 + x2 = x2 ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (4) - Theo giả thiết x1 − x2 = (3) Suy ra:  2( x + x ) = x  2 - Thế (1) (2) vào (4) ta đưa : m + 127m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 16 ( hai giá trị thỏa mãn điều kiện m ≠ m ≤ ) 15 10 Chú ý : Giáo viên hướng dẫn học sinh kết hợp (1) (3) để tìm x1 , x2 theo m thay x1 , x2 vào (2) để tính m  m ≤ 11 − 96 2) - ĐK: ∆ = m − 22m + 25 ≥ ⇔   m ≥ 11 + 96  x1 + x2 = − m (1) - Theo hệ thức Viét:   x1 x2 = 5m −  x1 = − 3( x1 + x2 ) ⇒ x1 x2 = [ − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1]  - Từ : x1 + 3x2 = Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − (2) ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − m = m = - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = ⇔  (thoả mãn ĐKXĐ) Ở giáo viên hướng dẫn học sinh làm cách khác 3) - Vì ∆ = (3m − 2)2 + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m −   x1 + x2 = (1) Theo hệ thứcViét:   x x = −(3m + 1)  - Từ giả thiết: 3x1 − x2 = Suyra: 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + ⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) − 6]  8 x2 = 3( x1 + x2 ) − ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36(2) - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m + 96) = ⇔ m = hơặc m = − 32 (cả 15 hai giá trị thoả mãn ) Vậy với m = hơặc m = − 32 phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ 15 thức: 3x1 − x2 = Chú ý: Ở giáo viên hướng dẫn học sinh làm cách khác Cách không linh hoạt học sinh dễ hiểu, dễ nhớ Cách  x1 + x2 = − m 3 x1 + x2 = − 3m  x1 = 3m − ⇔ ⇔  x1 + 3x2 =  x1 + 3x2 =  x2 = − 4m Ta có hệ  Thay vào: x1 x2 = 5m − ⇒ 12m ( m − 1) = ⇔ m = m = − 32 15 Cách 11 15m +  3m − 3m − x1 =    x + x = m −   x1 + x2 = x + x =  24 ⇔ ⇔ ⇔ Ta có hệ:  3 x1 − x2 = 3 x1 − x2 = 8 x2 = 3m −  x = 3m −  − ( 3m + 1) 15m + 3m − − ( 3m + 1) ⇒ = Thay vào x1 x2 = 24 ⇔ ( 15m + ) ( 3m − ) = −64 ( 3m + 1) ⇔ 45m − 120m + 24m − 64 + 192m + 64 = m = ⇔ 45m + 96m = ⇔ 3m ( 15m + 32 ) = ⇔   m = − 32 15  m Ví dụ : Tìm để phương trình x + x + 3m − = ( x ẩn, m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x13 − x23 + 3x1 x2 = 75 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm học 2017-2018) Hướng dẫn: Phương trình x + x + 3m − = có ∆ = 29 − 12m Phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ 29 − 12m ≥ ⇔ m ≤ 29 12  x1 + x2 = −5  x1 x2 = 3m − Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  Cách 1: x1 + x2 = −5 ⇔ x2 = −5 − x1 , thay vào hệ thức x13 − x23 + 3x1 x2 = 75 được: x13 + (5 + x1 )3 + 3x1 (−5 − x1 ) = 75 ⇔ x13 + x12 + 30 x1 + 25 = Giải phương trình ta x1 = −1 ⇒ x2 = −4 Thay x1 , x2 vào ta x1 x2 = 3m − ⇒ 3m − = −1.(−4) ⇔ m = Vậy m = 5 giá trị cần tìm Cách 2: x13 − x23 + x1 x2 = ⇔ ( x1 − x2 )( x12 + x1 x2 + x22 ) = 75 − 3x1 x2 ⇔ ( x1 − x2 )  ( x1 + x2 ) − x1 x2  = 3(25 − x1 x2 ) ⇔ ( x1 − x2 )(26 − 3m) = 3(26 − 3m) ⇔ x1 − x2 = 29 nên 26 − 3m > ) 12  x1 + x2 = −5  x1 = −1 ⇔ Ta có hệ phương trình   x1 − x2 =  x2 = −4 (Vì m ≤ Từ tìm m = Ví dụ 4: Cho phương trình x − (2m − 1) x + m2 − = (1) ( x ẩn số) a) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình (1) thỏa mãn: ( x1 − x2 ) = x1 − 3x2 (Đề thi vào lớp 10 Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2017-2018) 12 Hướng dẫn:a) Phương trình x − (2m − 1) x + m2 − = có ∆ = (2m − 1) − 4(m − 1) = − 4m Phương trình có nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m < b) Phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ − 4m ≥ ⇔ m ≤ 5  x1 + x2 = 2m − Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có   x1 x2 = m − Theo đề bài: ( x1 − x2 )2 = x1 − 3x2 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = x1 − 3x2 ⇔ (2m − 1) − 4(m − 1) = x1 − 3x2 ⇔ x1 − 3x2 = − 4m m +1  x =  x1 + x2 = 2m −  ⇔ Ta