skkn một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS lương thế vinh

“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí lý luận: Như biết, mơn Tốn học mơn khoa học tự nhiên thiếu đời sống mặt người Với xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày phát triển mơn tốn lại đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu khoa học nói riêng Để thực nhiệm vụ môn khoa học bản, tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học sở phải gắn liền việc dạy học kiến thức, kĩ với việc giáo dục, rèn luyện người, song hành việc phát triển trí tuệ học sinh kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tế Như vậy, người giáo viên đóng vị trí quan trọng việc hướng dẫn, tổ chức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức nhân loại Khi thơng qua hoạt động dạy học nói chung, qua việc học tốn nói riêng, đặc biệt qua hoạt động giải tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ tái kiến thức Nghĩa học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp vận dụng kiến thức học cách phù hợp việc giải tốn Qua rèn trí thơng minh, sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển lực trí tuệ tồn diện cho học sinh Lí thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn THCS nói chung mơn Tốn lớp 8, nói riêng, mơn Tốn ln tạo những điều thú vị đầy bí ẩn riêng biệt Để am hiểu cặn kẽ điều này, địi hỏi người học phải ln có đam mê khám phá, tìm hiểu Những kiến thức mức độ môn thường yêu cầu tất người học phải nắm Những kiến thức mở rộng, nâng cao, tạo nhiều hội cho tất có lịng say mê mơn, có tính kiên trì, nghị lực, có lĩnh vượt khó tìm hiểu chinh phục Đối với học sinh THCS bất đẳng thức nói chung mảng khó chương trình tốn Phần lớn học sinh chưa nắm phương pháp giải trình bày toán bất đẳng thức Nguyên nhân khó khăn mà học sinh gặp phải giải tập bất đẳng thức lập luận (suy luận) từ kiến thức lí thuyết trừu tượng đến điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải tốn Trong điều việc dạy cách giải tập toán dạy cho học sinh tự giải tập quen thuộc, để từ học sinh liên tưởng, tìm tịi, sáng tạo vào tập liên quan dạng Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ lực hoạt động sáng tạo học sinh nhiệm vụ trọng tâm giáo viên trường học Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi đội tuyển khâu quan trọng việc chọn lựa chuyên đề bồi việc làm quan trọng Chính điều này, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” chương trình Tốn lớp 8, nói riêng Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” vận dụng Toán học nói chung với mong muốn tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm cho thân trình giảng dạy, đồng thời nhận thật nhiều ý kiến góp ý thầy đồng nghiệp nhà trường để SKKN trọn vẹn Có lẽ nhiều ý kiến tơi nêu cũ, quen thuộc, song tơi ln hy vọng góp điều nhỏ bé cho trình giảng dạy mảng kiến thức Đây mong muốn lí giúp tơi chọn nghiên cứu SKKN II Mục đích nguyên cứu Trước thực SKKN nhận thấy trường nhiều em học sinh giỏi dự thi kì thi cấp tỉnh đạt kết thấp kì vọng thầy cô học sinh dự thi không mong đợi dẫn đến em khóa sau ngại thi mơn tốn thành tích trường khơng cao so môn khác Các em thấy thầy cô có dạy qua mà khơng làm cảm thấy ngại với thầy thầy bỏ tâm huyết công sức bồi dưỡng năm trời không thu lại thành Xuất phát từ ngun nhân tơi thống kê lại nguyên nhân sau em thất bại hình thành cho đường cơng tác bồi giỏi Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ơn tập hết khơng có thời gian xuất phát từ tơi nhận cấu trúc đề thi không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung số chủ đề mà SKKN trước mang tính chun sâu nội dung chủ đề việc người học tiếp thu vấn đề khó khăn tơi xếp lại cấu trúc vừa sức học sinh khơng q khó theo dạng đặc biệt dạng gần gủi với em nên việc tiếp thu không khó theo mảng theo chuyên đề dẫn đến em hào hứng học tập với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán Trường THCS Lương Thế Vinh phải đạt giải cao kì thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh mà toán bất đẳng thức ln có mục đích nguyên cứu đề tài Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề Kiến thức bất đẳng thức giới thiệu chương III đại số Đây sở lý luận để nhận biết bất đẳng thức Nó cịn vận dụng để giải lượng không nhỏ tập liên quan đến bất đẳng thức Giả sử A B hai biểu thức số chữ Khi A  B; A  B; A �B; A �B gọi bất đẳng thức Các bất đẳng thức viết lại sau A  B  0; A  B  0; A  B �0; A  B �0 Một bất đẳng thức đúng, sai Quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức Giáo viên: Đồn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Tính