Luận văn sư phạm Lý thuyết điểm bất động

Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i L IC M B n khố lu n nƠy đ c hồn thành t i tr ng N i h c s ph m Hà N i d d n c a thây Nguy n V n Hùng Em xin bày t lòng bi t n s ch b o h is h ng ng d n t n tình nghiêm kh c đ em có th hồn thành khố lu n Trong trình h c t p, tr đ ng thƠnh vƠ đ c bi t lƠ giai đo n th c hi n khoá lu n, em nh n c s d y d ân c n, nh ng l i đ ng viên ch b o c a th y cô Qua đơy cho phép em đ bày t lòng bi t n chơn thƠnh t i th y cô t Gi i tích, khoa tốn tr ng c iH cS Ph m Hà N i Em xin chân thành c m n ! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Bùi Th Thanh Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i M CL C PH N 1: M U 1.Lý ch n đ tài M c đích nghiên c u Nhi m v nghiên c u C u trúc khóa lu n PH N 2: N I DUNG CHÍNH CH NG KI N TH C CHU N B 1.1 Không gian metric ………………………………………………………………… 1.2 TôPô không gian metric 1.3 Ánh x liên t c 1.4 Không gian metric đ y đ 1.5 T p h p compact b ch n 1.6 Không gian đ nh chu n không gian Banach 1.7 Tính l i 12 1.8 Không gian đ nh chu n h u h n chi u: 16 CH NG 2: CÁC NH LÝ V I MB T NG 17 2.1 Nguyên lý ánh xa co banach 17 CH 2.2 nh lỦ m b t đ ng Brouwer 23 2.3 nh lỦ m b t đ ng Schauder 26 NG 3: M T S ÁP D NG C A NH Lụ I M B T NG 32 3.1 Áp d ng vƠo ph ng trình vi phơn th 3.2 Áp d ng vƠo ph ng trình tích phơn 39 ng 32 K T LU N 42 TÀI LI U THAM KH O 43 Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Toán Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i PH N 1: M U LỦ ch n đ tƠi Trong gi i quy t toán khác c a khoa h c k thu t d n đ n vi c nghiên c u v n đ Cho X m t không gian nƠo vƠ A: M  X ánh x t t p M  X vƠo nó, xét ph ph ng trình phi n Ax  x, x  M ng trình Ax = x đ i m x  M th a mƣn c g i lƠ m b t đ ng c a ánh x A t p M Vi c gi i quy t bƠi toán d n đ n s đ i c a m t h ng nghiên c u tốn h c, lƠ lí thuy t chi n b t đ ng c a ánh x LỦ thuy t m b t đ ng lƠ m t nh ng l nh v c quan tr ng c a tích hƠm phi n Ngay t đ u th k 20, nhƠ toán h c th gi i quan tơm v v n đ nƠy vƠ cho t i nay, có th kh ng đ nh r ng, lỦ thuy t m b t đ ng đƣ đ đ c phát tri n h t s c sơu r ng, tr thƠnh công c không th thi u c đ gi i quy t nhi u bƠi toán khác th c t đ S phát tri n c a l nh v c nƠy g n li n v i tên tu i c a nhƠ toán h c l n th gi i nh : Banach, Brouwer, Schauder, conebel,ầ Nh ng k t qu kinh n vƠ đ u tiên c a lỦ thuy t v m b t đ ng nh : nguyên lỦ ánh x co Banach, đ nh lỦ m b t đ ng Brouwer, đ nh lỦ m b t đ ng Schauder đƣ đ ph c áp d ng vƠo ngƠnh toán h c hi n đ i nh : ng trình vi phơn, gi i tích hƠm, gi i tích đ i s ầ V i lí đó, em đƣ ch n đ tƠi: “Lý thuy t m b t đ ng” M c đích nghiên c u B c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c th c hi n khoá lu n t t nghi p Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i Nhi m v nghiên c u Nghiên c u m t s đ nh lý m b t đ ng không