Một số ứng dụng của hàm gamma và beta

Lý do chọn đề tài Vấn đề về các hàm đặc biệt được sự quan tâm nghiên cứu của các nhàtoán học, có thể dẫn chứng về vấn đề này là một số công trình nghiêncứu của các nhà Toán học như Euler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA HÀM GAMA VÀ BETA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA HÀM GAMA VÀ BETA

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2017

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào,người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn.

Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáotrong tổ Giải tích khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùnggia đình, bạn bè và các thành viên trong lớp Toán Giải Tích khóa 19 đãđộng viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự nghiên cứu và hoàn thànhdưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào Các kết quả được trìnhbày trong luận văn là trung thực và được trích dẫn rõ ràng.

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc

Mở đầu 1

1.1 Hàm gamma 3

1.1.1 Ý tưởng về sự đề xuất hàm gamma 3

1.1.2 Một số phát hiện khởi đầu về hàm gamma 3

1.1.3 Một số biểu diễn khác của hàm gamma 6

1.1.4 Một số tính chất của hàm gamma 20

1.2 Hàm beta 28

1.3 Mối quan hệ giữa hàm gamma và hàm beta 29

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMMA VÀ BETA 31 2.1 Đánh giá một số tích phân qua hàm gamma và beta 31

2.1.1 Tính tích phân Wallis 32

2.1.2 Tích phân Rabe 34

2.2 Tích phân Dirichlet và thể tích ellipsoid 35

2.3 Định lý Bohr - Mollerup 41

Kết luận 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vấn đề về các hàm đặc biệt được sự quan tâm nghiên cứu của các nhàtoán học, có thể dẫn chứng về vấn đề này là một số công trình nghiêncứu của các nhà Toán học như Euler, Legendre, Laplace, Gauss, Kum-mer, Riemann, Từ những tính chất đặc trưng của các hàm đặc biệtđược sử dụng trong nhiều ứng dụng trong toán học cũng như nhiều lĩnhvực khoa học kỹ thuật khác Nhà Toán học P Tufin gọi chung các hàmđặc biệt là “hàm hữu ích”

Một trong số các hàm đặc biệt đó là hàm gamma và hàm beta Hàmgamma ký hiệu bởi Γ (x) và được giới thiệu bởi nhà Toán học L Eulerkhi ông mở rộng miền xác định của hàm giai thừa cho tất cả các số thực

và số phức Như đã biết Γ (x) là một hàm phân hình tương ứng với hàm(x − 1)! khi x là số nguyên dương Hàm gamma được biểu diễn bởi một

số công thức khác nhau, nhưng có hai công thức quan trọng nhất đượcEuler đưa ra, đó là tích phân suy rộng với cận vô tận và giới hạn củamột tích hữu hạn Đối với hàm beta thay cho việc xem xét nó như mộthàm, về một khía cạnh nào đó vấn đề được sáng tỏ hơn khi người taxem xét nó dưới dạng một lớp các tích phân - các tích phân đó có thểđánh giá theo hàm gamma Do đó, người ta thường xem xét các hàmbeta như tích phân beta

Để tiếp cận với lý thuyết này và hiểu biết phần nào những ứng dụngcủa nó, được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “Một

số ứng dụng của các hàm gamma và beta” để hoàn thiện luận văn

Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề căn bản về lý thuyết của các hàm gamma vàbeta; Nghiên cứu một số ứng dụng của các hàm này trong lĩnh vực toánhọc

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các hàm gamma và beta cùng với một số ứng dụng toánhọc của chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của thầyhướng dẫn

Chương 1HÀM GAMMA VÀ HÀM BETA

1.1.1 Ý tưởng về sự đề xuất hàm gamma

Hai nhà toán học Daniel Bernoulli và Goldbach là những người đầu tiên

đề xuất bài toán: “Tìm một hàm của biến liên tục x để giá trị của hàmnày bằng n! khi x = n là một số tự nhiên” Người đầu tiên đưa ra lờigiải của bài toán này là nhà toán học L Euler Điều đó được thể hiệnqua bức thư của ông gửi cho Goldbach vào ngày 13 tháng 10 năm 1729(Tham khảo tài liệu [6, pp 1-18])

1.1.2 Một số phát hiện khởi đầu về hàm gamma

Như đã nói ở phần trên, người đầu tiên thực hiện được việc giải quyếtbài toán của Daniel Bernoulli và Goldbach là nhà toán học L Euler.Trước hết, trong phần này chúng ta xin đề cập lại khởi thủy của ông vềvấn đề này Trở lại việc tổng quát hóa của Euler, ta giả sử rằng x ≥ 0

và n ≥ 0 đều là những số nguyên Ta viết

x! = (x + n)!