có hệ phương trình:   x1 − x2 = − 4m  x = 3(m − 1)  2 m + 3(m − 1) = m − ⇔ 3(m − 1) = 4(m − 1) ⇔ m − = ⇔ m = ±1 Suy 2 Kết hợp với điều kiện ⇒ m = ±1 giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = x Tìm giá trị m để đường thẳng ∆ có phương trình y = x − m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) thoả mãn: ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 18 ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013) Hướng dẫn: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm: - Tìm m để phương trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt thõa mãn ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 18 Phương trình hồnh độ giao điểm: x = x − m ⇔ x − x + m = (1) Đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) pt(1) có hai nghiệm phân biệt + Điều kiện: ∆ = − 4m > ⇔ m < + Khi A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) + Theo định lí Viet x1 + x2 = 1, x1 x2 = m Ta có y1 = x1 − m, y2 = x2 − m + ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 18 ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ [( x1 + x2 ) − x1 x2 ]2 = + Tìm m = (không thõa mãn m = − ( thõa mãn) 13 Ví dụ 6: Cho phương trình mx + x + m − = Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 − >1 x1 x2 ( Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2016-2017) Hướng dấn giải : PT cho có hai nghiệm phân biệt m ≠ m ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  − +  + (1) 1 − 4m(m − 1) >   2   x1 + x2 = − m m ≠ m −1 x1 x2 ≠ ⇔ ≠0⇔ Theo định lý Viet có:  Ta có (2) m m ≠  x x = m −  m 1 2 Khi − > ⇔ x1 − x2 > x1 x2 ⇔ ( x1 − x2 ) > x1 x2 ⇔( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1x2 ) > x1 x2 2 − 4m + m − m + m −  1  m −1   m −1  ⇔  − ÷ − 4 − > ⇔ >0 ÷  ÷ m2  m  m   m  −5m + 6m ⇔ > ⇔ m(−5m + 6) > ⇔ < m < (3) m m ≠   − +1 < m < +1   2 ⇔ 0 < m < Từ (1), (2), (3) ta có hệ   0 < m < m ≠   m ≠ Vậy giá trị cần tìm m là: < m < , m ≠ Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : y = a( x − 1) + parabol ( P ) : y = x Với a ≠ , chứng minh ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt, gọi giao điểm A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , tìm tất giá trị a để (x − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( a + 1) 2 Hướng dẫn giải: Cách làm tập khơng khó học sinh cần phải linh hoạt biến đổi biểu thức để vế trái xuất a + Phương trình hồnh độ giao điểm là: x − ax + a − = (1) PT(1) có ∆ = (a − 2) > 0, ∀a ≠ , suy phương (1) ln có nghiệm phân biệt Do (d ) cắt ( P) điểm phân biệt với ∀a ≠ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt (1).Suy (d ) cắt ( P ) hai điểm A ( x1 ; a ( x1 − 1) + 1) , B ( x2 ; a ( x2 − 1) + 1) Ta có: 14 (x − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( a + 1) ⇔ ( x2 − x1 ) + a ( x2 − x1 ) = ( a + 1) 2 2 ⇔ (1 + a ) ( x2 + x1 ) − x1 x2  = ( a + 1) ⇔ a − 4(a − 1) =   (Theo Định lý Vi-et: x1 + x2 = a, x1 x2 = a − 1)  a = −1 ⇔ ( a − ) = ⇔ a − = ±3 ⇔  ( Thoã mãn điều kiện a ≠ ) a = Vậy a1 = −1; a2 = giá trị cần tìm Chú ý: Có thể hướng dẫn học sinh giải phương trình (1) để có nghiệm thay trực tiếp vào biểu thức Ứng dụng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) Ví dụ 1: Xác định tham số m cho phương trình: x − ( 3m + 1) x + m − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu ∆ = (3m + 1) − 4.2.