Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính ổn định của hệ vi phân và ứng dụng của nó trong thực tế, được sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em chọn

Trang 1

SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt

tình của thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng và các thầy cô giáo trong

khoa toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng cùng các thầy cô giáo trong Khoa và trong Tổ Giải tích đã tạo điều

kiện cho em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của em dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự

hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi phân” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

Trang 3

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3

§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 4

§3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN 10

§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13

§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15

§6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 17

§7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 20

KHÔNG THUẦN NHẤT 20

§8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG 22

CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 24

VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24

Trang 4

§1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24

§2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27

§3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 32

TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 32

§4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 35

VỚI MA TRẬN HẰNG 35

§5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT 36

§6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN 42

§7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT 44

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 49

BÀI TẬP TỰ GIẢI 59

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

Trang 5

Đỗ Thị Nhung 1 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định là bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái học và môi trường học Với lí do đó nó đang được phát triển mạnh theo

cả hai hướng ứng dụng và lý thuyết, nhất là lý thuyết ổn định trong không gian Banach Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính ổn định của hệ vi phân và ứng dụng của nó trong thực tế, được sự giúp đỡ

hướng dẫn tận tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em

chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định của hệ vi phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ tính ổn định của các nghiệm đối với các hệ phương trình vi phân và những ứng dụng của lý thuyết ổn định trong thực tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:

Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng Nghiên cứu tính ổn định của hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiên cứu các điểm kì dị đơn giản

Nghiên cứu tính ổn định của một số hệ dạng đặc biệt dựa vào phương pháp thứ nhất Lyapunop

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là tính ổn định của hệ vi phân và các kiến thức liên quan đến hệ vi phân

Trang 6

5 Phương pháp nghiên cứu

Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc khóa luận

Những kết quả và thành tựu đạt được của lý thuyết ổn định là rất nhiều và sâu sắc, song do mới bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ của khóa luận em xin trình bày những vấn đề sau:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức về hệ vi phân

Chương 2: Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Trong chương này trình bày một số kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ

vi phân

Chương 3: Bài tập vận dụng

Chương này gồm bài tập có lời giải và bài tập tự giải

Lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu và thực hiện đề tài trong thời gian ngắn nên không thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên Qua đây

em cũng xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã nhiệt tình giúp đỡ em thực hiện khóa luận Em cũng xin gửi lời

cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong khoa và tổ Giải tích đã tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận này

Trang 7

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

f x y y y là các hàm liên tục của các biến x, y1, y2,…, yn

2 Khái niệm nghiệm của hệ phương trình vi phân

Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi

y  y x , y2  y x2( ),… ,y n  y x n( ) trên một khoảng nào đó sao cho chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách khác khi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức

Trang 8

§2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N

2 3

Trang 9

Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (2.4) cho ta một nghiệm

x1, x2,…., xn của hệ phương trình vi phân (2.3)

Trang 10

Do giả thiết (2.11) từ hệ (2.12) ta có thể giải được x1, x2, …., xj-1,

xj+1,… , xn vàcác hàm này biểu diễn qua t, xj, dx j

dt , ….,

1

n j n

d x dt

Trang 11

Giả sử xj = xj(t) là một nghiệm bất kì của (2.13) thay vào (2.12) ta tìm được x1, x2, …., xj-1, xj+1,… , xn và x1, x2, … , xn sẽ là nghiệm của

1 1

0

i i i

i

i j n

i i i

Trang 12

Hệ (2.17) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất

Do (2.11) nên hệ (2.17) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường suy ra

i

dx f

dt  và

j j

dx f

dt  ; (i # j)

Vậy: x1, x2, … , xn là nghiệm của hệ (2.3)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

 

12

dy z dx dz y dx

Trang 13

Trang 14

Nhận xét:

Từ việc giải hai hệ phương trình trên ta rút ra kết luận sau: Để giải

hệ phương trình vi phân (1.1) bằng phương pháp đưa về phương trình vi phân cấp n ta làm như sau:

Lấy đạo hàm một phương trình bất kì của hệ từ đó đưa về một phương vi phân cấp n của một hàm phải tìm Giải phương trình vi phân cấp n có được từ nghiệm của phương trình vi phân cấp n ta sẽ tìm được nghiệm của hệ phương trình vi phân

dy z dx dy y dx

Trang 15

t x x, ,1 2, ,x nc (3.2) gọi là tích phân đầu của hệ (3.1)

Nếu tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu:

Trang 16

, , , ,

n n

Chú ý: Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ

(3.1) dưới dạng đối xứng sau:

Trang 17

Các tích phân đầu tìm được này là độc lập Vì thế chúng cho ta xác định các hàm phải tìm y và z qua x, c1, c2

§4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

1.Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân:

Trang 18

được hiểu như sau:

Tìm nghiệm y1 y x1 , y2  y x2 ,… ,y n  y x n  thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho trước   0

ii, Các hàm f1, f2,…., fn thỏa mãn điều kiện Lipsit theo y1, y2,…, yn trong miền G với hằng số Lipsit L > 0

Trang 19

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm: y x y x y x1 , 2 , ,y x n   của

hệ (4.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu:   0

§5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giả sử G là miền mà tại đó nghiệm của bài toán Cauchy đối với

hệ phương trình (4.1) tồn tại và duy nhất

, , , ,

n n

, , , ,

n n

Trang 20

, , , ,

n n

ta có:

2

yc xc x

Trang 21

Hệ hàm

2

2 1

y c x c x





, x c1 là nghiệm tổng quát của hệ đang xét trong miền Gx#0;   y ; 0  z 

Phương trình thứ hai của hệ có nghiệm kì dị z  0

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

2

ln

yx c x

Do đó hệ phương trình đã cho có họ nghiệm kì dị:

2

ln 0

z









§6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 1.Định nghĩa: Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng:

                  1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2

n

dy

dx dy

dx

dy

dx









(6.1)

trong đó: aij(x) , ( ,i j1, 2, ,n) là các hàm số liên tục

y1, y2,…., yn là các hàm số cần tìm

Hệ phương trình (6.1) có thể viết dưới dạng ma trận sau:

Đặt :

Trang 22

dx dx

dy dx

c, Định nghĩa:

c 1 , Định nghĩa 1:

Trang 23

Các nghiệm Y1,Y2,…, Yn của hệ (6.2) được gọi là độc lập tuyến tính

1

y y Y y

nn

y y Y y

Trang 24

Nếu Y1, Y2,…, Yn là các nghiệm độc lập tuyến tính thì W # 0

Trang 25

dx dx

dy dx

thì hệ (7.1) có thể viết dưới dạng ma trận tương đương như nhau:

Trang 26

với ma trận thực A(x) có nghiệm phức:

Trang 27

Hệ phương trình vi phân (8.1) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số

Hệ phương trình vi phân (8.2) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số

Trang 28

CHƯƠNG 2 : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYẾN TÍNH

§1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH

Cho hệ phương trình vi phân:

dt dt

dy dt

,

n

f t Y

f t Y F

Trang 29

Để hệ (1.2) thỏa mãn định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy ta giả thiết hàm F(t,Y) liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến y1, y2,… ,yn liên tục

Định nghĩa 1:

Nghiệm Z Z t( );(a   của hệ (1.2) được gọi là ổn định theo t )

Lyapunov khi t   (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi   và 0

t  a  tồn tại    ,t00 sao cho:

1) Tất cả các nghiệm Y  Y(t) của hệ (1.2) (bao gồm cả nghiệm Z(t)) thỏa mãn điều kiện:

Y t 0 Z t 0  (1.3) xác định trong khoảng t0<t<∞, tức là:

Y(t)DY khi tt0,

2) Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

Y t Z t   khi t 0 ≤ t <+∞ (1.4) Nói cách khác, nghiệm Z(t) ổn định, nếu các nghiệm Y(t) khá gần với

nó ở thời điểm ban đầu t0 bất kì sẽ hoàn toàn nằm trong ống  nhỏ tùy ý được dựng quanh nghiệm Z(t)

