Một số ứng dụng của hàm suy rộng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Trần Văn Bằng LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp bước giúp em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ bất đầu công việc gặp nhiều khó khăn làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học, em nhận động viên giúp đỡ tận tình, tỉ mỉ thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần văn Bằng giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho em có hội làm quen với việc nghiên cứu khoa học Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Lê Thị Hà SVTH: LÊ THỊ HÀ K32-CN TOÁN LỜI CAM ĐOAN Em xin cam kết đề tài „„Một số ứng dụng hàm suy rộng‟‟ kết nghiên cứu riêng em hướng dẫn thầy giáo - Tiến sĩ Trần Văn Bằng - Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Đề tài khơng chép từ tài liệu có sẵn Và kết nghiên cứu khơng trùng lặp với kết Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Sinh viên LÊ THỊ HÀ MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Hàm Thử Gauss 1.1 Không gian hàm thử 1.2 Vai trò khơng gian hàm thử Gauss 1.3 Một số tính chất hàm thử Gauss 10 Chương :Hàm suy rộng 14 2.1 Hàm số 14 2.2 Hàm suy rộng 15 2.3 Đại số hàm suy rộng 18 2.4 Một số dãy hàm liên tục .21 Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng .23 3.1.Phép biến đổi Fourier 23 3.2 Phép tịnh tiến suy rộng .27 3.3 Đạo hàm suy rộng .29 Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng 33 4.1 Những sở cách giải phương trình đại số đơn giản 33 4.2 Phương trình với nhân tử đa thức .36 4.3 Phương trình khơng với nhân tử đa thức 39 4.4 Hàm cực 42 4.5 Phép biến đổi, tích nghiệm hàm cực 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 LỜI MỞ ĐẦU Hàm suy rộng xuất vào kỷ XX cơng trình Dirac học lượng tử nhà tốn học L.Shwartz góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Do nghiệm phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng thường khơng tồn toàn cục nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày trở nên thiết Sự đời lý thuyết hàm suy rộng có nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết đạo hàm riêng, đặc biệt góp phần giải vấn đề lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, hiểu biết hàm suy rộng xa lạ mẻ sinh viên Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu vấn đề bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: "Một số ứng dụng hàm suy rộng" Nội dung khóa luận gồm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Hàm Thử Gauss Chương 2: Hàm suy rộng Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng Phần 3: Kết luận Chƣơng HÀM THỬ GAUSS 1.1 KHÔNG GIAN CỦA NHỮNG HÀM THỬ 1.1.1 Những hàm thử Gauss Định nghĩa Một hàm  gọi hàm thử Gauss có dạng φ, = n x Α,ζ ∈  ;n∈ > (1.1) + ,γ Định nghĩa Hàm g xác định  gọi hàm Gauss g ( x) = Ae A,ξ ,γ A,ξ số, ∈ −γ ( x−ξ ) ,γ ∈ Định nghĩa Cho f hàm số xác định  , f hàm mũ khả tích và có giá trị β ∈ liên tục phần  cho f khả tích tuyệt đối ( x)e x Bổ đề Cho φ hàm  Khi mệnh đề sau tương đương: φ hàm thử Gauss Có số, > 0, n ∈ + γ φ(x) ;Α, ζ ∈ cho: với −∞ < x < ∞ n −γ ( = Ax e x−ζ ) Có số γ > ; n ∈ cho: φ(x) = + , Β∈ ;a, λ ∈ với −∞ < x < ∞ n i λx −γ ( x−a) Βx e e γ số,γ > , n∈ +;C ∈ ,b, µ ∈ cho: φ(x) = với −∞ < x < ∞ Cxneµxe−γ ( x−ib) γ số,γ > 0, n∈ + ; σ , D∈ cho: φ = x với −∞ < x < ∞ Hơn nữa, cố định dạng ta có ζ = a + ib , λ = , µ = , σ = µ + iλ 2bγ 2aγ B = Aeγ b −i 2abγ Bổ đề 2 , C = Ae−γ a 2abγ −i D = Ae −γζ , Mọi hàm Gauss hàm thử Gauss Mọi hàm thử Gauss hàm bị chặn, trơn hàm khả tích tuyệt đối  Tích