Một số ứng dụng của hàm gamma và beta

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMA VÀ BETA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMA VÀ BETA Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người tận tình hướng dẫn bảo cho tơi q trình làm luận văn Thơng qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Tốn Giải Tích khóa 19 động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tự nghiên cứu hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Các kết trình bày luận văn trung thực trích dẫn rõ ràng Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc MỤC LỤC Mở đầu 1 HÀM GAMMA VÀ HÀM BETA 1.1 Hàm gamma 1.1.1 Ý tưởng đề xuất hàm gamma 1.1.2 Một số phát khởi đầu hàm gamma 1.1.3 Một số biểu diễn khác hàm gamma 1.1.4 Một số tính chất hàm gamma 20 1.2 Hàm beta 28 1.3 Mối quan hệ hàm gamma hàm beta 29 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMMA VÀ BETA 31 2.1 Đánh giá số tích phân qua hàm gamma beta 31 2.1.1 Tính tích phân Wallis 32 2.1.2 Tích phân Rabe 34 2.2 Tích phân Dirichlet thể tích ellipsoid 35 2.3 Định lý Bohr - Mollerup 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vấn đề hàm đặc biệt quan tâm nghiên cứu nhà tốn học, dẫn chứng vấn đề số cơng trình nghiên cứu nhà Toán học Euler, Legendre, Laplace, Gauss, Kummer, Riemann, Từ tính chất đặc trưng hàm đặc biệt sử dụng nhiều ứng dụng toán học nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Nhà Toán học P Tufin gọi chung hàm đặc biệt “hàm hữu ích” Một số hàm đặc biệt hàm gamma hàm beta Hàm gamma ký hiệu Γ (x) giới thiệu nhà Toán học L Euler ông mở rộng miền xác định hàm giai thừa cho tất số thực số phức Như biết Γ (x) hàm phân hình tương ứng với hàm (x − 1)! x số nguyên dương Hàm gamma biểu diễn số cơng thức khác nhau, có hai công thức quan trọng Euler đưa ra, tích phân suy rộng với cận vơ tận giới hạn tích hữu hạn Đối với hàm beta thay cho việc xem xét hàm, khía cạnh vấn đề sáng tỏ người ta xem xét dạng lớp tích phân - tích phân đánh giá theo hàm gamma Do đó, người ta thường xem xét hàm beta tích phân beta Để tiếp cận với lý thuyết hiểu biết phần ứng dụng nó, định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài “Một số ứng dụng hàm gamma beta” để hoàn thiện luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Tốn giải tích Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề lý thuyết hàm gamma beta; Nghiên cứu số ứng dụng hàm lĩnh vực toán học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hàm gamma beta với số ứng dụng toán học chúng Phương pháp nghiên cứu Tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng thầy hướng dẫn Chương HÀM GAMMA VÀ HÀM BETA 1.1 1.1.1 Hàm gamma Ý tưởng đề xuất hàm gamma Hai nhà toán học Daniel Bernoulli Goldbach người đề xuất tốn: “Tìm hàm biến liên tục x để giá trị hàm n! x = n số tự nhiên” Người đưa lời giải toán nhà toán học L Euler Điều thể qua thư ông gửi cho Goldbach vào ngày 13 tháng 10 năm 1729 (Tham khảo tài liệu [6, pp 1-18]) 1.1.2 Một số phát khởi đầu hàm gamma Như nói phần trên, người thực việc giải toán Daniel Bernoulli Goldbach nhà toán học L Euler Trước hết, phần xin đề cập lại khởi thủy ông vấn đề Trở lại việc tổng quát hóa Euler, ta giả sử x ≥ n ≥ số nguyên Ta viết x! = (x + n)! (x + 1)n (1.1.1) với số thực số phức a ta định nghĩa (a)n = a(a + 1) (a + n − 1); với n > 0, (a)0 = (1.1.2) Viết biểu thức (1.1.1) dạng x! = n!nx (n + 1)x n!