Luận văn sư phạm Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Khóa lu n t t nghi p L I NịI U Trong gi i toán khác c a toán h c, khoa h c k thu t d n đ n vi c nghiên c u v n đ : Cho X m t không gian T : A  X ánh x t t p A X vào Xét ph ng trình phi n Tx  x, x  A, d ki n c th kh ng đ nh s t n t i nghi m c a ph x  A th a mãn ph ng trình Tx  x đ ng trình i u i m c g i m b t đ ng c a ánh x T t p h p A Vi c gi i quy t toán d n đ n s đ i c a m t h ng nghiên c u m i tốn h c, dó lý thuy t m b t đ ng Lý thuy t m b t đ ng m t nh ng ki n th c quan tr ng c a gi i tích hàm phi n cho t i có th kh ng đ nh r ng lý thuy t m b t đ ng đ đ th thi u đ c phát tri n h t s c sâu r ng tr thành công c không c đ gi i quy t nh ng toán th c t đ t S phát tri n c a l nh v c g n li n v i tên tu i c a nhà khoa h c nh : Banach, Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,… Nh ng k t qu kinh n đ ng th i c ng k t qu đ u tiên c a lý thuy t m b t đ ng nh nguyên lý ánh x co, nguyên lý m b t đ ng Browder đ ph HƠ c áp d ng vào ngành toán h c hi n đ i nh : ph ng trình vi phân, ng trình tích phân, gi i tích hàm, … c Tâm ậ K35B Tốn Khóa lu n t t nghi p V i lý em ch n đ tài “ M t vƠi đ c tr ng c a tính l i liên quan đ n lý thuy t m b t đ ng ” M c đích c a khóa lu n trình bày m t s k t qu t ng quan Browder kirk tìm N i dung khoa lu n (g m ch ng): Ch ng M t s ki n th c c s Ch ng Không gian Banach l i đ u Ch ng M t s đ nh lý liên quan đ n tính l i c a lý thuy t m b t đ ng Qua em xin đ Th ng t n tình h c bày t long bi t n sâu s c đ n th y Phùng c ng d n em hoàn thành khoa lu n em xin chân thành c m n s giúp đ ch b o t n tình c a th y t gi i tích c a tr ng HSP Hà N i Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 n m 2013 Sinh viên HƠ HƠ c Tâm ậ K35B Tốn c Tâm Khóa lu n t t nghi p Ch Ch ng KI N TH C C S ng có m c đích xác đ nh m t s ký hi u, nh c l i m t s lý thuy t c a gi i tích hàm v khơng gian t p h p đ 1.1 KHÔNG GIAN c s d ng ch ng sau NH CHU N, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN TÔPÔ nh ngh a 1.2.1 Gi s ph c K m t tr ng s th c ho c tr ng s T p h p X   v i hai ánh x ( phép c ng phép nhân vô h ng ) Phép c ng xác đ nh X  X l y giá tr X  x, y Phép nhân vô h x y ng xác đ nh K  X l y giá tr X   , x  x,   K, x  X G i không gian n tính ( ho c khơng gian véc t ) n u u ki n sau th a mãn : X v i m t phép c ng m t nhóm Abel, t c : a x  y  y  x v i m i  ,   K, x  X b  x  y  z  x   y  z  v i m i x, y, z  X c T n t i ph n t   X cho x    x v i m i x  X d V i m i ph n t x  X t n t i m t ph n t  x  X cho x  ( x)   HƠ c Tâm ậ K35B Toán Khóa lu n t t nghi p   x  y   x   y v i m i     x   x   x v    x    x v im i 1.x  x v i m i x X nh ngh a 1.2.2 (   K, x, y  X im i  ,   K, x  X  ,   K, x  X nh ngh a không gian đ nh chu n) Ta g i không gian đ nh chu n ( hay không gian n tính đ nh chu n) khơng gian n tính X v i m t ánh x t t p h p s th c , th X vào ng ký hi u đ c chu n, th a mãn u ki n sau : i) V i m i x  X ta có x  x 0 x0 Và ii) V i m i x  X , v i m i   K ta có x y  x  y S x g i chu n c a ph n t x Kí hi u khơng gian đ nh chu n  X,  nh ngh a 1.2.3 ( nh ngh a không gian Banach) N u không gian đ nh chu n X không gian metric đ y đ ( kho