gian Banach không gian đ nh chu n h u h n chi u Nghiên c u vi c áp d ng đ nh lý m b t đ ng vi c gi i t p v ph ng trình tích phân ph ng trình vi phân th ng C u trúc c a khoá lu n Ngoài ph n m đ u k t lu n, n i dung c a khố lu n g m ch ng Ch ch ng 1: Nêu m t s ki n th c chu n b quan tr ng s s d ng ng ch Ch ng ng 2: Nêu nguyên lý ánh x co Banach, đ nh lý m b t đ ng Schauder, ch ng minh đ nh lý, ví d áp d ng Ch ng 3: Áp d ng đ nh lý m b t đ ng vào vi c gi i ph trình tích phân ph ng trình vi phân th ng ng Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Toán Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i PH N 2: N I DUNG CHÍNH Ch Ch ng 1: Ki n th c chu n b ng nƠy có m c đích xác đ nh m t s kí hi u, nh c l i m t s lỦ thuy t c a gi i tích hƠm v m t s không gian, t p h p đ ch c s d ng ng sau 1.1 Không gian metric nh ngh a 1.1.1 Ta g i lƠ m t không gian metric m t t p h p X≠  v i m t ánh x d t tích Descartes X x X vào t p s th c th a mƣn u ki n sau: i)  x, y  X  d  x, y  0, d  x, y   x  y (tiên đ đ ng nh t) ii)  x, y  X  d  x, y  d  y, x (tiên đ đ i x ng) iii)  x, y, z  X  d  x, y  d  x, z   d  z, y (tiên đ tam giác) Ánh x d đ c g i metric X, s d(x,y) đ c g i kho ng cách gi a ph n t x y, ph n t c a X g i lƠ m Kí hi u khơng gian metric c p : (X,d) Ví d 1.1.1: Khơng gian véct th c n chi u n g m véc t x   x1, x2 , , xn  (xi  ) v i kho ng cách d  x, y  n  x  y  i 1 i i d ng không gian metric Th t v y: n  x  y  n i) x, y ฀ , ta có d  x, y  i 1 d(x,y) =  (xi- yi)2 = t t ng đ ng đ i i 0 ng xi = yi, ( i= 1, n ), y  ( yi )in1  ng x = y (tiên đ (i) đ Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn c th a mãn) Khóa lu n t t nghi p ii) x, y  Tr ng H S ph m HƠ N i n n   xi  yi  n  y  x   i 1 i i 1 i d  x, y  d  y, x suy (Tiên đ ii đ c th a mãn) iii) x, y, z  n ; z =  zi in1 n   xi  yi  Ta có: d  x, y  n  x  z  z  y   i 1 i i 1 i i i Ta ph i ch ng minh n  x  z  z  y  i i 1 i i i  n  x  z  i 1 i i n  z  y   i i 1 (1) i Th t v y: n n n  x  z  z  y    x  z    z  y  i 1 i i i i i i 1 i i i 1 2 i n   xi  zi  i 1 n  2  xi  zi i 1  zi  yi   n n  z  y  i 1 n  x  z   z  y  i 1 i i i 1 i i i 2 i (2) t xi  zi  ; zi  yi  bi ; n n n i 1 i 1 i 1      aibi    a 2i  b2i theo b t đ ng th c Bunhiacôpxki Suy (1) V y d  x, y  d  x, z   d  z, y  (Tiên đ iii) đ V y( n c th a mãn) , d ) không gian metric Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i nh ngh a 1.1.2 Cho không gian metric M = (X, d), dƣy m  xn   X , m xo  X Dãy  xn  đ c g i h i t t i m xo không gian M n   , n u      n0  N*   n  n0  d  xn , x0    , kí hi u: lim xn  x0 hay xn  x0  n    n i m x0 g i gi i h n dãy ( xn ) không gian M 1.2.Tô Pô không gian metric nh ngh a 1.2 1: Cho không gian metric M = (X, d), a  X , s th c r  Ta g i T p S(a, r) = {x  X; d(x, a) < r } hình c u m tâm a, bán kính r   T p S '  a , r   x  X; d  x, a   r hình c u đóng tơm a, bán