(n + 1)x = · (x + 1)n (x + 1)n nx Bởi (n + 1)x = 1, n→∞ nx lim nên ta có n!nx n→∞ (x + 1) n x! = lim (1.1.3) Nhận xét rằng, giới hạn (1.1.3) tồn trừ x số phức số nguyên âm Để thấy điều này, ta có phân tích sau n!nx = (x + 1)n x 1+ j −1 x n n n+1 1+ j j=1 x =1+ x 1+ j −1 1+ j x(x − 1) +O 2j j3 x Như thế, tích vơ hạn n j=1 x 1+ j −1 1+ j x hội tụ giới hạn (1.1.3) tồn Do đó, ta nhận hàm k!k x Π(x) = lim k→∞ (x + 1)k (1.1.4) xác định với số phức x = −1, −2, −3, với Π(n) = n! Từ ý tưởng L Euler đưa khái niệm hàm gamma sau Định nghĩa 1.1.1 Với số phức x = 0, −1, −2, hàm gamma Γ(x) ký hiệu xác định giới hạn k!k x−1 Γ(x) = lim k→∞ (x)k (1.1.5) Như hệ trực tiếp công thức (1.1.5) ta nhận Γ(x + 1) = xΓ(x) (1.1.6) Cũng vậy, theo lập luận lặp lại công thức (1.1.6) sử dụng giá trị Γ(1) = (1.1.7) ta nhận công thức hàm gamma đối số nguyên sau Γ(n + 1) = n! (1.1.8) Từ biểu thức (1.1.5) suy hàm gamma có cực điểm số nguyên âm, hàm nguyên với không điểm Γ(x) điểm Mọi hàm ngun có biểu diễn dạng tích vơ hạn, với hàm Γ(x) có biểu diễn tích đẹp Định lý 1.1.1 Ta có ∞ = xeγx Γ(x) n=1 1+ x −x e n n (1.1.9) γ số Euler xác định n γ = lim n→∞ k=1 − log n k (1.1.10) 32 Do đó, phép lấy tổng ta có ∞ k=1 ∞ 1 = z k Γ(z) ∞ u k=1 ∞ = (e−ku )du z−1 Γ(z) − du − e−u uz−1 Từ đó, thu cơng thức sau ∞ ζ(z)Γ(z) = tz−1 dt et − Thay z = vào công thức ta π2 = ∞ t dt et − 2.1.1 Tính tích phân Wallis Tích phân Wallis xác định π/2 π/2 sinn θdθ = Wn = cosn θdθ Bằng cách tính trung bình cộng hai tích phân ta nhận cơng thức biểu diễn qua hàm beta hàm gamma sau Wn = B n+1 , 2 Có hai trường hợp xảy n = 2p + n = 2p Với giá trị lẻ n W2p+1 1 = B p + 1, 2 Γ(p + 1)Γ = 2Γ p + 32 p!Γ 21 = (2p + 1)Γ p + 33 sử dụng cơng thức (1.1.41) ta có 4p p!2 2p p! W2p+1 = 1.3.5 (2p + 1) (2p + 1)! Tương tự ta tính với giá trị n chẵn W2p 1 = B p+ , 2 Γ p + 21 Γ 21 = 2Γ(p + 1) Cuối ta tìm W2p = 1.3.5 (2p − 1) (2p)! π π = 2p+1 p! 4p p!2 Áp dụng phương trình hàm (1.1.31) hàm beta ta nhận n+2+1 Wn+2 = B , 2 n+2 1 + 1, = B 2 (n + 1) /2 = Wn n/2 + n+1 = Wn n+2 Bây giờ, ta ký hiệu Wα = B α+1 , ; với số thực α > −1 2 Đến đây, hai trường hợp đặc biệt ta nhận giá trị tích phân sau Với α = − ta thay vào hàm beta ta nhận công thức sau π/2 π/2 √ dθ = sin θ Γ2 2dt √ = √ 2π − t4 34 Với α = ta thay vào hàm beta ta nhận công thức sau π/2 √ sin θdθ = 2.1.2 2t2 dt (2π)3/2 √ = 1 − t4 Γ Tích phân Rabe Tích phân có dạng log Γ(z)dz = log 2π Từ công thức Legendre (1.1.29) thay z = 2z ta Γ z+1 z Γ 2 = 21−z π Γ(z) Từ đó, suy 2z−1 Γ z z+1 Γ 2 = π Γ(z) Lấy logarit hai vế phương trình ta log 2z−1 + log Γ z+1 