ng cách d  x, y  x  y ) X đ c g i không gian đ nh chu n đ y đ hay g i không gian Banach nh ngh a 1.2.4 ( nh ngh a không gian Tôpô) M t h t p   X c a t p h p X đ c g i m t Tôpô X n u th a mãn u ki n sau : HƠ c Tâm ậ K35B Tốn Khóa lu n t t nghi p i)  , X  ii) Giao c a m t h h u h n tùy ý t p h p thu c  m t t p h p thu c  iii) H p c a m t h tùy ý t p h p thu c  m t t p h p thu c  Các t p thu c  đ c g i t p m ph n bù c a m t t p m X g i t p đóng c trang b m t Tôpô  đ T p Xđ đ c g i m t không gian Tôpô c ký hi u b i  X,  ho c đ n gi n X 1.2 KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PH N X nh ngh a 1.3.1 Ta g i tích vơ h tr ng K ( K  R ho c tr ng K , th ng vi t d ng khơng gian n tính ) m i ánh x f t tích đ X  X vào i d ng f  x, y  x, y th a mãn u ki n : i) x, y  y, x , x, y  X; ii) x  y, z  x,z  y,z x, y, z  X; iii)  x, y   x, y ,   K, x, y  X iv) x, x  0, x  X x, x   x  Các ph n t x, y, z đ c g i nhân t c a tích vơ h ng nh ngh a 1.3.2 ( nh ngh a không gian Hilbert) Ta g i t p h p H khác r ng g m ph n t x, y, z khơng gian Hilbert n u : i) HƠ H m t không gian n tính tr c Tâm ậ K35B Tốn ng K ; Khóa lu n t t nghi p ii) H trang b tích vơ h ng x, y v i x, y  H ; iii) H đ v i chu n x  x, x v i x H nh ngh a 1.3.3 ( nh ngh a không gian ph n x ) Không gian n tính đ nh chu n X đ c g i không gian ph n x n u phép nhúng chu n t c H t không gian X vào không gian liên h p th hai X ** c a m t tồn ánh Nh v y khơng gian n tính đ nh chu n X m t không gian ph n x ch v i m i ph n t x b t kì x**  X** t n t i m t ph n t x  X cho x**  x*   x*  x , x*  X* 1.3 T P H P L I nh ngh a 1.4.1 Gi s s th c t p A  X đ X m t khơng gian n tính, t p c g i l i n u x1, x2  A,   :      x1  (1   ) x2  A A  X   I  t p l i, v i I t p ch s M nh đ 1.4.1 Gi s b t k Khi A  I A Ch ng minh L y x1, x2  A Khi x1, x2  A   I   I A l i nên  x1  (1   ) x2  A ,    0,1   x1  (1   ) x2  A V y A c ng t p l i HƠ c Tâm ậ K35B Toán Khóa lu n t t nghi p M nh đ 1.4.2 Gi s t p Ai  X l i, i  ,  i  1,2, , m Khi 1 A1  2 A2   m Am t p l i M nh đ 1.4.3 Gi s X,Y không gian n tính, T : X  Y tốn t n tính Khi a A X l i  T  A l i b B Y l i  ngh ch nh T 1  B c a nh B t p l i nh ngh a 1.4.2 Véc t x X đ c g i t h p l i c a véc t m x1, x2 , , xm  X N u t n t i i  0,  i  1,2, , m ,  i  cho i 1 m x   i xi i 1 nh ngh a 1.4.3 Gi s A X , giao c a t t c t h p l i ch a A g i bao l i c a t p h p A ký hi u coA HƠ c Tâm ậ K35B Toán Khóa lu n t t nghi p Ch ng KHÔNG GIAN BANACH L I 1.1 KHÔNG GIAN L I U U Trong giáo trình gi i tích hàm, ta bi t không gian Hilbelt tr ng h p riêng c a không gian Banach v i hai tính ch t quan tr ng : M i không gian Hilbert đ u ph n xa M i t p h p l i đóng khơng gian Hilbert đ u ch a m t m g n nh t đ i v i m t m cho tr c b t kì c a khơng gian Trong s khơng gian Banach, có m t l p đ c bi t ch a không gian Hilbert mà v n gi đ c tính ch t khơng gian Banach l i đ u Clarkson đ xu t n m 1936 n n m 1965 Browder Gohde đ c l p ch ng minh đ cm ts đ nh lý quan tr ng v s t n t i m b t đ ng cho ánh x không giãn l p khơng gian ó lý chúng tơi dung m c đích đ gi i thi u nh ng khái ni m c a không gian l i đ u c n s d ng ch ng sau nh ngh a 2.1.1 Không gian Banach  X,  đ   0,     cho