kính r nh ngh a 1.2.2: Cho không gian metric M   X, d  t p A  X T p A g i t p m không gian M, n u m thu c A lƠ m c a A hay nói cách khác, n u m x  A, t n t i m t lân c n c a x bao hàm A T p A g i t p đóng khơng gian M n u m i m không thu c A đ u lƠ m ngồi c a A, hay nói cách khác, n u m x  A t n t i m t lân c n c a m x không ch a m thu c t p A Qui c:  , X đ u t p đóng nh lý 1.2.1: Cho khơng gian M   X, d  , t p A  X A   T p A đóng không gian M ch m i dƣy m  xn   A h i t t i m x x  A Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Toán Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i nh lý 1.2.2 Trong khơng gian metric  X, d  , hình c u đóng lƠ m t t o h p đóng nh lý 1.2.3: Cho  X, d  m t khơng gian metric thì: 1) A đóng X,  I  A đóng X I n 2) A1, A2 , , An đóng X  Ai đóng X i 1 1.3 Ánh x liên t c Cho không gian metric M1 = (X, d1), M2 = (Y, d2) , ánh x f t không gian M1 lên không gian M nh ngh a 1.3.1: Ánh x f g i liên t c t i x0  X , n u   0,   cho x  X : d1  x, x0    d  f  x , f  x0     nh ngh a 1.3.2: Ánh x f g i liên t c A  X , n u ánh x f liên t c t i m i m thu c t p A, A=X ánh x f g i liên t c nh ngh a 1.3.3: Ánh x f đ c g i liên t c đ u t p A  X n u:   0,   cho x, x'  A: d1  x, x'   d2  f  x , f  x '    1.4 Không gian metric đ y đ nh ngh a 1.4.1: Cho không gian metric M   X, d  Dƣy m  xn   X g i lƠ dƣy c b n M n u    0  n0  N*  m, n  n0  d  xm, xn    Hay lim d  xm, xn   m,n T đơy, ta suy m i dƣy m  xn   X h i t M đ u lƠ dƣy c b n Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i nh ngh a 1.4.2: Không gian Metric M   X, d  g i lƠ không gian đ y đ n u m i dƣy c b n không gian đ u h i t 1.5 T p h p compact vƠ b ch n nh ngh a 1.5.1: T p h p K không gian metric X g i compat n u m i dƣy m { xn } K đ u có m t dãy { xnk } h i t đ n m t m thu c K nh lý 1.5.1.( nh lý v ánh x liên t c compact) Cho không gian metric M1   X, d1  , M2  X, d2  ánh x f ánh x M1 vào M N u ánh x f liên t c t p compact K  X 1.f liên t c đ u K f(K) t p compact không gian M nh ngh a 1.5.2: Cho A m t t o h p tùy ý m t không gian metric X S  ( A)  Sup d  x, y  x, yA c g i lƠ đ ng kính c a t p A, có th s h u h n hay vô h n N u  ( A)   A đ c g i m t t p h p b ch n T đ nh ngh a ta có u sau: a) t p A b ch n, u ki n c n vƠ đ t n t i m t hình c u S  x0 , R ch a A b) H p c a m t s h u h n nh ng t p h p b ch n m t t p h p b ch n 1.6 Không gian đ nh chu n không gian Banach nh ngh a 1.6.1 Gi s K m t tr ng s th c ho c tr ng s ph c X   v i hai ánh x (g i phép c ng vƠ phép nhơn vô h T ph p ng) Phép c ng xác đ nh X  X l y giá tr X: Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i  x, y  x  y; Phép nhân vô h x, y  X ng xác đ nh K  X l y giá tr X: (, x) x ;   K, x  X Coi m t không gian n tính (ho c khơng gian vect ) n u u ki n sau đơy đ c th a mãn 1) X v i phép c ng m t nhóm Abel, t c là: a, x  y  y  x, x, y  X b,  x  y  z  x   