Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng thầy cô giáo khoa toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng thầy cô giáo Khoa Tổ Giải tích tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Nhung SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em bảo, dìu dắt thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định hệ vi phân” trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Nhung SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT §3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN 10 §4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13 §5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15 §6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 17 §7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 20 KHÔNG THUẦN NHẤT 20 §8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 22 CHƯƠNG : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 24 VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24 SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân §1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24 §2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 §3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 32 TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 32 §4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 35 VỚI MA TRẬN HẰNG 35 §5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT 36 §6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN 42 §7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT 44 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 49 BÀI TẬP TỰ GIẢI 59 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng ngày nhiều nhiều lĩnh vực khác kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái học môi trường học Với lí phát triển mạnh theo hai hướng ứng dụng lý thuyết, lý thuyết ổn định không gian Banach Với mong muốn tìm hiểu sâu tính ổn định hệ vi phân ứng dụng thực tế, giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định hệ vi phân” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài làm rõ tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân ứng dụng lý thuyết ổn định thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu là: Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận Nghiên cứu tính ổn định hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiên cứu điểm kì dị đơn giản Nghiên cứu tính ổn định số hệ dạng đặc biệt dựa vào phương pháp thứ Lyapunop Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân kiến thức liên quan đến hệ vi phân Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Phương pháp nghiên cứu Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Những kết thành tựu đạt lý thuyết ổn định nhiều sâu sắc, song bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu nên khuôn khổ khóa luận em xin trình bày vấn đề sau: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức hệ vi phân Chương 2: Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính Trong chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ vi phân Chương 3: Bài tập vận dụng Chương gồm tập có lời giải tập tự giải Lần làm quen với việc nghiên cứu thực đề tài thời gian ngắn nên tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên Qua em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng nhiệt tình giúp đỡ em thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô khoa tổ Giải tích tạo điều kiện cho em thực khóa luận Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.Định nghĩa: Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình sau:  dy1  dx  f1  x, y1 , y2 , , yn    dy2  f  x, y , y , , y  2 n  dx    dyn  f  x, y , y , , y  n n  dx (1.1) đây: x biến độc lập; y1  y1(x), y2  y2(x),…… , yn  yn(x) hàm phải tìm dy1 dy2 dy , ,… , n đạo hàm hàm phải tìm dx dx dx f i  x, y1 , y2 , , y n  hàm liên tục biến x, y1, y2,…, yn Khái niệm nghiệm hệ phương trình vi phân Nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) tập hợp n hàm khả vi y1  y1 ( x ) , y2  y2 ( x ) ,… , yn  yn ( x) khoảng cho chúng thỏa mãn tất phương trình hệ (1.1) hay nói cách khác thay chúng vào hệ (1.1) ta đồng thức Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân §2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Giả sử ta có phương trình: y  n   f  x, y, y ', , y  n 1  (2.1) Đặt: y  y1 , y '  y2 , y ''  y3 ,… , y  n 1  yn Khi ta có hệ n phương trình vi phân cấp sau:  dy1  dx  y2   dy2  y  dx    dyn  f  x, y , y , , y  n  dx (2.2) Nếu y  y(x) nghiệm phương trình (2.1) thì: y1  y  x  , y2  y '  x  ,…, yn  y  n 1  x  nghiệm (2.2) Ngược lại, y1(x), y2(x),… , yn(x) nghiệm hệ (2.2) hàm y  y1(x) cho ta nghiệm phương trình (2.1) 2.