Luận văn sư phạm Một số ứng dụng của hàm suy rộng

Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng L IC M Khóa lu n t t nghi p b nghiên c u khoa h c Tr N c đ u tiên giúp em làm quen v i vi c c s b ng b t đ u công vi c g p nhi u khó kh n m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c, em nh n đ c s đ ng viên giúp đ t n tình, t m c a th y cô giáo b n sinh viên khoa c bi t em xin g i l i c m n sâu s c đ n Ti n s Tr n v n B ng giúp đ h ng d n t n tình đ em hồn thành khóa lu n Em xin g i l i c m n đ n Ban ch nhi m khoa Toán t o u ki n cho em có c h i làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c Em xin chân thành c m n! Sinh viên Lê Th HƠ SVTH: LÊ TH HÀ K32-CN TOÁN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng L I CAM OAN Em xin cam k t đ tài „„M t s qu nghiên c u c a riêng em d V n B ng - Khoa Toán - Tr ng d ng c a hàm suy r ng‟‟ k t is h ng ng d n c a th y giáo - Ti n s Tr n i H c S Ph m Hà N i tài không h chép t b t kì m t tài li u có s n Và k t qu nghiên c u không h trùng l p v i k t qu N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m! Sinh viên Lể TH HÀ SVTH: LÊ TH HÀ K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng M CL C M đ u Ch ng 1: Hàm Th Gauss 1.1 Không gian c a nh ng hàm th 1.2 Vai trò khơng gian hàm th Gauss 1.3 M t s tính ch t c a hàm th Gauss 10 Ch ng :Hàm suy r ng 14 2.1 Hàm s 14 2.2 Hàm suy r ng 15 2.3 i s c b n c a hàm suy r ng 18 2.4 M t s dãy c a hàm liên t c 21 Ch ng 3: PhỨp bi n đ i c b n c a gi i tích Fourier suy r ng 23 3.1.Phép bi n đ i Fourier 23 3.2 Phép t nh ti n suy r ng 27 Ch 3.3 o hàm suy r ng 29 ng 4: ng d ng hàm suy r ng 33 4.1 Nh ng c s cách gi i ph ng trình đ i s đ n gi n 33 4.2 Ph ng trình thu n nh t v i nhân t đa th c 36 4.3 Ph ng trình khơng thu n nh t v i nhân t đa th c 39 4.4 Hàm c c 42 4.5 Phép bi n đ i, tích nghi m hàm c c 46 K T LU N 51 TÀI LI U THAM KH O 52 SVTH: LÊ TH HÀ K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng L IM U Hàm suy r ng xu t hi n vào th k XX cơng trình c a Dirac v c h cl ng t nhà tốn h c L.Shwartz góp ph n quan tr ng vào vi c nghiên c u ph ng trình đ o hàm riêng Do nghi m c a ph trình đ o hàm riêng nói chung, ph riêng th cho ph ng ng trình đ o hàm riêng n tính nói ng khơng t n t i toàn c c nên nhu c u m r ng khái ni m nghi m ng trình đ o hàm riêng ngày tr nên b c thi t S đ i c a lý thuy t hàm suy r ng có nhi u ng d ng v t lý lý thuy t đ o hàm riêng, đ c bi t góp ph n gi i quy t nh ng v n đ v lý thuy t c a ph ng trình đ o hàm riêng n tính, nh ng hi u bi t v hàm suy r ng v n xa l m i m đ i v i sinh viên V i mong mu n đ c nghiên c u tìm hi u sâu h n v v n đ b t đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c em ch n đ tài: "M t s ng d ng c a hàm suy r ng" N i dung khóa lu n g m ph n Ph n 1: M đ u Ph n 2: N i dung Ch ỉg 1: Hàm Th Gauss