Luận Văn Một số vấn đề trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGÔ THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT HÀM SUY RỘNG SCHWARTZ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS TẠ NGỌC TRÍ HÀ NỘI- 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Thầy ln động viên khích lệ để em vươn lên học tập, tự tin vượt qua khó khăn chuyên môn truyền cho em kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Em xin bày tỏ lịng biết ơn,lịng kính trọng sâu sắc thầy Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo khoa tốn giảng dạy giúp đỡ em suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan Khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Trong q trình nghiên cứu, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học thầy cô với trân trọng biết ơn Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Hằng Mục lục Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Banach 10 1.4 Tốn tử tuyến tính bị chặn không gian định chuẩn 11 1.5 Không gian Hilbert 13 1.6 Không gian L p   n  15 1.7 Biến đổi Fourier L   n  16 Chƣơng Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 17 2.1 Không gian hàm thử 17 2.2 Hàm suy rộng Schwartz 19 2.3 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh 21 2.4 Giá hàm suy rộng 23 2.5 Đạo hàm hàm suy rộng 23 2.6 Tích chập 25 2.7 Biến dổi Fourier hàm suy rộng 29 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học việc lấy đạo hàm hàm số việc làm thường gặp Tuy nhiên khơng phải lúc ta làm điều Chẳng hạn hàm f  x   x ta lấy đạo hàm x = Trong vật lí có tượng vật lí mà ta khơng thể biểu diễn cách xác hàm thông thường biết Chẳng hạn việc đo mật độ điện tích  nguồn đặt điểm Năm 1926, nhà vật lí người Anh Paul Dirac đề xuất khái niệm hàm gọi hàm Delta Dirac, hay đơn giản hàm Dirac Trong Vật lí hàm Dirac hiểu sau : 0 nÕu x   nÕu x   x =   đồng thời thỏa mãn đẳng thức tích phân    x dx   Với cách định nghĩa nhiều vấn đề tốn học vật lí giải Có nhiều cách hiểu hàm Dirac theo cách tương đương khác, rõ ràng hàm Delta hàm thông thường mà ta biết Điều làm nảy sinh vấn đề cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có lớp hàm ln lấy đạo hàm đồng thời bao hàm hàm biết hàm mới, chẳng hạn hàm Dirac Từ Tốn học xuất lý thuyết lớp hàm gọi “ Hàm suy rộng “ Tiêu biểu phải kể đến Lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz… Lý thuyết hàm suy rộng phát triển L Schwartz mở cánh cửa quan trọng cho phát triển Toán học đại, đặc biệt lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Với lý thuyết đó, L.Schwartz nhận giải thưởng Fields năm 1950 Những toán phi tuyến thường dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng Rất nhiều nhà Tốn học nghiên cứu để giải vấn đề Họ cố gắng tìm cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng Một số cách giải phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng Ta kể đến phương pháp Minkunski hay phương pháp lấy tích dựa khai triển Fourier Tuy nhiên chưa giải cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Một số vấn đề lý thuyết Hàm suy rộng Schwartz “ cho luận văn Luận văn tóm tắt kiến thức lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz Cấu trúc luận văn Nội dung khóa luận bao gồm: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz vấn đề liên quan Các tính chất có liên quan đến hàm suy rộng Schwartz Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm Trong luận văn này, ta kí hiệu   0,1,2  tập số tự nhiên,  * tập số tự nhiên khác 0,  tập số nguyên,  biểu thị tập số thực trường thực;  biểu thị tập số phức với đơn vị ảo i = phức Ta kí hiệu K  1 trường  Tập    x   x , x , , x  x   , j  1,2, , n không gian thực n chiều với  n    