Đưa hệ phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Định lí: Với số điều kiện từ hệ phương trình: Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân  dx1  dt  f1  t , x1 , x2 , , xn    dx2  f  t , x , x , , x  2 n  dt    dxn  f  t , x , x , , x  n n  dt (2.3) đưa phương trình vi phân cấp n dạng: d nxj dx j d x j d n 1 x j    Fj  t , x j , , , , n1  dt n dt dt dt   (2.4) j giá trị ≤ j ≤ n Và từ nghiệm phương trình vi phân (2.4) cho ta nghiệm x1, x2,…., xn hệ phương trình vi phân (2.3) Chứng minh:   Giả sử f i i  1, n hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục theo tất biến đến cấp (n−1) Giả sử x1  x1  t  , x2  x2  t  ,…, xn  xn  t  nghiệm hệ (2.3), ta thay vào phương trình thứ j hệ (2.3) ta được: dx j dt d x j f j f j dx1 f j dxn       dt dt x1 dt xn dt Suy ra: d 2xj Vậy: dt  Đặt  f j  t , x1  t  , x2  t  , , xn  t    f j  t , x1 , x2 , , xn  (2.5) d 2xj dt   f j t f j t F2  t , x1 , x2 , , xn   Đỗ Thị Nhung f j dxi  i 1 x dt i n  n f j i 1 xn  f j t n f j i 1 xi  (2.6) fi  fi GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân d 2xj  F2  t , x1 , x2 , , xn  dt  d 3xj dt d 3xj dt  (2.7) F2 n F2 dxi F2 n F2      fi t i 1 xi dt t i 1 xi  F3  t , x1 , x2 , , xn  (2.8) (2.9) Cứ tiếp tục đến (n-2) lần ta được: d n1 x j dt n 1  Fn 1 (t , x1 , x2 , , xn ) d nxj  Fn (t , x1 , x2 , , xn ) dt n Giả sử: D  f j , F2 , F3 , , Fn 1  D  x1 , x2 , , x j 1 , x j 1 , , xn  (2.10) (2.11) 0 Xét hệ:  dx j  dt  f j  t , x1 , x2 , , xn   d xj   F2  t , x1 , x2 , , xn   dt   n 1 d xj  dt n1  Fn 1  t , x1 , x2 , , xn  (2.12) Do giả thiết (2.11) từ hệ (2.12) ta giải x1, x2, …., xj-1, d n 1 x j xj+1,… , xn hàm biểu diễn qua t, xj, , …., dt n 1 dt dx j Thay hàm vào (2.10) ta được: d nxj dx j d n 1 x j    F t , x , , ,  n j dt n dt dt n 1   (2.13) Đây phương trình vi phân cấp n xj Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Giải: Trước hết, ta tìm hệ phương trình xấp xỉ thứ (1) Theo công thức Macloranh ta có: sin x  x  sin 1 x , 1 số nằm x sin y  y  sin  2 y ,  số nằm y Thay vào (1) ta hệ:  x  10 x  29 y  5sin  x  y    y  x  14 y   7sin   1 y (2) Các số hạng phi tuyến (2) thỏa mãn điều kiện định lí định lí Ta có hệ xấp xỉ thứ (2) là:  x  10 x  29 y    y  x  14 y Phương trình đặc trưng là: (3) 10   29 14   0    4      2  i   2  2  i Như vậy, theo định lí 1, điểm (0,0) (1) (3) ổn định tiệm cận Đỗ Thị Nhung 48 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm miền ổn định tiệm cận hệ:  x   x   y   z    y   x  y   z   z   x   y  z  (1) (α,β số thực) Giải: Phương trình đặc trưng hệ (1) có dạng:             1     1    2   2       1     1  Vậy: Miền ổn định tiệm cận hệ toàn mặt phẳng Bài 2: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường phương trình sau: a) y  4  y ''' 12 y '' 23 y ' 10 y  b) y 5  y  4  y ''' y '' y ' y  Giải: a)Lập phương trình đặc trưng:   7  12  23  10  a0 = 1; a1 = 7, a2 = 12, a3 = 23, a4 = 10 Đỗ Thị Nhung 49 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Ma trận Húcvít: 7 0  23 12     10 23 12     0 10  Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1   2  23 12  61    23 12 12 23 7 7   913  10 23 23 10 23 4  0 23 12 0 10 23 12 0 10  ( 1) 4 10.  9130  Như vậy: 1  ,   ,   ,   nghiệm tầm thường y ≡ phương trình ổn định b) Lập phương trình đặc trưng:   2  3  2     a0 = 1; a1 = 2, a2 = 3, a3 = 2, a4 = 1,a5 = Ma trận Húc vít: 2 2  1  0  Đỗ Thị Nhung 0 0 0  2  1 2 0  50 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1   2  2 40 3    1 2 0 4  1 0 1  2  Vậy: Nghiệm tầm thường y ≡ phương trình không ổn định Bài 3: Với giá trị α β nghiệm tầm thường phương trình sau ổn định: a) y  4  y ''' y ''  y ' y  b) y '''  y '' y '  y  c) y '''  y ''  y ' y  Giải: a)Lập phương trình đặc trưng:   2       a0 = 1; a1 = 2, a2 = 1, a3 = λ, a4 = Ma trận Húcvit: Đỗ Thị Nhung 51 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân  0       1    0 3 Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1  2     1  3        2  12      3     2  12  Nghiệm tầm thường y ≡ phương