Ch ỉg 2: Hàm suy r ỉg Ch ỉg 3: PhỨị bi ỉ đ i c b ỉ c a gi i tích FỊurier suy r ỉg Ch ỉg 4: ỉg d ỉg hàm suy r ỉg Ph n 3: K t lu n SVTH: LÊ TH HÀ K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng ng Ch HÀM TH GAUSS 1.1 KHÔNG GIAN C A NH NG HÀM TH 1.1.1 Nh ng hƠm th Gauss c b n nh ngh a M t hàm ฀ đ c g i m t hàm th Gauss c b n n u ch n u có d ng  ( x)  Axn e ( x ) , ,  ฀ ; n  ฀  ,   nh ngh a Hàm g xác đ nh ฀ đ g  x  Ae   x  (1.1) c g i hàm Gauss ch A,  ,  h ng s , A,   ฀ ,   ฀ nh ngh a Cho f hàm s xác đ nh ฀ , f hàm m kh tích ch liên t c t ng ph n ฀ có m t giá tr  ฀ cho f  x e  x kh tích t đ i B đ Cho  m t hàm ฀ Khi m nh đ sau t ng đ ng:  hàm th Gauss c b n Có m t h ng s ,   0, n  ฀  ; ,  ฀ cho:  ( x)  Axn e ( x ) v i   x   Có m t h ng s   ; n  ฀  ,  ฀ ; a ,   ฀ cho:  ( x)  xn ei xe ( xa ) v i   x    h ng s ,   , n  ฀  ; C  ฀ , b,   ฀ cho:  ( x)  Cxn e xe ( xib) v i   x    h ng s ,   , n  ฀  ; , D  ฀ cho:  ( x)  Dxn e xe x SVTH: LÊ TH HÀ v i   x   K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng H n n a, n u c đ nh nh ng d ng ta có   a  ib ,   2b ,   2a ,     i B  Ae b i ab , C  Ae a i ab , D  Ae B đ M i hàm Gauss m t hàm th Gauss c b n M i hàm th Gauss c b n hàm b ch n, tr n hàm kh tích t đ i ฀ Tích c a hàm th Gauss c b n b t k v i hàm m kh tích b t k hàm kh tích t đ i ฀ N u  m t hàm th Gauss c b n hàm sau c ng hàm Gauss c b n a  C ,   ฀ ; k  ฀   hàm th Gauss c b n b t k b Cxke x ( x) c  (ax) C ,   ฀ ; k  ฀  a  ฀ * N u  m t hàm th Gauss c b n hàm sau m t t h p n tính c a hàm th Gauss c b n a  ( x   )  ฀ b  ( m) m฀  c F   d F -1   1.1.2 Không gian hƠm th Gauss nh ngh a M t hàm  ฀ m t hàm th Gauss n u ch n u N   k ,v i N ฀  , k m t hàm th Gauss c b n k 1 T p t t c hàm th Gauss kí hi u: G SVTH: LÊ TH HÀ K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng B đ G m t không gian véct (ph c) Ch ng minh Cho  ,  G, cho a , b hai h ng s Khi ta có K, M  ฀  ; i , i  G , 1, ,k ;  1, , m K   k M    k k 1 k 1 Vì v y K M N k 1 k 1 k 1 a  b  a k  b k    k V i N  K  M k  1, 2, , K  ak , k   b k  K , k  K  1, K  2, , N (1.2) (1.3) Ta có ai m t hàm th Gauss c b n b kK m t hàm th Gauss c b n Do  k m t hàm th Gauss c b n V y a  b m t hàm th Gauss 1.2 VAI TRỊ C A KHƠNG GIAN CÁC HÀM TH GAUSS Cho f g nh ng hàm m kh tích ฀ D th y n u f  g    Ng f ( x) ( x)dx    g ( x) ( x)dx ,   G  c l i, n u đ ng th c v i   G ta có f  g V y ta có SVTH: LÊ TH HÀ K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng nh lý Gi s f g hai hàm m kh tích trêỉ ฀ f  g ch   f ( x) ( x)dx     g ( x) ( x)dx ,   G (1.4)  Ch ng minh ng trình (1.4)   G N u f  g ph    ng trình (1.4)  hàm Gauss c l i gi s v i ph Ng   1 dãy đ ng nh t th c Gauss Ta có   x   e  x v i m i t  1 , ta c ng có     g ( x) ( x  t )dx f ( x) ( x  t )dx    v i m i   x  t  hàm Gauss c a x K th pv i      1 dãy đ ng nh t th c v i