(m − m − 6) ≥ ∆ = (m − 7) ≥ 0∀m ∆ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <    m −m−6 P = ( m − 3)( m + 2) < P = < P <    Vậy với −2 < m < phương trình có nghiệm trái dấu Chú ý: Học sinh sử dụng nhận xét: Nếu a c trái dấu phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu để giải tốn nhanh Ví dụ 2: Cho parabol (P) y = x đường thẳng (d) y = 2x + m − Tìm m để đường thẳng (d) cắt Cho parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương Hướng dẫn: - Lập phương trình hồnh độ giao điểm của(P) (d): - Tìm m để phương trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm của(P) (d)là x = x + m − ⇔ x − x − m + = (*) (P) cắt (d) điểm phân biệt có hồnh độ dương ⇔ Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt x1 , x2 ∆ ' > m − > m >   ⇔  x1 + x2 > ⇔  > ⇔ ⇔ 5< m< m < x x >  −m + >   Vậy < m < giá trị cần tìm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình ( x − 1)( x + 3)( x + 5) = m (1) có nghiệm phân biệt 15 x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn 1 1 + + + = −1 x1 x2 x3 x4 ( Bài tập 121trang 13 Tạp chí 45 năm toán học tuổi trẻ) Hướng dẫn: Biến đổi phương trình cho thành phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ dùng tính chất dấu nghiệm phương trình bậc để giải Ta có : ( x − 1)( x + 3)( x + 5) = m ⇔ ( x + 1)( x + 3)( x − 1)( x + 5) = m ⇔ ( x + x + 3)( x + x − 5) = m (2) Đặt y = x + x + = ( x + 2) ≥ (∀x ∈ R ) Khi (2) có dạng : ( y − 1)( y − 9) = m hay y − 10 y + − m = (3) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (3) có hai nghiệm dương phân biệt y1 > y2 >  ∆ ' = 16 + m >  ⇔  S = y1 + y2 = 10 > ⇔ −16 < m < (4) P = y y = − m >  Khi y1 , y2 hai nghiệm dương phân biệt phương trình (3) phương trình (2) tương đương với : x + x + − y1 = x + x + − y2 = Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình : x + x + − y1 = Gọi x3, x4 hai nghiệm phân biệt phương trình : x + x + − y2 = Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (3), (5), (6) ta có 4( y1 + y2 ) − 32 1 1 x1 + x2 x3 + x4 −4 −4 + + + = + = + = x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 − y1 − y2 16 − 4( y1 + y2 ) + y1 y2 40 − 32 = = = −1 16 − 40 + − m −15 − m ⇔ m = −7 ( thỏa mãn) Vậy m = −7 giá trị cần tìm Ứng dụng 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa nghiệm Ta có C = A + m C = k − B (trong A, B biểu thức khơng âm; m, k số) C ≥ m (vì A ≥ ) Suy C = m ⇔ A = C ≤ k (vì B ≥ ) Suy max C = k ⇔ B = 16 Ví dụ 1: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A = x12 + x22 − x1 x2 có giá trị nhỏ Bài giải: Phương trình x + ( 2m − 1) x − m = có ∆ = (2m − 1) − 4(− m) = 4m − 4m + + 4m = 4m + > với moi m Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1 + x2 = −(2m − 1)  x1 x2 = − m Theo hệ thức Viét:  Theo đề : A = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m − 12m + = (2m − 3) − ≥ −8 2 Suy ra: A = −8 ⇔ 2m − = hay m = Ví dụ 2: Cho phương trình : x − mx + m − = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 2x x + biểu thức sau: B = x + x + ( x x + 1) 2 ( Bài tập 23 chuyên đề để giải toán sơ cấp) Hướngdẫn: Phương trình x − mx + m − = có ∆ = (− m)2 − 4(m − 1) = m2 − 4m + = (m − 2)2 ≥ với m Do phương trình ln có hai nghiệm với m  x1 + x2 = m  x1 x2 = m − Theo hệ thức Viét :  B= x1 x2 + x1 x2 + 2(m − 1) + 2m + = = = 2 x + x2 + ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + m2 + m +2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng hướng dẫn Ta biến đổi B sau: m + − ( m − 2m + 1) ( m − 1) = 1− ( m − 1) ≥0⇒ (Vì ( m − 1) ≥ ⇒ B ≤1) m2 + m2 + m2 + Vậy max B=1 ⇔ m = 1 1 2 m + 2m + − m m + 4m + ) − ( m + ) ( m + 2) ( 2 2 Ta lại có: B = = = − 2 m +2 m +2 ( m + 2) B= 17 (Vì ( m + ) ≥ ⇒ ( m + 2) ≥0⇒ B≥− ) 2 ( m + 2) 2 Vậy B = − ⇔ m = −2 Cách 2: Sử dụng phương pháp miền giá trị sau: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m.