trình ổn định khi:  1      3    2        2  12  vô nghiệm Vậy: Nghiệm không ổn định với α b) Lập phương trình đặc trưng:     2    a0 = 1; a1 = α, a2 = 2, a3 = β Ma trận Húcvit:     0     Tính định thức chéo ma trận Húc vít: 1   Đỗ Thị Nhung 52 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân 2    2           2    Để nghiệm phương trình ổn định thì:    1              2       2       2        Vậy nghiệm tầm thường y ≡ ổn định với (α,β) miền G   ,   :   0,   0,2    c) Lập phương trình đặc trưng:        a0 = 1; a1 = α, a2 = β, a3 = Ma trận Húcvít:  3   0     Tính định thức chéo ma trận Húcvít: 1   2     3          1   3  Để nghiệm phương trình ổn định thì: Đỗ Thị Nhung 53 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân    1                       3     Vậy nghiệm tầm thường y ≡ ổn định với (α,β) miền G   ,   :   0,   0,  3 Bài 4: Xét tính ổn định điểm cân (0,0) hệ sau:  x  x  y  a)   y  x  y  x  x  y  b)   y  y  3x Giải: a)Lập phương trình đặc trưng:  k 1 0 3 k  k  4k   k   i   k2   i Vậy điểm cân hệ không ổn định hay tiêu điểm không ổn định b) Lập phương trình đặc trưng: 1 k 2 3 2k 0  k  3k   Đỗ Thị Nhung 54 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân  k  1    k2   Vậy điểm cân hệ không ổn định (điểm yên ngựa) Bài 5: Xét tính ổn định điểm kì dị (0,0,0) hệ sau:  x  x  y  z    y  x  y  3z   z  x  2z  Cách 1: Lập phương trình đặc trưng: 2 1   1 1 3   0 2   1 3     2    2 1 3   0     1     1  Vậy điểm kì dị (0,0,0) hệ ổn định Cách 2: Ta có: A 1 1 3 2 Mà : A1     3   A1   Đỗ Thị Nhung 55 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân A2  1  3 3 2 50 A3  det A  1   A3   Như vậy: −A1 > 0; A2 > 0; −A3 > Vậy điểm kì dị (0,0,0) hệ ổn định Bài 6: Nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ điểm cân x = 0, y = hệ vi phân sau:  x   x  y  3x  a)   y  x  y  x  y  x   sin x  y  x  b)  1  y  x  2y  y   x  2e x  y   x  c)   y  x  6cos y   y Giải: a) Để xét ổn định hệ ta xét ổn định điểm cân hệ xấp xỉ thứ nhất:  x   x  y    y  3x  y Phương trình đặc trưng: 1   2   0    3   Đỗ Thị Nhung 56 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân    4  2   Vậy điểm cân hệ không ổn định b)Trước hết ta tìm hệ phương trình xấp xỉ thứ hệ cho Theo công thức Macloranh ta có: sin x  x  sin  x ,  số nằm x 2! Thay vào hệ ta được: sin    x   x  2! x  y  x   y  x  y  y3  (1) Ta có hệ xấp xỉ thứ (1) là:  x   x  y   y  x  2y  Phương trình đặc trưng là: 1   2   0  4  12     1          2 Vậy điểm cân hệ ổn định c) Trước hết ta tìm hệ phương trình xấp xỉ thứ hệ cho Theo công thức Macloranh ta có: Đỗ Thị Nhung 57 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân e e   x  x , 1 số nằm x 2! x cos y   cos 2 y ,  số nằm y Thay vào hệ ta được:  x   x  e x  y  x     y  x   3cos y   y  x  x  y  x  e x    y  x  3cos y  y (2) Ta có hệ thứ xấp xỉ với (2) là:  x  x  y    y  x Phương trình đặc trưng là: 2  0    2     1  2   Reλ2 > Vậy điểm cân hệ cho không ổn định Đỗ Thị Nhung 58 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường phương trình sau: y  4  y ''' y '' y ' y  Bài 2: Với giá trị α β nghiệm tầm thường phương trình sau ổn định: a) y  4  y '''  y '' y ' y  b) y  4   y ''' y ''  y ' y  c) y '''  y '' y '  y  d) y '''  y ''  y ' y  Bài 3: Xét tính ổn định điểm cân hệ sau:  x  3x  y  a)   y  x  y  x  x  y  b)   y  x  y   x  3x  y c)   y  53 x  y   x  x  y  z   d)  y  x  y  z   z  6x  y  7z  Đỗ Thị Nhung 59 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân Bài 4: Nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ điểm cân x = 0, y = hệ vi phân sau:  x  3x  y  sin x  y  a)   y  2 x  sin y  e y x  x  x  y  x  y sin y  b)   y  x  y  y  x  x  8sin y  c)   y   e x  y  cos y   x  4 x  sin y  x d)   y  2 x  x  y  y  Đỗ Thị Nhung 60 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp tóm tắt số kiến thức phương trình, hệ phương tình vi phân trình bày nét mang tính chất nhập môn lý thuyết ổn định Vấn đề nghiên cứu nhiều điều lí thú bổ ích Tuy nhiên lần tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian kinh nghiệm có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý Em mong tận tình bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn Một lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Giải tích, đặc biệt thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đỗ Thị Nhung 61 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (2000), Phương trình vi phân, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 2.Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (2000), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb giáo dục Hà Nội Đỗ Thị Nhung 62 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng [...]... Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) với số hạng tự do F(t) bất kì ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định §3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ vi phân tuyến tính thuần... tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân Hệ phương trình vi phân (8.1) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số Hệ phương trình vi phân (8.2) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số Đỗ Thị Nhung 23 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH... thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định đều khi t   Định nghĩa 3: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm ~ tầm thường Y 0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định tiệm cận khi t   4.Các hệ quả Hệ quả 1: Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi ít ra một nghiệm của nó ổn định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nó không ổn định Hệ quả 2: Đỗ Thị Nhung... nghiệm ổn định, một số nghiệm không ổn định Định nghĩa 2: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là hệ ổn định đều nếu tất cả các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t   đối với thời điểm ban đầu t0   a,   Định nghĩa 3: Đỗ Thị Nhung 29 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn. .. nó ổn định khi t   3.Các định lí tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định với số hạng tự do bất kì F(t) là nghiệm tầm thường: ~ Y 0  0;  t0  t  , t0   a,    của hệ thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định Chứng minh: 1)Điều kiện cần Giả sử Z  Z (t );(t0  t  ) là một nghiệm ổn định nào đó của hệ vi phân tuyến... vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.4) Định nghĩa 1: Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Lyapunov khi t   Nhận xét: Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đòng thời cùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định Hệ phi tuyến tính không có tính chất này nghĩa là đối với hệ. .. thường Y 0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định theo Lyapunov khi t   Đỗ Thị Nhung 30 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân 2)Điều kiện đủ ~ Giả sử nghiệm tầm thường Y 0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần ~ ~ nhất (2.4) ổn định theo Lyapunov khi t   Khi đó Y  Y (t ) , t 0  t    là một nghiệm bất kì của hệ vi phân tuyến tính... nghiệm của hệ là:  1 t t t  y  c1e  c2te  2 c2e Đỗ Thị Nhung 9 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân Nhận xét: Từ vi c giải hai hệ phương trình trên ta rút ra kết luận sau: Để giải hệ phương trình vi phân (1.1) bằng phương pháp đưa về phương trình vi phân cấp n ta làm như sau: Lấy đạo hàm một phương trình bất kì của hệ từ đó đưa về một phương vi phân cấp n của. .. tính thì W  0 Định lí 6.4: Đỗ Thị Nhung 19 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định của hệ vi phân Nếu Y1, Y2,…, Yn là các nghiệm độc lập tuyến tính thì W # 0 Định lí 6.5: Nếu Y  U + iV ( i 2  1 ) là một nghiệm của hệ (6.2) thì U, V cũng là các nghiệm của hệ (6.2) Định lí 6.6: Nếu Y1, Y2,…, Yn là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình (6.1) thì nghiệm tổng quát của hệ phương trình... các nghiệm của hệ (1.4) ~ thỏa mãn điều kiện Y  t0    sẽ xác định trong khoảng t0 ,   và ~ Y  t   Z (t )   với t0 ≤ t ... Lý thuyết ổn định hệ vi phân Hệ vi phân tuyến tính ổn định hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định Hệ 3: Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) với số hạng tự F(t) ổn định tiệm cận hệ. .. Lý thuyết ổn định hệ vi phân Hệ vi phân tuyến tính (2.2) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định t   3.Các định lí tổng quát ổn định hệ vi phân tuyến tính Định lí 1: Điều kiện cần đủ để hệ. .. luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân §1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24 §2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 §3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 32 TUYẾN TÍNH