1, , , n   j   , j  1,2, , n , n n j chuẩn Euclid  n 2 x    xj   j 1  Mỗi phần tử   1, , , n   n n-chỉ số ( hay đa số ) với bậc   1      n Với đa số  , toán tử vi phân kí hiệu   1 122 nn  j  Dj   toán tử D  D11 D22 Dnn , xj   i  j , j  1,2, , n i xj Nếu khơng có đặc biệt ta hiểu  tập mở  n Ta kí hiệu Ck    tập hợp hàm giá trị phức khả vi liên tục tới cấp k C    tập hợp hàm giá trị phức khả vi liên tục cấp Ta nói giá hàm liên tục f :    , tập hợp kí hiệu supp f xác định supp f   x  : f  x   0 Nếu K tập compact  n , ta kí hiệu Dk tập hợp 1.2  f  C    : supp f  K  n Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1: Ta gọi không gian định chuẩn ( hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường K với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: x  0, x   x   ( kí hiệu  phần tử 0) i) ( x  X) ii) ( x  X) (  ) iii) (x, y  X) x   x x y  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề i, ii, iii gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.2.1.1: Không gian  hay  không gian định chuẩn với chuẩn độ dài vectơ Định nghĩa 1.2.2: Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X , lim xn  x  n Kí hiệu: lim xn  x n hay xn  x (n  ) Định nghĩa 1.2.3: Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi dãy lim xn  xm  bản, m,n Định nghĩa 1.2.4: Giả sử  xn dãy không gian định chuẩn E  x Khi tổng hình thức x1  x2   xn  hay n1 n gọi chuỗi k E Biểu thức Sk   xn gọi tổng riêng thứ k chuỗi Nếu tồn n1 lim Sk  S chuỗi gọi hội tụ S gọi tổng chuỗi k  Cùng với chuỗi x n1  n , chuỗi  n1  xn hội tụ chuỗi x n1 n gọi hội tụ tuyệt đối 1.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.3.1: Các không gian Banach định nghĩa không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Điều nghĩa không gian Banach không gian vectơ V trường K với chuẩn cho dãy Cauchy V ( tương ứng với metric d( x, y)  x  y ) hội tụ Ví dụ 1.3.1.1: Khơng gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid x   x1, x2 , , xn  cho x  n x i 1 i không gian Banach Ví dụ 1.3.1.2: Cho khơng gian vectơ C a, b Đối với hàm số x  t  C a, b ta đặt x  max x  t  (1.1) a t  b 10  Phép nhân với phần tử vô hƣớng Với u D '    số phức  ta định nghĩa u sau: u,    u, ,   D    Khi u D '    Dựa vào tính liên tục phiếm hàm D    ta có: Cho u phiếm hàm tuyến tính D    Các Mệnh đề 2.2.1: mệnh đề sau tương đương i) u D '    ii) Với tập compact K   , tồn số thực c > số nguyên không âm N, cho u,   c  sup  (2.1)  N với   D    , supp   K iii) Mọi dãy  j  j 1 hội tụ D    limu, j    j  Ta biết (2.1) ta thay N N '  N Số N nhỏ thỏa mãn (2.1) gọi cấp hàm suy rộng Ví dụ 2.2.1: Mỗi hàm f  L1loc    hàm suy rộng xác định bởi: f :    f ,    f  x   x  dx  Chú ý: Ở đây, hàm đo f thỏa mãn  f  x  dx   cho tất tập K compact K   gọi khả tích địa phương Tập tất hàm khả tích địa phương  kí hiệu L1loc    Bây chứng minh dạng tuyến tính hàm suy rộng 20 Thật vậy, với tập compact K   hàm   D    cho supp   K ta có:  f ,    f  x  x  dx   f  x   x  dx  K   f  x    x  dx  supK   x  K  f  x  dx K Vậy với N = c   f  x  dx f hàm suy rộng cấp K 2.Tương tự hàm f  Lp    hàm suy rộng Ví dụ 2.2.2: ( Hàm Dirac ) Hàm Dirac kí hiệu  xác định sau:  : D   n     ,     0 hàm suy rộng cấp   Thậy vậy, với tập compact K   n với   D  n cho supp   K ta có  ,     0  1.supK   x  2.3 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Định nghĩa 2.3.1: Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Schwartz,     kí hiệu S S  n , tập hợp tất hàm   C  n thỏa mãn: Với đa số  ,   n sup x D  x    x n   Với topo xác định : dãy  j   S  n hội tụ j   với đa số  ,   n , x D j  x   j    n   Định nghĩa 2.3.2: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục S  n gọi