t p t t c nh ng hàm m kh tích cho ta f  t   lim      f  x  x  t  dx  lim     g  x  x  t  dx  g  t   V i m i t t i f g liên t c V y f g nh lý Cho f F hai hàm kh bi ỉ đ i FỊurier c ỉ Khi m ỉh đ sau t ỉg đ ỉg: F = F  f  v i m i   G      F ( x) ( x)dx   3.v i m i   G f ( y) F   y dy   F ( x) F    SVTH: LÊ TH HÀ  -1 x dx   f ( y) ( y)dy  K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng Ch ng minh N u m nh đ m nh đ đ c suy tr c ti p t đ ng nh t th c c b n c a gi i tích Fourier Ta gi s m nh đ cho   G, áp d ng đ ng nh t th c c b n c a gi i tích Fourier ta có   f ( y) F   y dy     F  f  x  ( x)dx  K t h p v i m nh đ ta có      F ( x) ( x)dx   F  f  x  ( x)dx ,v i   G Theo đ nh lý ta có F = F  f  V y m nh đ đúng, t m nh đ ta có m nh đ c ng Gi s m nh đ đúng, cho   G   F   Áp d ng m nh đ tính ngh ch đ o phép bi n đ i Fourier ta có   -1  F ( x) ( x)dx   F ( x) F    x dx   =  f ( y) ( y)dy   =  f ( y) F   y dy  V y m nh đ C ng nh ch ng minh ta ch ng minh đ V y đ nh lí đ SVTH: LÊ TH HÀ c m nh đ c ch ng minh K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng 1.3 M T S TệNH CH T KHÁC C A HÀM TH GAUSS 1.3.1 Nhơn t đ n Theo ý c a b đ ta có Tích h m t hàm th Gauss Khi  hàm th Gauss, h hàm th Gauss ho c h có d ng h( x)  Cxke x , C, ฀ , k 0 c bi t nh ng tích sau x2 ( x) , e3 x ( x) , xei 2 x ( x) , e x  ( x) đ u nh ng hàm th Gauss H n n a, n u h t ng c a x2 , e3 x , xei 2 x , h( x) ( x)   x2  e3 x  xei 2 x   ( x)  x2 ( x)  e3 x  x  xei 2 x  x Tích h t ng c a nh ng hàm th Gauss, hàm th Gauss T nh ng l p lu n suy B đ Cho h m t t h p n tính c a nh ng hàm có d ng xnecxe    x  , v i n  ฀   0 , c,  ฀ ,   ฀   0 Thì tích h m t hàm th Gauss,   G B đ Cho h nhân t đ n thu c G Khi h m t hàm th Gauss,  G 1.3.2 M t vƠi tính ch t gi i tích ph c c a hƠm th Gauss Cho  m t hàm th Gauss c b n   s   As necxe  x  , v i A,  ฀ , n฀  0 ,   N u s bi n ph c s  x  iy ta có   x  iy   A x  iy  e n  xiy  hàm gi i tích ฀ SVTH: LÊ TH HÀ 10 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng 4.2.3 Nhơn t đa th c b t k Ta m r ng v i f m t đa th c Ta có f  x  AN xN  AN 1 xN 1   A2 x2  Ax  A0 N ฀  , Ak h ng s v i AN  ,  có th ph c, s ph c  nghi m c a f ch f     Khi đa th c đ f  x  A x  1  M1  x  2  M2 . x  k  c cho d i d ng Mk 1, 2 k nghi m phân bi t c a đa th c, M k  ฀  , M k b i s c a nghi m t ng ng k B đ Cho f m t đa th c v i nghi m phân bi t 1, 2 k V i m i k cho M k b i s t ng ng Thì nghi m t ng quát c a fu  k Mk 1 u    ck ,mDm k , Ck ,m nh ng h ng s tùy ý (4.7) k 1 M 0 Ví d Gi i ph ng trình v i u  x  x2  x  13 u  x  Nh ng nghi m c a đa th c nghi m c a ph (4.8) ng trình   4  13  Ta có   4     4   113   3i 1 B i s c a m i nghi m Vì x2  x  13   x    i   x    i  V y nghi m c a ph ng trình (4.8) u  a 23i  b 23i , a , b - h ng s tùy ý B đ Cho   s ph c khác Cho M , k ฀  , b0 , b1, , bk t p h p nh ng