SKKN một số ứng dụng của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Mã sáng kiến: 21.52 Vĩnh Phúc, năm 2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số Sử d ụng phương pháp hàm s ố để tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Mã sáng kiến: 21.52 Vĩnh Phúc, năm 2020 Vĩnh Phúc, năm 2018 MỤC LỤC Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến 4 Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến Cơ sở lí luận thực tiễn 7.1 Nội dung sáng kiến A B Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN GTLN – GTNN hàm số GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến C Ứng dụng GTLN – GTNN 34 Ứng dụng vào tốn giải phương trình, bất phương trình chứa tham số Ứng dụng vào tốn thực tế 34 39 Một số câu hỏi trắc nghiệm 45 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến 47 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 47 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến tác giả 47 D 10 Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng 48 sáng kiến lần đầu BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Bài tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) biểu thức toán bất đẳng thức dạng tốn khó chương trình phổ thơng Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, nội dung thường xuất dạng câu khó Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm GTNN, GTLN hàm số (tức biểu thức biến số) Vì vậy, số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa biến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh khơng giải cho tốn từ hai biến trở lên, chí cịn có tâm lí khơng đọc đến Thực tế tập thi tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ yêu cầu cao đa dạng đòi hỏi học sinh có nhiều kĩ Hơn số lượng tập tham khảo khơng đầy đủ Vì để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú học tập từ vận dụng để giải tốt tập GTLN - GTNN, đạt kết cao kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, định chọn đề tài “Một số ứng dụng hàm số” Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số 3.Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh - Chức vụ: Giáo viên Địa chỉ: Trường Trung Học Phổ Thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0986365068 - E-mail: thanhtlx@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THPT Lê Xoay - huyện Vĩnh Tường - tỉnh Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy bồi dưỡng kỹ giải tập giải tích cho học sinh THPT Ngày sáng kiến áp dụng thử: Từ tháng 10 năm 2016 Mô tả chất sáng kiến Cơ sở lí luận thực tiễn Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm GTNN, GTLN hàm số (tức biểu thức biến số) Các em học sinh cịn lúng túng chí bỏ qua tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa nhiều biến kì thi chọn học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, tốn thường dạng khó mức vận dụng cao phải sử dụng kết hợp phương pháp Từ thực tế mục đích đề tài xây dựng phương pháp tìm tịi có để giải tốn: dựa vào bất đẳng thức, hàm trung gian sau kết hợp với phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 7.1 Nội dung sáng kiến A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định tập D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f (x) tập  D nếu: f ( x ) ≤ M ,∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M Kí hiệu: M = max f ( x) D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f (x) tập D nếu:  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D , f ( x0 ) = m Kí hiệu: m = f ( x) D Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] a Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có GTLN GTNN đoạn b Qui tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] điểm x1 , x2 , , xn khoảng (a; b) f '( x) khơng xác định  Tìm  Tính  Tìm f ( a ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b) số lớn M số nhỏ m số M = max f ( x ), m = f ( x) [a; b] [a; b] Nhận xét  f ( x) đồng biến [a; b] ⇒  f ( x) nghịch biến [a; b] ⇒ Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số (a; b) Tìm tập xác định Tính f '( x) Tìm điểm x1 , x2 , , xn mà f '( x) không xác   định  Sắp xếp điểm x1 , x2 , , xn theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN hàm số (a; b) B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN GTLN – GTNN hàm số 1.1 Phương pháp khảo sát trực tiếp Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số Giải Ta có y ' = Nhận xét: Đây tốn khơng khó, học sinh hồn tồn làm Ngồi cách làm tự luận tìm đáp án tốn, học sinh gặp toán dạng trắc nghiệm học sinh sử dụng máy tính casio để giải sau: Sử dụng mod nhập hàm f ( x) = x + x +3 x +1 Start end step 0.5 Từ bảng máy tính suy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = [ x∈ Bài Tìm