Luận văn sư phạm Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng thầy giáo khoa tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng thầy giáo Khoa Tổ Giải tích tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Nhung SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em bảo, dìu dắt thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định hệ vi phân” khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Nhung SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT §3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN 10 §4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13 §5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15 §6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 17 §7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 20 KHƠNG THUẦN NHẤT 20 §8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 22 CHƯƠNG : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 24 VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24 SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân §1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24 §2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 §3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 32 TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 32 §4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 35 VỚI MA TRẬN HẰNG 35 §5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT 36 §6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN 42 §7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT 44 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 49 BÀI TẬP TỰ GIẢI 59 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng ngày nhiều nhiều lĩnh vực khác kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái học môi trường học Với lí phát triển mạnh theo hai hướng ứng dụng lý thuyết, lý thuyết ổn định không gian Banach Với mong muốn tìm hiểu sâu tính ổn định hệ vi phân ứng dụng thực tế, giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định hệ vi phân” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài làm rõ tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân ứng dụng lý thuyết ổn định thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu là: ฀ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính ฀ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính ฀ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận ฀ Nghiên cứu tính ổn định hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiên cứu điểm kì dị đơn giản ฀ Nghiên cứu tính ổn định số hệ dạng đặc biệt dựa vào phương pháp thứ Lyapunop Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân kiến thức liên quan đến hệ vi phân Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Phương pháp nghiên cứu ฀ Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu ฀ Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Những kết thành tựu đạt lý thuyết ổn định nhiều sâu sắc, song bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu cịn nên khn khổ khóa luận em xin trình bày vấn đề sau: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức hệ vi phân Chương 2: Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính Trong chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ vi phân Chương 3: Bài tập vận dụng Chương gồm tập có lời giải tập tự giải Lần làm quen với việc nghiên cứu thực đề tài thời gian ngắn nên tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý thầy bạn sinh viên Qua em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng nhiệt tình giúp đỡ em thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy khoa tổ Giải tích tạo điều kiện cho em thực khóa luận Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.Định nghĩa: Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình sau:  dy1  dx  f1  x, y1 , y2 , , yn    dy2  f  x, y , y , , y  n 2  dx    dyn  f  x, y , y , , y  n n  dx (1.1) đây: x biến độc lập; y1  y1(x), y2  y2(x),…… , yn  yn(x) hàm phải tìm dy1 dy2 dy , ,… , n đạo hàm hàm phải tìm dx dx dx f i  x, y1 , y2 , , y n  hàm liên tục biến x, y1, y2,…, yn Khái niệm nghiệm hệ phương trình vi phân Nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) tập hợp n hàm khả vi y1  y1 ( x) , y2  y2 ( x) ,… , yn  yn ( x) khoảng cho chúng thỏa mãn tất phương trình hệ (1.1) hay nói cách khác thay chúng vào hệ (1.1) ta đồng thức Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân §2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Giả sử ta có phương trình: y  n   f  x, y, y ', , y  n 1  (2.1) Đặt: y  y1 , y '  y2 , y ''  y3 ,… , y  n 1  yn Khi ta có hệ n phương trình vi phân cấp sau:  dy1  dx  y2   dy2  y  dx    dyn  f  x, y , y , , y  n  dx (2.2) Nếu y  y(x) nghiệm phương trình (2.1) thì: y1  y  x  , y2  y '  x  ,…, yn  y  n 1  x  nghiệm (2.2) Ngược lại, y1(x), y2(x),… , yn(x) nghiệm hệ (2.2) hàm y  y1(x) cho ta nghiệm phương trình (2.1) 2.