ở đó với mỗi số thực hoặc số phức bất kỳ a ta định nghĩa

(a)n = a(a + 1) (a + n − 1); với n > 0, (a)0 = 1 (1.1.2)

Viết biểu thức (1.1.1) dưới dạng

x! = n!(n + 1)x

(x + 1)n =

n!nx(x + 1)n · (n + 1)x

nx Bởi vì

lim

n→∞

(n + 1)x

nx = 1,nên ta có

n!nx(x + 1)n =

n

−1

1 + 1j

x

và



1 + xj

−1

1 + 1j

−1

1 + 1j

Định nghĩa 1.1.1 Với mọi số phức x 6= 0, −1, −2, hàm gamma Γ(x)được ký hiệu và xác định bởi giới hạn

Chứng minh Ta có

1Γ(x) = limn→∞

 

1 + x2



e−xn

o

Tích vô hạn trong (1.1.9) luôn tồn tại bởi vì



1 − x

n +

x22n2 · ··

1.1.3 Một số biểu diễn khác của hàm gamma

Để trình bày thêm một số biểu diễn khác của hàm này, ta giới thiệu kếtquả sau

Định lý 1.1.2 (Định lí về tích chính tắc) Cho a1, a2, , an, là mộtdãy các số thực hoặc số phức khác 0 sao cho

điểm khi và chỉ khi f có dạng f (z) = eg(z), với một hàm nguyên nào đó

là một hàm nguyên Thật vậy, với mỗi số R > 0 đặt DR = {z : |z| ≤ R}

là đĩa đóng bán kính R Bởi vì an → ∞ nên chỉ có một số hữu hạn cácphần tử an nằm trong đĩa đóng DR gọi đó là a1, , aN −1 Do đó, với

Bổ đề 1.1.1 Nếu 1 + w = (1 − a).ea và |a| < 1 thì |w| ≤ |a|2

(1 − |a|).Chứng minh Trước hết, viết hàm ea dưới dạng khai triển chuỗi Taylor,chúng ta nhận được



an(n − 1)! −

≤ |a|2 + |a|3 + = |a|2

1 − |a|.Tiếp theo ta chứng tỏ rằng chuỗi

hội tụ đều và tuyệt đối trên đĩa DR/2 Điều đó sẽ chứng tỏ rằng

z

an

< 1, |z| ≤ R

2 ta có

|wn(z)| ≤

z

an

≤ e−ttm ở đó t là một số nguyên và

m ≥ Rez > 0 Nên từ việc tính toán (hoặc trực tiếp sử dụng tích phântừng phần), chúng ta thấy

n

tz−1dt

≤ e

−ttRez+1

n dt ≤

1n

∞

Z

0

e−ttRez+1dt,

nó tiến tới 0 khi n → ∞ vì tích phân hội tụ.

Điều này hoàn thành chứng minh công thức (1.1.30) nghĩa là Rez > 0thì

Để nhận được một số giá trị đặc biệt của hàm gamma cần thiết cho việc

sử dụng vể sau này, ta thực hiện một số phép biến đổi đơn giản sau.Trước hết, bằng cách đặt t = u2 ta được

Γ 12

Do đó, ta có

Γ2 12

Lặp lại công thức (1.1.38) và từ giá trị của Γ(1) ta nhận được công thứcdưới đây

Γ



n + 12

Z

0

uy−1(1 + u)x+ydu. (1.2.3)Đặt t = cos2θ trong (1.2.1) ta được

hay thay t = sin2θ ta có

Hàm beta có quan hệ với hàm gamma bởi hệ thức

1Γ(x + y)

Từ đó ta cũng có

B(p, 1 − p) = π

sin pπ; 0 < p < 1. (1.3.3)

Chương 2MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMMA VÀ BETA

1 − e−u − 1

du

Từ đó, chúng ta thu được công thức sau



Có hai trường hợp xảy ra khi n = 2p + 1 và n = 2p Với các giá trị lẻcủa n thì

2Γ p + 32
=

p!Γ 12
(2p + 1)Γ p + 12

= (n + 1) /2n/2 + 1 Wn

=  n + 1

n + 2



Wn.Bây giờ, ta ký hiệu



2√2π .



= log π12 + log Γ(z)hay

(z − 1) log 2 + log Γ

z2

+ log Γ z + 1

2



= 1

2log π + log Γ(z).Lấy tích phân từ 0 đến 1 và đặt

Từ đánh giá của Jacobi và Poisson đối với tích phân kép của hàm beta,Dirichlet đã tìm được sự mở rộng của tích phân beta sang không giannhiều chiều Sự mở rộng này được sử dụng trong việc tính thể tích.Định lý 2.2.1 Giả sử là miền trong không gian n chiều được xác địnhbởi xi ≥ 0, i = 1, 2, , n và P xi ≤ 1 Khi đó, với Reαi > 0 chúng ta cócông thức

Γ (1 +P αi).