chất bất đẳng thức Tính chất giao hốn: Cho số thực A B bất kì, ta ln có A �۳ B B A Tính chất bắc cầu: Cho số thực A, B, C bất kì, ta ln có A � B,�B C A C Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho số thực A, B M bất kì, ta ln có A �۱�� B A M B M Cho số thực A, B, C, D , ta ln có A �B; C �D � A  C �B  D A �B; C �D � A  D �B  C Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho số thực A, B bất kì, ta ln có A  B; �M A  B; �M 0 A.M A.M B.M B.M Cho số thực A, B, C, D , ta ln có � 0 A  B � � � �  A.C  B.D �  C  D � Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo: Cho số thực dương A, B bất kì, ta ln có A �B A B Để giải tập học sinh phải nắm hệ thống lý thuyết bất đẳng thức, biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt, hợp lí, qua học sinh có khả phát triển tư duy, đặc biệt tư sáng tạo giải toán Kiến thức bất đẳng thức không ứng dụng thi học sinh giỏi cấp, kì thi đại học mà toán đề kiểm tra tiết, học kì thường xuyên gặp Vì muốn nắm hệ thống lý thuyết bất đẳng thức học sinh vận dụng để giải nhiều tập chương trình THCS Qua tham khảo số tài liệu cố gắng hệ thống lại số dạng tập liên quan đến bất đẳng thức Ngoài ra, mở rộng số toán lớp 8; phần tập nhằm giúp em có tư sáng tạo suy nghĩ Mỗi dạng tập có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng Mặc dù cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải sai sót trình bày, diễn đạt … điều tránh khỏi Tôi mong Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” nhận góp ý, bổ sung quý thầy cô giáo, đồng nghiệp bạn đọc để SKKN tơi hồn thiện II Thực trạng vấn đề Sau mười năm công tác, thân tơi tích lũy kiến thức học hỏi từ đồng nghiệp nhiều kinh nghiệm quý báu, điều giúp tơi có nhiều thuận lợi trình thực nhiệm vụ giảng dạy phân công Trong năm gần phân công dạy lớp 8,9 Từ năm học 2015 – 2016, tơi bắt đầu có ý tưởng tích lũy số kiến thức bất đẳng thức áp dụng vào dạy năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019 Qua thời gian nghiên cứu, thực viết áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”, thân tiếp tục trao đổi với giáo viên giảng dạy khối 8, để tích lũy thêm cho SKKN Qua đó, tơi thấy: Trước tiến hành ngun cứu đề tài tiến hành khảo sát đội ngủ học sinh giỏi dự thi cấp huyện khảo sát tốn bất đẳng thức 100% học sinh khơng làm được, lấy ý kiến em cịn mơ hồ bất đẳng thức hầu hết đề thi cấp huyện có bất đẳng thức, đặc biệt đề thi cấp tỉnh ln có tốn bất đẳng thức lý mà cá nhân tơi mạnh dạn thực đề tài nguyên cứu nhằm giúp em đạt giải cao kì thi huyện tỉnh gần chiếm trọn vẹn điểm mảng bất đẳng thức SKKN chuẩn bị, thử nghiệm hoàn thành khoảng thời gian tương đối dài, trao đổi kiến thức kinh nghiệm với đồng nghiệp, nên thân phần tự tích lũy cho vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hôm Với lượng kiến thức chưa đầy đủ song đáp ứng mục tiêu SKKN đề Đồng thời thu hút thêm đóng góp ý kiến, nhận xét người để SKKN hoàn thiện Trong trình nghiên cứu hồn thành SKKN, bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn phải kể đến Trước hết, trọng rèn luyện nhiều phương pháp dạy học Theo thời gian, việc tiếp tục nghiên cứu nội dung có phần khó khăn công tác bồi năm khối lớp khác Do việc thử nghiệm, so sánh kết SKKN có phần khơng thuận lợi mong muốn Mặt khác, em học sinh tính tự giác học tập đối tự rèn chưa cao, muốn em áp dụng kiến thức học vào tập cụ thể giáo viên phải trình bày tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có em hiểu nắm kiến thức học cách có hệ thống, giúp em tự làm tập tương tự tốt SKKN áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi nhiều tiết theo chuyên đề mảng kiến thức (những dạng tập bản) trường Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” đạt kết tốt Học sinh nắm kiến thức chắn hơn, xác kĩ trình bày làm cải thiện rõ rệt Đây tiền đề vững chắc, thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết bồi dưỡng HSG nội dung kiến thức thân thời gian vừa qua Học sinh khối bắt đầu làm quen bất đẳng thức Vì thế, lực tư logic em chưa phát triển cao, em phải làm quen với nhiều kí hiệu tốn học thuật ngữ lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều Do vậy, việc áp lý thuyết để làm tập tốn bất đẳng thức nói riêng em điều khó Hầu hết có học sinh giỏi tự làm hướng trọn vẹn yêu cầu toán Cịn hầu hết học sinh lúng túng khơng biết cách làm, cách thức thực trình bày lời giải giáo viên hướng dẫn trình bày tập mẫu Đây vấn đề hay toán học, vận dụng rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu Nội dung phần kiến thức ngắn gọn song bao hàm áp dụng trực tiếp vào giảng dạy lớp dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản dễ mắc sai lầm suy nghĩ, lời giải, trình bày, …Vì vậy, ý để thật thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho thân với mục đích cuối đạt kết cao nội dung SKKN đề Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên khó khăn, hạn chế nêu Trước hết phải kể đến ý thức tự giác học tập người học chưa cao, khả tự học, tự rèn học sinh giảm sút nhiều Nhiều học sinh thông minh ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao Các em có suy nghĩ, trăn trở làm tập khó làm tập sai động lực để em tâm tự làm lại cho chưa nhiều Một điều việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái (trình bày lời viết) học sinh chưa tốt, em lười làm tập nhà, Trong mảng kiến thức bất đẳng thức, em tỏ lúng túng lập luận, trình bày số dạng tập nêu Vì mà em quên nhanh nhiều kiến thức phần dẫn đến ngại làm tập Trong đó, để học mơn tốn tốt, nhớ lâu kiến thức đường vô hiệu luyện giải tập III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh chia sẻ số kinh nghiệm đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi tốn địa bàn Krơng Ana Để đạt kết mong muốn dạy kiến thức bất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan thân, suy nghĩ thực sau: Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” III.1 Trước hết, truyền đạt xác, đầy đủ kiến thức bất đẳng thức sách giáo khoa * Một số bất đẳng thức cần nhớ A �0 với  A A 2k �0 với  A k số tự nhiên A �0 với A A  B �A  B A  B �A  B x1, x2, x3 , ,xn khơng âm ta có: Dạng 1: x1  x2  xn n � x1 x2 xn n Dạng 2: x1  x2  xn �n Dạng 3: �x1  x2  xn � � � �x1 x2 xn n � � n x1 x2 xn n Dấu “ = ” xảy khi: x1  x2   xn Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức tốt Giáo dục ý thức ham học nghiêm túc học tập, nghiêm khắc với thân cho học sinh từ đầu thói quen xấu khó bỏ nề nếp chặt chẽ mau vững bền III.2 Đưa dạng tập thường hay gặp Ví dụ :     a2  b2 �2ab; a2  b2 � a  b �4ab   a b a2  b2  ab � a2  b2  c2 �ab  bc  ca          a2  b2  c2 � a  b  c �3 ab  bc  ca  a4  b4  c4 � ab  bc  ca Giáo viên: Đồn Cơng Nam   �3abc a  b  c Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Yêu cầu bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng bất đẳng thức thường gặp để từ hình thành tư duy, kỹ nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại để đưa cách giải hợp lí đở tốn thời gian Mục đích cho em làm tập áp dụng tiết dạy lý thuyết tiết dạy luyện tập với dạng tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở giáo viên, trình bày ngắn gọn có rõ ràng Ngồi ra, tổ chức thi làm nhanh em, để kích thích tính tích cực, ganh đua học tập Giao tập nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học làm nhà học sinh để đảm bảo chất lượng dạy để tiến hành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển III.3 Đưa dạng có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng làm kì thi học sinh giỏi cấp Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c   � (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019) 2 1 b 1 c 1 a Bài giải: Ta ln có : 3 3(ab  bc  ca) �(a  b  c) � ab  bc  ca �3 �  (ab  bc  ca ) � 2 Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:  b �2b nên a ab ab ab a �a   a  (1) 2 1 b 1 b 2b Hoàn toàn tương tự ta có: b bc c ca �b  (2); �c  (3) 2 1 c 1 a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: a b c   � 2 1 b 1 c 1 a (Dấu "=" xảy a=b=c=1 Bài Chứng minh số dương a, b, c có a+b+c=3 ta có: a 1 b 1 c 1   �3  b2  c  a bc � ca  ) (a b c ) Ta có: 3(ab  a  b  c  ab  bc  ac Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có:  b �2b nên a 1 b (a  1) b (a  1) ab  b  a   � a    a 1 (1) 2 1 b 1 b 2b Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Hoàn toàn tương tự ta có: b 1 bc  c c 1 ac  a �b   (2) ; �c   (3) 2 1 c 1 a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta có: a 1 b 1 c 1 a  b  c  ab  bc  ca   �3  �3 2 1 b 1 c 1 a Dấu "=" xảy a=b=c=1 Nhìn thấy tập học sinh nghỉ đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu để chứng minh toán mà giải phương pháp khác dài chí khơng giải Bài tập tốn mn hình, mn vẻ nên với dạng khơng có quy tắc tổng quát phương pháp làm riêng, song sau giải hướng dẫn xong giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự, học sinh tự liên hệ áp dụng với kiến thức cũ Giáo viên nên tránh nơn nóng, bỏ qua bước làm bản, cho khó, học sinh đầu gặp khó cảm thấy nản chí khơng đam mê, khơng nhận ghi nhớ đợt đơn vị kiến thức kỹ năng, kết khơng định hình phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, học hoang mang Giáo viên không nên coi đơn lẻ khơng có quy luật chung quan trọng, cho học sinh làm nhiều trước có nguyên tắc chung coi tối ưu, kết học sinh bị rối loạn, không học phương pháp tư theo kiểu đắn khoa học thơng thường là: loại việc có nguyên tắc giải quyết, cần nắm vững số nguyên tắc giải hầu hết việc Mục đích hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng môn cho học sinh học lớp, thường xuyên ôn lại kiến thức rèn luyện làm tập nhiều, hiệu để khắc sâu kiến thức giúp em tốn thời gian mà nhớ lâu, vận dụng tốt III.4 Lựa chọn số kỹ thuật phép biến đổi tương đương thường hay đề thi học sinh giỏi cấp năm gần Phân tích: Các bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Bài Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a2  b2  c2 �ab  bc  ca   b) a2  b2  c2  �2 a  b  c Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh”     a2  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a2 2 2 a b  b c  c a  �0 a2  b2  c2  ab  bc  ca        Suy a2  b2  c2 �ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy abc b) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức a     b2  c2   a  b  c  a2  2a   b2  2b   c2  2c        2  a   b   c  �0 2 Suy ra: a  b  c  �2 a  b  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  12 12 4 10 10 6 Bài Chứng minh rằng:  x  y   x  y  � x  y   x  y  ( Đề thi học sinh giỏi toán huyện Krông Ana năm học 2014-2015) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức x 12  y12   x  y  � x10  y10   x  y  � x16  x12 y  x y12  y16 �x16  x10 y  x y10  y16 � x12 y  x y12  x10 y  x y10 �0 � x y ( x  x y  y  x y ) �0 4 2 6 � x4 y � x ( x  y )  y ( x  y )� � ��0 � x y  x  y   x  y  �0 � x4 y  x  y  x  x y  y  �0 12 12 4 10 10 6 Bất đẳng thức cuối với x, y Vậy  x  y   x  y  � x  y   x  y  a2  b2  c2 �a  b  c � Bài Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: �� � � � Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức          2 2 a b  b c  c a a2  b2  c2 �a  b  c � a  b  c  a  b  c �   � 9 � �  2 Suy ra: a2  b2  c2 �a  b  c � �� � � � Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy để từ có hướng hợp lí Bài Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng:   a2  b2  c2  d2  e2 �a b  c  d  e Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự bất đẳng thức trên, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Để tích ab, ac, ad, ae vào bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, vai trị b, c, d, e nên ta nghĩ đến việc biến đổi sau   a2  b2  c2  d2  e2 �a b  c  d  e         2 � a  kb  a  kc  a  kd  a  ke �0 Trong trường hợp ta chọn k  , tức ta phải nhân hai vế với Lời giải 2 2 Xét hiệu hai vế bất đẳng thức : a  b  c  d  e  a  b  c  d  e        a2  b2  c2  d2  e2  ab  ac  ad  ae  a2  4ab  4b2  a2  4ac  4c2  a2  4ad  4d2  a2  4ae  4e2  a  2b  a  2c  a  2d  a  2e               �0 2 2 Suy ra: a  b  c  d  e �a  b  c  d  e Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  2b  2c  2d  2e Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngồi phép biến đổi tương đương ta cịn dùng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:   abc � a  b  c  b  c  a  c  a  b a) a2  b2  c2  ab  bc  ca b) Lời giải Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 10 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Bài Cho � a, b, c  � � a  b  c �3 � � Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  abc   a b c Giải 1 a b c 11 a b c Sai lầm thường gặp học sinh: S  a  b  c    �6 a.b.c   Min S = Nguyên nhân sai lầm : Min S =  a  b  c    1 � a  b  c   trái với gải thiết a b c Phân tích tìm tịi lời giải Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt điểm rơi a bc  Sơ đồ điểm rơi: a  b  c  � a bc � � �  �1    �  a b c  �  �  4  Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau : a bc  �  a  b  c   � � � �1    �a b c �  2 �  4 �  4   2  Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau: � 1 1� 11 S  �4a  4b  4c    �  a  b  c  �6 4a.4b.4c   a  b  c  a b c� a b c � 15 15 �12   Với a  b  c  MinS = 2 2 Việc chọn điểm rơi cho toán giải cách đắn mặt toán học cách làm tương đối cồng kềnh Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacơpski tốn nhanh gọn hơn, đẹp Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 16 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Trong toán dùng kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC , chiều dấu dấu bất đẳng thức khơng phụ thuộc vào chiều đánh phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm mẫu số hay tử số Bài Cho a, b, c, d > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S a b c d bc d c  d a a bd a bc        bcd c d  a a bd a bc a b c d Giải Sai lầm thường gặp � a bcd  �2 � a �b  c  d � b cd a �  �2 b �c  d  a � a b d � c �2 �a  b  d  c � � d abc  �2 � d �a  b  c a bc d bcd a b cd a cd a b c a b  d abd c d a bc abc d 2 2 2  S �2 + + + = 2 Sai lầm thường gặp học sinh: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số: S �8 a b c d b c d c d a a b d a b c 8 b c  d c  d  a a b  d a b c a b c d Nguyên nhân sai lầm: � a bcd � bcd a � Min S =  �  a + b + c + d = 3(a + b + c + d)  =  vơ lí c  d ab � � d  abc � Phân tích tìm tịi lời giải: Để tìm MinS ta cần ý S biểu thức đối xứng với a,b,c,d > MinS có thường đạt điểm rơi tự “ a = b = c = d > 0.