y  z ; x, y, z  X c,T n t i m t ph n t  c a X cho: x +  = x, x  X d,V i m i x  X , t n t i ph n t   x c a x cho x    x  2)  ( x  y)   x   y; x, y  X,   K 3)      x   x   x; x  X;  ,   K 4)    x     x ; x  X;  ,   K 5) 1.x  x; x  X nh ngh a 1.6.2: Ta g i không gian đ nh chu n (hay khơng gian n tính đ nh chu n) m i khơng gian n tính X v i m t ánh x t X vào t p h p s th c , th ng kí hi u || || đ c chu n, th a mƣn u ki n: i)V i x  X , ta có || x || || x ||  x   (kí hi u ph n t khơng  ) ii)V i x  X v i   R , ta có:  x   x ; iii) V i x, y  X , ta có: x  y  x  y s || x || g i chu n c a ph n t x  kí hi u khơng gian đ nh chu n X,  Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 10 Khóa lu n t t nghi p Ta s ch ng minh tr c ti p Tr ng H S ph m HƠ N i t: Bu  Au  u u  a , b Vì A a  , A b   a , b nên A a   a ; A b   b Suy B a   B b   Theo đ nh lý giá tr trung bình, hàm s th c B có m t m u a ,b  ngh a lƠ B u   , suy A u   u , v y hàm s liên t c A:  a , b   a , b có m t m b t đ ng nh lỦ m b t đ ng Schauder 2.4 N m 1930, Schauder đƣ ch ng minh đ nh lỦ m b t đ ng c a toán t compact A: M  M V n nh Banach, ông xem xét tốn t compact A khơng gian đ nh chu n, nhiên t p M ph i th a mƣn u ki n: khác r ng, đóng, l i, b ch n 2.4.1 nh lỦ m b t đ ng schauder Toán t compact A: M  M có m t m b t đ ng u n u t p M t p khác r ng, đóng, l i, b ch n c a không gian Banach X tr ng K Ch ng minh: Cho u0  M ; thay th u b i u  u0 , n u c n có th gi s r ng  M Theo đ nh lý x p x đ i v i toán t compact (m nh đ 1.7.5) ta có, v i m i n  1,2, có m t khơng gian h u h n chi u Xn c a X Toán t An : M  Xn cho A u   An  u   ; u  M (2.2.8) n t Mn  Xn  M Suy ra, Mn t p b ch n, đóng, l i c a Xn v i  Mn An  M   CoA M   M (vì M l i) Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 30 Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i Theo đ nh lỦ m b t đ ng Brounwer, toán t An : Mn  Mn có m b t đ ng un , ngh a lƠ An un  un , un  Mn ; n  1,2, (2.2.9) T (2.2.8), suy Aun  un  ; n  1,2, n (2.2.10) Vì Mn  M ; n  1,2, suy dãy  un  b ch n Vì A: M  M tốn t compact suy có dãy v n đ c xác đ nh b i  un  cho Aun  v n   T (2.2.10) v  un  v  Aun  Aun  un  n   Khi đó: un  v n   Vì Aun  M , n  1,2, M t p đóng suy v  M H n n a, t toán t A: M  M , nên có Av  v, v  M V y đ nh lỦ đ c ch ng minh Nh n xét: Trong đ nh lỦ m b t đ ng Schauder n u dim X   đ nh lý nƠy c ng lƠ đ nh lỦ m b t đ ng Brouwer Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 31 Khóa lu n t t nghi p CH Tr NG 3: M T S 3.1 Áp d ng vƠo ph ng H S ph m HƠ N i ÁP D NG C A B T NG ng trình vi phơn th NH LÝ I M ng 3.1.1 Bài tốn 1: *Xét ph ng trình vi phơn: dx  t   f  t , x  t   ( tt  R ) dt (3.1) V i u ki n ban đ u x t0   x0 (3.1*) Trong t0 , x0 s cho tr c, f  t , u  hàm liên t c cho tr cc a bi n t , u  t , u ฀  Gi thi t r ng f  t , u  th a mƣn u ki n Lipschitz theo bi n u, theo ngh a sau đơy: V i m i s nguyên d ng n t n t i m t h ng s L  L n   Sao cho t  n, n ta đ u có f  t , u1   f  t , u2   L u1  u2 Ch ng minh r ng (3.1) v i u ki n (3.1*) có m t nghi m nh t x  t  xác đ nh liên t c đ *) Th t v y, ta th y hàm s (3.1*) t ng đ ng v i ph ng th ng th c ฀ f liên t c nên ph ng trình tích phơn: x t   x0   f  s, x( s)  ds t t0 Ta l y m t s (3.2) nguyên n l n cho t0  n, n g i Cn  C  n; n không gian hàm s  n, n V i   m ng trình (3.1) v i u ki n x  t  xác đ nh liên t c đo n t s c đ nh tùy ý Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 32 Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i Ta đ t: d n  x, y   max e   L t t0 t n x  t   y  t   x, y  Cn  D dàng ki m tra dn m t metric Cn H n n a, n u  x, y  Cn  d  x, y   max x  t   y  t  t n -LA *LA Thì e e d  x, y  dn  x, y  d  x, y  A = max {n - t0, n + t0} t c d vƠ dn t ng đ ng v i Mà  Cn ,d  m t khơng gian metric đ y đ T đó, suy  Cn , dn  m t không gian metric đ y đ Xét ánh x F : Cn  Cn Xác đ nh b i công th c  F  x  t   x0  t f  s, x s   ds t ( x  Cn ) Ta ch ng t F ánh x co đ i v i metric dn Th t v y, m i x, y  Cn ta có d n  F  x , F  y   max e   L t t0 t n  max e t  f  s, x s    f  s, y  s   ds t   L t  t0 t n L. x  s   y  s  ds I1 V i I1 lƠ đo n t0 , t  n u t  t0 ho c đo n t , t0  n u t0  t T đ nh ngh a metric dn, ta có: x s   y  s   e e  L s t0   L s t0  L s t0   L s t0 e e x s   y  s  x s   y  s  Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 33 Khóa lu n t t nghi p e V y  Tr  L s t ng H S ph m HƠ N i d n  x, y  x s   y  s  ds  d n  x, y   e I1  L s t0 ds  d n  x, y   L 1 e  L t t0  1 I1  dn  x, y  L e 1  L t t0 T đó, suy r ng d n  F  x , F  y     1d n  x, y  mà   Do F lƠ ánh x co Theo nguyên lý ánh x Banach có nh t m t hàm xn  xn  t   Cn Sao cho: xn  f  xn  T đ nh ngh a ánh x F , ta suy r ng: *) xn  xn  t  nghi m nh t c a ph ng trình (3.2) đ c xác đ nh đo n  n, n *) Nh v y, v i m i s nguyên d ng n cho t0  n Ph ng trình tích phân (3.2) có m t nghi m nh t xn  xn  t  xác đ nh đo n  n, n *) N u m, n s nguyên d ng cho t0  m  n t tính nh t c a xn , ta suy r ng xm  t   xn  t  t  n Vì v y hàm x t   xn  t  t  n c xác đ nh t  ฀ nghi m nh t c a ph b đ ng trình (3.2) tồn ng th ng th c 3.1.2 Bài toán 2: Ta c n gi i bƠi toán ban đ u sau: u '  F  x, u   u  x0   u0 , x0  h  x  x0  h (3.3) Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 34 Khóa lu n t t nghi p V i (x0, u0)  Tr ng H S ph m HƠ N i Ta s tìm nghi m u = u(x) c a (3.3) cho u : [x0 – h, x0 + h]  (3.3*) Kh vi (x, u(x))  S,  x  [x0 – h, x0 + h ] Trong Ss   x, u   R  : x  x0  r , u  u0  r , v i r ; c đ nh  t x  C [x0 – h, x0 + h ] M  x  X : u  u0  r Ta xác đ nh chu n: u  Ta xét ph max x0 h x x0 h  u  x , x  X, ng trình tích phơn u  x  uo   F  y, u  y  dy; x x0 x0  h  x  x0  h, u  M (3.4) Cùng v i phép l p un1  x  u0   F  y, un  y '  dy, x0  h  x  x0  h, n  1,2, (3.5) x x0 V i u1  x  u0 M nh đ 3.1: Gi s (a) Hàm s F : S  (b) tr liên t c vƠ có đ o hàm riêng F u : S  c ng liên t c t M  max F ( x, u ) L  max Fu ( x, u ) , ch n s (x,u)S (x,u)S th c h ng h p cho  h  r , hM  r , hL  Khi đó, u sau lƠ (i) BƠi tốn ban đ u (3.3) có nghi m nh t d ng (3.3*) (ii) ơy lƠ nghi m nh t c a ph ng trình tích phơn (3.4) (iii) Dãy un t o b i (3.5) h i t đ n u không gian Banach X (iV)V i n  0,1, , ta có đánh giá sai s Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 35 Khóa lu n t t nghi p un  u  k n 1  n  1 Tr ng H S ph m HƠ N i u1  u0 un1  u  k n 1  n  un1  un v i k  hL Ch ng minh: B c 1: nh ngh a toán t qua Au  x  u0   F  y, u  y   dy , x0  h  x  x0  h x x0 Khi ph ng trình (3.4) t ng ng v i bƠi toán m b t đ ng Au  u, u  M (3.4*) V i u  M ,hàm s : u :  x0  h, x0  h  R liên t c tà  x, u  x  S, x x0  h, x0  h Suy hàm s F : x  F  x, u  x  c ng liên t c [x0 – h, x0 + h] Và hàm s Au :  x0  h, x0  h  R liên t c V y ta có m t tốn t A: M  X , ta ch ng minh đ c 1) A M   M 2) Au  Av  k u  v , u, v  M , k 0,1 Th t v y 1)V i u  M b t kì,  rr x F  y, u  y dy  x  x0 (my,uax)S F  y, u   khM x V i x  x0  h, x0  h Hay Au  u0  max x0 h x x0  h x F  y, u  y  dy  r x T đó, suy Au  M Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 36 Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i 2)Theo đ nh lý giá tr trung bình |F(x, u) – F(x, v)| = |F u(x, w)||u – v|  L | u - v|   x, u  ,  x, v  S Khi đó, u, v  M Ta có Au  Av   hL max x0 h x x0  h max x0 h x x0  h x  F  y, u  y  F  y, v y dy x u  y  v y  k u  v v i k  hL  V y gi thi t c a đ nh lỦ m b t đ ng Banach th a mãn áp d ng đ nh lý v i ph B ng trình (3.4*) c 2: S t ng đ ng G i u m t nghi m c a ph ng trình (3.4) L y đ o hàm (3.4), ta có hàm s u c ng lƠ m t nghi m c a toán giá tr ban đ u (3.3) ậ(3.3*) Ng c l i, g i u m t nghi m c a (3.3) ậ (3.3*) Tích phân c a (3.3) cho th y hàm s u c ng lƠ nghi m c a ph ng trình tích phơn (3.4) Ch ng t , hai toán (3.3)-(3.3*) (3.4) t ng đ ng V y m nh đ đ c ch ng minh Ví d 3.1 BƠi toán ban đ u u  u '  F  x, u   x   u      1  x 4 1  Có nghi m nh t t p S   x, u   R22 : x  , u   4  *Th t v y, ta có hàm s F :S  R c ng liên t c u hàm liên t c vƠ có đ o hàm riêng F u =  x, u   x  Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 37 Khóa lu n t t nghi p * Tr t M  max F  x, u    x,u S Và L  max F  x, u    x,u S ng H S ph m HƠ N i 1   64 16 64 1 Theo gi thi t ta có h  ; r  Khi  h  r , hM  r , hL  4 Do đó, m nh đ u ki n m nh đ (3.1) đ u th a mãn nên tốn ln có nghi m nh t t p S Ta tìm nghi m nh t nƠy Ph u ' u  x3 , ph 4 ng trình ban đ u có d ng: ng trình đ c tr ng c a       Do   * Tìm nghi m riêng u  x d  nên ta có: i d ng u*  x  Ax3  Bx2  Cx  D Thay vào ph ng trình ban đ u, ta có Ax  Bx  C    Ax  Bx2  Cx  D  x3 ng th i h s , ta thu đ c A  4; B  48, C  384 D  1536 Suy u*  x  4 x3  48x2  384 x  1536 Vì v y, nghi m c a ph u x  C1e ng trình lƠ:  x3  48 x2  384 x  1536 Do u  0   C1  1536 nên nghi m nh t u x  1536e  x3  48 x2  384 x  1536 Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Toán 38 Khóa lu n t t nghi p 3.2.