Đưa hệ phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Định lí: Với số điều kiện từ hệ phương trình: Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân  dx1  dt  f1  t , x1 , x2 , , xn    dx2  f  t , x , x , , x  2 n  dt    dxn  f  t , x , x , , x  n n  dt (2.3) đưa phương trình vi phân cấp n dạng: d nxj dx j d x j d n 1 x j    Fj  t , x j , , , , n1  dt n dt dt dt   (2.4) j giá trị ≤ j ≤ n Và từ nghiệm phương trình vi phân (2.4) cho ta nghiệm x1, x2,…., xn hệ phương trình vi phân (2.3) Chứng minh:   Giả sử f i i  1, n hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục theo tất biến đến cấp (n−1) Giả sử x1  x1  t  , x2  x2  t  ,…, xn  xn  t  nghiệm hệ (2.3), ta thay vào phương trình thứ j hệ (2.3) ta được: dx j dt  f j  t , x1  t  , x2  t  , , xn  t    f j  t , x1 , x2 , , xn  (2.5) d 2xj Suy ra: dt d 2xj Vậy: dt   f j f j dx1 f dx     j  n dt x1 dt xn dt f j t f j dxi  i 1 x dt i n  d x j f j n f j  fi   dt t i 1 xn Đặt F2  t , x1 , x2 , , xn   Đỗ Thị Nhung f j t n f j i 1 xi  (2.6)  fi GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân d 2xj  F2  t , x1 , x2 , , xn  dt (2.7) d x j F2 n F2 dxi F2 n F2        fi dt t i 1 xi dt t i 1 xi d 3xj dt  F3  t , x1 , x2 , , xn  (2.8) (2.9) Cứ tiếp tục đến (n-2) lần ta được: d n1 x j dt n 1  Fn 1 (t , x1 , x2 , , xn ) d nxj  Fn (t , x1 , x2 , , xn ) dt n Giả sử: D  f j , F2 , F3 , , Fn 1  D  x1 , x2 , , x j 1 , x j 1 , , xn  (2.10) (2.11) 0 Xét hệ:  dx j  dt  f j  t , x1 , x2 , , xn   d xj   F2  t , x1 , x2 , , xn   dt   n 1 d xj  dt n1  Fn 1  t , x1 , x2 , , xn  (2.12) Do giả thiết (2.11) từ hệ (2.12) ta giải x1, x2, …., xj-1, d n 1 x j , …., xj+1,… , xn hàm biểu diễn qua t, xj, dt n 1 dt dx j Thay hàm vào (2.10) ta được: d nxj dx j d n 1 x j   , , , ,  F t x  n j dt n dt dt n 1   (2.13) Đây phương trình vi phân cấp n xj Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Giải: Trước hết, ta tìm hệ phương trình xấp xỉ thứ (1) Theo công thức Macloranh ta có: sin x  x  sin 1 x , 1 số nằm x sin y  y  sin  2 y ,  số nằm y Thay vào (1) ta hệ:  x  10 x  29 y  5sin  x  y    y  x  14 y   7sin   1 y (2) Các số hạng phi tuyến (2) thỏa mãn điều kiện định lí định lí Ta có hệ xấp xỉ thứ (2) là:  x  10 x  29 y    y  x  14 y Phương trình đặc trưng là: (3) 10   29 14   0    4      2  i   2  2  i Như vậy, theo định lí 1, điểm (0,0) (1) (3) ổn định tiệm cận Đỗ Thị Nhung 48 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm miền ổn định tiệm cận hệ:  x   x   y   z    y   x  y   z   z   x   y  z  (1) (α,β số thực) Giải: Phương trình đặc trưng hệ (1) có dạng:             1     1    2   2       1     1  Vậy: Miền ổn định tiệm cận hệ toàn mặt phẳng Bài 2: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường phương trình sau: a) y  4  y ''' 12 y '' 23 y ' 10 y  b) y 5  y  4  y ''' y '' y ' y  Giải: a)Lập phương trình đặc trưng:   7  12  23  10  a0 = 1; a1 = 7, a2 = 12, a3 = 23, a4 = 10 Đỗ Thị Nhung 49 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Ma trận Húcvít: 7 0  23 12     10 23 12     0 10  Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1   2  23 12  61    23 12 12 23 7 7   913  10 23 23 10 23 4  0 23 12 0 10 23 12 0 10  ( 1) 4 10.  9130  Như vậy: 1  ,   ,   ,   nghiệm tầm thường y ≡ phương trình ổn định b) Lập phương trình đặc trưng:   2  3  2     a0 = 1; a1 = 2, a2 = 3, a3 = 2, a4 = 1,a5 = Ma trận Húc vít: 2 2  1  0  Đỗ Thị Nhung 0 0 0  2  1 2 0  50 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1   2  2 40 3    1 2 0 4   2  1 0 1 Vậy: Nghiệm tầm thường y ≡ phương trình khơng ổn định Bài 3: Với giá trị α β nghiệm tầm thường phương trình sau ổn định: a) y  4  y ''' y ''  y ' y  b) y '''  y '' y '  y  c) y '''  y ''  y ' y  Giải: a)Lập phương trình đặc trưng:   2       a0 = 1; a1 = 2, a2 = 1, a3 = λ, a4 = Ma trận Húcvit: Đỗ Thị Nhung 51 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân  0       1    0 3 Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1  2     1  3        2  12      3     2  12  Nghiệm tầm thường y ≡ phương trình ổn định khi:  1      3    2        2  12  vô nghiệm Vậy: Nghiệm không ổn định với α b) Lập phương trình đặc trưng:     2    a0 = 1; a1 = α, a2 = 2, a3 = β Ma trận Húcvit:     0     Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1   Đỗ Thị Nhung 52 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân 2    2           2    Để nghiệm phương trình ổn định thì:    1              2     2            2     Vậy nghiệm tầm thường y ≡ ổn định với (α,β) miền G   ,   :   0,   0,2    c) Lập phương trình đặc trưng:        a0 = 1; a1 = α, a2 = β, a3 = Ma trận Húcvít:  3   0     Tính định thức chéo ma trận Húcvít: 1   2     3          1   3  Để nghiệm phương trình ổn định thì: Đỗ Thị Nhung 53 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân    1                          3  Vậy nghiệm tầm thường y ≡ ổn định với (α,β) miền G   ,   :   0,   0,  3 Bài 4: Xét tính ổn định điểm cân (0,0) hệ sau:  x  x  y  a)   y  x  y  x  x  y  b)   y  y  3x Giải: a)Lập phương trình đặc trưng: 1 k 1 3 k 0  k  4k   k   i   k2   i Vậy điểm cân hệ không ổn định hay tiêu điểm không ổn định b) Lập phương trình đặc trưng: 1 k 2 3 2k 0  k  3k   Đỗ Thị Nhung 54 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân  k  1    k2   Vậy điểm cân hệ không ổn định (điểm yên ngựa) Bài 5: Xét tính ổn định điểm kì dị (0,0,0) hệ sau:  x  x  y  z    y  x  y  3z   z  x  2z  Cách 1: Lập phương trình đặc trưng: 2 1   1 1 3   0 2   1 3     2    2 1 3   0     1     1  Vậy điểm kì dị (0,0,0) hệ ổn định Cách 2: Ta có: A 1 1 3 2 Mà : A1     3   A1   Đỗ Thị Nhung 55 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân A2  1  3 3 2 50 A3  det A  1   A3   Như vậy: −A1 > 0; A2 > 0; −A3 > Vậy điểm kì dị (0,0,0) hệ ổn định Bài 6: Nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ điểm cân x = 0, y = hệ vi phân sau:  x   x  y  3x  a)   y  x  y  x  y  x   sin x  y  x  b)  1  y  x  2y  y   x  2e x  y   x  c)   y  x  6cos y   y Giải: a) Để xét ổn định hệ ta xét ổn định điểm cân hệ xấp xỉ thứ nhất:  x   x  y    y  3x  y Phương trình đặc trưng: 1   0 2      3   Đỗ Thị Nhung 56 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân    4  2   Vậy điểm cân hệ không ổn định b)Trước hết ta tìm hệ phương trình xấp xỉ thứ hệ cho Theo công thức Macloranh ta có: sin x  x  sin  x ,  số nằm x 2! Thay vào hệ ta được: sin    x   x  2! x  y  x   y  x  y  y3  (1) Ta có hệ xấp xỉ thứ (1) là:  x   x  y   y  x  2y  Phương trình đặc trưng là: 1   2   0  4  12     1          2 Vậy điểm cân hệ ổn định c) Trước hết ta tìm hệ phương trình xấp xỉ thứ hệ cho Theo công thức Macloranh ta có: Đỗ Thị Nhung 57 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân e e   x  x , 1 số nằm x 2! x cos y   cos 2 y ,  số nằm y Thay vào hệ ta được:  x   x  e x  y  x     y  x   3cos y   y  x  x  y  x  e x    y  x  3cos y  y (2) Ta có hệ thứ xấp xỉ với (2) là:  x  x  y    y  x Phương trình đặc trưng là: 2  0    2     1  2   Reλ2 > Vậy điểm cân hệ cho không ổn định Đỗ Thị Nhung 58 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường phương trình sau: y  4  y ''' y '' y ' y  Bài 2: Với giá trị α β nghiệm tầm thường phương trình sau ổn định: a) y  4  y '''  y '' y ' y  b) y  4   y ''' y ''  y ' y  c) y '''  y '' y '  y  d) y '''  y ''  y ' y  Bài 3: Xét tính ổn định điểm cân hệ sau:  x  3x  y  a)   y  x  y  x  x  y  b)   y  x  y   x  3x  y c)   y  53 x  y   x  x  y  z   d)  y  x  y  z   z  6x  y  z  Đỗ Thị Nhung 59 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Bài 4: Nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ điểm cân x = 0, y = hệ vi phân sau:  x  3x  y  sin x  y  a)   y  2 x  sin y  e y x  x  x  y  x  y sin y  b)   y  x  y  y  x  x  8sin y  c)   y   e x  y  cos y   x  4 x  sin y  x d)   y  2 x  x  y  y  Đỗ Thị Nhung 60 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp tóm tắt số kiến thức phương trình, hệ phương tình vi phân trình bày nét mang tính chất nhập mơn lý thuyết ổn định Vấn đề nghiên cứu nhiều điều lí thú bổ ích Tuy nhiên lần tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian kinh nghiệm cịn có hạn nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong tận tình bảo, đóng góp ý kiến thầy bạn Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích, đặc biệt thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng giúp đỡ em hồn thành khóa luận Đỗ Thị Nhung 61 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hồng Hữu Đường, Võ Đức Tơn, Nguyễn Thế Hồn (2000), Phương trình vi phân, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 2.Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2000), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb giáo dục Hà Nội Đỗ Thị Nhung 62 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng ... Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân §1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24 §2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 §3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN... Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Hệ vi phân tuyến tính (2.2) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định t   3.Các định lí tổng quát ổn định hệ vi phân tuyến tính Định. .. GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định Hệ 3: Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính