SKKN một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế

Nhiều đồ vật xung quanh ta có hình dạng là các hình hình học: Hình chóp,hình lăng trụ, tứ diện, hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, hình cầu...Việc tính các kích thước, diện tích, th

MỤC LỤC

Trang

1 Lời giới thiệu……… 2

2.Tên sáng kiến……… 3

3.Tác giả sáng kiến……… 3

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……… 3

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……… 3

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu……… 3

7 Mô tả bản chất của sáng kiến ……… 3

PHẦN A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ……… 4

PHẦN B: NỘI DUNG……… ………… 5

I Hình đa diện, khối đa diện… ……… 5

I.1 Lý thuyết……… 5

I.2 Ví dụ minh họa ……… 6

I.3 Bài tập tự luyện ……… 20

II Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu…… ……… 23

II.1 Lý thuyết……… 23

II.2 Ví dụ minh họa ……… 26

II.3 Bài tập tự luyện ……… 37

PHẦN C: THỰC NGHIỆM – ĐÁNH GIÁ ……… 40

8 Những thông tin cần được bảo mật……… 48

9 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……… 48

10 Đánh giá lợi ích thu được……… 48

11 Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử……… 51

12 Tài liệu tham khảo 52

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Xã hội ngày càng phát triển đã đặt ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp giáo dục thế hệ trẻ và đào tạo nguồn nhân lực cho mỗi Quốc Gia Giáo dục cần đào tạo đội ngũ nhân lực có khả năng đáp ứng được những yêu cầu, đòi hỏi mới của xã hội và thị

trường lao động, đặc biệt là năng lực lao động sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm giải quyết các vấn đề phức tạp Điều đó đòi hỏi giáo dục phải có sự đổi mới để đáp ứng những đòi hỏi cấp thiết của xã hội

Trong giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quantrọng của cải cách giáo dục nói chung cũng như cải cách giáo dục bậc THPT nói riêng.Mục tiêu chương trình, nội dung dạy học đòi hỏi việc cải tiến phương pháp dạy học và

sử dụng phương pháp dạy học mới

Một trong những định hướng cơ bản của việc đổi mới giáo dục là chuyển từ nền giáo dục mang tính hàn lâm kinh viện xa rời thực tiễn sang một nền giáo dục hiện đại chú trọng hình thành năng lực hoạt động, phát huy tính chủ động và sáng tạo của học sinh Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là nhằm phát huy tínhtích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển năng lực hoạt động, năng lực cộng tác làm việc

Đó cũng là xu thế quốc tế trong đổi mới phương pháp giảng dạy ở nhà trường phổ thông

Nhà toán học lỗi lạc RENE DESCARTES đã từng nói: ”Toán học là cánh cửa và

là chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác “

Một trong những mục tiêu trong dạy học môn Toán là trang bị cho học sinh nhữngnội dung kiến thức, kỹ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình sách giáo khoa đại trà, ngoài ra chúng ta cần phải hình thành cho học sinh khả năng vận dụngnhững kiến thức, kĩ năng toán học cơ bản vào giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn một cách khoa học, có hệ thống Xuất phát từ thực tiễn công tác dạy học, đổi mớitrong phương pháp dạy học kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi xây

dựng chuyên đề: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số

bài toán thực tế”.

Với chuyên đề này tôi hi vọng sẽ có tác dụng giúp học sinh tăng cường khả năng vậndụng kiến thức, kỹ năng toán học vào đời sống thực tiễn thông qua việc giải quyết các tình huống nảy sinh trong thực tiễn

2 Tên sáng kiến

“Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực

tế”.

3 Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Dương Quang Hưng

-Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Hai Bà Trưng–Thành Phố Phúc Yên –TỉnhVĩnh Phúc

-Số điện thoại: 0948541102

-Email: duongquanghung.duke@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

- Họ và tên: Dương Quang Hưng

- Chức vụ: Tổ phó chuyên môn tổ Toán Tin trường THPT Hai Bà Trưng

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng

thử Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

PHẦN A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận :

Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạocủa người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàntoàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sởphát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cáchthức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động giúp học sinh

có thể vận dụng các kiến thức sách giáo khoa vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.Trong chương trình toán trung học phổ thông, có nhiều kiến thức hình học liên quanđến thực tiễn Nhiều đồ vật xung quanh ta có hình dạng là các hình hình học: Hình chóp,hình lăng trụ, tứ diện, hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, hình cầu Việc tính các kích thước, diện tích, thể tích là các bài toán liên quan đến thực tiễn

Hình học được sử dụng trong rất nhiều ngành nghề: nghề cơ khí, nghề xây dựng, nghề kiến trúc, hội họa, trong nghiên cứu sự hình thành và phát triển của các sự vật vàhiện tượng trong cuộc sống

2 Cơ sở thực tiễn :

Từ thực tiễn cuộc sống và thực tiễn dạy học môn hình học trong trường phổ thông,chúng ta thấy ngoài việc hình thành cho học sinh những kiến thức, kỹ năng toán cơ bảnnhất về các mô hình hình học đơn giản chúng ta cần hình thành ở học sinh những kỹnăng giải quyết các bài toán hình học trong thực tiễn

Với đề tài “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài

toán thực tế” tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong việc phát triển tư duy hình học, khả năng

giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống Học sinh sẽ thấy rõ hơn ý nghĩa và giá trị thực tiễn của những nội dung hình học trong chương trình toán học Trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy và học hình học ở trường Trung học phổ thông

PHẦN B : NỘI DUNG

I HÌNH ĐA DIỆN, KHỐI ĐA DIỆN

I.1 LÝ THUYẾT

I.1.1 Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:+) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnhchung, hoặc chỉ có một cạnh chung

+) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

I.1.2 Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đadiện đó

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Tậphợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện Những điểm thuộc khối đadiện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối

đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó Ta cũng gọi đỉnh,cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt,điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng

I.1.3 Các công thức về thể tích khối đa diện

I.1.3.a Công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

h

V  1

B.h 3

B

I.1.3.b Công thức tính thể tích khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

V  B.h

● Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c

● Thể tích khối lập phương: V  a3

Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

I.2 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Một Kim tự tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều với chiều cao là

120 (m), độ dài cạnh đáy bằng 200 (m) Tính thể tích của Kim tự tháp.

Lời giải

Kim tự tháp là một khối chóp tứ giác đều nên đáy của Kim tự tháp là một hình

vuông có cạnh là 200 (m).

Diện tích đáy của Kim tự tháp là: B 2002 40000m2.

Chiều cao của Kim tự tháp là: h 120m

Thể tích của Kim tự tháp là: V 1

Bh1

Ví dụ 2 Nhân ngày sinh nhật của bạn Dương; ba bạn Minh, Trâm, Hiền mua một hộp

quà có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều Ba bạn nhớ tới bài dạy của thầy giáo vềthể tích khối đa diện, ba bạn nảy sinh ý tưởng tính thể tích của hộp quà Ba bạn dùng thước dài đo được cạnh đáy của hộp quà bằng 30cm, cạnh bên của hộp quà bằng

40 cm Hỏi các bạn tính được thể tích của hộp quà bằng bao nhiêu? ( giả thiết các bạn đã tính đúng và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Lời giải

Giả sử hộp quà có hình dạng một khối chóp tứ giác đều là khối chóp tứ giác đều S

ABCD được kí hiệu như hình vẽ Khi đó, ABCD là hình vuông cạnh 30 cm, cạnhbên SA SBSCSD 40 cm

Diện tích đáy của hộp quà là: B 302 900 cm2.

Lời giải

Vì một bạn đi dọc theo một cạnh của căn lều với vận tốc 0,8 m/s thì hết 5

giây nên độ dài của cạnh căn lều là: 0,8.5 4 m

Giả sử căn lều có hình dạng một khối chóp tứ giác đều là khối chóp tứ giác đều

S ABCD được kí hiệu như hình vẽ Khi đó, ABCD là hình vuông cạnh 4 m, cạnh bênhợp với đáy một góc 60 0

Diện tích đáy của căn lều là: B 42 16 m2. Gọi HAC BD.

Tứ giác ABCD là một hình vuông cạnh 4m, suy ra AC AB 2  4 2  m

AH  1

AC  1

4 2  2 2  m

Chiều cao của căn lều là: h SHAH.tan 60 02 6  m

Thể tích của căn lều là: V 1

Bh 1

Ví dụ 4 Một người thợ thủ công có một tấm bìa hình tam giác đều Người thợ thủ công

gấp tấm bìa theo các đường kẻ như hình vẽ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích bằng 1152 2  cm3 Tính độ dài cạnh của tấm bìa

Lời giải

Gọi tấm bìa hình tam giác đều ABC có cạnh là 2acma

0

và M ,N,P lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB,AC ,BC.Ta có : AMMN a

cm

Hình tứ diện đều được tạo thành là tứ diện đều AMNP với A B C.

Tam giác MNP là tam giác đều cạnh a, diện tích tam giác MNP là: B 

a2 3cm2.4

Gọi H là tâm của tam giác đều MNP, I là trung điểm của NP.

Vậy, độ dài cạnh của tấm bìa là: 2a 48 cm

Ví dụ 5 Người thợ thủ công cắt một tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1m để gấp thành

một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hìnhchóp ( như hình vẽ) Tính độ dài OM để khối chóp có thể tích lớn nhất

Ví dụ 6 Một hộp sữa Vinamilk có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước bên trong vỏ hộp là: 5 cm,8 cm,15 cm Hỏi hộp sữa có thể đựng được bao nhiêu lít sữa?

Lời giải

Thể tích của hộp sữa là: 5.8.15  600 cm3  0,6  dm3 0,6 lít

Vậy hộp sữa có thể đựng được 0,6 lít sữa

Ví dụ 7 Một bể bơi dành cho trẻ em và người lớn có hình dạng bề mặt nước là một hình

chữ nhật có kích thước dài 30 (m), rộng 10 (m) Phần bể bơi dành cho trẻ em có đáy bằng phẳng, dài 20 (m) và sâu 1,2 (m) Phần dành cho người lớn có đáy thoải xuống dốc đến sát mép đáy dưới của bể là sâu 4 (m) ( xem hình vẽ) Hãy tính xem bể chứa được bao

nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước.

Lời giải

Thể tích nước gồm hai phần: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH và thể tích khối lăng trụ EKI.FLJ

Thể tích của bể nước là: V V ABCD EFGHV EKI FLJ

Thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH là: V ABCD EFGH  30.10.1, 2  360 m3.

EI EK  5.10.1,8  90m3

 2

Ví dụ 8 Một vỏ hộp bánh Danisa có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có thể tích là

3,125dm3 Tính các kích thước của vỏ hộp bánh, biết chiều cao của vỏ hộp bằng chiều

dài của vỏ hộp và gấp 5 lần chiều rộng của vỏ hộp

Lời giải

Ta có: 3,125dm3  3125cm3.

Gọi chiều rộng của vỏ hộp bánh Danisa là: xcm

Suy ra, chiều dài của hộp bánh là 5 xcm, chiều cao của hộp bánh là 5x cm

Theo giả thiết thể tích của hộp bánh Danisa là 3125 cm3, nên ta có:

3125  x.5 x.5 x  x  5  cm

Vậy chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hộp bánh lần lượt là: 5 cm, 25  cm, 25

 cm. Ví dụ 9 Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ Người thợ mộc cắt đi một phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh bằng 5cm.Tính thể tích phần gỗ còn lại

Lời giải

Ta có: Thể tích khúc gỗ ban đầu là: V1  11.6.6  396 cm3.

Thể tích phần gỗ bị cắt có dạng hình lập phương là: V2  53 125cm3.

Vậy thể tích phần gỗ còn lại là V V1 V2  271 cm3.

Ví dụ 10 Bạn Vũ có một khối Rubic loại 4x4x4, gồm 64 khối lập phương nhỏ ghép

thành Biết mỗi mặt của khối lập phương nhỏ là một hình vuông có chu vi bằng 12 (cm).

Tính thể tích khối Rubic

Lời giải

Ta có mỗi mặt của khối lập phương nhỏ là một hình vuông có chu vi bằng 12 (cm)

nên cạnh của hình vuông đó là 12

 3cm.4

Suy ra cạnh của một khối lập phương nhỏ là: 3 cm

Suy ra cạnh của một khối Rubic là: 4.3 12 cm

Thể tích khối Rubic là: V 123 1728cm3.

Ví dụ 11 Một người thợ hàn dự định làm một thùng đựng xăng có hình dạng là một

hình hộp chữ nhật có thể tích 12 lít với chiều cao gấp rưỡi chiều rộng Hãy xác định cáckích thước của thùng đựng xăng để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính

đến bề dày của thành thùng đựng xăng) (tính theo đơn vị cm, làm tròn đến 1 chữ số thập

phân sau dấu phẩy)

chiều cao của thùng là: 3 x2,8 dm

Ví dụ 12 Một chiếc bánh sinh nhật có hình dạng là một khối hộp chữ nhật Một phần tư

thể tích phía trên chiếc bánh được dải một lớp chocolate nguyên chất, phần còn lại phíadưới chứa đầy bơ sữa ngọt Biết chiếc bánh sinh nhật có đáy là hình chữ nhật với chiềudài gấp đôi chiều rộng và tổng chiều rộng và chiều cao của chiếc bánh bằng 60 cm

Hãy tính thể tích lớn nhất của chiếc bánh? Khi thể tích của chiếc bánh lớn nhất, hãy tính thể tích của phần bơ sữa ngọt.

