Lý thuyết ổn định của hệ vi phân

Khóa luận tốt nghiệp Lý thuyết ổn định hệ vi phân LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo: T.S Nguyễn Văn Hùng thầy giáo khoa tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng thầy giáo Khoa Tổ Giải tích tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Nhung SVTH:Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em bảo, dìu dắt thầy giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Lý thuyết ổn định hệ vi phân” khơng có trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Nhung MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT .4 §3.PHƯƠNG PHÁP TỔ HỢP TÍCH PHÂN 10 §4.ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13 §5.CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15 §6.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 17 §7.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 20 KHƠNG THUẦN NHẤT 20 §8.HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG .22 CHƯƠNG : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 24 VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24 §1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24 §2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 §3.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 32 TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 32 §4.ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 35 VỚI MA TRẬN HẰNG 35 §5.TIÊU CHUẨN HÚCVIT 36 §6.CÁC ĐIỂM KÌ DỊ ĐƠN GIẢN 42 §7.ỔN ĐỊNH THEO XẤP XỈ THỨ NHẤT .44 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 49 BÀI TẬP TỰ GIẢI 59 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO .62 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng ngày nhiều nhiều lĩnh vực khác kinh tế khoa học kĩ thuật, sinh thái học mơi trường học Với lí phát triển mạnh theo hai hướng ứng dụng lý thuyết, lý thuyết ổn định không gian Banach Với mong muốn tìm hiểu sâu tính ổn định hệ vi phân ứng dụng thực tế, giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng mà em chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định hệ vi phân” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài làm rõ tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân ứng dụng lý thuyết ổn định thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu là: □ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính □ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính □ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận □ Nghiên cứu tính ổn định hệ dựa vào tiêu chuẩn Húcvít, nghiên cứu điểm kì dị đơn giản □ Nghiên cứu tính ổn định số hệ dạng đặc biệt dựa vào phương pháp thứ Lyapunop Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân kiến thức liên quan đến hệ vi phân Đỗ Thị Nhung GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Phương pháp nghiên cứu □ Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu □ Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Những kết thành tựu đạt lý thuyết ổn định nhiều sâu sắc, song bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học thời gian nghiên cứu nên khn khổ khóa luận em xin trình bày vấn đề sau: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức hệ vi phân Chương 2: Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính Trong chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ vi phân Chương 3: Bài tập vận dụng Chương gồm tập có lời giải tập tự giải Lần làm quen với việc nghiên cứu thực đề tài thời gian ngắn nên khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên Qua em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng nhiệt tình giúp đỡ em thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy khoa tổ Giải tích tạo điều kiện cho em thực khóa luận CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.Định nghĩa: Hệ n phương trình vi phân cấp dạng chuẩn tắc hệ phương trình sau:  dy  dx  f1  x, y1 , y2 , , yn    dy2  f  x, y1 , y2 , , y  n  dx   dy  n   fn  x, y1 , y2 , , yn  dx đây: (1.1) x biến độc lập; y1  y1(x), y2  y2(x),…… , yn  yn(x) hàm phải tìm đạo hàm hàm phải tìm dy1 dy2 , ,… , dyn dx dx dx fi  x, y1 , y2 , , y n hàm liên tục biến x, y , y ,…, y n  Khái niệm nghiệm hệ phương trình vi phân Nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) tập hợp n hàm khả vi y1  y1 (x) , y2  y2 (x),… , yn  yn (x) khoảng cho chúng thỏa mãn tất phương trình hệ (1.1) hay nói cách khác thay chúng vào hệ (1.1) ta đồng thức §2.QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP N VÀ HỆ N PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Giả sử ta có phương trình: y   f n Đặt: '  x, y, y ', , y   n1 (2.1) ' y  y1 , y  y2 , y  y3 ,… , y  n1  yn Khi ta có hệ n phương trình vi phân cấp sau:  dy  dx  y  dy y    dx   dy  n  dx  f  x, y1 , y2 , , yn  (2.2) Nếu y  y(x) nghiệm phương trình (2.1) thì: y1  y  x , y2  y ' x  ,…, yn  y n1  x nghiệm (2.2) Ngược lại, y1(x), y2(x),… , yn(x) nghiệm hệ (2.2) y  y1(x) cho ta nghiệm phương trình (2.1) hàm 2.Đưa hệ phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Định lí: Với số điều kiện từ hệ phương trình:  dx1 f  t, x , x , , x   dt  1 n   dx2  f  t, x1, x2 , , x  n  dt    dxn  dt  fn  t, x1 , x2 , , xn  (2.3) đưa phương trình vi phân cấp n dạng: n d x n1  dx j d xj d x j  F  t, x , , , ,  n dt j j dt dt dt n1  j giá trị ≤ j ≤ n j (2.4) Và từ nghiệm phương trình vi phân (2.4) cho ta nghiệm x1, x2,…., xn hệ phương trình vi phân (2.3) Chứng minh: Giả sử  fi i  1, n  hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục theo tất biến đến cấp (n−1) Giả sử x  x t , x  x t ,…, x  x t nghiệm hệ (2.3), ta 1  2  n n  thay vào phương trình thứ j hệ (2.3) ta được: dxj  f j  t, x1  t  , x2  t , , xn  t    dt f j  t, x1 , x2 , , xn (2.5)  f d xj  f j  f j  dx1   j · dx n dt dt x1 xn dt dt Suy ra: d x Vậy: j dt   d x j  f f j t f j f j dxi  i1 x dt i n  n  f j i (2.6) dt Đặt t F2  t, x1 , x2 , , xn   i1 f j xn n  t f j i1 · xi fi n ... Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính □ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính □ Nghiên cứu tính ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận □ Nghiên cứu tính ổn định hệ dựa vào tiêu... TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG .22 CHƯƠNG : SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 24 VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24 §1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 24 §2.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN... bị Trong chương trình bày số kiến thức hệ vi phân Chương 2: Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính Trong chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ vi phân Chương 3: Bài tập vận dụng Chương