( nói điểm rơi a,b,c,d khơng mang giá trị cụ thể) Vậy ta 40 cho trước a = b = c = d dự đoán Min S   12  Từ suy đánh giá 3 BĐT phận phải có điều kiện dấu xảy tập điều kiện dự đoán: a = b = c = d > Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > ta có: Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 17 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” b c d � a     � �b  c  d c  d  a a  b  d a  b  c � �b  c  d  c  d  a  a  b  d  a  b  c  � a b c d  �  �    Cách 1: Sử dụng BĐT Cơsi ta có : � a bcd � bcd  � � � 9a � a,b,c,d 9a S � �b  c  d  a ,b,c,d � �8 a b c d b c  d c d a a b d a bc bc d cd a abd a bc 9a 9b 9c 9d �b c d c d a a b d a b c �  �           � �a a a b b b c c c d d d � �b c d c d a a b d a b c � 8 8 40 �  12.12 � �  12  �a a a b b b c c c d d d � Với a = b = c = d > Min S = 40/3 Trên sở nội dung chương trình tốn lớp 8, giáo viên phải hệ thống hoá kiến thức kỹ tính tốn đưa đề cho học sinh làm thêm nhà sau giáo viên phân tích cho học sinh cách chấm để hạn chế sai lầm trình thi cử Tăng cường phối hợp phương pháp, kết hợp đan xen chuyên đề để tạo hứng thú học tập, tạo hấp dẫn toán học sinh Tiến hành chấm em sai lầm lỗi bị trừ điểm thi, để em tự chấm lẩn tự nhận xét III.6 Hướng dẫn phương pháp giải tốn thích hợp trường hợp cụ thể giúp học sinh có kỹ nhận dạng, có tư linh hoạt sáng tạo 2 2 2 2 Bài Chứng minh rằng:  a  b   b  c   c  a  �8a b c a, b, c Phân tích tìm tịi lời giải: Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không không âm Cần ý rằng: x2 + y2 �2 x y = 2|xy| x, y khơng biết âm hay dương Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơsi Trong tốn dấu “ �”  đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số Sai lầm thường gặp học sinh: Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 18 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Sử dụng:  x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 �0  x2 + y2 �2xy Do đó: � a  b2 �2ab �2 b  c �2bc � � c  a �2ca � � �2 � Ví dụ: �3 �5 � �3 � 2 2 2 2   a  b   b  c   c  a  �8a b c a, b, c (Sai)  24 = 2.3.4 �(-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng: Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 �2 x y = 2|xy| ta có: � a  b2 �2 ab �0 � �2 b  c �2 bc �0  � �2 c  a �2 ca �0 � � a  b2   b2  c2   c2  a  �8| a 2b2c2 |  8a2b2c2 a, b, c (đúng) Bài Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) �9ab  a, b �0 Phân tích tìm tịi lời giải: = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, cặp Mỗi biến a, b xuất ba lần, sử dụng Côsi cho ba số khử thức cho biến Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) �33 1.a.b 3.3 a.b.ab  9ab Bài Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 �9ab2  a, b �0 Phân tích tìm tòi lời giải: 9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để áp dụng BĐT Cơsi ta có b Khi có định hướng việc tách hệ số khơng có khó khăn Giải Cơsi Ta có: 3a3 + 7b3 � 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 � 33 33 a3b6 = 9ab2 � a, b, c, d  � Bài Cho: � 1 1    �3 � 1 a 1 b 1 c 1 d � CMR : abcd � 81 Giải Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 19 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Từ giả thuyết suy ra: � �� 1 �� � b c d Côsi �� 1    =   �3 � �� � 1 a � 1 b � � � 1 c � � 1 d � 1 b 1 c 1 d bcd  1 b   1 c   1 d  Vậy: �1 bcd �3 �0 � 1 a  1 b  1 c   1 d  � � cda �1 �3 �0 �  b  c  d  a     abcd � � �81 �  1 a  1 b 1 c  1 d 1 a  1 b 1 c  1 d dca �1 � � � 1 c 1 d  1 c   1 a  � � abc � �3 �0 � 1 d  a  b  c     �               abcd � 81 Từ tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua toán tổng quát 1: Cho: �x1 , x2 , x3 , , xn  � 1 �1     �n  �  x1  x2  x3  xn � CMR : x1 x2 x3 xn �  n  1 n Đối với tốn có điều kiện biểu thức đối xứng biến việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng giúp ta xử lí toán chứng minh BĐT dễ dàng � a, b, c  � Bài Cho � a  b  c 1 � �1 � �1 � �1 � CMR : �  1�� 1�� 1��8 (1) �a � �b � �c � Giải VT (1)  1 a 1 b 1 c b  c c  a a  b  a b c a b c Côsi � bc ca