Áp d ng vƠo ph Tr ng H S ph m HƠ N i ng trình tích phơn 3.2.1 Bài tốn Ta mu n gi i ph ng trình tích phơn u  x    F  x, y, u  y   dy  f  x b a B ng ph a  x  b (3.6) ng pháp l p un1  x    F  x, y, un  y   dy  f  x , a  x  b, n  0,1, b a đơy   a  b   M nh đ 3.2 Gi s có u ki n sau: 1) Hàm s f :  a , b  R liên t c; 2) Hàm s F :  a , b   a , b  R  R liên t c vƠ đ o hàm riêng FFu u :  a , b   a , b  R  R c ng liên t c; 3) Có s L cho Fu  x, y, u   L, x, y  a , b, u ฀ 4) Có m t s th c  cho tr c cho  b  a   L  1; 5) T p X  C  a , b u  max u  x ; a  xb Khi đó, u ki n sau đơy đ c th a mãn i) Bài to¸n ban đ u (3.6) có m t nghi m nh t u  X ; ii) Dãy  un  t o b i (3.6*) h i t đ n u X, n  1,2, iii) n  0,1, , ta có đánh giá sai s : un  u  k n 1  k  1 un1  u  k 1  k  1 u1 , un1  un v i k   b  a   L ; Ch ng minh: nh ngh a toán t :  Au  x   a F  x, y, u  y  dy  f  x, b Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Toán a  xb 39 Khóa lu n t t nghi p Tr Khi đó, ph ng đ ng trình tích phơn (3.6) t ng H S ph m HƠ N i ng v i bƠi toán m b t đ ng u  Au N u u: [a, b]  liên t c hàm s An :  a , b  R c ng liên t c V y ta có A: X  X tốn t Theo đ nh lý gía tr trung bình, v i x, y  a , b  u, v  ,  w  cho |F(x, y, u) – F(x, y, v)|  |F u(x, y, w)|| u – v|  Lu v Suy Au  Av  max  Au  x   Av Au  x    b  a  L max u  x  v  x a  xb a  xb Suy Au  Av  k u  v , u, v  X, k   b  a   L t M  X  C  a , b Khi đó, đ nh lỦ m b t đ ng đ toán đ c th a mãn V y c ch ng minh Ví d 3.2: Ph Cho ph ng trình tích phơn n tính ng trình tích phơn u  x    k  x, y  udy  f  x , a  x  b b a (3.7) Gi s hàm s K :  a , b   a , b  R f :  a , b  R liên t c L  max k  x, y   a  x, yb Khi đó, ph b  a  L ng trình (3.7) có nghi m nh t Th t v y, ta ch gi thi t m nh đ 3.2 th a mãn: +) Hàm s f :  a , b  ฀ liên t c +) Do K :  a , b   a , b  ฀ liên t c nên hàm F :  a , b  a , b  ฀  ฀  x, y, u   F  x, y, u   k  x, y u Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 40 Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i Và Fu :  a , b    a , b   ฀  ฀  x, y, u   Fu  x, y, u   k  x, y ng liên t c, x, y  a , b, u ฀ C +) Ta có Fu  x, y, u   k  x, y  max k  x, y  L a  x, yb +) Do   nên  b  a   L  b  a  L t X  C  a , b u  max u  x + a  xb V y gi thi t m nh đ (3.2) th a mãn.Do đó, k t qu c a v i ph ng trình tích phơn (3.7) hay (3.7) có nghi m nh t u  X BƠi toán ban đ u (3.7) đ c g i lƠ ph ng trình tích phơn n tính 3.2.2 Bài tốn 4: Ta c n gi i ph ng trình tích phơn u  x    F  x, y, u  y   dy a  x  b (3.8.1) b a đơy,   a  b     R G i Q  x, y, u   R : x, y a ,b, u  r  v 3 i r  cho tr c M nh đ 3.3 Gi s r ng 1) Hàm s F : Q  R liên t c 2) Ta đ nh ngh a  b  a  M  max F  x, y, u  Có m t t s th c  