hàm suy rộng 21 Nếu u, v hàm suy rộng , c thì:  u  v,   u,    v,     cu,   cu, ,  S  n Với phép tốn tập hợp tất hàm suy rộng trở thành không   gian tuyến tính Khơng gian kí hiệu S'  n Một dãy  uj        Nhận xét: Dễ thấy S'    không gian D '    u S'    dãy    S   u,   S'  n gọi hội tụ tới u S'  n uj ,   u, ,   S  n n n n n j j j   Ví dụ 2.3.1: Cho u hàm bị chặn theo kiểu đa thức xác định  n ( liên tục, liên tục khúc hàm tổng quát, đo ) phiếm hàm định nghĩa bởi: u,    u x   x  dx,     S  n n hàm suy rộng Thật   + Với  , f  S  n , c1, c2  ta có: u, c1  c2 f    u x  c   x   c f  x  dx n  c1  u x   x  dx  c2  u x  f  x  dx n n  c1 u,   c2 u, f  S Giả sử K   ta có: 22 u,K    u,    u x   x  dx   u x   x  dx K n n  u x    x     x  dx  K n   u x    x     x  dx  K  k n Suy u liên tục   Vậy u S'  n Điều cho phép đồng hàm bị chặn kiểu đa thức với hàm suy rộng Ví dụ 2.3.2: (   hµm) Cho x  n điểm cố định Hàm suy rộng  x định nghĩa    x , f   f  x  , f  S  n gọi   hàm điểm x Đặc biệt  kí hiệu    hàm điểm gốc kí hiệu   y  xét phiếm hàm không gian hàm phụ thuộc vào giá trị y 2.4 Giá hàm suy rộng Định nghĩa 2.4.1: Ta nói hàm suy rộng u triệt tiêu tập mở  viết u   u,   0,   S  n  , supp   Ta nói u trùng với hàm suy rộng khác v   u  v   Cụ thể hàm suy rộng u trùng với hàm v  nếu:  u,    v dx , supp      Định nghĩa 2.4.2: Nếu u S'  n giá hàm suy rộng u kí hiệu suppu xác định bởi: 23 suppu   n \ u , u hợp tất tập mở  cho u   Nếu u có supp u tập compact  n ta nói u hàm suy rộng có giá compact   Tập hợp tất hàm suy rộng có giá compact kí hiệu  '  n   Định lí 2.4.1: Nếu u  '  n tồn số nguyên dương m cho: u x    u  x    m x u  x  hàm liên tục có giá compact 2.5 Đạo hàm hàm suy rộng Mệnh đề 2.5.1: Cho u D '    hàm suy rộng Khi đó, với đa số    n tốn tử tuyến tính kí hiệu  u xác định bởi:  u,    1  u,  ,   D    (2.2)  hàm suy rộng Chứng minh: Thật Với tập compact K   hàm   D    cho supp    ta có:  u,   u,   Bây ta lấy dãy  j  D    cho supp  j  K , j=1,2,…và  j  j   Do tính liên tục phép lấy vi phân D    nên ta có  j  0, j   Từ suy lim  u,   lim  u,    j  j  Mệnh đề chứng minh 24 Định nghĩa 2.5.1: Cho u D '    Hàm suy rộng xác định (2.4) gọi đạo hàm cấp  hàm suy rộng u Hàm Heaviside xác định bởi: Ví dụ 2.5.1: 1 nÕu x  H  x   0 nÕu x  H   Thật với    , với   D    ta có  H ,    1  H ,        x  dx    x  0    0   ,  Do H   Ví dụ 2.5.2: Với f  x  ln x , ta có f  L1loc    f xem hàm suy rộng theo cách sau:  f ,     ln x   x dx  Ta có  f ,     ln x   x  dx       ln x   x  dx   ln x   x  dx       lim   ln x   x  dx   ln x   x  dx   0          x   x   lim            ln    dx   dx   0 x x          x    x   lim   dx   dx   0 x x     25 Vì         ln   0,   0 Thực tế không thuộc vào không x gian L1loc    nên ta biểu diễn hàm suy rộng Tuy nhiên ta định nghĩa hàm suy rộng ln x  D ' x dạng tích phân x  đạo hàm hàm 1  D '    \ L1loc    Như  ln x  x x       x    x    x dx   dx kí hiệu p.v  Biểu thức lim   dx ,  0 x x x        gọi giá trị tích phân   x  x dx 2.6 Tích chập Định nghĩa 2.6.1: ( Tích chập khơng gian Lp ( n ) )     Với f  L1  n , g Lp  n , tích chập f g kí hiệu f  g xác định sau:  f  g x    f  y g x  y  dy   f  x  y  g y  dy  n  (2.3) n Ta thấy vế phải (2.3) xác định hầu khắp nơi ta có: Mệnh đề 2.6.1: ( Bất đẳng thức Young) f g L  f p Chứng minh: L1 gL Với p  1, đặt h x   (2.4) p  f  x  y  g y  dy n Fubini ta có: 26 Theo định lí  h x  dx  n   f x  y g y dy       dx n  n      g y  dy  f  x  y  dx  f n g1 n Từ suy h x    hầu khắp nơi  n Cũng theo định lí Fubini thì: f g    f  x  y g y dy dx n n    f x  y g y dy       dx n  n      g y dy  f  x  y dx n  g1 f n Vậy định lí với p  Với  p   , ta đặt hp  x    f  x  y g