( 2m + ⇔ Bm − 2m + B − = (Với m ẩn, B tham số) m +2 Ta có: ∆ = − B(2 B − 1) = − B + B B= (*) Để phương trình (*) ln có nghiệm với m ∆ ≥ 2 hay −2 B + B + ≥ ⇔ B − B − ≤ ⇔ ( B + 1) ( B − 1) ≤ ⇔ − ≤ B ≤ 1 Vậy: max B=1 ⇔ m = B = − ⇔ m = −2 Ứng dụng 9: Chứng minh bất đẳng thức Ta vận dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai( ∆ ≥ ) để chứng minh bất đẳng thức ta viết biểu thức cho dạng phương trình bậc hai Ví dụ : Chứng minh có số a, b, c thoả mãn a + b + c = ab + bc + ca = ≤ a ≤ 7 ; 1≤ b ≤ ; 1≤ c ≤ 3 Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý Viet đảo để lập phương trình bậc hai biết tổng tích hai nghiệm Ta có: b + c = − a bc = − ab − ac = a − 5a + Vậy b, c nghiệm phương trình ẩn x sau x − (5 − a ) x + (a − 5a + 8) = Tacó ∆ = −3a + 10a − 7 để phương trình bậc với ẩn x có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3a + 10a − ≥ ⇔ ≤ a ≤ 7 Vì vai trò a, b, c nên chứng minh tương tự ta có ≤ b ≤ ; ≤ c ≤ 3 Ứng dụng 10: Giải phương trình nghiệm nguyên giải số phương trình, hệ phương trình dạng đặc biệt Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị ẩn số Ví dụ1: Tìm nghiệm ngun phương trình : x − ( y + 5) x + y + = Hướng dẫn: Ta có x − ( y + 5) x + y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1 , x2 18  x1 + x2 = y +  x1 x2 = y + Theo định lý Vi-et ta có  x1 + x2 = y + 25 mà x1 x2 = y + ⇒ x1 + x2 − x1 x2 = 23 ⇔ ( x1 − 5)( x2 − 5) = mà = 1.2 = ( −1).( −2) x1 + x2 = 13 x1 + x2 = ⇒ y = y = thay vào phương trình ta tìm cặp số ( x, y) = (7,8);(6,8); (4, 2);(5, 2) nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình x ĐKXĐ: x ≠ −1 Đặt a = x 3− x  3− x  x− ÷= x +1  x +1  3− x 3− x ;b = x + Ta có: a.b = a + b = x +1 x +1 Do a b hai nghiệm phương trình X2 – 3X + = ⇔ X1 = X = Với a = 1, b = ta x2 – 2x + = ⇔ x = Với a = 2, b = ta x2 – x + = (vô nghiệm) Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x =  x + y + xy = 11 2  x + y + ( x + y ) = 28 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  Nhận xét: Đặt S = x + y P = xy , với điều kiện S2 − 4P ≥ đưa hệ cho hệ đơn giản biết cách giải  S + P = 11 Lời giải: Đặt S = x + y P = xy , hệ cho có dạng:  (1)  S − P + 3S = 28 (2) Từ (1) suy P = 11 − S , thay vào phương trình (2) ta được: S − ( 11 − S ) + 3S = 28 hay S + 5S − 50 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: S = 5; S = −10 Nếu S = P = 6, nên x, y nghiệm phương trình bậc hai: t = t − 5t + = ⇔ ( t − ) ( t − ) = ⇔  Suy ( x; y ) = ( 2; 3) ( x; y ) = ( 3; ) t = Nếu S = −10 P = 21, nên x, y nghiệm phương trình bậc hai:  t = −3 t + 10t + 21 = ⇔ ( t + ) ( t + ) = ⇔  Suy ( x; y ) = ( −3; − )  t = −7 ( x; y ) = ( −7; − 3) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: ( 2; 3) ; ( 3; ) ; ( −3; − ) ; ( −7; − ) 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau nghiên cứu giảng dạy chuyên đề thấy học sinh nắm vững hệ thức Viét ứng dụng Học sinh nhận dạng tập trình bày toán nhanh chặt chẽ đặc biệt toán nâng cao lên quan đến số nghiệm,dấu nghiệm phương trình KẾT LUẬN Qua kết triển khai chuyên đề thấy: Khi dạy học sinh học tốn giáo viên khơng dừng lại việc dạy kiến thức mà cần phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy, cách khai thác tập nâng cao từ hệ thống kiến thức Có đáp ứng mục tiêu giáo dục giai đoạn đào tạo hệ trẻ trở thành người vừa hồng vừa chuyên Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch Thành, ngày 20 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Nga 20 21 ... thực trạng để giúp học sinh nắm vững khắc sâu kiến thức phương trình bậc hai hệ thức Viét tơi xin trình bày kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khai thác "Một số ứng dụng hệ thức Viét "để góp phần... hai số S2 − 4P ≥ ) 2.3.3 Giải pháp thứ ba: Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng hệ thức Viét Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Dạng đặc biệt: Phươngtrình có nghiệm -1 Ví dụ 1: Nhẩm... thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2 015 -2 016 ) Hướng dẫn : Chứng minh phương trình có nghiệm theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x2 = B = x13 − x22 − x1 + x2 + 2008 = x13 − ( − x1 ) − x1 + ( − x1