ab  (đpcm) a b c Từ tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua toán tổng quát 2: Cho: � �x1 , x2 , x3 , ., xn  � �x1  x2  x3   xn  �1 � �1 �1 � �1 � � n CMR : �  �  � n  �  1� � �  1�   � � �x � �x � �x � �xn � �1 � �2 � �3 � � Bài Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 20 -  “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” CMR: �� �� � a  b  c ��� 1 � ��1  a � � � �    1 b   1 c  � 1 �� 2� � ��  ���3��� abc �8 abc a, b, c �0 Giải  � a  b  c � �  a    b Ta có: � 1 � � � � � 3 � � � Côsi    1 c � � � � �  1 a   1 b   1 c  (1)   ab  bc  ca    a  b  c   abc � Ta có:   a    b    c   � � � Côsi    �  33 a 2b2c2  33 abc  abc   abc  Ta có:  abc  Cơsi �  (2) � �2 1.3 abc � �  abc � (3) � Dấu “ = ” (1) xảy  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy  ab = bc = ca a = b = c  a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy  abc =1  abc = Từ tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua toán tổng quát Cho x1, x2, x3, , xn �0 CMR: � � 1 � � n �� �� �� � � � � � � � � x1  x2   xn � �� 1 x1   1 x2   1 xn  �1 n x1x2 xn �  n � ��   �� n ���3��� �2n x1x2 xn Bài toán tổng quát thường sử dụng cho số, áp dụng cho toán BĐT lượng giác tam giác sau Mục đích phải ln tạo tình có vấn đề tốn lạ mà quen, từ nâng dần mức độ, buộc em phải tự tìm cách tháo gỡ có phát triển lực tư sáng tạo học sinh Rèn cho học sinh kỹ phân tích tốn, nắm điều kiện tốn để nhìn thấy dạng tập quen thuộc hay lạ, thấy vấn đề tổng quát từ vấn đề cụ thể III.7 Tạo hứng thú, đam mê, u thích dạng tốn bất đẳng thức, thơng qua tốn có tính tư duy, thơng qua toán đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn THCS, THPT kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán năm gần Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 21 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Bài a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng: � � � �  a  b  c �a1  b1  1c ��9 b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c �3 Chứng ming rằng: 2009  �670 2 a  b  c ab  bc  ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Phịng năm 2009 - 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a  b  c �3 abc; 1 1   �3 a b c abc �1 �a Suy  a  b  c �  1�  ��9 b c� Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c b) Ta có Suy ab  bc  ca �a2  b2  c2  a  b  c � ab  bc  ca � �3 2007 �669 ab  bc  ca Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có � � 1 2   �2 �a  b  c  2ab  2bc  2ca �9 2 �a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca �  1  �1 Suy a2  b2  c2  ab  bc  ca �  a  b  c Do ta 2009  �670 2 a  b  c ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  1 Bài Với số tự nhiên n �3 Chúng minh Sn  Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 22 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Với Sn     5 1 2     2n  1   n  n1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải Với n �3 , ta có  2n  1   n  n1   n  1 n  2n  4n2  4n  n 1 n n +1- n 4n2  4n n  1 n  n  n  �1 � �  � 2� n n  1� Do ta Sn  1� 1 1 � 1� � 1      1 � � � � 2� 2 n n  1� 2� n  1� Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab  bc  ca a2b  b2c  c2a P  a2  b2  c2  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a  b  c  giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a2  b2  c2  ab  bc  ca �4 a2b  b2c  c2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có     a2  b2  c2  a  b  c a2  b2  c2   a  b  c  a b  b2c  c2a  ab2  bc2  ca2 3 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3  ab2 �2a2b;b3  bc2 �2b2c;� � c3  ca2 �2c2a Giáo viên: Đoàn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 23 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh”     a2  b2  c2 �� a2b  b2c  c2a  Suy Do ta a2  b2  c2  ab  bc  ca ab  bc  ca 2 � a  b  c  a2b  b2c  c2a a2  b2  c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a2  b2  c2  ab  bc  ca �4 a2  b2  c2 a b c  Hay 2   a2  b2  c2  a2  b2  c2   �4 Đặt t  a2  b2  c2 Từ giả thiết a  b  c  � a2  b2  c2 �3 , ta t �3 Bất đẳng thức trở thành t 9 t �4 � 2t2   t �8t � t  2t  �0 2t    Bất đẳng thức cuối t �3 Vậy toán chứng minh xong Bài a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: �1 �  2�  � k k  1� �k  k  1 b) Chứng minh rằng: 1 1 88   L   2010 2009 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   k1 k  k 12 k k k    � 2k   k k   �  k  1 k  0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 24 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” b) Áp dụng kết câu a ta có VT    1 L  2010 2009 �1 � 1 � �1 � �  2�   � 2�  � L  2� � 2� � 3� 2010 � �1 � 