Lời giải:

Lời giải:

Gọi chiều cao của chiếc bánh là xcm0x60 

Khi đó, chiều rộng của chiếc bánh là: 60 xcm

Chiều dài của chiếc bánh là: 120 2x cm

Đẳng thức xảy ra khi 2 x60 xx 20cm.

Vậy thể tích của chiếc bánh lớn nhất bằng64000cm3 khi x 20 cm

3Khi đó, thể tích của phần bơ sữa ngọt là: .64000  48000  cm3.

Ví dụ 13 [ Trích đề thi minh họa lần 1 kỳ thi THPT QG năm 2017]

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 (cm) Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm

đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x (cm), rồi gập tấm nhôm đó như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích

 2 x  6  x 6  x  64

 V  2.2 x  6  x 6  x  128

Đẳng thức xảy ra khi 2 x6 xx 2cm

Vậy với x 2cm thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất

Ví dụ 14 Một người thợ dự định thiết kế một chiếc thùng có hình dạng là một hình hộp

chữ nhật không có nắp với chiều cao 6dm và thể tích 96 lít Người thợ dùng loại tôn để

làm mặt bên có giá thành 70000 đồng/m2 và loại tôn để làm mặt đáy có giá thành 100000đồng/m2 Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành chiếc thùng

Lời giải:

Ta có: 96 lít = 96 dm3 0,096 m3.

6  dm   0,6  m

Gọi chiều rộng của thùng là: x mx 0

Chiều dài của thùng là: ym y0 

Theo giả thiết, ta có: 0,6xy  0,096 y0,16

m.

x

0,16

Diện tích mặt đáy: S đáy  xy x.  0,16 m2 .

Suy ra chi phí để làm mặt đáy là: 0,16 100000 16000 đồng

Diện tích xung quanh:  2 x.0,6  2 y.0,6  1,

Suy ra chi phí để làm mặt xung quanh là 1, 2  0,16   0,16  đồng.

Do đó chi phi thấp nhất để làm chiếc thùng là: 84000.0,816000 83200 đồng

I.3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3m3 , chiều

cao của hố gấp đôi chiều rộng của đáy hố Hãy xác định các kích thước của hố ga để khi

xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Bài 2 Bác Tuyến muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không

nắp có thể tích bằng 128m3 , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba chiều rộng.Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m2 Nếu người đó biết xác định các kíchthước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất Hỏi Bác Tuyến trả chi phíthấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể chứa nước đó là bao nhiêu?

Bài 3 Một người thợ xây dựng dự định làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không

nắp có chiều cao là 80cm , thể tích 116000cm3  Người thợ dùng loại kính để sửdụng làm mặt bên có giá thành 80.000 đồng/ m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành120.000 đồng/ m2 Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá

Bài 4 Một hộp không nắp được làm từ một mảnh tôn theo hình vẽ Hộp có đáy là một

hình vuông cạnh x  cm , chiều cao là h  cm và thể tích là 500  cm3 . Tìm độ dàicạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít tôn nhất

Bài 5 Một người thợ xây dựng dự định xây một nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện

tích mặt sàn là 1000m2 và chiều cao cố định Người đó xây các bức tường xung quanh

và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau(không kể trần nhà) Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chiphí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)

Bài 6 Một Kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều Chiều cao của kim tự

tháp này là 150m, đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh là 210m Các lối đi vàphòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự tháp Biết một lần vận chuyển gồm 10

xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 2,5.10 3kg /m3 Hỏi số lần vậnchuyển đá ít nhất để xây dựng kim tự tháp là bao nhiêu?

Bài 7 Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 30m Lượngnước trong hồ cao 1,7 m Tính thể tích nước trong hồ?

Bài 8 Một tấm gỗ có hình dạng là hình lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao của tấm

gỗ lần lượt là 0,5m2  và 1,6m Mỗi mét khối gỗ này trị giá 20 triệu đồng Hỏi tấm

gỗ đó có giá bao nhiêu tiền?

