Một số ứng dụng của hành trình ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀNH TRÌNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀNH TRÌNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học TS.Trần Vĩnh Đức HÀ NỘI, 2017 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số khái niệm đồ thị 1.2 Hành trình ngẫu nhiên đồ thị 1.3 Phân phối dừng 11 Chương Một số tham số hành trình ngẫu nhiên 15 2.1 Định nghĩa ví dụ 15 2.2 Một số kết 19 2.2.1 Tính đối xứng thời gian truy cập 19 2.2.2 Thời gian truy cập thời gian phủ 21 2.2.3 Tính đơn điệu 22 2.2.4 Ứng dụng thời gian phủ thời gian lại 24 Chương Mối liên hệ giá trị riêng hành trình ngẫu nhiên 27 3.1 Một số khái niệm 27 3.2 Phổ thời gian truy cập 32 3.3 Phổ hàm sinh 36 3.4 Liên hệ với mạch điện 37 Chương Tốc độ hội tụ 43 4.1 Tốc độ hội tụ ghép nối 43 4.2 Tốc độ hội tụ khoảng giá trị riêng 45 4.3 Khoảng giá trị riêng độ dẫn điện 47 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tôi, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả nhiều kiến thức sở giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Vân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài "Một số ứng dụng hành trình ngẫu nhiên" hồn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Vân MỞ ĐẦU Hành trình ngẫu nhiên phát sinh nhiều mơ hình tốn học vật lý Đây khái niệm gặp nhiều nơi thực tế Lý thuyết hành trình ngẫu nhiên cổ điển xem xét hành trình ngẫu nhiên đồ thị lưới vô hạn, nghiên cứu định tính Các câu hỏi là: Hành trình ngẫu nhiên quay trở lại điểm bắt đầu với xác suất bao nhiêu? Liệu có quay lại điểm bắt đầu vô hạn lần hay không? Gần đây, hành trình ngẫu nhiên đồ thị hữu hạn nhận nhiều quan tâm Các câu hỏi định tính nghiên cứu là: Chúng ta phải trước ta trở đỉnh bắt đầu? Mất tới đỉnh cho trước? Mất để qua tất đỉnh? Phân bố xác suất đỉnh có xu hướng dừng nào? Khi nghiên cứu hành trình ngẫu nhiên đồ thị, người ta phát nhiều tính chất hành trình ngẫu nhiên thơng qua phổ đồ thị qua góc nhìn mạch điện Những kết nối đem lại công cụ hiệu để nghiên cứu ứng dụng hành trình ngẫu nhiên đồ thị đặc biệt tính tốc độ hội tụ, cho phép tính tốc độ hội tụ thời gian đa thức Mục đích luận văn tìm hiểu “Các hành trình ngẫu nhiên đồ thị” Tài liệu tham khảo luận văn báo tổng quan [1]: Random walks on graphs: A survey L Lovász Đây báo không dễ đọc Để hiểu nó, người đọc cần nắm vững nhiều kiến thức tảng từ nhiều lĩnh vực khác xác suất, tổ hợp, đồ thị, đại số, khoa học máy tính Hơn nữa, nhiều chứng minh viết ngắn gọn nhiều lập luận khơng giải thích chi tiết Đóng góp tác giả luận văn làm chi tiết chứng minh thêm nhiều ví dụ giúp báo dễ đọc cho người bắt đầu Nhiều ví dụ luận văn tính tốn thực nghiệm máy tính Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành bốn chương: Kiến thức sở Chương trình bày số khái niệm đồ thị khái niệm hành trình ngẫu nhiên Một số tham số hành trình ngẫu nhiên Chương trình bày số tham số kết hành trình ngẫu nhiên Mối liên hệ giá trị riêng hành trình ngẫu nhiên Chương nhằm tìm hiểu cách tính thời