2009 � � � � 88  2� 1  �  VP � 2� 2010 � � 45 � 45 � Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Mục đích để em thấy đề bất đẳng thức khơng khó em khơng nản lịng thấy thích thú dạng tốn cịn liên quan đến dãy số Các em cảm thấy thú vị từ tạo động lực niêm đam mê bất đẳng thức cho em Trên giải pháp chọn thông qua việc áp dụng dụng số bất đẳng thức để giải tập, học sinh nắm kiến thức cách chắn, rèn luyện cho học sinh khả tư toán học cách logic, có cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả tìm tịi sáng tạo học sinh mơn tốn nói riêng mơn học khác nói chung Đồng thời giúp em biết cách xử lý cách linh hoạt, tối ưu tình đời sống hàng ngày vận dụng kiến thức học vào thực tế Việc chọn bất đẳng thức tất đề thi học sinh giỏi có bất đẳng thức nên việc chọn chủ đề công tác bồi giỏi việc làm tất yếu IV Tính giải pháp Việc chọn bất đẳng thức tất đề thi học sinh giỏi có bất đẳng thức nên việc chọn chủ đề công tác bồi giỏi việc làm tất yếu, học sinh nắm vững có điểm chắn phần làm em tự tin qua trình làm Các giải pháp có tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn Giải pháp (1) tiền đề cho trình dạy - học Giải pháp (2) tạo bền vững cho kết sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp (3) nhân tố tác động có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu cho người học người học có ý thức tự giác cố gắng Giải pháp (4) dạng toán hay gặp kì thi gần giải pháp tối ưu cho kì thi học sinh giỏi năm gần giúp hoc sinh có điểm cao kì thi học sinh giỏi cấp Giải pháp (5) giúp học sinh nhận thấy sai lầm mắc phải hình thành kinh nghiệm cho thân Giải pháp (6) cho Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 25 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” học sinh cách nhìn sáng tạo nhận dạng nhanh cho cách giải cần thiết Giải pháp (7) tạo động lực hứng thú tìm tịi sáng tạo cách giải bất đẳng thức Nhìn chung giải pháp đan xen, tương tác với nhau, tạo nên nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu riêng cho giáo viên Các giải pháp nêu thực trực tiếp trình dạy – học giáo viên – học sinh Trên sở tích lũy giáo viên chuẩn bị chu đáo cho nội dung dạy hiệu đề khả quan Bên cạnh đó, có kiểm tra đánh giá học sinh sau mổi chuyên đề làm sở loại học sinh không theo kịp khỏi đội tuyển Khi tổ chức ôn tập cần nắm vững phương châm: dạy nâng cao; thông qua luyện cụ thể để dạy phương pháp tư duy; dạy kiểu dạng có quy luật trước, loại có tính đơn lẻ, đặc biệt sau Bởi lẽ để giải toán dành cho học sinh giỏi, học sinh cần phải hiểu kiến thức cách bản, hệ thống, vững chắc, sâu sắc có khả vận dụng linh hoạt Đối với học sinh giỏi số bước làm nhanh, cho tự làm phải kiểm tra biết chắn nâng cao, bỏ qua bước trình độ học sinh khơng ổn định không vững Mỗi dạng cần thông qua hai điển hình, cần phải coi trọng loại có ngun tắc chính, phải rút phương pháp cho thêm số cho học sinh tự vận dụng cho thành thạo phương pháp Hầu hết quy dạng nhiều khác có quy tắc giải chung, dạng tốn có loại ngun tắc, xác định loại bài, sử dụng nguyên tắc giải Nhưng cá biệt có khơng theo ngun tắc chung, thuộc tình cá biệt, sử dụng cách riêng, thường không rõ quy luật, giải nhanh V Hiệu SKKN SKKN áp dụng thực tiển trường THCS Lương Thế Vinh Huyện Krông Ana năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018 – 2019 Đối tượng đội tuyển học sinh lớp 8, bậc trung học sở Trường THCS Lương Thế Vinh - Huyện Krông Ana năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018 – 2019 Qua q trình tích lũy thực sáng kiến kinh nghiệm này, thân thấy trước hết tơi tích lũy cho vốn kiến thức nho nhỏ bất đẳng thức để vận dụng vào vấn đề liên quan Đối với học sinh, sau năm bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, tơi nhận thấy em có tiến rõ rệt lập luận, trình bày lời giải tốn bất dẳng thức Đa số em biết tích lũy kiến thức bản, nhiều em số đạt kết cao học tập, Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 26 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” đạt giải cao thi học sinh giỏi mơn Tốn học, mà đặc biệt toán bất đẳng thức em có thích thú say sưa nghiên cứu Cụ thể năm qua, kết chủ đề tốn bất đẳng thức mà tơi bổ trợ cho học sinh đạt kết sau: Năm học Năm học Năm học Năm học 2015 – 2016 2016 – 2017 2017– 2018 2018– 2019 Các em đội tuyển tơi bồi dưỡng thích thú với dạng tập tính tốn đơn giản bất dẳng thức Các em đội Các em đội tuyển bồi dưỡng tuyển bồi dưỡng rèn cách trình rèn cách trình bày tốn bày tốn, bình Kết em đạt tĩnh suy nghĩ tìm giải giải khuyến hướng giải cẩn thận Kết em đạt giải khuyến khích cấp huyện giải khuyến khích cấp tỉnh mơn Tốn ; em đạt