h ng s Thì có nh ng h ng s a0 , a1, , ak cho: SVTH: LÊ TH HÀ 38 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng K v x   a k D k   x (4.9) k 0 Th a mãn K  x    v x   bk D k   x M (4.10) k 0 4.3 PH NG TRỊNH KHÔNG THU N NH T V I NHỂN T A TH C 4.3.1 Tr ng h p (Khơng có nghi m th c ) Ví d Gi i ph ng trình  x  i  u  x 1 ng trình ngh ch đ o c a f  x  x  i t c Nghi m c a ph u0  x   xi Vì x  i khơng có nghi m th c nên ngh ch đ o c a u0  x m t hàm lien t c b ch n ฀ Vì v y u0 m t hàm suy r ng xác đ nh áp d ng nh m t nghi m hàm suy r ng c a ph ng trình K t qu v i nghi m t ng quát c a ph nghi m c a ph ng ng  x  i   x    i ch ng trình thu n nh t t nghi m c a x  i , ng trình, ta c ng thêm u0 t ta bi t   x  c  i v i c h ng s b t k V y nghi m t ng quát c a ph u  x  ng trình  x  i  u  x 1là  c i xi Chú ý Khi f đa th c khơng có nghi m th c, ngh ch đ o c a u0  x  m t hàm liên t c b ch n ฀ , th a mãn f u0  f  x SVTH: LÊ TH HÀ 39 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng V y n u g hàm c n b t k tích u0 g xác đ nh nghi m c a f u  g 4.3.2 Tr ng h p ( Nghi m th c ) Ví d Xét ph ng trình xu  x  sin  x Ta th y f  x  x tri t tiêu t i x  Nó có ngh ch đ o khơng kh x tích t i x  , v y khơng xác đ nh hàm suy r ng H n n a sin  x c ng tri t tiêu t i x  , sin  x hàm sin c mà bi t x Vì sin c  x nghi m c a xu  x  sin  x c nghi m t ng ng ng xu  x  Khi nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t t quát c a ph ng trình xu  x  sin  x u  x  sin c  x  c , c h ng s g đ c cho hàm m kh tích t s f ng trình f u  g Chú ý Khi t s c a ph g m t nghi m f N u f không xác đ nh t i m t m ฀ g c ng không xác đ nh g t i m đó, t s s khơng kh tích xung quanh m khơng f xác đ nh m t hàm suy r ng 4.2.3 Tr ng h p Ví d Tìm nghi m hàm suy r ng c a xu  x  Ta áp d ng phép t nh ti n toán t v i m t s ph c i c hai v c a ph ng trình Ti  xu  x Ti  xTi u    x  i Ti u    x  i  uˆ  x ta đ t uˆ  Ti u  SVTH: LÊ TH HÀ 40 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p T GVHD: Tr n V n B ng ng t ta có Ti u  1 Khi ph ng trình tr thành  x  i  uˆ  x 1 Do x  i khơng có nghi m th c nên ta có nghi m c a ph ng trình tr uˆ0  x  nh xi m t c   m t nghi m c a ph Ta có u0  x  T1 uˆ0  x  Ti   x  i  ng trình xu  x  C ng vào nghi m t ng quát u0  x c a xu  x  ta đ c   u0  x  T1   c  x , v i c h ng s  x  i  nghi m t ng quát c a ph 4.4 ng trình xu  x  HÀM C C Nh kí hi u tr c, hàm c n 1 , , , hàm m kh tích nên x x2 x3 chúng khơng hàm suy r ng i u gây khó kh n cho s l l c c a gi i ph ng trình xku  x  Tuy nhiên hàm suy r ng có th th a mãn t ng t hàm c n 4.4.1 HƠm c c c b n (The basic pole function) vƠ phép bi n đ i c a nh ngh a Xét suy r ng t ng t hàm c n x1 Ta g i suy r ng t hàm c c ( c b n ) đ ng t c kí hi u pole  x hàm pole  x xác đ nh t ng t x1 , ta s ki m tra pole  x th a mãn hai tính ch t: Nó hàm suy r ng l Nó th