gian lại thời gian truy cập thông qua giá trị riêng véc tơ riêng; kết nối độ dẫn điện với hành trình ngẫu nhiên Tốc độ hội tụ Chương nhằm tìm hiểu phương pháp tính tốc độ hội tụ thời gian đa thức Chương Kiến thức sở Chương nhằm trình bày số khái niệm sở đồ thị, hành trình ngẫu nhiên với số tính chất 1.1 Một số khái niệm đồ thị Mục nhằm nhắc lại số khái niệm sở lý thuyết đồ thị Một đồ thị vơ hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập, E tập với phần tử đa tập lực lượng V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {u, v} ∈ E đỉnh u, v gọi đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Khi đó, hai đỉnh u, v gọi liền kề hay hàng xóm Ta thường kí hiệu cạnh {u, v} ngắn gọn uv Cạnh với hai đầu mút trùng gọi khuyên Số cạnh đồ thị G liên thuộc với đỉnh u khuyên đỉnh tính hai lần gọi bậc đỉnh u ∈ V , kí hiệu deg(u) Đồ thị hai phần đồ thị tập đỉnh chia thành hai tập khơng giao thỏa mãn điều kiện khơng có cạnh nối hai đỉnh bất Hình 1.1: Đồ thị có khun kì thuộc tập Một đồ thị quy đồ thị đỉnh có bậc Đồ thị quy với đỉnh có bậc d gọi đồ thị d-chính quy Ví dụ 1.1 Xét đồ thị G = (V, E) Hình 1.1 Đồ thị có V = {1, 2, 3, 4} E = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1}, {4, 2}, {4, 4}} Bậc đỉnh G bảng sau đỉnh deg Một hành trình độ dài k G dãy v0 v1 v2 vk thỏa mãn vi ∈ V {vi , vi+1 } ∈ E với i = 0, , k − Khi đó, v0 gọi đỉnh đầu, vk gọi đỉnh cuối hành trình Một hành trình 3.4 Liên hệ với mạch điện Giả sử G=( V , E ) đồ thị liên thông S ⊆ V tập đỉnh Một hàm φ : V → R gọi “hàm điều hòa với cực S ” d (v) φ (u) = φ (v) , ∀v ∈ / S u∈Γ(v) Ta thấy hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hành trình ngẫu nhiên gần với lý thuyết mạng điện dẫn điện, điều cung cấp kết nối lĩnh vực Đặc biệt, kết từ lý thuyết mạch điện dẫn điện cung cấp kết hành trình ngẫu nhiên Chúng ta bắt đầu với việc mơ tả ba kết hàm điều hòa lĩnh vực đề cập a) Giả sử kí hiệu φ (υ) xác suất mà hành trình ngẫu nhiên bắt đầu đỉnh v va chạm với đỉnh s trước va chạm đỉnh t Rõ ràng, φ hàm điều hòa với cực s t Ta có φ (s) = φ (t) = Tổng quát hơn, ta có tập S ⊆ V hàm φ0 : S → R ta định nghĩa φ (v) với v ∈ V \S hàm φ0 (s), s đỉnh ngẫu nhiên nơi mà hành trình ngẫu nhiên bắt đầu v va chạm s Do φ (v) hàm điều hòa với tập cực S Hơn φ (s) = φ0 (s), ∀s ∈ S b) Xem xét đồ thị G mạng điện, cạnh đại diện cho đơn vị điện trở Giả sử dòng điện chạy qua G vào s t φ (v) điện áp đỉnh v Do hàm điều hòa với cực s t 37 c) Xem xét cạnh đồ thị G lò xo lí tưởng có đơn vị số Hooke Chúng ta gắn xuống đỉnh s t đến điểm dòng thực đồ thị tìm dạng cân Năng lượng dạng bình phương xác định dương vị trí đỉnh có vị trí cực tiểu vị trí cân Rõ ràng tất đỉnh nằm đoạn và vị trí đỉnh xác định hàm điều hòa với cực s t Tổng quát hơn, ta có tập S ⊆ V ta cố định vị trí đỉnh S đỉnh lại vị trí cân chúng phối hợp đỉnh xác định hàm điều hòa với tập cực S Chúng ta tổng hợp số tính chất thơng thường hàm điều hòa Rõ ràng φ (v) nằm cực tiểu cực đại φ S Hơn S ⊆ V φ0 : S → R, có hàm điều hòa G với tập cực S mở rộng Đặc