x, y  X, x  1, y  1, x y      c g i l i đ u n u x  y   ta có (1) Nói cách khác, v i hai m khác b t kì x, y thu c hình c u đ n v, HƠ x y ph i có kho ng cách d c Tâm ậ K35B Tốn ng đ n biên c a hình c u đó, mà Khóa lu n t t nghi p kho ng cách ch ph thu c vào x, y ch khơng ph thu c vào v trí c a chúng (tính đ u) Khái ni n đ c Clackson đ xu t n m 1936 Ví d 2.1.1 Không gian v i chu n x  x12  x22 không gian Banach l i đ u Không gian v i chu n x  x1  x2 x2  max  x1 , x2  không gian l i đ u T ng quát h n l p Lp  a , b,  p   l i đ u p  p   l i kh n đ u D ki m tra đ c r ng không gian C  a , b không l i đ u ti n ki m trình bày ta ki m v i không gian C  0,1 Th t v y, Ta xét hai hàm sau C  0,1 x t   1, t 0,1   1  1, t  0,     Và y  t    2t  2, t   ,1    Rõ rang x, y  C 0,1 ta có x  1, y  1, x  y  1, x y 1 Suy   t n t i     cho x, y  0,1 mà HƠ c Tâm ậ K35B Tốn Khóa lu n t t nghi p x  1, y  1, x  y    x y      Do C 0,1 khơng đ u Ví d 2.1.2 M i không gian Hilbert l i đ u Th t v y Gi s x  1, y  1, x  y   t đ ng th c hình bình hành ta suy  x y  x  y 2  x y  2 22 x  y 1  x y   1  1 1 1     Vì v y, v i   ta đ t        Do m khơng gian Hilbert l i đ u Không gian Banach  X,  đ c g i l i ch t ( Strictly convex) ho c tròn (rotund) n u x  y mà x  1, y  ta ln có x y 1 Nói cách khác, n u x, y thu c vào hình c u đ n v đóng mà x  y m x y ph i m c a hình c u D th y r ng c ng nh đ nh ngh a 2.1.1 2.1.2 ta có th thay th b t đ ng th c x  1, y  b ng m t đ ng th c kép x  y  HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 10 Khóa lu n t t nghi p   M   sup  :   1 cho x, y  M , r  p  x, y  r , z  M cho B x,  r   B y, r   B z, r  Trong  x, r  kí hi u hình c u đóng tâm x bán kính r Th t c kh c ta có   M   đ i v i không gian metric  M , p  b t k Lifschitz ch ng minh đ c r ng n u  M , p  không gian metric đ y đ b ch n n u ánh x T : M  M m t ánh x k - Lipschitz đ ng đ u v i k   o  M  , T có m t m b t đ ng M so sánh k t qu v i k t qu c a Goebel-Kirk-Thele không gian Banach, ng i ta đ nh ngh a  o  X  infimum c a   C  , C ch y t t c t p l i, đóng, b ch n, khơng r ng c a c a không gian Banach X Khi đ nh lý Lifschitz đ c suy nh lý 3.1.3 (Lifschitz) Gi s X không gian Banach v i  o  X   N u K m t t p l i đóng khơng r ng X T : K  K m t ánh x k - Lipschitz đ ng đ u v i k   o  X  , T có m t m b t đ ng K Lifschitz ch ng minh r ng  o  H   , H đ ch khơng gian Hilbert; Goebel; Kirk Thele ch r ng   ph HƠ nghi m c a ng trình c Tâm ậ K35B Tốn 34 Khóa lu n t t nghi p     1   H         Nh v y, đ i v i không gian Banach, cách ti p c n c a Lifschitz mang l i m t k t qu rõ nét h n v đ l n c a h ng s Lipschitz có th l y đ c mà v n b o đ m ánh x có m b t đ ng c ng nên l u ý r ng J.Baillion tìm đ c m t ví d v m t ánh x  - Lipschitz đ ng đ u xác đ nh m t t p l i đóng b ch n c a khơng gian l có m – t b t đ ng K t qu đ u tiên c a ch r ng cách ti p c n c a Lifschitz cho l cl ng đ ng v kích th c c a k nh t c ng nh nh ng c tìm b ng cách s d ng ti p c n c a Goebel-Kirk-Thele 3.2 CÁC NH Lụ KHÁC LIểN QUAN N TÍNH L I nh lý 3.2.1 Cho X không gian Banach gi s ph c   th a mãn    ng trình  1   X     Khi    o  X      thu n ti n cho vi c ch ng minh đ nh lý 3.2.1, phát bi u m t b đ sau