z + log Γ 2 = log π + log Γ(z) hay (z − 1) log + log Γ z z+1 + log Γ 2 = log π + log Γ(z) Lấy tích phân từ đến đặt C= log Γ(z)dz ta nhận 1 log π + C = − log + 2 Γ(u)du 35 Từ đó, suy 1 log π + C = − log + 2C 2 Vậy C= log 2π, hay ta có cơng thức sau log Γ(z)dz = log 2π 2.2 Tích phân Dirichlet thể tích ellipsoid Từ đánh giá Jacobi Poisson tích phân kép hàm beta, Dirichlet tìm mở rộng tích phân beta sang không gian nhiều chiều Sự mở rộng sử dụng việc tính thể tích Định lý 2.2.1 Giả sử miền không gian n chiều xác định xi ≥ 0, i = 1, 2, , n xi ≤ Khi đó, với Reαi > có cơng thức xα1 −1 xα2 −1 xαnn −1 dx1 dxn = n i=1 Γ(αi ) Γ (1 + αi ) V Chứng minh Ta chứng minh công thức phép chứng minh quy nạp Công thức hiển nhiên với n = Giả sử công thức với n = k Khi với miền V k + chiều, ta có α V 1−x1 −x2 − −xk 1−x1 = = −1 k+1 x1α1 −1 x2α2 −1 xk+1 dx1 dx2 dxk+1 αk+1 1−x1 1−x1 − −xk−2 0 −1 α k+1 xα1−1 xα2 −1 xk+1 dxk+1 dx1 α k−1 xα1 −1 xk−1 (1 − x1 − − xk−1 )αk +αk+1 tαk −1 dtdxk−1 dx1 −1 36 Đặt xk = (1 − x1 − − xk−1 ) t nhận 1 αk+1 1−x1 − −xk−2 1−x1 0 0 α k−1 xα1 −1 xk−1 −1 (1 − x1 − − xk−1 )αk +αk+1 tαk −1 dtdxk−1 dx1 Γ(αk )Γ(αk+1 + 1) = αk+1 Γ(αk + αk+1 + 1) 1−x1 − −xk−2 1−x1 0 0 −1 α k−1 xα1 −1 xk−1 Từ giả thiết quy nạp ta có k−1 (αk+1 + 1) i=1 Γ(αk ) Γ(αk+1 + 1) Γ(αk )Γ(αk+1 + 1) · k+1 αk+1 Γ(αk + αk+1 + 1) Γ + i=1 αi Ta có điều phải chứng minh Từ định lý ta nhận kết xi Hệ 2.2.1 Cho V miền giới hạn xi ≥ pi ≤ Khi aαi i pi xα1 −1 x2α2 −1 xαnn −1 dx1 dxn = Γ 1+ V Chứng minh Bằng phép đổi biến yi = xi Γ αi pi αi pi pi ; i = 1, , n ta ∂xi xi = ∂yi p i yi định thức Jacobi x1 x2 xn · p1 p2 pn y1 y2 yn Khi đó, tích phân trở thành aα1 aα2 aαnn p1 p2 pn y1 V α1 p1 −1 ( αn )−1 yn pn dy1 dy2 dyn , 37 miền V xác định yi ≥ suy trực tiếp từ định lý yi ≤ Đến đây, hệ Hệ 2.2.2 Thể tích miền giới hạn n i=1 Γ 1+ pi pi Γ 1+ ≤ 1, xi ≥ xi Rõ ràng thể tích ellipsoid n-chiều pi xi ≤ n π a1 a2 an n Γ 1+ Chứng minh Trước hết lấy αi = Sau đó, lấy trường hợp đặc biệt 1√ với pi = sử dụng giá trị hàm Γ π ta nhận = 2 kết Hệ 2.2.3 Nếu tích phân Dirichlet miền V giới hạn xi xi ≥ pi ≤ λ tích phân có giá trị sau λ aαi i pi αi pi Γ Γ 1+ αi pi αi pi Bằng cách chứng minh tương tự trên, nhà toán học Liouville đưa cơng thức mở rộng kết tích phân Dirichlet sau Định lý 2.2.2 Nếu V cho xi ≥ t1 ≤ xi pi ≤ t2 f hàm liên tục khoảng (t1 , t2 ), x1α1 −1 xαnn −1 f (x1 /a1 )p + + (xn /an )p V = aαi i Γ (αi /pi ) /pi Γ ( αi /pi ) t2 u t1 (αi /pi )−1 f (u) du n dx1 dxn 38 Một tích phân liên quan cho kết n i=1 xi Định lý 2.2.3 Nếu tập hợp xi ≥ 0, = 1, x1α1 −1 xα2 −1 xαnn −1 dx1 dxn = Γ(αi ) Γ ( αi ) V Thực chất kết công thức biểu diễn tích phân mặt Tuy nhiên việc đánh giá tích phân chứng minh trực tiếp quy nạp từ hệ (2.2.3) Đây trường hợp đặc biệt định lí (2.2.3) f (u) hàm delta u = Mặc dù hàm khơng liên tục, xấp xỉ hàm liên tục Ví dụ 2.2.1 Tìm khối lượng vật thể phẳng nằm mặt phẳng Oxy giới hạn x + y = 1, x = 0, y = có khối lượng riêng √ ρ = xy √ M= xydxdy = D √ = 2y xdx 1−x = 3 x (1 − x) dx = B = · · π = 24 = , 2 Γ Γ 2 Γ (4) 1 31 Γ Γ 2 22 3! √ 1−x √ xdx ydy 39 Ví dụ 2.2.2 Cơng thức tích phân Dirichlet xα−1 y β−1 z γ−1 dxdydz I= V β α γ Γ Γ 2 = α+β+γ +1 8Γ Γ hình cầu đơn vị: x2 + y + x2 ≤ 1; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Đổi biến số u = x2 , v = y , w = z Miền V trở thành hình chóp tứ diện Ω : u + v + w ≤ 1; u ≥ 0, v ≥ 0, w ≥ Ta có I= u α−1 β−1 v w γ−1 dv dw √ √ v2 w Ω = β α γ u −1 v −1 w −1 dudvdw Ω 1−u 1 = u α −1 u=0 4γ v v=0 1−u = du α u −1 du u=0 1−v−u β −1 γ w −1 dw dv w=0 γ β (1 − v − u) v −1 dv v=0 Đặt v = (1 − u)t ta có dv = (1 − u)dt − v − u = (1 − u)(1 − t) Khi β β+γ γ β γ (1 − v − u) v −1 = (1 − u) −1 (1 − t) t −1 40 Từ đó, suy 1−u γ (1 − v − u) v β −1 dv = (1 − u) β+γ −1 v=0 γ β (1 − t) t −1 dt t=0 β γ ; +1 2 β γ Γ +1 Γ β+γ 2 = (1 − u) β+γ Γ +1 = (1 − u) β+γ B Như γ β Γ +1 β+γ α 2 u −1 (1 − u) du β+γ 4γ Γ + u=0 β γ Γ Γ +1 α β+γ 2 ; +1 B β+γ 4γ 2 Γ +1 γ α β β+γ Γ Γ +1 Γ Γ +1 2 2 β+γ α+β+γ 4γ Γ +1 Γ +1 2 γ α β Γ Γ Γ 2 α+β+γ 8Γ +1 Γ I= = = = Ví dụ 2.2.3 Tìm khối lượng vật thể hình cầu tâm O bán kính I có khối lượng riêng tỉ lệ với bình phương khoảng cách đến trung tâm Khối lượng riêng điểm có tọa độ (x, y, z) ρ(x, y, z) = x2 + y + z Do tính chất đối xứng vật thể suy khối lượng M vật thể 41 tám lần khối lượng vật thể nằm góc phần tám thứ trục tọa độ (x2 + y + z )dxdydz, M =8 V V = (x, y, z)| x2 + y + z ≤ 1; x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Ta có x2 dxdydz = V y dxdydz = V z dxdydz V Như ta nhận x2 dxdydz M = 8.3 V Áp dụng công thức Dirichlet ví dụ (2.2.2) với α = 3; β = γ = ta x2 dxdydz M = 8.3 V 1 Γ Γ 2 = 8.3 3+1+1 8Γ +1 Γ π = 3 · Γ 2 4π = Γ 2.3 Định lý Bohr - Mollerup Euler người đề xuất tốn tìm hàm liên tục biến x > mà giá trị n! biến x = n số nguyên dương Dĩ 42 nhiên, thấy hàm gamma hàm thỏa mãn điều kiện đặt cho tốn Điều kiện tính lồi hàm khơng đủ để đảm bảo tính nghiệm toán Thế nhưng, xuất hàm gamma đưa thông tin để tính hàm theo nghĩa Những điều kiện xác tính hàm phát hai nhà toán học Bohr Mollerup[4] Khái niệm hàm lồi logarit họ phiên lại nhà toán học Artin[2] Định nghĩa 2.3.1 Hàm biến thực f xác định khoảng (a, b) gọi lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (1 − λ) với x, y ∈ (a, b) < λ < Định nghĩa 2.3.2 Hàm biến thực dương f xác địnhtrên khoảng (a, b) gọi lồi logarit log f lồi khoảng Dễ thấy hàm f lồi khoảng (a, b) a < x < y < b f (y) − f (x) f (z) − f (x) f (z) − f (y) ≤ ≤ y−x z−x z−y (2.3.1) Từ khái niệm Bohr Mollerup đưa kết Định lý 2.3.1 Giả sử f hàm biến thực dương khoảng (a, b) thỏa mãn điều kiện (i) f (1) = 1; (ii) f (x + 1) = xf (x); (iii) f hàm lồi logarit Khi f (x) = Γ(x); với x > Chứng minh Giả sử n số nguyên dương < n < Hiển nhiên rằng, điều kiện (i) (ii) đủ đảm bảo cho việc khẳng định định lý với giá trị biến x thuộc khoảng (0, 1) Tiếp theo, ta xét hàm 43 đoạn [n; n + 1], [n + 1; n + + x] [n + 1, n + 2] Theo công thức (2.3.1) hàm log f (x) tăng đoạn Do log f (n + 1) f (n + + x) f (n + 2) ≤ log ≤ log f (n) x f (n + 1) f (n + 1) Đơn giản hóa điều điều kiện (i) (ii) có x log n ≤ log (x + n)(x + n − 1) xf (x) ≤ x log(n + 1) n! Từ đó, ta nhận bất đẳng thức ≤ log Do x(x + 1) (x + n) + log f (x) ≤ x log + n!nx n n!nx f (x) = lim = Γ(x) n→∞ x(x + 1) (x + n) Định lí chứng minh Định lí sở việc phát triển lý thuyết hàm gamma hàm beta Điều minh họa qua việc chứng tỏ biểu diễn ∞ e−t tx−1 dt; x > Γ(x) = tx−1 (1 − t)y−1 dt = Γ(x)Γ(y) ; với x > y > Γ(x + y) (2.3.2) Trước hết cn n bt ng thc Hăolder : Gi s f g hàm đo không âm khoảng (a, b) cho tích phân vế phải công thức (2.3.2) hữu hạn với số thực dương p, q thỏa 1 mãn + = Khi đó, ta có bất đẳng thức p q b a q b f p dx f gdx ≤ a p b g q dx a (2.3.3) 44 Điều rõ ràng ta cần kiểm tra điều kiện (iii) hàm log Γ(x) Điều kiện viết dạng sau Γ(αx + βy) ≤ Γ(x)α Γ(y)β ; α > 0, β > (2.3.4) Tiếp theo ta nhận thấy ∞ α β (e−t tx−1 ) (e−t ty−1 ) dt Γ(αx + βy) = Áp dụng bất ng thc Hăolder vi = 1 , = ta nhận p q công thức biểu diễn (2.3.4) Để chứng minh công thức (2.3.2) ta xét hàm f (x) = Γ(x + y)B(x, y) Γ(y) Một lần nữa, ta lại cần đến mối quan hệ (1.2.7) hàm B(x, y) Điều cần thiết cho việc chứng tỏ f (x + 1) = xf (x) Hiển nhiên f (1) = ta cần kiểm tra điều kiện lồi hàm log f (x) Việc chứng tỏ điều này, li s dng bt ng thc Hăolder v tin hnh cách thức tương tự làm hàm gamma 45 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau Trình bày với hệ thống định khái niệm số tính chất hàm gamma hàm beta Giới thiệu số ứng dụng hàm gamma beta vào việc nghiên cứu tích phân Dirichlet thể tích ellipsoid Ngồi ra, dựa vào hàm gamma beta để đưa định lý Bohr-Mollerup 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G E Andrews, R Askey and R Roy (1999), Special.function, Cambridge University Press [2] E Artin (1964), The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston, New York [3] W W Bell (1967), Special.functions for scientists and engineers, Princeton, New Jersey Toronto Melbourne [4] H Bohr and J Mollerup (1922), Laerebogi Matematisk Analyse, Vol III, J Gjellerup, Kopenhagen [5] A L Cauchy (1843), Mémoiresur les fonctions dont plusieurs valeurs , C.R Acad Sci Paris, 17, 523, reprinted in Oeuvres de Cauchy (1893), Ser 1, 8, 42-50 [6] N Fuss(1843), Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètresdu XVIIIème siècle, 1, SaintPétersbourg [7] J E Marsden and M J Hoffman (1999), Basic complex analysis, New York ... 1.1.4 Một số tính chất hàm gamma 20 1.2 Hàm beta 28 1.3 Mối quan hệ hàm gamma hàm beta 29 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM GAMMA VÀ BETA 31 2.1 Đánh giá số tích... Mở đầu 1 HÀM GAMMA VÀ HÀM BETA 1.1 Hàm gamma 1.1.1 Ý tưởng đề xuất hàm gamma 1.1.2 Một số phát khởi đầu hàm gamma 1.1.3 Một số biểu diễn khác hàm gamma ... đặc biệt sử dụng nhiều ứng dụng toán học nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác Nhà Toán học P Tufin gọi chung hàm đặc biệt hàm hữu ích” Một số hàm đặc biệt hàm gamma hàm beta Hàm gamma ký hiệu