biệt, ta có tất hàm điều hòa với cực khơng đổi Ta kí hiệu φst hàm điều hòa với cực s t mà φst (s) = φst (t) = Định lí 3.2 i) Xem xét đồ thị G mạng điện b) kí hiệu Rst điện trở đỉnh s t Khi thời gian lại đỉnh s t 2mRst ii) Xem xét đồ thị G cấu trúc lò xo trạng thái cân trường hợp c), với hai đỉnh s t gắn xuống Khi lực kéo 38 Rst = 2m K(s,t) , lương hệ thống 2Rst = m k(s,t) Phương trình biểu thị mối quan hệ thời gian lại với điện trở Chứng minh Bằng cách xây dựng trường hợp b), φst (v) điện áp v ta đặt dòng điện chạy qua G từ s đến t điện áp s điện áp t 1, tổng dòng điện qua mạng u∈Γ(t) φst (u), điện trở −1 Rst = φst (u) u∈Γ(s) Mặt khác a) nói φst (u) xác suất mà hành trình ngẫu nhiên bắt đầu u thăm s trước t d(t) u∈Γ(t) φst (u) xác suất mà hành trình ngẫu nhiên t va chạm s trước quay t Theo mệnh đề 2.2, xác suất 2m/d(t)k(s, t) Điều chứng minh khẳng định i) Chứng minh ii) tương tự 39 Hình 3.1: Đồ thị G đồ thị hình cánh bướm Hệ 3.4 Giả sử G đồ thị s, t ∈ V Kí hiệu G đồ thị thu từ G cách đồng s t, kí hiệu T (G) số bao trùm G ) k (s, t) = 2m TT(G (G) Như để tính thời gian lại ta tìm số bao trùm đồ thị G đồ thị G Để tính số bao trùm đồ thị ta dùng định lý Kirchhoff Định lí 3.3 Số bao trùm đồ thị giá trị tuyệt đối phần bù đại số ma trận Laplace Ví dụ 3.3 Cho đồ thị Hình 3.1 Ta có ma trận Laplace đồ thị G Hình 3.1   −1 −1 −1      −1 −1   L=    −1 −1 −1    −1 −1 40 Hình 3.2: Đồ thị G’ Bỏ dòng 1, cột ma trận L ta ma trận L1 ,   −1     L1 =  −1 −1    −0 −1 Tính định thức ma trận L1 ta t(G) = Đồng đỉnh đỉnh ta thu đồ thị G Hình 3.2 Ta có ma trận Laplace đồ thị G   −1 −1     L2 =  −1 −1    −1 −1 Xóa bỏ dòng cột ma trận L2 ta ma trận L3  L3 =  −1 −1   Tính định thức ma trận L3 ta có t(G’)= 3, 41 theo hệ 3.4 ta có 15 k(3, 4) = 2.5 = Trong thực tế đủ để chứng minh việc xóa cạnh từ đồ thị G khơng làm tăng lượng trạng thái cân cấu trúc lò xo c) Rõ ràng việc xóa cạnh giữ vị trí đỉnh cố định làm tăng lượng, ta đồ thị thấy cân lượng tiếp tục giảm Kết hợp hệ 3.4 hệ 3.5 ta có bất đẳng thức cho số bao trùm đồ thị G đồ thị G − e, G − f G − e − f với e, f hai cạnh G, ta có T (G − e) T (G) T(G − e − f ) , T (G − f ) hay T (G − e)T (G − f ) T (G) T(G − e − f ) 42 Chương Tốc độ hội tụ Trong vài ứng dụng gần hành trình ngẫu nhiên thơng số quan trọng tốc độ hội tụ Sử dụng giá trị riêng để xác định tốc độ hội tụ thời gian đa thức, kết không giải tốn, thấy, đồ thị trường hợp quan tâm theo hàm mũ lớn tính tốn giá trị riêng cơng cụ đại số tuyến tính khơng có hi vọng Do kĩ thuật tổ hợp dẫn đến gần dễ quản lí hai kĩ thuật sử dụng ghép nối độ dẫn Trong chương sử dụng tài liệu [1], [3], [4] để tìm hiểu tốc độ hội tụ 4.1 Tốc độ hội tụ ghép nối Ta minh họa phương pháp tính tốc độ hội tụ lớp đồ thị đặc biệt Những đồ thị tổng Đecac Cnk k mạch độ dài n, n lẻ Tập đỉnh đồ thị {0, , n − 1}k hai đỉnh (x1 , xk ) (y1 , yk ) gần kề tồn i, i k cho xj = yj với j = i xi ≡ yi ± 1(modn) Giả sử bắt đầu hành trình ngẫu nhiên (v0 , v1 , )trên Cnk từ phân phối P0 ban đầu tùy ý Ta ước tính phải để đến gần với phân