B đ 3.2.2 (Lifschitz) Gi s X m t khơng gian n tính đ nh chu n Khi HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 35 Khóa lu n t t nghi p  o  X   sup{ >0: >1 cho y  X, y  1, t   0,1 cho B 0,    B y,   B  ty,1} Ch ng minh đ nh lý 3.2.1 L y y  X v i y  gi s x  B 0,    B y,   Khi x   1, x y   x   x y    Vì v y theo đ nh ngh a c a  X 1 x x y  1 X       Do x    y   1   X        y  Ngh a x  B  ,1 Theo b đ 3.2.2 ta có  o  X    2  nh lý đ c ch ng minh M c dù v m t đ nh tính, k t qu c a Lifschitz cho th cl ng v kích c c a k rõ rang h n k t qu c a Goebel-Kirk-Thele, đ nh lý ti p theo cho th y r ng không gian Banach nh t đ nh t ng t ng v m t đ nh tính HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 36 Khóa lu n t t nghi p nh lý 3.2.3 Gi s X không gian Banach Khi  o  X   n u ch n u  o  X   Ch ng minh N u  o  X   , l p t c suy r ng  th a mãn     1   X         Là l n h n Do đó, theo đ nh lý 3.2.1  o  X     Bây gi gi s r ng  o  X   l y     Khi t n t i ph n t x, y  X có chu n b ng cho x y   x y   Do    ,  ,2  B 0,    B  x  y ,  Xét Vì  x    x    x  y   y     , nên  x  B 0,    B  x  y ,  T ng t  x  B 0,    B  x  y ,  Nh ng  x    y   x  y  , khơng t n t i z  X cho HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 37 Khóa lu n t t nghi p B 0,    B  x  y ,   B z,1 Vì   x  y đ u thu c BX đ ng th i     tùy ý nên   4BX   1;  o  X   i u hoàn thành đ nh lý 3.2.3 Các u ki n đ nh lý 3.2.3 n đ nh theo m t ngh a Nh c l i r ng, đ i v i không gian Banach đ ng c u X Y , h s kho ng cách Banach – Mazur t X vào Y , đ c ký hi u d  X,Y , xác đ nh b i d  X,Y  inf{ U U 1 : U : X  Y toán t kh ngh ch} nh lý 3.2.4 Gi s X m t không gian Banach v i  o  X   gi s   nghi m c a ph ng trình     1   X         Khi n u Y m t không gian Banach đ ng c u v i X d  X,Y    o Y  Ch ng minh Khơng m t tính t ng quát gi s U m t đ ng c u t X lên Y cho U 1  d  X,Y   U   HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 38 Khóa lu n t t nghi p Ch n ph n t y1  y2  U  y1, y2 Y có chu n b ng m t cho t đ nh ngh a x1  U 1  y1  x2  U 1  y2  L p t c ta có x1  1, x2  1, x1  x2   Khi theeo đ nh ngh a c a  X 1 x1  x2 1X     y1  y2 x x  U 2    1  U 1   X        X          T ta suy   U       U 1   X            Y  Vì v y  o  Y  nh lý đ HƠ U  1 c ch ng minh c Tâm ậ K35B Tốn 39 Khóa lu n t t nghi p nh lý 3.2.4 cho phép m r ng m t vài cơng trình m i c a Bynum Ơng ch r ng n u X tròn đ u, t n t i   cho n u Y không gian Banach v i d  X, Y   , t p l i, đóng, b ch n Y đ u có m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn Sau h qu t c kh c c a đ nh lý 3.1.2 đ nh lý 3.2.4 H qu 3.2.5 Cho X m t không gian Banach v i  o  X   Khi t n t i h ng s   1,   cho n u Y m t không gian Banach v i d  X,Y   , c p l i, đóng, b ch n Y đ u có m b t đ ng đ i v i ánh x k  Lipschitz đ u v i k   Cu i ch r ng u ki n n đ nh theo ngh a th hai nh lý 3.2.6 N u X m t không gian Banach v i  o  X   ,  m t đ đo b t k  p   ,  o  Lp   , X    nh lý 3.2.6 đ c suy t c kh c t đ nh lý 3.2.7 d i Có th tìm th y m t tham luaanjveef không gian hàm Lebesgue – Bochener [4] ho c [8] N u  đ đo đ m đ Lp   , X  không gian dãy l p  X  c t p h p đó, nh lý sau s bi u di n đ c tr ng l i c a không gian Banach X đ c