Trường hợp đặc biệt, khi F(t,0) ≡ 0 Nghiệm tầm thường (còn gọi là trạng thái cân bằng) Z(t) ≡ 0 ; (a< t <∞) ổn định nếu với mọi   và 0

Nếu số  0 có thể chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu

t0G, tức là     thì ổn định được gọi là ổn định đều trong miền G

Trang 30

Định nghĩa 3:

Nghiệm Z Z t( );(a  t )được gọi là ổn định theo Lyapunov , nếu với  0, t0a, nào đó và với mọi  0 tồn tại nghiệm Y t  (ít nhất là một) và thời điểm t1t1  t0 sao cho:

   0

Y t Z t  và Y t 1 Z t 0  

Định nghĩa 4:

Nghiệm tầm thường Z ≡ 0 không ổn định nếu với  0,t0a, nào 

đó với mọi   tồn tại nghiệm 0 Y t  và thời điểm t1>t0 sao cho:

2) Với  t0 a, tồn tại    t0 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) , (t0 ≤ t

<∞) thỏa mãn điều kiện Y t 0 Z t 0   sẽ có tính chất:

Trang 31

Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian

t0 t  Y 

        nếu nghiệm Z Z t( ); a  t  ổn định

tiệm cận khi t   và tất cả các nghiệm Y=Y(t), (t0 ≤ t <∞ , t0 > a)

đều có tính chất (1.3) , tức là    thì Z(t) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục

§2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

1.Các khái niệm cơ bản

Xét hệ vi phân tuyến tính:

Trang 32

   

1

n j

( ) ( ) ( )

n n

điều đó có nghĩa là mỗi cột của ma trận (2.3) là một nghiệm của hệ (2.4)

và các vectơ này độc lập tuyến tính

11

21 1

1

( )( )

( )

n

x t

x t X

2

( )( )

( )

n

x t

x t X

( )

n n n

nn

x t

x t X

Trang 33

( )

X t CY

 ~

1 0 0

Xét hệ vi phân tuyến tính (2.2) và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.4)

Các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính hoặc đòng thời cùng ổn định

hoặc đồng thời cùng không ổn định Hệ phi tuyến tính không có tính chất này nghĩa là đối với hệ phi tuyến tính có thể có một số nghiệm ổn định, một số nghiệm không ổn định

Định nghĩa 2:

Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là hệ ổn định đều nếu tất cả

các nghiệm Y(t) của nó ổn định đều khi t   đối với thời điểm ban

đầu t0a,

Định nghĩa 3:

Trang 34

Hệ vi phân tuyến tính (2.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả

các nghiệm của nó ổn định khi t  

3.Các định lí tổng quát về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) ổn định với số hạng

Y t 0 Z t 0  (2.7) nhưng khi đã biết

Trang 35

Trang 36

Hệ vi phân tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ vi phân tuyến tính thuần

nhất tương ứng ổn định

Hệ quả 3:

Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2.2) với số hạng tự do F(t) bất kì ổn định tiệm cận là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (2.4) ổn định

§3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

Trang 37

Trang 38

khi Z t 0   trong đó t0 (a, ∞) tùy ý

Ta hãy xét một nghiệm Y(t) tùy ý, xác định với điều kiện ban đầu

Y(t0) = Y0 # 0 Ta hãy giả sử rằng:

     0

12

Trang 39

Vì trên đoạn hữu hạn t T0,  hàm vectơ liên tục Y(t) bị chặn, nên nghiệm Y(t) bất kì giới nội trên t  và do đó hệ (3.1) ổn định, ngoài ra 0, 

nghiệm tầm thường của nó ổn định tiệm cận Từ đó suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ (3.1)

§4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4.1) với ma trận hằng A ổn định khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng j j A của A đều có phần thực không dương:

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	520,53 KB