giải khuyến khích cấp huyện giải khuyến khích cấp tỉnh mơn giải tốn Máy tính cầm tay khích, cơng nhận cấp huyện mơn Tốn 8; em đạt ba, em đạt giải khuyến khích cấp huyện em đạt giải nhì, em đạt giải ba, em đạt giải khuyến khích cấp cấp tỉnh mơn giải tốn Máy tính cầm tay Các em đội tuyển bồi dưỡng hứng thú phản xạ đạt yêu cầu với dạng tập nêu Kết em đạt giải giải Kết em đạt khuyến khích cấp giải ba cấp huyện huyện mơn Tốn giải khuyến khích cấp tỉnh mơn Tốn Sau thực SKKN 80% đội tuyển học sinh giỏi chiếm trọn vẹn điểm mảng bất đẳng thức Theo nghĩ nội dung nghiên cứu đáp ứng lượng kiến thức cần thiết cho em học sinh tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời giáo viên, tạo cho nhiều suy nghĩ để người tự tích lũy thêm cho thân vốn kiến thức ngày trọn vẹn để ngày dạy tốt hơn, có nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau hay giá trị ý tưởng có trước Phần thứ ba: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Nội dung kiến thức bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng lớp 8, nói riêng bậc trung học sở nói chung Nhưng nhiều em Giáo viên: Đồn Công Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 27 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” nắm lý thuyết lại chưa biết áp dụng vào tập cụ thể nào, em chưa biết tư để từ kiến thức tổng quát vào tập cụ thể, em chưa thành thạo suy luận trình bày lời giải Do vậy, giáo viên trình giảng dạy, cần thường xuyên tích lũy kiến thức cảm nhận mức độ nắm kiến thức học sinh kết giảng dạy để kịp thời hướng dẫn, điều chỉnh để em hiểu áp dụng tính chất học vào làm tập cụ thể cách phù hợp Mảng kiến thức bất đẳng thức nói riêng chương trình tốn THCS học lớp 8, với nội dung học tương đối đơn giản Song làm để phát huy tính tư tích cực, sáng tạo cho học sinh vấn đề không đơn giản! Để đạt điều đòi hỏi người giáo viên nắm vững kiến thức bản, mở rộng, tập nâng cao cách xác bền vững mà đòi hỏi họ phải nắm kỹ kỹ xảo, kỹ truyền thụ kiến thức thức cách hiệu Đồng thời, giáo viên phải biết động viên, khích lệ, tạo ý học sinh với nội dung dạy, phát huy tính tự lập, tích cực sáng tạo học sinh Kiến nghị Qua trình giảng dạy trường trung học sở, qua thực tế tìm hiểu trình dạy học học sinh Tôi xin mạnh dạn đề xuất ý kiến sau: * Với nhà trường Ở trường nên tăng thêm vài hoạt động ngoại khóa tồn trường theo mơn để học sinh có hội giao lưu, học hỏi khẳng định thân, giúp em hăng say học tập đam mê nghiên cứu để thể ngoại khóa vui học toán học, khám phá ẩn số, số bí ẩn… * Với Cụm chun mơn Chúng ta cần có buổi chuyên đề bàn sâu nội dung, trọng điểm hay vấn đề cụ thể Tốn học để thu hút đơng đảo tham gia toàn giáo viên trường, cụm huyện (tùy vào phạm vị tổ chức) Trên nội dung sáng kiến “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Một lần xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành SKKN Do lực kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô, đồng nghiệp quý bạn đọc để SKKN hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Buôn Trấp, ngày 06 tháng năm 2019 Người viết Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 28 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Đồn Cơng Nam Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 29 - “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU 1-2 I Đặt vấn đề 1-2 II Mục đich nguyên cứu Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2-28 I Cơ sở lý luận vấn đề 2-4 II Thực trạng vấn đề 4-5 III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 5-25 IV Tính giải pháp 25-26 V Hiệu SKKN 26-28 Phần thứ ba: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 28-29 I Kết luận 28-29 II Kiến nghị 29 Mục lục 30 Tài liệu tham khảo 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Các chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi bất đẳng thức – Tác giả Võ Quốc Bá Cẩn - Sách giáo khoa toán 8; Sách giáo viên toán 8,9; Sách tập toán (tập 2) - Sách Nâng cao phát triển toán 8,9 – Tác giả Vũ Hữu Bình - Một số tốn chứng minh bất đẳng thức Tạp chí Tốn tuổi thơ - Bộ đề HSG huyện năm qua - Nguồn tài liệu mạng Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 30 - ... Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - ? ?Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh? ?? Tính chất bất đẳng thức Tính chất... hai vế bất đẳng thức Giáo viên: Đồn Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - - ? ?Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh? ??... Cơng Nam Trường THCS Lương Thế Vinh Trang - 14 - ? ?Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh? ?? Áp dụng BĐT (1) kết (*) cho số x, y,