tr ng l i c a không gian hàm Lebesgue – Bochener t ng ng cách ch ng minh c a Day [6] r ng Lp   , X  n u ch n u  p   nh lý 3.2.7 Cho X m t không gian Banach,  m t đ đo Khi HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 40 Khóa lu n t t nghi p    o  Lp   , X    max  o  l p  ,  o  X  X Lp    đ u đ ng c u v i khơng gian Ch ng minh Vì c Lp   , X  , nên rõ rang      o  Lp   , X    max  o  Lp     ,  o  X   max  o  l p  ,  o  X  Khi ta có p  1, p   ho c  o  X   t c kh c ta nh n đ c đ ng th c ph i ch ng minh v i  o  Lp   , X    Vì v y đ hoàn thành ch ng minh, ta gi s r ng  p    o  X   Vì  o  l p   v i  p   nên ta ch c n ch ng minh r ng  o  Lp   , X     o  X  đ H n n a ta gi thi t thêm r ng  đ đo liên t c t p h p s t nhiên M c dù gi thi t h n ch , nh ng đ nh lý đ nghi m đ i v i đ đo đ m đ c, đ nh lý c ng d dàng đ c ki m c suy đ i v i đ đo  tùy ý b ng cách xác đ nh m t phép nhúng hàm đ n gi n thu c Lp   , X  vào không gian Lp  X  theo cách c a Day [6,p.507] Vì v y ch c n ch ng minh r ng  o  Lp   , X     o  X  v i  p    o  X   Gi s b   xi  b'   xi'  ph n t c a Lp  X  gi s    Tr c tiên ta xét tr HƠ ng h p c Tâm ậ K35B Toán b  b'  1, b  b'   o  X    41 Khóa lu n t t nghi p xi  xi' , i  thu n ti n, ta đ t xi  i xi  xi'   i Khi  b  b    xi  xi'  i ' L u ý r ng  i  2i , i  p    i        c       i   X      i        p p p      t    o  X       E  i  : i    i     Và F  \ E Khi 1 p   p  p  p I    i p     i p    i   o  X      iF   i   iF  Nên  o  X      p    i    iF  p Hay p   p  p   p p p    i      i    i    o  X     1       iF  iF   i      HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 42 Khóa lu n t t nghi p Do p 1 p p     p 1  p p     i      i   1     iE         iE  Vì v y p  p      X       o ' p p b  b   1   X     i   i     iF     iE    p  p     X        o p p   1   X                   1    p p   o  X        p      1  1  1   X                           o  X           1  1  1   X                Vì      o  X       p   p p                              o  X  , nên n u ta cho v ph i b ng   o  o  X     ,  o  o  X      v i m i   V y tr h p đ u tiên đ HƠ p ng c ch ng minh c Tâm ậ K35B Toán 43 Khóa lu n t t nghi p Bây gi gi s b  b'  gi s r ng b  b'  1   p     p modul l i c a l p        ,  o   o  X       4 2  Khi  1   p       xi  x  i ' p i p   '     xi  xi   i   p p   2  Vì xi xi' ph n t có chu n b ng m t l p nên  '   xi  xi  i   p p     t b''   xi''   xi' xi , xi'   ' '' x   xi  xi   xi , L u ý r ng xi  xi'' , i  b  b  ' Và  b  b  ' p p    Vì v y HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 44 Khóa lu n t t nghi p b  b'  b  b''  1   p             (vì  p    )   1   p      1    2   2      1     1   o   o  X        Nên t tr ng h p tr c ta suy b  b''   o  X    Cu i b  b'  b  b''  b''  b'   o  X       o  X   Do n u b  b'  b  b'   o  X    b  b'    p   T ta suy l p  X    X          o p Vì v y  o l p  X    o  X    HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 45 Khóa lu n t t nghi p Vì   tùy ý nên  o  l p  X     o  X  đ nh lý đ c ch ng minh hoàn toàn K t h p đ nh lý 3.1.2 đ nh lý 3.2.6 cho ta h qu m b t đ ng sau H qu 3.2.8 Cho X m t không gian Banach v i  o  X   ,  m t đ đo  p   Khi t n t i m t h ng s  cho