Chứng minh Ta chứng minh công thức này bằng phép chứng minhquy nạp Công thức hiển nhiên đúng với n = 1 Giả sử công thức đúngvới n = k Khi đó với miền V trong k + 1 chiều, ta có

xα1 −1

1 xαk−1 −1

k−1

.(1 − x1 − − xk−1)αk +α k+1tαk −1dtdxk−1 dx1

1 +Pk+1

i=1 αi

Ta có điều phải chứng minh

Từ định lý trên ta nhận được ngay các kết quả dưới đây

Hệ quả 2.2.1 Cho V là một miền giới hạn bởi xi ≥ 0 vàP xi

ai

pi

≤ 1.Khi đó

trong đó miền eV được xác định bởi yi ≥ 0 và P yi ≤ 1 Đến đây, hệ quảđược suy ra trực tiếp từ định lý.

Hệ quả 2.2.2 Thể tích của miền giới hạn bởi P xi

ai

pi

≤ 1, xi ≥ 0 là

Qn i=1Γ



1 + n2

√

π ta nhận được ngaykết quả này

Hệ quả 2.2.3 Nếu trong tích phân Dirichlet miền V được giới hạn bởi

Bằng cách chứng minh tương tự như trên, nhà toán học Liouville cũng

đã đưa ra một công thức mở rộng kết quả của tích phân Dirichlet nhưsau

Định lý 2.2.2 Nếu V cho bởi xi ≥ 0 và t1 ≤ Pxi

a i

pi

≤ t2 và f làmột hàm liên tục trong khoảng (t1, t2), khi đó

Một tích phân liên quan được cho bởi kết quả dưới đây

Định lý 2.2.3 Nếu là tập hợp xi ≥ 0,Pn

i=1xi = 1, khi đóZ

Ví dụ 2.2.1 Tìm khối lượng của vật thể phẳng nằm trong mặt phẳngOxy giới hạn bởi x + y = 1, x = 0, y = 0 và có khối lượng riêng là

1

Z

0

√xdx

1−x

Z

0

√ydy

3 2

3

1−x 0

= 23



= 2

3 ·

Γ 32



Γ 52

 32

1

2Γ

 12



3!

= π

24.

Ví dụ 2.2.2 Công thức tích phân Dirichlet

α2



Γ β2

Γ

γ2

dw

2√w

= 18

Γ β2

Γ β2

Γ

Γ β2

Γ



Γ β2



Γγ2



8Γ α + β + γ



Ví dụ 2.2.3 Tìm khối lượng của vật thể hình cầu tâm O bán kính I

và có khối lượng riêng tỉ lệ với bình phương khoảng cách đến trung tâmcủa nó

Khối lượng riêng tại điểm có tọa độ (x, y, z) là ρ(x, y, z) = x2+ y2 + z2

Do tính chất đối xứng của vật thể suy ra khối lượng M của vật thể bằng

tám lần khối lượng vật thể nằm trong góc phần tám thứ nhất của trụctọa độ.



Γ 12



Γ 12

π5

2 · 3

2Γ

 32



= 4π

5 .

Euler là người đầu tiên đề xuất bài toán tìm một hàm liên tục của biến

x > 0 mà giá trị của nó bằng n! khi biến x = n là số nguyên dương Dĩ

nhiên, như chúng ta đã thấy hàm gamma là một trong những hàm thỏamãn điều kiện đặt ra cho bài toán này Điều kiện về tính lồi của hàmnày là không đủ để đảm bảo tính duy nhất nghiệm của bài toán trên.Thế nhưng, sự xuất hiện của hàm gamma đã đưa ra được thông tin để

về tính duy nhất của hàm này theo nghĩa nào đó Những điều kiện chínhxác về tính duy nhất của hàm này được phát hiện bởi hai nhà toán họcBohr và Mollerup[4] Khái niệm về hàm lồi logarit của họ được phiênbản lại bởi nhà toán học Artin[2] như dưới đây

Định nghĩa 2.3.1 Hàm biến thực f xác định trên khoảng (a, b) đượcgọi là lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (1 − λ)với mọi x, y ∈ (a, b) và 0 < λ < 1

Định nghĩa 2.3.2 Hàm biến thực dương f xác địnhtrên khoảng (a, b)được gọi là lồi logarit nếu log f lồi trên khoảng đó Dễ thấy rằng hàm flồi trên khoảng (a, b) và a < x < y < b thì

... class="text_page_counter">Trang 36

Chương 2MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMMA VÀ BETA< /p>

nhiên, thấy hàm gamma hàm thỏamãn điều kiện đặt cho toán Điều kiện tính lồi hàmnày khơng đủ để đảm bảo tính nghiệm tốn trên.Thế nhưng, xuất hàm gamma đưa thơng tin để

về tính hàm theo nghĩa... .Cơng thức tích phân hàm gamma Đây biểu diễn quantrọng hàm gamma dạng tích phân

Với Rez > 0, thiết lập công thức biết tích phânEuler hàm gamma