hàm thử Gauss với hàm mũ khả tích hàm khả tích tuyệt đối  Nếu φ hàm thử Gauss hàm sau hàm Gauss a φψ C,σ ∈ ; k ∈ k b Cx e σx + ψ hàm thử Gauss φ(x) C,σ ∈+ ; k ∈ c φ(ax) * a ∈ Nếu φ hàm thử Gauss hàm sau tổ hợp tuyến tính hàm thử Gauss a φ (x − ξ ) b φ (m) c F m∈ + ξ ∈ [φ ] d F -1 [φ ] 1.1.2 Không gian hàm thử Gauss Định nghĩa Một hàm φ  hàm thử Gauss N φ = ∑φ N ∈ k =1 k + ,với hàm thử Gauss , φk Tập tất hàm thử Gauss kí hiệu: G = −D  x ( xpole ( x ) )  + 2xpole   = −D [ x.1] + 2.1 = −1+ =1 Vậy pole thỏa mãn xpole ( x ) =1 Nói chung ta dễ dàng xác định công thức cổ điển x−k d k −1 = ( −1) k −1 x (− k −1)! dxk   ,  với k = 2,3, 4, Tương tự ta xác định hàm cực cấp k cho k −1 k −1 D pole , với = − ( 1) ( k −1)! pole k k = 2,3, 4, Để đơn giản ta kí hiệu hàm cực cấp hàm cực Đinh lý Với pole = pole k = 1, 2,3, 4, ta có k Dpole = −kpole k +1 xk polek ( x ) = polek ( −x ) = (−1)k polek ( x) Chú ý Phép biến đổi Fourier hàm cực cấp k suy từ định nghĩa Tính tốn phếp biến đổi hàm cực đồng thức vi phân phép biến đổi Fourier Với k = ta có F   pole Với  y k F[ pole] = 2,3, ta có = y y = −iπ sgn ( y ) F  polek  ) =( −1 k −1 y F (k −1 ( −1) k −1 k −1 1! (k − ( i2π y ) ) F[ pole] ( −1) ( i2π y ) y k −1 = pole ! k −1 =  D k 1! (k − ) (−iπ sgn ( y)) (=−i2π )k yk −1 sgn ( y ) ( k −1)! Ta thấy k > 1, cơng thức cuối rút gọn từ công thức phép biến đổi pole1 k = ( Vậy F  pol  k e  y )k với k = 1, 2,3, sgn ( (4.13) y) = −i2π y k − ( k −1)! Theo tương đương gần phần định lý ta có F -1  polek ( y = F x )   ( −x ) = k (−1)k pole  y F ( x )   y k pole Kết hợp với phương trình ( 4.13) ta F-1 k  pole ( −i2 π )k   = y ( k −1)! k −1 sgn ( y) y 4.5 PHÉP BIỂN ĐỔI, TÍCH VÀ NGHIỆM CỦA HÀM CỰC 4.5.1 Hàm step hàm cực Hàm cực xác định bởi: pole = iπ F[sgn] Ở hàm sgn hàm lẻ xác định bởi: (4.14) (4.15) x< sgn ( x )= − , + x> ,  Áp dụng tính đại số, tương đương gần sgn (−x ) = ta có −sgn ( x ) công thức nghịch đảo (4.15) từ công thức phép biến đổi Fourier hàm signum F [sgn] = pol iπ e F [sgn] = − -1 iπ pole Ví dụ Ta thấy ( x) x <  0,  = −1 sgn +  −1, x >  +2, = +1,  Giải hàm step ( x) Ở F  step (  x )  = F  x< 0  = −1 + 2step x> (x)   1 ta có step ( x ) = sgn ( x ) + 2 1 1 y [sgn] = F  sgn ( x ) +  2   + F [1] y 2y pole( y ) + =i2 y δ ( y ) (4.16) π Cho công thức với phép biến đổi Fourier hàm step số hạng hàm cực 4.5.2 Tích nâng lên lũy thừa Bổ đề Giả sử k số nguyên lớn 1, Chứng minh Xét phép biến đổi Fourier xpolek ( x ) = polek −1 ( x) xpolek ( x) Áp dụng đồng thức vi phân, công thức ( 4.13 ) với phép biến đổi polek , luật tích ta có k F  xpole ( x ) D F  polek ( x) =−   y i2π =− k −1  y sgn (  y) (−i2π )k D i2π   ( k −1)!   (=−i2π )k− (Dyk −1 sgn( y ) + (4.17)   ( k −1)! k Mà Dy −1 = d dy yk −1 = ( k −1) yk −2 y k −1 Dsgn ( y ) ) k −1 ( k −1)! = k −1 (k −1)( k − 2) 3.2.1 1 = = ( k − 2) 3.2.1 (k − 2)! Và Dsgn y = D ( ) Vậy 2step ( y ) −1 = 2Dstep ( y ) = 2δ y k 1Dsgn ( y ) = yk − ( y) δ ( y ) = 2.0k −1δ ( y ) = −1 Do từ phương trình ( 4.21 ) ta có k F  xpole ( x )  y (−i2 k− ((k −1) π) = ( k −1)! (=−i2π )k− y k −2 ( k − 2)! y k −2 sgn ( y ) + 0) sgn ( y ) Bên cạnh áp dụng cơng thức ( 4.13 ) ta có k −1 F )  pole x (  ( [ k y y = −1] −1)! (=−i2π )k− y ( k − 2)! Vậy −1 ( k F  pole x )  Vậy ta thấy [k −1]−1 (−i2 k− π) k −2 sgn ( y ) sgn ( y ) ( −i2 k− yk −2 sgn ( y ) = F (x) =π ) y  ( k − 2)!  