t p l i, đóng, b ch n c a khoonh gian hàm Lebesgue – Bochner Lp   , X  có tính ch t m b t đ ng đ i v i ánh x k  Lipschitz đ u v i k   X khơng gian trịn đ u n u ch n u  o  X   nên k t qu sau c a Day đ c suy t c kh c t đ nh lý 3.2.7 H qu 3.2.9 (Day [6]) Cho  , ,   m t không gian đo Th khơng gian hàm Lebesgue – Bochner Lp   , X  tròn đ u n u ch n u  p   X tròn đ u Theo m t cách t ng t , k t h p v i đ nh lý 3.2.7 v i đ c tr ng c a không gian vuông đ u theo thu t ng v tính l i đ đ nh lý 3.1.1, ta ch ng minh đ c nêu c h qu sau H qu 3.2.10 (Smith – Turett) Cho  , ,   m t không gian đo Th khơng gian hàm Lebesgue – Bochner Lp   , X  không vuông đ u n u ch n u  p   X không vuông đ u HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 46 Khóa lu n t t nghi p K T LU N Nh nói m th ph n m đ u, m c đích c a khóa lu n gi i thi u ng quan tr ng c a gi i tích hàm phi n ó lý thuy t c a m b t đ ng, k t qu c a khóa lu n d a c u trúc hình h c đ c tr ng c a không gian Banach liên quan đ n m b t đ ng th ch ng c a khoa lu n nh c l i m t s khái ni m tính ch t c a không gian t p h p liên quan đ n ch ch ng sau N i dung c b n c a ng không gian Banach l i đ u, không gian Banach nghiên c u ánh x không giãn, ánh x Lipschitz đ u k t qu ch ng đ nh lý liên quan đ n tính l i c a lý thuy t m b t đ ng Goebel Kirk đ xu t Tr c k t thúc khoa lu n em xin bày t long bi t n sâu s c đ i v i tr ng i H c S Ph m Hà N i th y giáo Khoa Tốn, đ c bi t th y giáo, Th.S Phùng c Th ng t n tình giúp đ em hồn thành khóa lu n Do khuân kh c a khóa lu n có h n n ng l c c a b n thân nhi u h n ch nên khoa lu n không tránh kh i nh ng thi u sót R t mong nh n đ c ý ki n trao đ i đóng góp c a nh ng quan tâm đ n v n đ HƠ c Tâm ậ K35B Tốn 47 Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n Xuân Liêm Gi i tích hàm [2] Nguy n V n Khuê Gi i tích hàm [3] S.Bochner, A E Taylor Linear functionnals on certain spaces of abstractlyovalued funtions, Ann Ofm Math., (2) 39 (1938), 913-944 [4] W L Bynum Normal structure coeficients for Banach spaces, Pacific J.Math , 86 (1980), 427 – 436 [5] M M Day Some more unifoemly convex spaces Bull Amer Math Soc 47(1941), 504-507 [6] M M Day Normed Linear spaces, 3rd Ed Ergebnisse Mathe – matik und ihrer Grenzgebiete, Band 2, Springer – Verlag, New York, 1973 [7] K Goebel, W A Kirk A fixd point theorem for transforma – tions whose iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math, 67 (1973), 135-140 [8] K Goebel, W A Kirk, R L Thele Uniformly Lipschitzian families of trasformations in Banach spaces, Canad J Math, 31 (1974), 1245-1256 HƠ c Tâm ậ K35B Toán 48 ...Khóa lu n t t nghi p V i lý em ch n đ tài “ M t vƠi đ c tr ng c a tính l i liên quan đ n lý thuy t m b t đ ng ” M c đích c a khóa lu n trình bày m t s k t qu t ng quan Browder kirk tìm N i dung... ng): Ch ng M t s ki n th c c s Ch ng Không gian Banach l i đ u Ch ng M t s đ nh lý liên quan đ n tính l i c a lý thuy t m b t đ ng Qua em xin đ Th ng t n tình h c bày t long bi t n sâu s c đ... xo** V y X ph n x m t hai tính ch t quan tr ng th hai c a không gian l i đ u đ c ch ng minh Bây gi s ch ng minh tính ch t quan tr ng th hai c a không gian l i đ u nh lý 2.1.2 Cho C m t t p h p