a mãn ph SVTH: LÊ TH HÀ ng trình xpole  x  41 (4.11) K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng Nh n xỨt Ta th y hàm c n u  x  x1 m t hàm l x  x Nghi m t ng quát c a ph ng trình ( 4.11) đ c suy t ví d    c  x , c - h ng s Ta có pole  x  T1   x  i  Bây gi ta tìm giá tr c cơng th c c a hàm suy r ng l L y phép bi n đ i Fourier c a bi u th c cu i ta có    F  pole  x y  F Ti    y  c F   x   x  i  e i 2  i  y  e2 y  e2 y y   F y c  x  i   i 2  F y c  i x 2      i 2 e2 y step   y  c B ph n m ta có i 2  c, y  F  pole  x y  i 2 step   y  c =  y0 c, ây hàm liên t c t ng khúc b ch n ฀ H n n a, hàm l t phép bi n đ i Fourier c a hàm suy r ng ta có u Ngh a là, v i y  0, c th a mãn: i2  c  F  pole  x Suy V y c y   F  pole  x y  c i 2  i F  pole  x  y i ,  i , y0 y0 Hay ta có th bi u di n b i hàm signum - kí hi u: sgn SVTH: LÊ TH HÀ 42 K32-CN TOÁN Khóa lu n t t nghi p Và đ GVHD: Tr n V n B ng c xác đ nh b i: 1 , s  sgn  s    1 , s  Khi ta có F  pole  x y  i sgn  y T t ng đ ng g n sgn hàm l , ta có F -1  pole  x y  i sgn   y  i sgn  y pole  i F sgn  V y (4.12) Công th c ( 4.12 ) m t hàm suy r ng th a mãn hai tính ch t V y ph ng trình (4.12) hàm c c (c b n) 4.4.2 HƠm c c c p cao ng t x2 Ta có K t qu suy r ng t F  pole pole y  F  pole y  F  pole y  i sgn  y  i sgn  y     sgn  s  sgn  y  s  ds  tích phân khơng h i t M t khác ta th y x2   d 1 x  dx   Chúng ta g i hàm c c c p kí hi u pole2 b i pole2   Dpole ây đ o hàm c a m t hàm suy r ng l nên pole2 m t hàm suy r ng ch n, x2 hàm c n ch n H n n a t lu t tích m c 3.3.3(d) xpole  x  ta có  x2 pole2  x   x2 Dpole  x   D  x2 pole  x  D  x2  pole  x SVTH: LÊ TH HÀ 43  K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng   D  x xpole  x   xpole   D  x.1  2.1  1   V y pole2 th a mãn xpole  x  Nói chung ta d dàng xác đ nh đ x   1 k T k 1 d k1 1  x  , v i k  2,3,4,  k  1! dxk1   c hàm c c c p k cho b i ng t ta c ng xác đ nh đ polek   1 c công th c c n c a k 1 Dk1 pole , v i k  2,3,4,  k  1! đ n gi n ta kí hi u hàm c c c p hàm c c c b n pole1  pole inh lý V i k  1,2,3,4, ta có Dpolek  kpolek1 xk polek  x  polek   x   1 polek  x k Chú ý Phép bi n đ i Fourier c a hàm c c c p k đ c suy t đ nh ngh a c a Tính tốn ph p bi n đ i c a hàm c c c b n đ ng nh t th c vi phân c a phép bi n đ i Fourier V i k  ta có F  pole1  y  F  pole y  i sgn  y V i k  2,3,4 ta có F  polek  y   1 SVTH: LÊ TH HÀ k 1   1 k 1   1 k 1 F  Dk1 pole   k  1! y k 1  i 2 y F  pole  k  1! y k 1  i 2 y  i sgn  y  k  1! 