y dy hp  x    hầu p n khắp nơi  n Gọi q  liên hợp p, theo bất đẳng thức Holder thì:  f  x  y  g y  dy  n  1 f  x  y  q f  x  y  p g y  dy n 1   q   p p    f  x  y  dy   f  x  y  g y  dy  n   n   f Do q h  x p p  f  x  y g y dy xác định hầu khắp nơi   n 27 n Hơn nữa:   f g p    n p  f  x  y  g y  dy dx   p  n p   p         f  x  y  g y  dy  dx     n   n    f q     hp  x  dx   n    f   f gp  f Từ ta có f  g L  f p q L1  n p p  g x    p gL p Mệnh đề chứng minh Nói riêng, p  Định nghĩa 2.6.1 xác định phép toán     L1  n đại số Banach L1  n khơng có phần tử đơn vị Nếu p   ta dùng Định nghĩa 2.6.1 để định nghĩa tích chập bất đẳng thức (2.4) Sau xét tích chập hai hàm suy rộng Định nghĩa 2.6.2: ( Tích chập hai hàm suy rộng )   Cho u, v  D '  n , tích chập hai hàm suy rộng u v phiếm hàm tuyến tính, kí hiệu u  v xác định bởi:   u  v,   u y ,  v x  ,  x  y,   D  n Nhận xét: + u      u  u với u D '   n  28 Thật ta có  có giá compact u y ,   x  ,  x  y  u y ,  y  u,  Mặt khác   y , u x ,  x  y  u x  ,  x    Suy u      u  u với u D '  n +   Định nghĩa tích chập với f , g L1  n   Thật vậy, với   D  n tùy ý, đặt h y    g x   y  x  dx , n   ta có h  L1  n Hơn có h y    g x   x  y dx   g t  y   t  dt n  sup   t  tsupp n  g t  y dt  c g n L1 , y   n Do  f  y  ,  g x  ,  y  x    f  y  , h  y    f  y h y dy n f  y  h y   c g L f  y  Do  f  y ,  g x  ,  y  x  tồn tại, suy f  g tồn Mặt khác theo Fubini ta có 29  f  g,    f  y g x   x  y dxdy   n n     f y g t  y dy        t  dt n  n     f  y g t  y dy,  t  n nên  f  g x    f  y  t  y dy xác định n     Từ có u D '  n   D  n ,    u x  u y,   x  y   , x  n   u hàm C  n 2.7 Biến đổi Fourier hàm suy rộng   Định nghĩa 2.7.1: Biến đổi Fourier hàm suy rộng u S'  n hàm suy rộng u  S'   n  xác định   u ,   u, ,   S  n Ví dụ 2.7.1.1: Cho x điểm cố định  n Xét hàm  x , f   hàm S  n Ta có: n   x , f    x , f   f  x    2   e  ixy  n   2   n f  y  dy e ixy f  y  dy n  g y  , f  y  n với g y    2  eixy  n n   Vì ta có  x   2  e ixy , cụ thể với x     2  30 x , f    x , f    x , f    f   x  n    2  e  ixy f   y  dy n  n  ixy   2  ixe f  y dy  n  g y  , f  y  n ví i g y   ix  2  eixy  n  Suy x  ixe ixy  2  KẾT LUẬN Trong giải tích đại, hàm suy rộng kiến thức mẻ Khóa luận giúp em tiếp thu nâng cao kiến thức hiểu biết hàm suy rộng thấy vai trò quan trọng tốn học Thơng qua việc thực khóa luận này, em học cách trình bày đề tài nghiên cứu khoa học, học cách trình bày nội dung kiến thức cách có hệ thống theo hiểu biết Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Một lần em xin chân thành cảm ơn bảo nhiệt tình thầy giáoTS Tạ Ngọc Trí giúp em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa tốn, thầy giáo tổ Giải tích Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 31 Sinh viên Ngô Thị Hằng 32 Tài liệu tham khảo [1] PGS -TS Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật, 2006 [2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [3] J.F Colombeau, New Generalized Functions and Multiplications of Distributions, North Holland, Math Studies 84, Amsterdam, Springer 1984 [4] W.Arveson, A Short Course on Spectral Theory, Springer 2002 33 34 ... hàm ln lấy đạo hàm đồng thời bao hàm hàm biết hàm mới, chẳng hạn hàm Dirac Từ Tốn học xuất lý thuyết lớp hàm gọi “ Hàm suy rộng “ Tiêu biểu phải kể đến Lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz? ?? Lý thuyết. .. cho luận văn Luận văn tóm tắt kiến thức lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz Cấu trúc luận văn Nội dung khóa luận bao gồm: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz. .. đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Một số vấn đề lý thuyết Hàm suy rộng Schwartz