GTNN hàm số f ( x ) = − x + x + 21 − − x + x +10 Giải: D= TXĐ: Ta có: f ′(x) f ′(x ) = ⇔ (x − ) − x + x + 10 = (2x−3 ) − x + x + 21 ⇒ ( x − )2 Thử lại, ta thấy có x = Ta có f (−2) = 3; f (5) = 4; f Vậy giá trị nhỏ hàm số x =  Nhận xét: Sử dụng đạo hàm khơng khó Tuy nhiên học sinh lại lúng túng việc giải phương trình f ′(x) = Thế chuyển thành toán trắc nghiệm học sinh dễ dàng tìm đáp án Cách sử dụng máy tính casio để tìm GTLN, GTNN hàm số giống với Bài Tìm giá trị lớn hàm số Giải x+ Ta có: y = x2 Hàm số y đạt giá trị lớn khoảng (0;+∞) hàm số f (x )= x + − x đạt giá trị nhỏ khoảng (0;+∞) Xét hàm số f ( x ) = x + − x (0;+∞) 9x f ′(x ) = Bảng biến thiên x2 +1 Từ bảng biến thiên ta có f Bài tập đề nghị Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x + + − x +1 x + + − x +1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1.2 Sử dụng phương pháp đổi biến tìm GTLN – GTNN hàm số Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Giải Tập xác định: D = Đặt t = , cos x 2t f ′(t) = (t +1) Vậy y = 1, max y = Nhận xét: Bài toán sau đặt ẩn phụ trở thành toán quen thuộc học sinh làm dễ dàng Với tốn trắc nghiệm việc tìm GTLN, GTNN hàm số dễ với cách sử dụng máy tính bỏ túi Bài Tìm giá trị lớn hàm số y = x + + − x − ( x + 4)(4 − x) +5 Giải Điều kiện −4 ≤ x ≤ Nhận xét: Hàm số f (x) liên tục đoạn [−4; 4] Đặt t = x + + − x ⇒ t = x + + − x + ( x + 4)(4 − x) ⇒ ( x + 4)(4 − x) = t2 −8 Ta có Tìm điều kiện t: Xét hàm số g ( x ) = x + + − x với x ∈ [ − 4; 4] g′(x) = g ( −4) = 2 x+4 ⇒ g ( x) = [−4;4] ′ f (t ) = −4t + < 0, Vậy Nhận xét: Sau đổi biến việc tìm tập giá trị biến ln phần khó quan trọng, khơng tìm tập giá trị biến dẫn đến đáp số sai Khi tìm tập giá trị biến toán trở nên dễ dàng đưa dạng thường gặp Bài tập đề nghị Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x + x + − 3 x2 + + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số hàm số Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến 2.1 Đưa trực tiếp biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa biến Bài Cho x, y > Nhận xét: Bài tốn cho học sinh lớp 10 làm cách sử dụng bất đẳng thức Cosi khó tốn tìm điều kiện ẩn x, y để P đạt GTNN Nhưng y theo x vào biểu thức biểu thức thành P = hàm số ẩn x, ta dễ dàng tìm GTLN, GTNN biểu thức Giải Từ giả thiết suy y = − 4x < x , y < Do P = y=f m Ơng A dự định sử dụng hết 6, kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? Giải Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x; x; y ( m); ( x, y > 0) Diện tích phần lắp kính x + xy = 6, ⇔ xy = Thể tích bể cá V = x y = Xét hàm số f ( x) = Ta có f '( x) = Bảng biến thiên Vậy thêt tích lớn 13 39 » 1,5m 54 Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm tìm thể tích hàm số theo biến x ta sử dụng máy tính để tìm GTLN thể tích mà khơng cần giải theo tự luận rút ngắn thời gian làm mà đảm bảo đáp số Bài Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt góc hình vng nhau, gập nhôm lại để hộp khơng nắp Tìm cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn nhất? 41 Giải Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt  Thể tích khối hộp là: V ( x ) = x ( a −2 x) V ′( x) = ( a − x ) Bảng biến thiên 0 0 Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B'C' D' có tổng diện tích tất mặt 36 cm , độ dài đường chéo AC' cm Hỏi thể tích hình hộp đạt giá trị lớn bao nhiêu? Giải 42 Giả sử kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Giả sử a £ b £ c b+c=6 ï a + b + c = 36 + c ) + bc = 18 Do a £ b £ c Þ < a £ 2 ( ) Thể tích hình hộp chữ nhật V = abc = a 18 - 6a + a = a - 6a 2 + 18a Xét hàm số Ta có f '(a ) = 3a - 12a + 18 é a= ê f '(a) = Û ê êa = ë Bảng biến thiên 0 150m3 Từ bảng biến thiên ta tích lớn hình hộp chữ nhật 2.3 Bài toán kinh tế Bài Một người thợ xây, muốn xây dựng bồn chứa thóc hình trụ trịn với thể tích (như hình vẽ bên) Đáy làm bê tông, thành làm tôn nắp bể làm nhơm Tính chi phí thấp để làm bồn chứa thóc (làm trịn đến hàng nghìn) Biết giá thành vật liệu sau: bê tơng 100 nghìn đồng m2 , tơn 90 nghìn m2 nhơm 120 nghìn đồng m2 Giải 43 Gọi r , h (m )(r > 0, h > 0) bán kính đường trịn đáy đường cao hình trụ theo đề ta có π r 2h = 150 ⇔ h = Khi chi phí làm nên bồn chứa thóc xác định theo hàm số: Bảng biến thiên: Ta có chi phí thấp Bài Người ta xây bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 500 m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể 600.000 đồng/m2 Xác định chi phí thuê nhân công thấp Giải Gọi x (m) chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể 2x (m) h (m) chiều cao bể Bể tích Diện tích cần xây là: S = (xh + xh ) Xét hàm f (x ) = 44 Lập bảng biến thiên x f (x) 150 f = f (5 ) =150 Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ fmin =150 Vậy giá thuê nhân công thấp là: 150.600000 = 90000000 đồng Bài tập đề nghị: Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ 5km , bờ biển có kho hàng vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo thuyền từ A đến M bờ biển với vận tốc 4km /h từ M đến C với vận tốc 6km /h Xác định độ dài đoạn BM để người từ A đến C nhanh Công ty A chuyên sản xuất loại sản phẩm ước tính với q sản phẩm sản xuất tổng chi phí C (q ) = 3q + 72q − 9789 (đơn vị tiền tệ) Giá sản phẩm công ty bán với giá p ( q ) = 180 − 3q Hãy xác định số sản phẩm công ty cần sản xuất cho công ty thu lợi nhuận cao ? D Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12cm chiều rộng 6cm Thực thao tác gấp góc bên phải cho đỉnh gấp nằm cạnh chiều dài lại Hỏi chiều dài L tối thiểu nếp gấp bao nhiêu? Một số câu hỏi trắc nghiệm Giá trị lớn hàm số f (x ) = x − x + 16 x −9 đoạn [1; 3]là: 45 A max f ( x) = [ ] Giá trị nhỏ hàm số y = x ( x + 2)( x + 4)( x + 6) + [−4; +∞) là: A y = −8 [−4;+∞) B C y = −11 [−4;+∞) y = −17 [−4;+∞) Giá trị lớn hàm số y = x2 − x + x D y = −9 [−4;+∞) là: +1 A max y = −1 Giá trị nhỏ hàm số y = D y = A     0; 0;   Giá trị nhỏ hàm số y = e x ( x − x −1) đoạn [0;2] A y = −2e [0;2] B y = e2 [0;2] C y = −1 [0;2] D y = −e [0;2] Giá trị lớn hàm số y = x + + − x − ( x + 4)(4 − x) +5 A max y = 10 [−4;4] Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc dòng nước km/h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E (v ) = cv 3t, c số E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao A km/h B km/h C km/h D km/h Cho ∆ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm BC, hai đỉnh P, Q theo thứ tự nằm hai cạnh AC AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn ? M ộ A.BM= t h ộ p không nắp làm từ mảnh tông theo mẫu hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh x cm, chiều cao h cm tích 500 cm3 Giá trị x để diện tích mảnh tông nhỏ A 100 B 300 D BM = h a h x x h h 46 C 10 D 1000 10 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 1; x + y = Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x + xy −5x bằng: A 20 18 B 20 15 C 18 15 D 15 13 x 11 Cho số thực , y thoả mãn (x − ) + ( y − ) + xy ≤ 32 Giá trị nhỏ 3 m biểu thức A = x + y + 3( xy − 1)( x + y − 2) : A m = 12 Cho hai số thực dương thỏa mãn1 ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ Giá trị nhỏ m biểu thức A m = Đáp án Câu Đáp án B 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Hướng dẫn học sinh sử dụng tài liệu tham khảo sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc - Chọn lọc biên soạn theo hệ thống dạy - Nghiên cứu đề thi trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm theo ý kiến tác giả - Khi áp dụng đề tài vào thực tế dạy học thu kết quả: Học sinh phát triển tư kỹ liên hệ vấn đề toán học Học sinh hình thành lời giải cách nhanh nhẹn, sáng tạo + Qua em không rèn luyện củng cố kiến thức giải toán tìm GTLN – GTNN, mà cịn trang bị thêm phương pháp tiếp cận tập nâng cao, khó đề thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh + 47 Giáo viên nâng cao trình độ chun mơn, lực sư phạm q trình giảng dạy ơn thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi + - Trước sau thực đề tài tiến hành khảo sát khả tìm GTLN – GTNN cho học sinh lớp 12A1, 12A5, 12A7 khóa 2016 – 2017 trường THPT Lê Xoay với số học sinh khảo sát 110 thu kết sau: Trước áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài Ngoài học sinh giỏi tơi có thành tích cao trước áp dụng sáng kiến có học sinh giải nhì cấp tỉnh Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 10 STT Nguyễn Thị Thanh 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục Sách tập Giải tích 12 – Nhà xuất giáo dục Sách Hình học 12 – Nhà xuất giáo dục Sách tập Hình học 12 – Nhà xuất giáo dục www.luyenthithukhoa.vn; www.dethi.volet.vn; www.toanmath.com Đề thi học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh Đề thi THPT Quốc Gia Khám phá tư kỹ thuật giải bất đẳng thức toán – max - Đặng Thành Nam – Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội 49 ... cao kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, định chọn đề tài ? ?Một số ứng dụng hàm số? ?? Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số 3.Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh - Chức vụ: Giáo... GTLN – GTNN hàm số GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến C Ứng dụng GTLN – GTNN 34 Ứng dụng vào tốn giải phương trình, bất phương trình chứa tham số Ứng dụng vào toán thực tế 34 39 Một số câu hỏi... tìm GTLN, GTNN hàm số giống với Bài Tìm giá trị lớn hàm số Giải x+ Ta có: y = x2 Hàm số y đạt giá trị lớn khoảng (0;+∞) hàm số f (x )= x + − x đạt giá trị nhỏ khoảng (0;+∞) Xét hàm số f ( x ) =