44 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng  i 2  yk1 sgn y     k  1! k Ta th y k  1, cơng th c cu i rút g n t công th c phép bi n đ i c a pole1 k  V y F  pole   i 2  yk1 sgn y v   y   k  1! Theo t ng g n ph n c a đ nh lý ta có k k ng đ F -1  polek  x y  F  polek   x K t h p v i ph ng trình ( 4.13) ta đ i k  1,2,3,4   1 F  polek  x (4.13) k y y c  i 2  yk1 sgn y    y  k  1! k F  pole  -1 4.5 PHÉP BI N k (4.14) I, TệCH VÀ NGHI M C A HÀM C C 4.5.1 Hàm step vƠ hƠm c c Hàm c c c b n đ c xác đ nh b i: pole  i F sgn  (4.15) hàm sgn hàm l xác đ nh b i: 1 , x  sgn  x   1 , x  Áp d ng tính đ i s , t ng đ ng g n sgn   x   sgn  x ta có cơng th c ngh ch đ o (4.15) t công th c c a phép bi n đ i Fourier c a hàm signum F sgn   SVTH: LÊ TH HÀ pole i F -1 sgn    45 pole i K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng Ví d Ta th y 1, x   0, x   sgn  x     1     1  step  x 1, x 2, x         1 Gi i hàm step  x ta có step  x  sgn  x  2 1 1 F  step  x y  F  sgn  x   2 2  y 1 1 pole  y     y  F sgn  y  F 1 y  i 2 2 (4.16) Cho m t công th c v i phép bi n đ i Fourier c a hàm step nh ng s h ng c a hàm c c 4.5.2 Tích nơng lên l y th a B đ Gi s k s nguyên l n h n 1, xpolek  x  polek 1  x Ch ng minh Xét phép bi n đ i Fourier c a xpolek  x Áp d ng đ ng nh t th c vi phân, công th c ( 4.13 ) v i phép bi n đ i c a polek , lu t tích ta có D F  polek  x y F  xpole k  x    i 2   i 2 k k 1  D y sgn  y    i 2   k  1!   i 2   Dyk1  sgn y  yk1D sgn y         k  1!  k 1 Mà Dyk 1  SVTH: LÊ TH HÀ (4.17) d k 1 y   k  1 yk 2 dy 46 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng k 1 k 1   k  1!  k  1 k   3.2.1  1   k   3.2.1  k  ! Và D sgn  y  D 2step  y  1  2Dstep  y  2  y V y yk 1D sgn  y  yk 1  y   2.0k 1  y   Do t ph ng trình ( 4.21 ) ta có  i 2  k  yk2 sgn y      x y     k  1! k 1 F  xpole k  i 2  yk2 sgn y     k  ! k 1 Bên c nh áp d ng cơng th c ( 4.13 ) ta có  i 2  yk11 sgn y  x y     k  1  1! k 1 F  pole k 1  i 2  yk2 sgn y     k  ! k 1 V y F  pole V y ta th y k 1  x  i 2  yk2 sgn y = F  polek1 x        k  ! k 1 y  xpolek  x  polek 1  x Ví d 10 T b đ ta đ dàng có nh ng tích t ng quát sau Xét tích xk pole k  x v i n ฀  N u n  k l p l i phép gi i c a b đ ta có xk polek  x  xn1  xpolek  x   xn1 polek 1  x SVTH: LÊ TH HÀ 47 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng  xn2  xpole k 1  x   xn2 pole k 2  xnn pole k n  x  pole k n  x  N u n  k nh ý c a đ nh lí ta có xn polek  x  xk polek  x  N u n  k xn polek  x  xnk  xk polek  x  xnk  xnk nh lí Gi s n, k ฀   ฀ x  n  polek n  x , n  k  polek  x   1, nk  nk  x    , n  k Ví d 11 Xét  x3  4 pole12  x Ta có x3    x   1    x  1   x  1   x  1  T u đ nh lý ta có  x3  4 pole12  x   x  1   x  1   x  1  5 pole12     x  1 pole12   x  1 pole12  3 x  1 pole12  pole12   x  1   pole11  pole12 H qu Gi s k ฀  ,  ฀ f  x m t đa th c c p n N u n  k có nh ng h ng s A1 , A2 , A3 , , Akn cho: k n f  x pole  x   Aj polej  x k j 1 SVTH: LÊ TH HÀ 48 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng N u n  k có m t đa th c h  x b c n  k nh ng h ng s k A1 , A2 , A3 , , Ak cho: f  x pole  x  h  x   Aj polej  x k j 1 H qu Gi s đ n f  x   x    g  x V i g nhân t n n  ฀  ,  ฀ polek  x f  x   x    4.5.3 Gi i ph nk g  x , v i k  1,2,3,4 ng trình c a hƠm c c ta có nh ng cách tìm nghi m riêng u0 c a ph ng trình f  x u  x  , f  x m t đa th c f m t đa th c v i ỉghi m ịhâỉ bi t 1, 2 , 3 , , k nh lý Gi s V i m i k cho Mk kí hi u b i s t ỉg ỉg Ak,1, Ak,2 , Ak,3 , , Ak,Mk h K Mk Ak ,m s trỊỉg khai tri ỉ ịhâỉ s riêỉg   f  x k1 m1  x  k m K Mk Thì hàm suy r ỉg u0  x   Ak ,m polemk  x k 1 m1 f  x u0  x  Th a mãỉ Ví d 12 Xét ph ng trình  x  12  x  3 u  x    T đ nh lý ta th y nghi m c a ph (4.18) ng trình u0  x  Apole11  x  Bpole12  x  Cpole31 A, B, C h ng s khai tri n phân s riêng t  x  1  x  3 Ta có  ng ng A B C   x   x  1 x3  A x  3 x  1  B  x  3  C  x  1 SVTH: LÊ TH HÀ 49 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng 4C    2 B  Khi ta có:  3 A  3B  C   V y 1 C  , B  , A  4 1 Do v y ta có u0  x   pole11  x  pole12  x  pole31 4 Là nghi m c a ph SVTH: LÊ TH HÀ ng trình (4.18) 50 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng K T LU N Sau m t th i gian tích c c tìm hi u, nghiên c u tài li u d is giúp đ nhi t tình c a th y giáo Tr n V n B ng nhi u th y cô khoa Toán – Tr ng i H c S Ph m Hà N i em hoàn thành khóa lu n t t nghi p Nhìn chung qua đ tài „„M t s em hi u sâu s c h n v đ o hàm riêng ng d ng c a hàm th c r ng’’ ng d ng c a hàm suy r ng v t lí lí thuy t c bi t nh ng v n đ v lí thuy t c a ph ng trình đ o hàm riêng n tính Nh v y đ tài c b n đ t đ b c m c đích đ Tuy nhiên m i c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c v i t m hi u bi t th i gian làm khóa lu n h n h p nên em không tránh kh i nh ng thi u sót, ch a th m r ng h t đ c đ tài Em r t mong nh n đ th y, cô giáo b n sinh viên đ khóa lu n đ c s góp ý c a c hồn thi n h n Hà n i, tháng n m 2010 Sinh viên Lê Th HƠ SVTH: LÊ TH HÀ 51 K32-CN TỐN Khóa lu n t t nghi p GVHD: Tr n V n B ng TÀI LI U THAM KH O Nguy n Minh Ch Trung - Ph ng, Hà Ti n Ngo n, Nguy n Minh Trí, Lê Quang ng trình đ o hàm riêng – NXB Qiáo d c Hồng ình Dung - M đ u v gi i tích ph Tr n c Vân - Ph ng trình đ o hàm riêng ng trình đ o hàm riêng t p - NXB H Qu c gia Hà N i V.S Vladimirov - Generarized Functions In Mathematical Physics Kenneth B Howell – Principles of Fourier Analysis –NXB Studies in advanced mathematics SVTH: LÊ TH HÀ 52 K32-CN TOÁN ... M i hàm Gauss m t hàm th Gauss c b n M i hàm th Gauss c b n hàm b ch n, tr n hàm kh tích t đ i ฀ Tích c a hàm th Gauss c b n b t k v i hàm m kh tích b t k hàm kh tích t đ i ฀ N u  m t hàm. .. Thì  m t hàm Hàm giá tr ph c c a hàm th Gauss” nh ngh a Trong toán h c, nh ng hàm cho t m ts đ ng ng m i hàm th v i c g i phi m hàm Ví d Cho f hàm m kh tích b t k ฀ Phi m hàm t hàm f đ c xác...  hàm n tính liên t c G, m t hàm suy r ng Hay f ,    f  x  x dx ,   G  f c ng đ c dùng đ kí hi u hàm suy r ng sinh b i hàm c n f  x ( m i hàm c n f  x - hàm m kh tích ) đ suy