phối dừng trường hợp Giả sử bắt 43 đầu hành trình ngẫu nhiên khác (wo , w1 , ), w0 rút từ phân phối Tất nhiên sau đó, wt phân phối cho tất t Hai hành trình khơng phải độc lập, ta “ghép nối”chúng sau: Các đỉnh Cnk vectơ có độ dài k bước hành trình ngẫu nhiên Đầu tiên tạo bước hành trình ngẫu nhiên cách chọn tọa độ j tùy ý, j k ε ∈ {−1, 1} Điểm vt+1 thu cách thêm ε vào tọa độ thứ j vt Bây vt wt phù hợp tọa độ thứ j, ta tạo wt+1 cách thêm ε vào tọa độ thứ j wt , trường hợp ngược lại ta trừ ε từ tọa độ thứ j wt ( tất phép tốn mơ đun n ) Ta xem (wo , w1 , ) hành trình ngẫu nhiên Mặt khác quy tắc “ghép nối” kéo theo tọa độ vt trở nên cân với tọa độ tương ứng wt , sau thời gian tất tọa độ cân bằng, vt có phân phối giống wt , tức đồng dạng Để làm cho lập luận xác, xem xét bước tọa độ thứ j lựa chọn Số lượng dự kiến bước trước hai hành trình tọa độ thứ j thời gian truy cập trung bình hai đỉnh mạch có độ dài n, (n2 − 1)/6 Vì số lượng bước dự kiến trước tất tọa độ k n2 − /6 Ta đánh giá xác suất sau kn2 bước vt wt khác 1/6, xác suất sau ckn2 bước điểm khác 44 6−c Do T đủ lớn, P (vT ∈ S) − |S| = |P (vT ∈ S) − P (wT ∈ S)| nk T P (wt = vt ) < 6− kn2 Ta có tốc độ hội tụ lớn 6−1/kn < − kn2 Phương pháp ngắn gọn thực tế để tìm quy tắc ghép nối khơng dễ áp dụng trường hợp đặc biệt 4.2 Tốc độ hội tụ khoảng giá trị riêng Để tính tốc độ hội tụ ta sử dụng giá trị riêng Giả sử λ = max {|λ2 | , |λn |}, từ ta dễ dàng suy Định lí 4.1 Đối với hành trình ngẫu nhiên bắt đầu đỉnh i |Pt (j) − π (j)| d(j) t d(i) λ |Pt (S) − π (S)| π(S) t λ(i) λ Tổng quát hơn, Vậy tốc độ hội tụ lớn λ Hệ 4.1 Tốc độ hội tụ hành trình ngẫu nhiên đồ thị không đồ thị hai phần λ = max {|λ2 | , |λn |} 45 Trong hầu hết trường hợp ta tìm λn , ví dụ ta tăng bậc đỉnh i cách thêm khuyên đỉnh i, mà làm chậm hành trình xuống theo hệ số hai, kết đồ thị với ma trận kề nửa xác định dương Thông số quan trọng λ2 , hay “khoảng phổ” 1- λ2 , lưu ý log (1\λ) ≈ (1 − λ)−1 Định lý 4.1 liên quan đến hội tụ phân phối dừng với tổng khoảng cách ln thay đổi, mà dường quan trọng ứng dụng Một ứng dụng định lý 4.1 xác định tốc độ hội tụ hành trình ngẫu nhiên khối n chiều Đồ thị đồ thị hai phần thêm n khuyên đỉnh Các giá trị riêng đồ thị kết 0, 2, 2n, giá trị riêng ma trận chuyển đổi 0, 1/n, 2/n, , n − 1/n, Mặt khác ta lại có λ = max {|λ2 | , |λn |} , tốc độ hội tụ (n − 1)/n Tiếp theo xét đồ thị Cnk tổng k mạch có độ dài n với n lẻ Giá trị riêng Cn cos 2rπ , n r < n, giá trị riêng ma trận kề Cnk cos 2r1 π 2r2 π 2rk π + cos + + cos n n n 46 Đặc biệt giá trị riêng lớn 2k, lớn thứ (k − 1) + cos 2π , n nhỏ 2k cos (n − 1) π , n từ suy tốc độ hội tụ 1− k 2π − cos n 2π ≈ − kn 4.3 Khoảng giá trị riêng độ dẫn điện Giả sử G đồ thị có S ⊂ V, S = φ, kí hiệu ∇ (s) tập cạnh nối S đến V \S Ta xác định độ dẫn tập S ⊂ V, S = φ Φ (S) = n |∇ (S)| , 2mπ (S) π (V \S) độ dẫn đồ thị Φ = Φ (S) S Trong giá trị nhỏ thực tất tập riêng khác rỗng S ⊂ V Nếu đồ thị d-chính quy, độ dẫn S Φ (S) = n |∇ (S)| d |S| |V \S| Ta có |∇ (S)|/2m tần số mà hành trình ngẫu nhiên