đƣ cho  x, y,u Q th a mãn  M  r Khi ph ng trình ban đ u (3.8) có nghi m u  M Ch ng minh nh ngh a toán t  Au  x   a F  x, y, u  y   dy , x   a , b  b Khi ph ng trình tích phơn t ng ng v i toán v m b t đ ng Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 41 Khóa lu n t t nghi p Tr Au  u , u  M ng H S ph m HƠ N i (3.8.2) Toán t A: M  M : compact (theo ví d 1.7.5) V i m i u  M , ta có Au   max a  xb a F  x, y, u  y  dy   M  r suy A M   M b Theo đ nh lỦ m b t đ ng Schauder Ph T c ph ng trình (3.8.1) có nghi m ng trình ban đ u có nghi m u  M Ví d 3.3 Cho X  C  a , b v i   a  b   ||u|| = max |u(x)| Khi đó, a  x b ph ng trình tích phơn u  x   b  a   u  y  dy, u  X có nghi m nh t b a  b  a    u  X v i X  u  X : u     * * Th t v y, đ t  b  a    33 Q   x, y, u  y    ฀ : x, y   a , b , u     Hàm F : Q  ฀  x, y, u  y  F  x, y, u  y  u  y hàm liên t t M c u  b  a  M  max F  x, y, u   x, y,u Q b  a  u b  a  Mà    b  a  nên  M  b  a  u  ba 2  b  a    Hay  M  r  r      Theo m nh đ 3.3 ph ng trình ban đ u có nghi m nh t u  X* Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 42 Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i K T LU N Trên đơy toàn b n i dung c a khoá lu n: “Lý thuy t v m b t đ ng” N i dung c a khố lu n đ c đ c p đ n là: Nêu lên khái ni m; đ nh lý quan tr ng c a không gian metric, không gian Banach, không gian đ nh chu n h u h n chi u Nêu nguyên lý ánh x co Banach, đ nh lý m b t đ ng Brouwer, đ nh lý m b t đ ng Schauder; ch ng minh đ nh lý, ví d áp d ng Nêu lên m t s ng d ng c a đ nh lý m b t đ ng Tuy nhiên, th i gian ki n th c có h n nên không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nhi u ý ki n đóng góp quý báu c a th y cô b n sinh viên Hà N i, ngày tháng n m 2010 Sinh viên Bùi Th Thanh Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Tốn 43 Khóa lu n t t nghi p Tr ng H S ph m HƠ N i TÀI LI U THAM KH O Phan c Chính (1987), Gi i thích hàm - t p – C s lý thuy t, Nxb i h c Trung h c chuyên nghi p Nguy n Th Hoàn, Tr n V n Nhung (1979), Bài t p ph phân, Nxb ng trình vi i h c Trung h c chuyên nghi p Nguy n Ph Hy (2006), Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c K thu t Nguy n Xuân Liêm (2002), Gi i tích hàm, Nxb Giáo d c H ng Tân (2001), Các đ nh lý v m b t đ ng, Nxb ih cS ph m Sinh viên Bùi Th Thanh – K32E khoa Toán 44 ... tr ng s s d ng ng ch Ch ng ng 2: Nêu nguyên lý ánh x co Banach, đ nh lý m b t đ ng Schauder, ch ng minh đ nh lý, ví d áp d ng Ch ng 3: Áp d ng đ nh lý m b t đ ng vào vi c gi i ph trình tích phân... HƠ N i Nhi m v nghiên c u Nghiên c u m t s đ nh lý m b t đ ng không gian Banach không gian đ nh chu n h u h n chi u Nghiên c u vi c áp d ng đ nh lý m b t đ ng vi c gi i t p v ph ng trình tích... 12 1.8 Không gian đ nh chu n h u h n chi u: 16 CH NG 2: CÁC NH LÝ V I MB T NG 17 2.1 Nguyên lý ánh xa co banach 17 CH 2.2 nh lỦ m b t đ ng Brouwer 23 2.3 nh