Bài 9 Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng giả đá có

thể tích là 18 3 cm3 Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối

lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

Bài 10 Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là

tam giác đều để đựng 16 lít nước Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình thủy tinh bằng bao nhiêu?.

Bài 11 Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần

lượt là 20cm và 3  cm Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hìnhhộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp ( xem hình vẽ) Thể tích của chiếc hộp

đó bằng bao nhiêu?

Bài 12 Một tấm gỗ hình lập phương có độ dài cạnh là 90  cm. Ở chính giữa mỗi mặt

của hình lập phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của

lỗ hình vuông là tâm của mỗi mặt hình lập phương, các cạnh lỗ hình vuông song song với các cạnh của hình lập phương và có độ dài 30cm như hình vẽ Tìm thể tích của tấm gỗ sau khi đục

II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

II.1 LÝ THUYẾT

II.1.1 Mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, khối nón tròn xoay

II.1.1.a Mặt nón tròn xoay

+ Trong mặt phẳng P, cho 2 đường thẳng d, cắt nhau tại

O và tạo thành góc  với 00  900. Khi quay mặt phẳng

 P xung quang  thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn

xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O Người ta thường

gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón Đường thẳng  gọi là

trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2 gọi là

góc ở đỉnh của mặt nón đó

II.1.1.b Hình nón tròn xoay

+ Cho tam giác OIM vuông tại I Khi quay tam giác đó xung

quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành

một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón

+ Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay

quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O gọi là

đỉnh của hình nón Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình

nón Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM

khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

II.1.1.c Khối nón tròn xoay

Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể

cả hình nón đó Người ta còn gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón

II.1.1.d Công thức diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón

Cho một hình nón tròn xoay có chiều cao h, độ dài đường sinh l và r là bán kính của

đường tròn đáy Khi đó ta có:

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là: S xq rl.

Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay là: S tp  S xqS đáy  rl r2.

Thể tích của khối nón tròn xoay là: V1

r2h.

3

II.1.2 Mặt trụ tròn xoay, hình trụ tròn xoay, khối trụ tròn xoay

II.1.2.a Mặt trụ tròn xoay

+ Trong mặt phẳng P, cho 2 đường thẳng  và l song song

với nhau, cách nhau một khoảng bằng r Khi quay mặt

phẳng P xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt

tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay Người ta thường gọi

tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ Đường thẳng  gọi là trục,

đường thẳng l được gọi là đường sinh và r là bán kính của

mặt trụ đó

II.1.2.b Hình trụ tròn xoay

+ Cho hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ nhật đó xung

quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì

đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ

tròn xoay, gọi tắt là hình trụ

+ Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình

tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng

gọi là bán kính của hình trụ Độ dài CD gọi là độ dài đường

sinh của hình trụ, phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm

trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của

hình trụ Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa

hai đáy là chiều cao của hình trụ

II.1.2.c Khối trụ tròn xoay

Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cảhình trụ đó Người ta còn gọi tắt khối trụ tròn xoay là khối trụ

II.1.2.d Công thức diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

Cho một hình trụ tròn xoay có chiều cao h, độ dài đường sinh l và r là bán kính của

đường tròn đáy Khi đó ta có:

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là: S xq2rl 2rh.

Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay là: S tp S xq 2S đáy  2rl 2r2.

Thể tích của khối trụ tròn xoay là: V  r2h.

II.1.3 Mặt cầu, khối cầu, hình cầu

II.1.3.a Mặt cầu

+ Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố

định một khoảng không đổi bằng rr 0 được gọi là mặt

cầu tâm O bán kính r.

Người ta thường kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là

S  O; r hay viết tắt làS 

Như vậy ta có mặt cầu S O; r M/OM r

II.1.3.b Khối cầu, hình cầu

+ Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S O; r cùng với các điểm nằm trong mặt cầu

đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r

II.1.3.c Công thức diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu

Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S 4r2

Khối cầu bán kính r có thể tích là: V4  r3

3

II.2 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Một lon nước trà bí đao có hình dạng là một hình trụ Tính diện tích xung

quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lon nước trà bí đao, biết rằng chiều cao củalon nước là h 20cm và bán kính đáy r 5 cm

Ví dụ 2 Một cái phễu có hình dạng là một hình nón Người ta đổ đầy nước vào bên

trong phễu Hãy tính thể tích của nước bên trong phễu ( giả sử bề dày của phễu là khôngđáng kể), biết rằng chu vi của đường tròn đáy bằng 30 cm và độ dài đường sinh là

l  25  cm