dừng chuyển mạch từ S đến V \S, π (S) π (V \S) tần số mà dãy yếu tố ngẫu nhiên độc lập V , rút từ phân phối dừng π, chuyển mạch từ S đến V \S Vì vậy, Φ coi số cố định 47 Định lí 4.2 Φ2 − λ2 Φ Ta chứng minh tóm tắt bất đẳng thức trước hết phát biểu (không chứng minh) bổ đề đơn giản mà hữu ích việc nghiên cứu khoảng cách phổ (xi − xj )2 : Bổ đề 4.1 1−λ2 = i ij∈E(G) π (i) x2i = π (i) xi = 0, i Chứng minh định lí 4.2 ta chứng minh ràng buộc bổ đề 4.1, ta có π (i) x2i = π (i) xi = 0, i i 2m (4.1) (xi − xj )2 = Φ (4.2) ij∈E(G) Giả sử S tập với độ dẫn nhỏ nhất, xem xét vectơ loại   a, i ∈ S xi =  b, i ∈ V \S Như véc tơ thỏa mãn (4.1) a= π (V \S) , 2m.π (S) b=− π (S) , 2m.π (V \S) sau thay vào (4.2) ta thấy thỏa mãn Để chứng minh giới hạn dưới, ta sử dụng bổ đề 4.1 Ta chứng minh véc tơ x ∈ RV thỏa mãn (4.1) ta có 48 2m (xi − xj ) ij∈E(G) Φ2 (4.3) Từ (4.2) (4.3) ta có điều phải chứng minh Hệ 4.2 Cho đỉnh ban đầu i, đỉnh j tùy ý với t P (j) − π (j) Chứng minh t d (j) Φ2 1− d (i) t Theo định lý 4.1 ta có P t (j) − π (j) − λ2 Φ2 hay d (j) t λ, d (i) λ2 Φ2 1− , từ ta thu t P (j) − π (j) d (j) Φ2 1− d (i) 49 t ta có KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hành trình ngẫu nhiên đồ thị số ứng dụng Các kết luận văn bao gồm: Trình bày lại số khái niệm sở đồ thị, hành trình ngẫu nhiên đồ thị số tính chất Trình bày tham số số kết hành trình ngẫu nhiên Trình bày mối liên hệ hành trình ngẫu nhiên với giá trị riêng véc tơ riêng ma trận Trình bày số kết tốc độ hội tụ hành trình ngẫu nhiên đồ thị 50 Tài liệu tham khảo [1] L Lovász, Random walks on graphs: A survey In D Miklós, V T Sós & T Sz˝onyi (ed.), Combinatorics, Paul Erd˝os is Eighty, Vol (pp 353-398) János Bolyai Mathematical Society [2] D J Aldous, The random walk construction for spanning trees and uniform labelled trees SIAM J Discrete Math 3(1990), 450-465 [3] D J Aldous and J A Fill.Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs (book in preparation) [4] Aleliunas, R M Karp, R J Lipton, L Lovasz, C W Rackoff, Random walks, universal travelling sequences, and the complexity of maze problems Proc 20th Ann Symp on Foundations of Computer Science (1979), 218-223 [5] N Alon Eigenvalues and expanders Combinatorica 6(1986), 83-96 [6] F R K Chung and S T Yau Eigenvalues of graphs and Sobolev inequalities.(1993) preprint [7] G Brightwell and P Winkler Maximum hitting time for random walks on graphs, J Random Structures and Algorithms 1(1990), 263276 51 ... chia thành bốn chương: Kiến thức sở Chương trình bày số khái niệm đồ thị khái niệm hành trình ngẫu nhiên Một số tham số hành trình ngẫu nhiên Chương trình bày số tham số kết hành trình ngẫu nhiên. .. cuối trùng Một hành trình gọi đường đỉnh hành trình khác Một hành trình gọi vết cạnh hành trình khác Một hành trình khép kín gọi chu trình có độ dài xóa đỉnh cuối trở thành đường Một hành trình khép... sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài "Một số ứng dụng hành trình ngẫu nhiên" hồn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học