polek  −1 xpolek ( x) −1 = pole k ( x) Ví dụ 10 Từ bổ đề ta đễ dàng có tích tổng qt sau Xét tích xk polek ( x ) với n ∈ + Nếu n lặp lại phép giải bổ đề ta có < k k x pole k ( x) = x = x n−1 n −1  xpole k ( x )  k −1 pole ( x) = x n −2 −1  xpole k ( x ) n−2 polek −2 = x − = xn n polek Nếu n = k Nếu n > k Định lí Giả sử −n ( x) = polek xn polek ( x ) = xk polek ( x ) = x n polek ( x ) = x n k  x k polek ( x ) = x n k   n −k = x − n, k ∈ − ζ ∈  polek −n ( x), + ( x − ζ )ζn pole  ( x ) = 1,   x + 41 pole Ta có (x ) ý định lí ta có ( x) x3 + = n< k ζ k Ví dụ 11 Xét −n n= k  ( x −ζ n> k )nk , ( x −1 + 1) + = ( x −1)3 + 3( x −1)2 + 3( x −1) + Từ điều định lý ta có  x + 4 pole22 ( x ) = ( x −1)3 + 3( x −1)2 + 3( x −1) + 5 pole 1     = = ( x −1)31 pole2 + 3( x −1 )2 pole2 2 + 15 pole + 3( x −1) pole 1 + pole ( x −1) + 31 + pole Hệ Giả sử k ∈ + Nếu n < k , ζ ∈ f ( x) đa thức cấp n có số A1 , A2 , A3 , , Ak −n f( (x )x )=pole k k − n A pole ∑ j=1 j ( x) jζ cho: Nếu n ≥ k có đa thức h( bậc n − k x) A1 , A2 , A3 , , cho: f ( x) Ak pole k ( x) số k ∑ = h( x) + Aj poleζ ( x ) j=1 Hệ Giả sử g nhân tử đơn ( x) n− k n∈ + ,ζ ∈ ( x) f ( x)ζ = ( x − ζ ) pole f ( x) = Với g (x) , với k k = 1, 2,3, 4.5.3 Giải phƣơng trình hàm cực phương trình Ở ta có cách tìm nghiệm riêng u0 f ( x)u ( x) = ( x) f 1, ( x − ζ )n g đa thức Định lý Giả sử f đa thức với nghiệm phân biệt λ , λ , λ , ,λk Với λk cho Mk kí hiệu bội số tương ứng số khai triển phân số riêng 1M f Thì hàm suy rộng Ak ,m K k k ( x)= ∑∑ ( m x− k = m= K Mk A u pol , ( x) = e ∑∑ Thỏa mãn k m hệ Ak ,1, Ak ,2 , Ak ,3 , , Ak ,M λ ) k ( x) m λk k = m = f ( x)u0 ( x) =1 Ví dụ 12 Xét phương trình ( x −1)2 ( x − 3) u ( x ) =  (4.18) Từ định lý ta thấy nghiệm phương trình u ( x ) = Apole1 ( x ) + Bpole2 ( x ) + Cpole1 1 A, B,C số khai triển phân số riêng tương ứng ( ( Ta có x −1)2 x − 3) A B C + + = x x − (x − −1)2 1 = A( x − 3)( x −1) + B ( x − 3) + C −1)2 ( x  4C = Khi ta có:   −2B = 3A − 3B + C =  1 C= ,B A= − = , 4 1 1 Do ta có ( x ) = − pole ( x ) + pole ( x ) + pole u Vậy Là nghiệm phương trình (4.18) KẾT LUẬN Sau thời gian tích cực tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo Trần Văn Bằng nhiều thầy khoa Tốn – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Nhìn chung qua đề tài „„Một số ứng dụng hàm thức rộng’’ em hiểu sâu sắc ứng dụng hàm suy rộng vật lí lí thuyết đạo hàm riêng Đặc biệt vấn đề lí thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Như đề tài đạt mục đích đề Tuy nhiên bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học với tầm hiểu biết thời gian làm khóa luận hạn hẹp nên em khơng tránh khỏi thiếu sót, chưa thể mở rộng hết đề tài Em mong nhận góp ý thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Hà nội, tháng năm 2010 Sinh viên Lê Thị Hà TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung - Phương trình đạo hàm riêng – NXB Qiáo dục Hồng Đình Dung - Mở đầu giải tích phương trình đạo hàm riêng Trần Đức Vân - Phương trình đạo hàm riêng tập - NXB ĐH Quốc gia Hà Nội V.S Vladimirov - Generarized Functions In Mathematical Physics Kenneth B Howell – Principles of Fourier Analysis –NXB Studies in advanced mathematics ... tài: "Một số ứng dụng hàm suy rộng" Nội dung khóa luận gồm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Hàm Thử Gauss Chương 2: Hàm suy rộng Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng. .. Hàm số 14 2.2 Hàm suy rộng 15 2.3 Đại số hàm suy rộng 18 2.4 Một số dãy hàm liên tục .21 Chương 3: Phép biến đổi giải tích Fourier suy rộng .23 3.1.Phép biến... Fourier suy rộng Chương 4: Ứng dụng hàm suy rộng Phần 3: Kết luận Chƣơng HÀM THỬ GAUSS 1.1 KHÔNG GIAN CỦA NHỮNG HÀM THỬ 1.1.1 Những hàm thử Gauss Định nghĩa Một hàm  gọi hàm thử Gauss có dạng φ,